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常用逻辑用语



第一部分 常用逻辑 用语

知识网络
四种命题
命题及其关系
充分条件与必要条件

用常 语用 逻 辑
简单的逻辑联结词



并集


非 量词

交集
补集

运算

/>
全称量词 存在量词

全称量词与存在量词

含有一个量词的否定

概念与规律总结
? (1)命题的结构 ? 命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 ? “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联 结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题; 由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、 “非”构成的命题是复合命题 ? 构成复合命题的形式:p或q(记作p∨q);p且 q(记作p∧q);非p(记作┑q)

概念与规律总结
? ? ? ? ? ? ? (2)命题的四种形式与相互关系 原命题:若P则q; 逆命题:若q则p; 否命题:若┑P则┑q; 逆否命题:若┑q则┑p 原命题与逆否命题互为逆否,同真假; 逆命题与否命题互为逆否,同真假;

概念与规律总结
? (3)命题的条件与结论间的属性 ? 若p ?q,则p是q 的充分条件,q是p的必要条 件,即“推出人者为充分,被人推出者为必 ? ? 要”。 ? 若p ? q,且q ? p,则p是q的充分不必要条件。 ? 若p ? q,且q ? p,则p是q的必要不充分条件。 ? 若p q,且q p,则p是q的充要条件。

概念与规律总结
? (4)“或”、“且”、“非”的真值判断 ? “﹃p”形式复合命题的真假与P的真假相反; ? “p∧q”形式复合命题当P与q同为真时为真, 其他情况时为假; ? “p∨q”形式复合命题当p与q同为假时为假, 其他情况时为真.

概念与规律总结
? (5)全称量词与存在量词 ? 全称量词:所有的,一切,全部,都,任意一个, 每一个等; ? 存在量词:存在一个,至少有一个,有个,某个, 有的,有些等; ? 全称命题P:??M, p(x) 否定为? P: ??M, ? P(x) ? 特称命题P:??M, p(x) 否定为? P: ??M, ? P(x)

概念与规律总结
? (6)反证法是间接证法的一种 ? 假设为真,即不成立,并根据有关公理、 定理、公式进行逻辑推理,得出矛盾. ? 因为公理、定理、公式正确,推理过程也 正确,产生矛盾的原因只能是“假设为 真”,由此假设不成立,即“为真”.

题型分类
题型一 四种命题及其关系

深度剖析

例 1 设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”, 写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它 们的真假. 思维启迪 先分清原命题的大前提,命题的条件和结
论;再写其他命题.



“当 c>0 时”是大前提,写其他命题时应该保留,

原命题的条件是 a>b,结论是 ac>bc.因此它的逆命题: 当 c>0 时,若 ac>bc,则 a>b.它是真命题; 否命题:当 c>0 时,若 a≤b,则 ac≤bc.它是真命题; 逆否命题:当 c>0 时,若 ac≤bc,则 a≤b.它是真命题.

题型二

充分、必要、充要条件的概念与判断

例 2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不 必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0.
思维启迪 首先分清条件和结论, 然后根据充要条件的

定义进行判断.



(1)在△ABC 中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,

若 sin A=sin B, 因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三 个内角和为 180° ),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条 件. (2)易知,綈 p:x+y=8,綈 q:x=2 且 y=6,显然 綈 q?綈 p,但綈 p?綈 q,即綈 q 是綈 p 的充分不必要 条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充 分不必要条件. (3) 显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B ,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件. (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2, 所以 p?q 但 q?p,故 p 是 q 的充分不必要条件.

题型分类
题型一

深度剖析

含有逻辑联结词命题的真假判断

例 1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、 “綈 p”形式的复合命题,并判断真假. (1)p:1 是质数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对 角线互相垂直; (3)p:5≤5;q:27 不是质数.
解 (1)p 为假命题,q 为真命题.

p∨q:1 是质数或是方程 x2+2x-3=0 的根,真命题. p∧q: 1 既是质数又是方程 x2+2x-3=0 的根, 假命题. 綈 p:1 不是质数,真命题.

(2)p 为假命题,q 为假命题. p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,假命题. p∧q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,假命题. 綈 p:有些平行四边形的对角线不相等,真命题. (3)p 为真命题,q 为真命题, ∴p∨q:5≤5 或 27 不是质数,真命题. p∧q:5≤5 且 27 不是质数,真命题. 綈 p:5>5,假命题.

第二部分
? 内容 ? 结构

统计案例
背 景
独立性检验 线性回归分析

(1)独立性检验;(2)回归分析。

抽 取 样 本
提出统计假设 运 用 ?2 检 验

抽 取 样 本
提出统计假设 运 用r检 验

作出统计推断

? 重点
(1)用?2统计量判断两个分类变量之间是否存在一定的关系; (2)两个数值型变量之间线性回归方程的建立及模型的可靠性。

? 难点
(1)?2的意义及推导; (2)相关系数r的意义。

§10.4 统计案例 基础知识 自主学习
要点梳理 1.回归分析 (1)定义:对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析 的一种常用方法. (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1, y1), (x2, y2), ?, (xn,yn),其回归直线 y=bx+a 的斜率和截距的最小 二乘法估计分别为: ∑ ?xi- x ??yi- y ? ^ ^ i =1 b = ,a = y - b x . n 2 ∑ ?xi- x ? =
^ i 1 n

1n 1n 其中 x = ∑ x,y= ∑ y ,( x , y )称为样本点的中心. ni = 1 i ni = 1 i

(3)相关系数 ①r=
i 1 n

∑ ?xi- x ??yi- y ? =
2 n i 1

n

2 ∑ ? x - x ? ∑ ? y - y ? i i = = i 1 n



; 2 2 2 2 ?∑ x i -n x ??∑yi -n y ? = =
n n i 1 i 1

∑ xiyi-n x y =
i 1

②当 r>0 时,表明两个变量 正相关 ; 当 r<0 时,表明两个变量 负相关 . r 的绝对值越接近于 1,表明两个变量的线性相关性 越强 .r 的绝对值越接近于 0,表明两个变量之间几乎 不存在线性相关关系 .通常|r|大于 0.75 时,认为两个 变量有很强的线性相关性.

