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河南省商丘市八校2014-2015学年高一数学下期期中联考试题



2014—2015 学年度下学期期中联考试题 高一数学
本试卷分试题卷和答题卡两部分,试题卷共 4 页,答题卡共 6 页.请按要求把答案涂、写在答题卡规 定的范围内,超出答题框或答在试题卷上的答案无效.满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.考试结束只 ..... 收答题卡 . .... 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题

5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) (1) tan 690 的值为 (A) ?
?

3 3

(B)

3 3

(C) 3

(D) ? 3

(2 )已知向量 a ? (4, 2) ,向量 b ? ( x,3) ,且 a ∥ b ,则 x 等于 (A) 9 (B) 6 (C) 5 (D) 3

?

?

?

?

(3)函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 (A) 2? (B) 4? (C)

? 4

(D)

? 2

(4)已知 a ? (sin 55? ,sin 35? ) , b ? (sin 25? ,sin 65? ) ,则 a ? b ?

?

?

? ?

(A) sin10

?

(B)

1 2

(C)

3 2

(D) ?

1 2

(5)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,则 BN ? (A)

uu u r

r uuu r

r uuu r

uuu r

uuu r

3r 1r b? a 4 4
3r 1r b? a 4 4

(B)

1r 3r b? a 4 4
1r 3r b? a 4 4

(C)

(D)

(6)已知 ? ? ( (A)

?
2

, ? ) , sin ? ?

3 ? ,则 tan(? ? ) 等于 5 4
(C) ?

1 (D) ?7 7 ? ? ? ? ? ? ? (7)若 a ? 1 , b ? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角是
(B) 7 (A) 30
?

1 7

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 75

?

1

(8)若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
(C)

(A)

15 3

(B) ?

15 3

5 3

(D) ?

5 3

(9)已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , | a | ? 3 , | a ? b | ? 13 ,则 | b | 等于 (A) 5 (B) 5 (C) 4 (D) 2

?

?

?

? ?

?

(10)将函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的图象沿 x 轴方向向左平移

? 个单位,所 3

得曲线的一部分图象如下图,则 ? , ? 的值分别为 (A) 1 ,

? 3 ? 3

(B) 1 , ? (D) 2 , ?

?
3

(C) 2 ,

?
3

(11)函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? (A) ?2 (B) 3

?
6

) 的最小值为
(C) 1 (D) ? 3

(12)函数 y ? sin x 定义域是 [ a, b] ,值域是 [ ?1, ] ,则 b ? a 的最大值与最小值之和是 (A)

1 2

4? 3

(B) 2?

(C)

8? 3

(D) 4?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分) (13)已知扇形的圆心角为 60 ,其弧长为 2? ,则此扇形的面积为
?

. .

(14)已知向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (1,cos ? ) ,则 | a ? b | 的最大值为

?

?

? ?

(15)已知 P 是直线 BC 上异于 B , C 的任意一点, O 是直线 BC 外的任意一点,若存 在实数 x , y 使得 OP ? xOB ? yOC ,则 x ? y ? (16)对于函数 f ( x) ? 3sin(2 x ?

??? ?

??? ?

??? ?



?
6

) ,给出下列命题:
②图像关于直线 x ? ④函数在区间 [ ?

①图像关于原点成中心对称; ③函数 f ( x) 的最大 值是 3 ;

?
6

对称;

? ?

, ] 上单调递增. 4 4
2

其中所有正确命题的序号为



三、解答 题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17) (本小题满分 10 分) 已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a 与 b 的夹角为 120? . (Ⅰ)求 2a ? b ? a ? 3b 的值; (Ⅱ)当实数 x 为何值时, xa ? b 与 a ? 3b 垂直? (18) (本小题满 分 12 分) 已知 cos ? ? ?

r

r

r

r

?

r

r

??

r

r

?

r

r

r

r

3? 5 ). , ? ? (? , 2 5

(Ⅰ)求 sin ? 的值;

sin(? ? ? ) ? 2sin(
(Ⅱ)求

3? ??) 2 的值. cos(3? ? ? ) ? 1

(19) (本小题满分 12 分) 在四边形 ABCD 中,已知 BC // AD, AB ? (6,1), BC ? ( x, y), CD ? (?2, ?3) . (Ⅰ)求用 x 表示 y 的关系式; (Ⅱ)若 AC ? BD ,求实数 x , y 的值. (20) (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? cos (? x ? ? ) ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

为 ? ,且 f ( ) ?

?

1 ? , (? ? 0, 0 ? ? ? ) .若 f ( x) 的最小正周期 2 2

8

1 . 4

(Ⅰ)求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?

? ? 13? ? 上的最小值和最大值. , ? 24 24 ? ?

(21) (本小题满分 12 分) 已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) (0 ? ? ? 且 | a ? b |?

?

?

?
2

,?

?
2

? ? ? 0)

? ?

2 5 . 5

(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值;
3

(Ⅱ)若 cos ? ?

12 ,求 cos ? 的值. 13

(22) (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos

??

