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圆锥曲线专题复习



圆锥曲线专题训练
一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 F1、F2,P 为椭圆上一点, 9 4

(1)若∠F1PF2=900,求△F1PF2 的面积 (2)若∠F1PF2=600,求△F1PF2 的面积 2、已知双曲线
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 F1、F2,P 为双曲线上一点, 5 4

(1)若∠F1PF2=900,求△F1PF2 的面积 (2)若∠F1PF2=600,求△F1PF2 的面积 3、 F1 , F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,以 F1 为圆心且过椭圆中心的 a2 b2

圆与椭圆的一个交点为 M 。若直线 F2 M与圆F1 相切,求该椭圆的离心率。 4、椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2 。点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时。 9 4

点 P 横坐标的取值范围为多少? 5、椭圆
x2 y2 x2 y2 ? ( a ? b ? 0 ) ? (m, n ? 0) 有公共的焦点 F1 (?c,0) 、 和双曲线 a2 b2 m2 n2

F2 (c,0) , P 为这两曲线的交点,求 PF 1 ? PF 2 的值.
二、方程 已知圆 x 2 ? y 2 ? 9 ,从圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP / ,点 M 在 PP / 上,并 且 PM ? 2MP / ,求点 M 的轨迹。 2.3【定义法】 (与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :一动圆与两圆: x 2 ? y 2 ? 1和x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆的圆心 y 的轨迹方程是什么?
O M

题型 1:求轨迹方程

O1

x

例 1. (1) 一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切, 同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,
1

求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。 (2)双曲线
x2 ? y 2 ? 1有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点,求 ?PF1F2 的重 9

心 M 的轨迹方程。

3、给出含参数的方程,说明表示什么曲线。 已知定圆 C1: x 2 ? y 2 ? 9 ,圆 C2: x 2 ? 6x ? y 2 ? 0

三、直线截圆锥曲线得相交弦(求相交弦长,相交弦的中点坐标) (结合向量) 直线与圆锥曲线相交的弦长计算(1)要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式: (2)对焦点弦要懂得用焦半径公式处理;对中点弦问题,还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型:一种是已知曲线形状,可以用待定系数法 求解;另一种是根据动点的几何性质,通过建立适当的坐标系来求解,一般是曲 线的类型未知.主要方法有: ? 直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程 中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题,也就是说,它是处于代数与几何的 交汇处,因此要处理好其综合问题,不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定 理、公式,达到灵活、综合运用,还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问 题,并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用.

1、已知椭圆

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F1 倾斜角为 的直 6 9

线交椭圆于 A、B 两点。求:弦 AB 的长,左焦点 F1 到

AB 中点 M 的长。

2、椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,C 是线段 AB 的中点.若
2

|AB|=2 2

,直线 OC 的斜率为

2 ,求实数 a、b 的值. 2

例 1.已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 6 9

两点,求弦 AB 的长.
y2 ? 1截得的弦长; 1)求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ? 4
2

(一)中点问题 一、 【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程
x2 y2 ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所 例 1、过椭圆 ? 16 4

在直线的方程。 1、在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _________ 2、过椭圆 直线方程 3、椭圆 4x 2 ? 9 y 2 ? 144内有一点 P(3,2)过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这 弦所在直线的方程为 4、中心在原点,一焦点为 F1(0,5 横坐标是 1 ,求此椭圆的方程。
2
2

x2 y2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 平分,求此弦所在 16 4

)的椭圆被直线 y=3x-2 截得的弦的中点

二、

过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
1 y2 x2 ? ? 1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x ? 的交点恰为这条 2 75 25

例 3、已知椭圆

弦的中点 M ,求点 M 的坐标 已知椭圆
y2 x2 ? ? 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。 75 25

3

(2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x 2 ?

y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程. 4

三、

求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例 5、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦
1 ,求椭圆的方程。 2 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

的中点的横坐标为

例 6、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,试确定的 m 取值范围,使得对于直线 y ? 4 x ? m , 4 3

椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 解:设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 为椭圆上关于直线 y ? 4 x ? m 的对称两点, P( x, y) 为 弦P 1P 2 的中点,则 3x1 ? 4 y1 ? 12 , 3x2 ? 4 y2 ? 12 两式相减得, 3( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 即 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2

? x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y , ? y ? 3x

y1 ? y 2 1 ?? x1 ? x2 4

这就是弦 P 1P 2 中点 P 轨迹方程。

它与直线 y ? 4 x ? m 的交点必须在椭圆内

? y ? 3x ? x ? ?m 联立 ? ,得 ? ? y ? 4x ? m ? y ? ?3m

则必须满足 y 2 ? 3 ?

3 2 x , 4

3 2 13 2 13 即 (3m) 2 ? 3 ? m 2 ,解得 ? ?m? 4 13 13

(二) 1、已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 Q,直线 l 经过点 Q 与 抛物线交于 A、B 两点; 已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k=

4

四、求离心率的值或范围 1.1、已知 a=2b,求 e 1.2、已知 b=2c,求 e 1.3、已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项,求 e 2、已知 a<2b,求离心率的范围 3、过椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 a2 b2

∠F1PF2=600,求离心率 4、过椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,Q,F2 为右焦点, a2 b2

(1)若∠F1 F2P=450,求离心率 (2)若∠F1 F2P<450,求离心率的范围 (3)∠P F2Q<900,求离心率的范围 5、过双曲线
x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P,Q,F2 为右焦 a2 b2

点, (1)若∠F1 F2P=450,求离心率 (2)若∠F1 F2P<450,求离心率的范围 (3)∠P F2Q<900,求离心率的范围 (4)若△P F2Q 为等边三角形,求离心率的值 (5)若△P F2Q 为锐角三角形,求离心率的范围
3 6、已知双曲线的渐近线为 y ? ? x ,则双曲线的离心率 e 4

x2 y2 7、已知 F1,F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右焦点,P 是椭圆上的一点, a b

(1)∠F1PF2=600,求椭圆离心率的范围。 (2)∠F1PF2=900,求椭圆离心率的范围。 (3)∠F1PF2 为锐角,求椭圆离心率的范围。 8、椭圆
x2 y2 ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? c 2 , ( a2 ? b2 ? c2 ) a2 b2

(1)没有交点求椭圆离心率的范围 (2)两个交点求椭圆离心率的值 (3)四个交点求椭圆离心率的范围 9、椭圆
x2 y2 a2 x ? ? ? 1 的右焦点 F 直线 ,若过 F2 且垂直于 x 轴的弦长等于点 2 c a2 b2

F2 到 l1 的距离,求椭圆的离心率。
5

x2 y 2 10、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上, a b ??? ? ??? ? 且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2PB ,则椭圆的离心率是( )

21 世纪教育网 A.
3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

11、设△ABC 是等腰三角形,∠ABC=1200,则以 A、B 为焦点且过点 C 的双曲线的 离心率为 12、已知双曲线的两条渐近线的夹角为 602,则离心率为 13、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 14、已知 F1,F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,P 是右准线上纵坐标为 3c (c a2 b2

为半焦距)的点,且|F1F2|=|F2P|,则离心率为 15、已知 F1,F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,两准线与 x 轴的交点分别为 M、 a2 b2

N,若 MN ? 2 F1 F2 ,则离心率为 16、已知 F1,F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,若右准线存在点 P,使线段 PF1 a2 b2

的中出现中垂线过点 F2,则离心率的取值范围 17 、已知 F1 , F2 双曲线
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,若双曲线上存在点 A ,使∠ a2 b2
? 1 的两焦点,若椭圆上存在一点 P,使∠F1PF2=90°,

F1AF2=900,且|AF1|=3 |AF2|,则双曲线离心率为
x 18、F1、F2 为椭圆 a 2 ?
2

y2 b2

求椭圆的离心率的取值范围 19、双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2, 若 P 为其上一点,且 a 2 b2

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( A、(1,3) B、 ?1,3? C、(3,+ ? )



D、 ?3, ?? ?

