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高中数学说题



题目:求函数 y ? 1 - x ? 3 ? x

的最值

一该题选自 2012 年江苏南通数学模拟卷,主要考查学生的 观察与归纳、函数与方程、数与形等知识能力。

二、题目分析:该题的隐含条件和潜在信息 1] 且 1-x+3+x=4.

定义域为[-3

三、解题方法: 1、求

导法 2、平方法 3、三角代换法 4、数形结合法 利用函数单调性

一、求导法 想到求最值,最容易想到利用函数单调性来求。 依题意可知

y ? 1- x ? 3 ? x

的定义域为[-3

1]

且可求函数的导函数为

y' ? 1 / 2 3 ? x ? 1 / 2 1 ? x

令 y' ? 1 / 2 3 ? x ? 1 / 2 1 ? x ? 0

得 x=-1,显然函数在[-3

-1)单调递增,在(-1

1]处单调递

减, 所以在 x=-1 处取得极值, 我们都知道函数的最值在极值

处或端点处取得,又因为当 x=-3 时 y=2

x=-1 时 y= 。

2 2
二、平方法 把

x=1 时

y=2.

所以函数的最值为 2 2

y ? 1- x ? 3 ? x
2

两边同时平方得
2

y

? 1 ? x ? 3 ? x ? 2 1 ? x 3 ? x ? 4 ? 2 ? ( x ?1 ) ?4

,因为函数

y ? 1 - x ? 3 ? x 的定义域为[-3 1],所以
2 2

根据二次函数的性质可得函数的最值为

三、三角换元法

注意到 令 =

( 1- x )

2

?(

3 ? x ? 2 sin ?

3? x ) ? 4 所以可以令 1- x ? 2 cos? ? ,其中 ? ? [0 ],于是 1 - x ? 3 ? x
2
=
2 2 sin(

2

2 cos ?

+ 2 sin ?

?
4

?? ?

,所以当 ? ? ?

时有最大值

2 2

4

四、数形结合法 注意到

( 1- x )

2

?(

3? x )

2

?4

很像一个圆,所以令 ?

? 1- x

、 ? ? 3 ? x ,所以原题可变为 求 y ? ? ?? 我们可以将 y 函数的截距,如图所示: 很明显函数的最大值为

的最大值。

2 2

总结:在这些方法中涉及到了函数与方程、数形结合、三角

换元等数学思想。 变式 1、求
f ( x) ?

x
x
2

2

? 2x ? 2

x ?5 x?4

2

的最小值。

2 、求 f ( x) ?

? 6 x ? 13 ?

x

2

? 4 x ? 5 的值域。



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