? ?? ? x x x x , 3 cos ) , n ? (sin , cos ) , f ( x) ? m ? n . 3 3 3 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果先将 f ( x ) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,再保持纵坐标不变,横坐标 变为原来的

1 倍,得到函数 g ( x) 的图象,若 g ( x) 为偶函数,求 ? 的最小值. 3

4

2 01 4 — 20 15 学 年 度 下 学 期 期 中 联 考 高一数学参考答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) (1)A (7)B (2)B (8)A (3)D (9)C (4)C (10)D (5)C (11)D (6)A (12)B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13) 6? (14) 2 (15) 1 (16)②③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) (17)解: (Ⅰ)由题意知 a ? b ? a b ? cos120? ? ?3 , a ? a ? 4 , b ? b ? 9 ……………2 分 ∴ (2a ? b) ? (a ? 3b) ? 2a ? 5a ? b ? 3b ? 8 ? 15 ? 27 ? ?34 ……………………5 分 (Ⅱ)∵ ( xa ? b) ? (a ? 3b) ? xa ? (3x ?1)a ? b ? 3b

? ?

? ?

?2

?2

?2

?2

? ?

?

?

?2

? ?

?2

? ?

?

?

?2

? ?

?2

? 4 x ? 3(3x ? 1) ? 27 ? ?5x ? 24 ……………………………………………………7 分
又∵ xa ? b 与 a ? 3b 垂直,∴ ?5 x ? 24 ? 0 得 x ? ? (18)解: (Ⅰ)∵ cos ? ? ?

? ?

?

?

24 …………………………10 分 5

4 5 , sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,∴ sin 2 ? ? ………………………………2 分 5 5 3 2 5 ∵ ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? 0 ,∴ sin ? ? ? .…………………………………6 分 2 5 2 5 2 5 ? ? sin ? ? 2 cos ? 5 5 ? 5 ? 1 .…………… …………… ………12 分 ? (Ⅱ)原式= ? cos ? ? 1 5 ?1 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (19)解: (Ⅰ) AD ? AB ? BC ? CD ? (4 ? x, ?2 ? y) ………………………………………………2 分 ??? ? ???? ? BC / / AD ? x(?2 ? y) ? y(4 ? x) ……………………… ……………………4 分 1 ? y ? ? x ……………………………………………………………………………6 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ) AC ? AB ? BC ? ( x ? 6, y ? 1) ………………………………………………………7 分 ??? ? ??? ? ??? ? BD ? BC ? CD ? ( x ? 2, y ? 3) ………………………………………………………8 分 ??? ? ??? ? ? AC ? BD ? ( x ? 6)( x ? 2) ? ( y ? 1)( y ? 3) ? 0 ……………………………10 分 ?x ? 2 ? x ? ?6 1 又? y ? ? x ,? ? 或? ……………………………………………12 分 2 ? y ? ?1 ? y ? 3
2 (20)解: (Ⅰ) f ( x) ? cos (? x ? ? ) ?

1 1 1 1 ? ?1 ? cos(2? x ? 2? ) ? ? ? cos(2? x ? 2? ) ………2 分 2 2 2 2 2? ? ? , ? ? ? 1.………………………………3 分 ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,? 2?
5

? 1 ? 1 ? ? ? 5 ? f ( ) ? , ? cos( ? 2? ) ? , ? 0 ? ? ? ,? ? ? 2? ? ? , 8 4 4 2 2 4 4 4 ? ? ? ? ? 2? ? , ? ? ? …………………………………………………………6 分 4 3 24 ? 13? ? ? 7? ?x? (Ⅱ)? ? ? 2x ? ? 24 24 6 12 6
? ?1 ? cos(2 x ?

?
12

)?

3 1 3 ,即 ? ? f ( x) ? …………………………………8 分 2 2 4

? 当 2x ?
当 2x ?

?
12

?

?
6

即x ?

?
24

时, f ( x) 取得最大值

3 ……………………………10 分 4

?
12

?? 即x ?

11? 1 时, f ( x) 取得最小值 ? ……………………………12 分 24 2
(cos ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2

(21)解: (Ⅰ)由 | a ? b |?| cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? | ?

? ?

? 2 ? 2cos(? ? ? ) ?
(Ⅱ)? 0 ? ? ?

2 5 5

? cos(? ? ? ) ?

3 …………………………………6 分 5

? ? ? 0 ? ? ? ? ? (0, ? ) , 2 4 5 , sin ? ? ? ……………………………………………………8 分 ? sin(? ? ? ) ? 5 13 2 ,?

?

?

? cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?
3 12 4 5 56 ? ? ? ? (? ) ? ……………………………………………………12 分 5 13 5 13 65
(22)解: (Ⅰ) f ( x) ? cos

x x x 1 2x 3 2x 3 sin ? 3 cos 2 ? sin ? cos ? 3 3 3 2 3 2 3 2 2x ? 3 ………………………………………………………………2 分 ? )? 3 3 2
?

? sin(
由 2 k? ?

2x ? ? 5? ? ? ? 2k? ? ,得 3k? ? ? x ? 3k? ? (k ? Z ) 2 3 3 2 4 4 5? ? ,3k? ? ] (k ? Z ) ……………………4 分 ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [3k? ? 4 4 ? 2x ? 3? ? 7? ? ? 2 k? ? (k ? Z ) 由 2 k? ? ? ,得 3k? ? ? x ? 3k? ? 2 3 3 2 4 4 ? 7? ](k ? Z ) ……………………6 分 ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [3k? ? ,3k? ? 4 4
(Ⅱ)由题意图象变换,得 g ( x) ? sin(2 x ? ? ? ∵ g ( x) 是偶函数,∴ ? ?

?

2 3

?
3

)?

3 ……………… …………………8 分 2

2 3

?
3

? k? ?

?
2

,? ?

3k? ? ? , k ? Z ……………………10 分 2 4
6

∵ ? ? 0 ,∴当 k ? 0 时, ? 有最小值

? ………………………………………………12 分 4

7



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