五、直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,可将直线 l 代入曲线 C 的方程,消去一 个字母(如 y)得到一个关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0,则(1)当 a≠0 时, 则有Δ>0,l 与 C 相交;Δ=0,l 与 C 相切;Δ<0,l 与 C 相离.(2)当 a=0 时, 得到一个一元一次方程, 则 l 与 C 相交, 且只有一个交点, 此时, 若 C 为双曲线,
6

则 l 平行于双曲线的渐近线;若 C 为抛物线,则 l 平行于抛物线的对称轴.需要 注意的是, 当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时,直线与双曲线或抛物线可 能相切也可能相交. 五、最值问题 1、求圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值 2、求圆锥曲线上的点到定点与到焦点的距离和的最值 圆锥曲线与向量的综合应用
x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点。 1、过椭圆 4

(1)若|AB|=2,求直线 l 的方程 (2)若 AF ? 2FB ,求直线 l 的方程

(3)若 AF ? 2 FB ,求直线 l 的方程 (4)若 OA ? OB =0,求直线 l 的方程

(5)若 OA ? OB =3,求直线 l 的方程 2、已知过点 P(1,0)的直线与双曲线 (1)若|AB|=2,求直线 l 的方程 (2)若 PF ? 2 PB ,求直线 l 的方程 (3)若 AP ? 2 PB ,求直线 l 的方程 (4)若 OA ? OB =0,求直线 l 的方程 (5)若 OA ? OB =3,求直线 l 的方程
x2 ? y 2 ? 1 交于 A、B 两点, 4

3、已知过点 P(-1,0)的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点。 (1)若|AB|=2,求直线 l 的方程 (3)若 PF ? 2 PB ,求直线 l 的方程

7

(4)若 AP ? 2 PB ,求直线 l 的方程 4、已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,BF a 2 b2

⊥x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是 (A)
3 2

(

)

(B)

2 2

(C)

1 3

(D)

1 2

5、已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于 2

??? ? ??? ? ???? ? 点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =(
A.

) C. 3 D. 3

2

B. 2

【解析】过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题 ??? ? ??? ? 2 意 FA ? 3FB ,故 | BM |? .又由椭圆的第二定义,得 3
| BF |? 2 2 2 ? ? ? | AF |? 2 .故选 A 2 3 3

【答案】A
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双 a 2 b2 ??? ? 1 ???? 曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 2 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,

6、过双曲线

? a2 ab ? a2 ab C, B ? , , C ( ,? ) 则有 ? a ?b a ?b ? a?b a?b ? ??? ? ? ? ab ??? ? ??? ? 2a 2b 2a 2b ??? ab ? 2 2 BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC,?4a ? b ,?e ? 5 . a ?b a ?b ? a ?b a ?b ?
【答案】C
x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方 7、已知双曲线 2 b2

程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 =( A. -12 B. -2 C. 0

) D. 4
8

x2 y 2 8、已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线 a b

交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为 ( A.
6 5

) D.
9 5

B.

7 5

C.

5 8

x2 y 2 【 解 析 】 设 双 曲 线 C: 2 ? 2 ? 1 的 右 准 线 为 l , 过 A、B 分 别 作 A M ? l 于 a b
M , BN ? l 于 N , BD ? AM 于D ,由直线 AB 的斜率为 3 ,知直线 AB 的倾斜

角 60???BAD ? 60?,| AD |?

1 | AB | , 2

由双曲线的第二定义有 ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ??? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 ??? ? ??? ? 1 5 6 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? . e 2 5 【答案】A 9、已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a =(3,-1)共线,求椭圆的离心率

10、已知直线 l:y=kx-2 与抛物线 C:x2=-2Py, (P>0)交于 A、B 两点,O 为坐 标原点, ,求直线 l 和抛物线 C 的方程。 OA ? OB =(-4,-12)

11、设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上的一点,且 2 a2

1 AF2 ? F1 F2 =0,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1| 3 (1)求椭圆的方程。 (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F(-1,0) ,交 y 轴

于点 M,若 i MQ ?| 2QF | ,求直线 l 的斜率。

9

12、已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1) ,点 B 为抛物线上任意一动点,点 P 满 1 足 BP ? BA ,当 B 点在抛物线上运动时,求动点 P 的轨迹方程。 2

13、已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

3 ,过点 C(-1, 3

0)的直线交椭圆于 A、B 两点,且 CA ? 2BC ,求当△AOB 的面积达到最大值时 直线和椭圆的方程。

圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有:①、定点与定值问题;②、最值问 题;③、求参数的取值范围问题;④、对称问题;⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题,应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的相 关知识,将曲线的几何特征转化为数量关系(如方程、不等式、函数等) ,再结 合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论 思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题: 这类问题通常有两种处理方法:①、第一种方法:是从特殊入手,先求出 定点(或定值) ,再证明这个点(值)与变量无关;②、第二种方法:是直接推 理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值) 。 【例题 1】已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点为 F ,过点 F 的动直线与双曲线相交

??? ? ??? ? 0) . 于 A、B 两点,又已知点 C 的坐标是 (1, (I)证明 CA · CB 为常数; (II)若 ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 动点 M 满足 CM ? CA ? CB ? CO (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程.

10

◆解:由条件知 F (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (I)当 AB 与 x 轴垂直时,可求得点 A、B 的坐标分别为 (2,2) , (2, ? 2) ,此

??? ? ??? ? 时则有 CA? CB ? (1 ,2) ? (1 , ? 2) ? ?1.
当 AB 不与 x 轴垂直时, 设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x2 ? y 2 ? 2 , 则有 (1 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 .则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 所以 x1 ? x2 ?
4k 2 4k 2 ? 2 x x ? , ,于是 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

??? ? ??? ? CA? CB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ?1 ?
? (?4k 2 ? 2) ? 4k 2 ? 1 ? ?1.
??? ? ??? ? ∴ 综上所述, CA? CB 为常数 ?1 .
(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? 1) ? ? 4k 2 ? 1 k 2 ?1 k 2 ?1

??? ? ??? ? ???? ? ( II )设 M ( x,y) ,则 CM ? ( x? 1 ,y1 ) , CB ? ( x2 ?1 ,y2 ) , , y) , CA ? ( x1 ?1
???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? x ? 1 ? x1 ? x2 ? 3, ? x1 ? x2 ? x ? 2, 得:? 即? 于是 CB CO ? CO ? (?1 , 0) ,由 CM ?CA ? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y
? x?2 y? AB 的中点坐标为 ? ,?. ? 2 2?

y y y1 ? y2 y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x?2 x1 ? x2 x ? 2 ? 2 x ? 2 2
2 2 又因为 A、B 两点在双曲线上,所以 x12 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 2) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?
y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 x2 ? y 2 ? 4 . x?2

0) ,也满足上述方程.所以点 M 的 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (2,

轨迹方程是 x2 ? y 2 ? 4 .

11

??? ? ??? ? ▲ 点拨:本题中“ CA · CB 为常数”的证明,采用特殊位置“当 AB 与 x ??? ? ??? ? 轴垂直时”可轻易得出 CA · CB = -1;接下来再从一般情况“当 AB 不与 x 轴垂
直时”去加以论证,有了明确的目标,推理计算就要容易得多了! 【例题 2】 已知 A,B 为椭圆
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 的公共顶点,P,Q (a>b>0) 和双曲线 a 2 b2 a 2 b2

→ → → → 分别为双曲线和椭圆上不同于 A,B 的动点,且有AP+BP=?(AQ+BQ)(?∈R,|?|>1), 设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4 为一个定值. → → → → ◆解、点 A(-a,0);B(a,0);∵由AP+BP=?(AQ+BQ),依据向量加法的 平行四边形法则,则有 O、Q、P 三点共线;设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), x12 y12 a2 y1 y1 2x1y1 2 2 则 2 - 2 =1,则 x1 -a = 2·y12;∴ k1+k2 = + = 2 2 a b b x1+a x1-a x1 -a 2b2 x1 = 2· ; a y1 -2b2 x2 x1 x2 同样有 k3+k4= ;由于 = ,∴ 所求的定值为 0。 2 · a y2 y1 y2 ▲ 点拨:本题中的特殊位置难以确定,因而采用直接推理、计算;并逐渐化 简,从而得到其定值为 0。 二、最值问题: 常见解法有两种:几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现 某种几何特征及意义, 或反映出了某种圆锥曲线的定义, 则直接利用图形的性 质或圆锥曲线的定义来求解,这就是几何法;②将圆锥曲线中的最值问 题通过建立目标函数,转化为二次函数或三角函数的最值问题,再充分 利用均值不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。 【例题 3】 、抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则 |PA|+|PF| 最小值是( ) A 6 B 9 C 12 D 16 ▲若将上题中点 A 的条件改为 A(3,1),其它不变,则 应为____ ◆ 解析:由抛物线定义,可知当 A、P、H(如图 1) 三点共线时,|PA|+|PF|最小,其最小值为 9。 ▲条件改动之后,则当 A、P、F 三点共线时(如图 2) , |PA|+|PF|最小,其最小值为 3。 ▲ 点拨: 本题的求解, 主要是扣住了抛物线的定义, 充分挖掘图形的特征, 从而解决所求之问题。运用几何法求解,解答过程简单、明了,但对综合运用图 形的几何性质(或把握曲线定义的灵活运用)的能力要求较高。
12

【例题 4】设 F 是抛物线 G : x2 ? 4 y 的焦点.设 A、B 为抛物线 G 上异于原点的两

??? ? ??? ? 点, 且满足 FA?FB ? 0 , 延长 AF ,BF 分别交抛物线 G 于点 C、 D, 求四边形 ABCD
面积的最小值. ◆解:设 A( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) ;由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性, 不妨设 k ? 0 .
1) ,所以直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 .点 A、C 的坐标满足 因直线 AC 过焦点 F (0,
? y ? kx ? 1, 方程组 ? 2 ? x ? 4 y, ? x1 ? x2 ? 4k, 得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,由根与系数的关系知 ? 则有: ? x1 x2 ? ?4.
AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4(1 ? k 2 ) .

因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ? 求 得

1 1 ,从而 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 .同理可 k k

? ? 1 ?2 ? BD ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? k? ? ? ?

? k2 k2

4



(

1 ∴

)

S ABCD ?

1 8(1 ? k 2 )2 1 AC BD ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ≥ 32 .当 k ? 1 时,等号成立.所以, 2 2 k k

四边形 ABCD 面积的最小值为 32 . ▲ 点拨:本题首先通过计算,建立好四边形 ABCD 面积的函数表达式,然后根 据其函数特征,转化出均值不等式的形式,再利用均值不等式求出其最小值。 【例题 5】在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. ( 1 )求圆 O 的方程; ( 2 )圆 O 与 x 轴相交于 A 、 B 两点,圆内的动点 P 使 ??? ? ??? ? PA , PO , PB 成等比数列,求 PA?PB 的取值范围. ◆解: ( 1 )依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离,即
r? 4 ? 2 ; 得 圆 O 的 方 程 为 x2 ? y 2 ? 4 . ( 2 ) 不 妨 设 1? 3

0) B(2, 0) . A( x1,, 0) B( x2,, 0) x1 ? x2 .由 x 2 ? 4 即得 A(?2,,


(x ?
2

P( x,y)
2 ? )? y2


x? (


2

P , A

, P

等 B比 O成 P
? y2









2 ? y 2) , ? x 2

13

??? ? ??? ? 即 x2 ? y 2 ? 2 . PA?PB ? (?2 ? x, ? y)? (2 ? x, ? y) ? x2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ?1). 由于点
??? ? ??? ? ? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 P 在圆 O 内,故 ? 2 PA ? PB 0) . 由此得 .所以 的取值范围为 [?2, y ? 1 2 ? ? x ? y ? 2. ??? ? ??? ? ▲ 点拨:本题同样是先通过计算,建立好“ PA?PB ”的函数表达式,然

后依据“点 P 在圆 O 内” ,得出相应的约束条件“ y 2 ? 1 ” ,从而得出所求。 三、求参数的取值范围范围问题: 求参数的取值范围问题, 常用的解决方法有两种: ①、 第一种是不等式 (组) 求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过解不等 式(组)再得出参数的变化范围;②、第二种?是函数的值域求解法:把所讨 论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 【例题 6】 、若圆 x2+(y-1)2= 1 上的任一点 P(x,y),有不等式 x+y+c≥0 恒成立, 则 c 的取值范围是_____

? x ? cos ? ◆解:可设 ? ? y ? sin ? ? 1 ;则有 cos?+sin?+1+c≥0 恒成立,即有 c≥

-(cos?+sin?+1)恒成立,

∴ c≥ 2 -1 为所求。

▲ 点拔:本题通过圆的参数方程进行三角代换,将所求问题转化成求三 角函数的最值的问题,从而简捷易解。
0) , ★ 【例题 7】 (2007 年福建高考题· 14 分) 如图, 已知 F (1, 直线 l : x ? ?1 ,
l y

P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q ,且

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? .Q QP ?QF ? F ?P F
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M .

F

?1 O

1

x

???? ??? ? ???? ??? ? (1)已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;
???? ???? (2)求 MA ?MB 的最小值.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ◆解析: (Ⅰ)由 QP? QF ? FP?FQ 得: FQ? ( PQ ? PF ) ? 0 ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ?( PQ ? PF )? ( PQ ? PF ) ? 0 ,? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF .

所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4x .

???? ??? ? ???? ??? ? (Ⅱ) 、 (1) : 由 已 知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , 得 ?1 ? ?2 ? 0 . 则 :

14

???? MA ?1 ???? ? ? MB ?2

??? ? AF ??? ? .…………① BF

过 点 A,B 分 别 作 准 线 l 的 垂 线 , 垂 足 分 别 为 A1 , B1 , 则 有 : ???? ???? ??? ? MA AA1 AF ???? ? ???? ? ??? ? .…………②; MB BB1 BF ??? ? ??? ? y AF ?1 AF 由①、②得: ? ??? ? ? ??? ? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ?2 BF BF P Q (Ⅱ) 、 (2) :设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) .
? y 2 ? 4 x, 2? ? 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1, , ? ? ,联立方程组 ? m? ? ? x ? my ? 1,
O A B

F

x

M

? y ? y2 ? 4m, 消去 x 得: y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m)2 ? 12 ? 0 , ? 1 ? y1 y2 ? ?4. 2 ???? ???? 2 ∴ MA ?MB ? 1 ? m 2 y1 ? yM y2 ? yM ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? yM ( y1 ? y2 ) ? yM

?

?

? (1 ? m2 ) ?4 ?

2 4 ? 4m ? 2 m m

4 ? ? ? (1 ? m2 ) ? 4 ? 2 ? m ? ?

? 4(2 ? m 2 ?

? ? 1 2 1 ) ≥ 4 2 ? 2 m ? ? ? ? 16 . ? m2 m2 ? ? ?

当且仅当 m 2 ?

???? ???? 1 m ? ? 1 MA ?MB 最小值为 16 . ,即 时等号成立,所以 m2

▲ 点拨:本题中“求 ?1 ? ?2 的值” ,首先是建立好条件不等式组,再化简 计算得出所求。 四、对称问题: 包括两种情形:①、中心对称问题:常利用中点坐标公式求解;②、轴对 称问题:主要抓住以下两个条件去处理-----?垂直,即已知点与对称点的连 线与对称轴垂直;?中点,即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。 1 1 【例题 7】如图, 直线 y= x 与抛物线 y= x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂 2 8 直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点. (1) 求点 Q 的坐标;(2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含点 A、B) 的动 点时, 求△OPQ 面积的最大值.

15

◆解析:(1) 解方程组

? y= ? ? ? ? y= ? ?

1 x 2 1 2 x -4 8

? x1 ? ?4 ? x2 ? 8 得 ? 或者 ? ; ? y1 ? ?2 ? y2 ? 4

即 A(-4,

-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1). 程 y-1=
1 (x-2). 2 令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5)

由 kAB==

1 ,直线 AB 的垂直平分线方 2

(2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x,

1 2 x -4). 8

∵点 P 到直线 OQ 的距离;

1 x ? x2 ? 4 1 8 x 2 ? 8 x ? 32 , ∴ d= = 8 2 2
OPQ

OQ ? 5 2 ,∴SΔ

=

1 5 OQ d = x 2 ? 8 x ? 32 . 2 16

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, -4 或 4 3 -4<x≤8.

∴-4≤x<4 3

∵函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, 且当 x=-4 时,|x2+8x- 32|=48 当 x=8 时,|x2+8x-32|=96 5 ∴当 x=8 时, ΔOPQ 的面积取到最大值 ? 96 ? 30 . 16 ▲ 点拨: 本题中 “直线 AB 的垂直平分线方程” 的求解, 主要是抓住两个条件(1)、 垂直; (2) 、中点;从而完成所求。
y

【例题 8】 、在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p) 作直线与 抛物线 x2 ? 2 py ( p ? 0 )相交于 A,B 两点. (I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的 最小值; (II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆 截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.
? p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , ◆解析: (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0,
? x 2 ? 2 py, 直线 AB 的方程为 y ? kx ? p ,与 x2 ? 2 py 联立得 ? 消去 y 得 ? y ? kx ? p.
y A O N x B C

x ? 2 pkx ? 2 p ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1x2 ? ?2 p .于是
2 2

2

B
16

l

A

O?

C O

x

1 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2
? p 4 p 2 k 2 ? 8 p 2 ? 2 p 2 k 2 ? 2 ,∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .

(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a , AC 的中点为 O? ,
l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,则 O?H ? PQ , Q? 点的坐

?x y ? p? 标为 ? 1 , 1 ?. 2 ? ?2
∵ O?P ? 1 1 2 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 2 2 2



O?H ? a ?

y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2
2 2

∴ PH ? O?P ? O?H ?

2

1 2 1 p? ? ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 4 4 2? ?

p p ?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 令 a ? ? 0 , 得 a ? , 此 时 2 2 2? ?? ?

为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? PQ? p

p ,即抛物线的通径所 2

在的直线. ▲ 点拨:本题中“点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点” ,利用中点坐 标公式,很快就得出点 N 的坐标了。 五、实际应用问题: 此类问题要建立好平面直角坐标系,建立好数学模型,实现应用问题向数学 问题的转化。 ★ 【例题 9】如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的 北偏东 30°方向 2 km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点 到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km。现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座 码头,向 B、C 两地转运货物。经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用 分别是 a 万元/km、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(2 7 -2)a 万元 C.(2 7 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 3 +3) a 万元

◆解析:这是福建省 2004 年的一道高考题。 ① 、首先,建立如图所示的直角坐标系,则点 A(-2,0) ,B(2, 0) ,C(3, 3 ) ; ②、 PQ 曲线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支,其轨迹方程为:
17

x2 ?

1 y2 ? 1( x ? 0) ,其离心率为 e=2,准线方程为 x= 2 3

③、 考查修建这两条公路的总费用 y =|MB|·a+|MC|·2a=(|MB|+2·|MC|)·a,由于点 B 为曲线的焦点,则有 |MB| = |MH|

e = 2,则|MB|=2·|MH|,从而有 y =(2·|MH|+2·|MC|)·a=(|MH|+|MC|)·2a, 1 由图显然可知,当 H、M、C 三点共线时,y 费用最少,最少费用为(3- )×2a = 2 5a 万元;所以本题选(B) 。 ▲ 点拨:本题首先要建立好平面直角坐标系, 再依据双曲线的第二定义去 转化所求,从而得出答案。 总之,圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下: 1、 直线与圆锥曲线的位置关系: ① 、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常把直线方程与圆锥曲线方 程联立,消去 y(或消去 x)得到关于 x(或关于 y)的一元二次方程,再 考查其△,从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数: (1)若△<0,则直线 与圆锥曲线没有公共点;②若△=0,则直线与圆锥曲线有唯一的公共点; ③若△>0,则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点; ② 、 从几何角度来看: 直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交 (有两个交点) 、 相切(有一个公共点) 、相离(没有公共点)三种情况;这里特别要注意的 是:当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时, 属于相交的情况,但只有一个公共点。 2、 直线被圆锥曲线截得的弦长问题: ①、直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,一般将直线方程 L: y=kx+m 代入曲线方程整理后得到关于 x 的一元二次方程?则应用弦长公式: |AB|= (1 ? k 2 ) [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ;或将直线方程 L:x= 后得到关于 y 的一元二次方程?则应用弦长公式: |AB|= (1 ? 1 y +t 代入曲线方程整理 k

1 ) [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ; 2 k

②、过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷; ③ 、垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双 2b2 曲线的通径长都为 ,而抛物线的通径长为 2p; a ④ 、对于抛物线 y2=2px(p>0)而言,还有如下的焦点弦长公式,有时用起来 2p 很方便:|AB|=x1+x2+p;|AB|= 2 (其中?为过焦点的直线 AB 的倾斜角) sin ?

18

直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种: ①、设直线方程为 y=kx+m,代入到圆锥曲线方程之中,消元后得到一元 二次方程, 再利用根与系数的关系去处理 (由于直线方程与圆锥曲线方程均未定, 因而通常计算量较大) ; ②、利用点差法:例如在椭圆
x2 y 2 ? ? 1 内有一定点 P(x0,y0),求以 P 为中点的 a 2 b2

3、

弦的直线方程时,可设弦的两端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,则 A、B 满足椭圆方

? x12 y12 ? ?1 ? (x1+x2) (x1-x2) (y1+y2) (y1-y2) ? a 2 b2 程, 即有 ? 2 两式相减再整理可得: = ; 2 2 a b2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? ? a 2 b2
从而可化出 k= y1-y2 (x1+x2) -b2 x0 -b2 = · 2 = · 2; x1-x2 (y1+y2) a y0 a

y1-y2 (x1+x2) b2 x0 b2 对于双曲线也可求得:k= = · = · ;抛物线也可用此法去求 x1-x2 (y1+y2) a2 y0 a2 解,值得注意的是,求出直线方程之后,要根据图形加以检验。 4、 解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是: ①、解决焦点弦(过圆锥曲线的焦点的弦)的长的有关问题,注意应用圆锥曲线 的定义和焦半径公式; ②、 已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时, 通常利用待定系数法; ③、 圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题,解决此类问题的方法是利用圆锥 曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直, 则圆锥曲线上两点的中点一定在对称 直线上,再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。

例 2.已知直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 A、 B。 (1)求实数 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆 经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由。 解析:(1)将直线 的方程 得 代入双曲线 C 的方程 后,整理

19

① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A、B, 设 则 且 ;



且 解联立不等式组得 k 的取值范围为(-2, )。

(2)假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c, 0),则 FA⊥FB,

所以 即 又 代入前式整理得 ,





代入,化简得

解得





不合,舍去。

20

所以

符合题意。

注:用斜率的关系是解决两直线垂直的有力武器,不可忽视。 例 3.设点 A 和 B 为抛物线 上原点以外的两个动点, 已知 OA⊥OB, OM⊥AB 于 M,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。 解析:依题意,设 ,则

。 又 OA⊥OB,得

即 化简得 。

而 所以直线 AB 的方程为



。 令 y=0, 并将 代入得 , 即直线 AB 与 x 轴交于定点 Q (4p, 0) 。 又 OM⊥AB,由平面几何知识得:动点 M 的轨迹是以线段 OQ 为直径,以点(2p, 0)为圆心的圆,其方程为

注:利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策 略。
x2 已知双曲线 ? y 2 ? 1, P 是双曲线上一点. 4

(1)求证 P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值;

21

(2)已知点 A(3,0) ,求 PA 的最小值. (9 分)

22



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