2.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所 属的 不同类别 ,像这类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称 为列联表.假设有两个分类变量 X 和 Y,它们 的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本 频数列联表(称为 2×2 列联表)为

2×2列联表
y1 a c a+c y2 b d 总计 a+b c+d

x1 x2 总计

b+d a+b+c+d

2 n ? ad - bc ? 构造一个随机变量 K2= ,其中 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

n=a+b+c+d 为样本容量.
(3)独立性检验 2 K 利用随机变量 来判断“两个分类变量 有关系 ” 的方法称为独立性检验.

[难点正本

疑点清源 ]

独立性检验是本节内容的重点.独立性检验的一般 步骤为:(1)根据样本数据制成 2×2 列联表;(2)根 据公式计算 K2 的值;(3)比较 K2 与临界值的大小关 系作统计推断. 值得注意的是,使用 K2 统计量作 2×2 列联表的独 立性检验时,要求表中的 4 个数据都要大于 5,所 以,在选取样本容量时一定要注意.

基础自测 1.相关系数度量( A ) A. 两个变量之间线性相关关系的强度 B.散点图是否显示有意义的模型 C.两个变量之间是否存在因果关系 D.两个变量之间是否存在关系
解析 相关系数来衡量两个变量之间线 性相关关系的强弱.

3.已知 x,y 之间的数据如表所示,则回归直线过点( C ) 1 2 3 4 5 x 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 y A.(0,0) B.(2,1.8) C.(3,2.5) D.(4,3.2)
解析 1+2+3+4+5 x= =3, 5

1.2+1.8+2.5+3.2+3.8 y= =2.5. 5 ∴样本点中心为(3,2.5).回归直线过样本点中心.

4.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 1 671 人,经过计算 K2 的观测值 k=27.63, 根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与 有关 的(有关,无关). 患心脏病是________
解析 由观测值 k=27.63 与临界值比较, 我们 有 99.9%的把握说打鼾与患心脏病有关.

5.①若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大;②若 r<0, 则 x 增大时,y 也相应增大;③若 r=1 或 r=-1, 则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点图上 各个点均在一条直线上. 上面是关于相关系数 r 的几种说法, 在上面的说法中, ①③ . 所有正确的序号是________

解析

若 r>0,表示两个相关变量正相关,x 增大时,y

也相应增大,故①正确;r<0,表示两个变量负相关, x 增大时,y 相应减小,故②错误; |r|越接近 1 ,表示 两个变量相关性越高,|r|=1 表示两个变量有确定的关 系(即函数关系),故③正确.

题型分类

深度剖析

题型一 线性回归分析 例 1 假设关于某种设备的使用年限 x(年)与所支出的维修 费用 y(万元)有如下统计资料: 2 3 4 5 6 x y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
5 5 2 2 已知∑ xi =90,∑ yi =140.8,∑ xiyi=112.3, = = = i 1 i 1 i 1 5

79≈8.9,

2≈1.4. (1)求 x , y ; (2)对 x,y 进行线性相关性检验; (3)如果 x 与 y 具有线性相关关系,求出线性回归方程; (4)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少?

思维启迪:(1)先根据已知计算相关系数 r,判断是否具有相关关系. (2)再利用公式求出回归方程进行回归分析.
2+3+4+5+6 解 (1) x = =4, 5 2.2+3.8+5.5+6.5+7.0 y= =5. 5 (2) ∑ xiyi-5 x y =112.3-5×4×5=12.3, =
2 2 2 ∑ x i -5 x =90-5×4 =10, = 2 2 ∑ y i -5 y =140.8-125=15.8, = i 1 i 1 5 5 i 1 5

12.3 12.3 12.3 12.3 ∴r= = = ≈ ≈0.987. 158 2× 79 1.4×8.9 10×15.8 ∵r>0.75, 所以认为 x 与 y 之间具有线性相关关系,求线性回归方程是有 意义的.

∑ xiyi-5 x y 112.3-5×4×5 i=1 (3)b = 5 2 = =1.23, 2 2 90-5×4 ∑ x i -5 x =
^

5

a = y -b x =5-1.23×4=0.08, 所以线性回归方程为y =1.23x+0.08. ^ (4)当 x=10 时,y =1.23×10+0.08=12.38(万 元) , 即估计使用年限为 10 年时, 维修费用约为 12.38 万元.
^

^

i 1 ^

探究提高 在解决具体问题时,要先进行相关 性检验,通过检验确认两个变量是否具有线性 相关关系.若它们之间具有相关关系,再求回 归方程,否则,即使求出回归方程也是毫无意 义的,而且用其估计和预测的量也是不可信 的.

变式训练 3 (2010· 辽宁)为了比较注射 A, B 两种 药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做 试验, 将这 200 只家兔随机地分成两组, 每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的试验结 果.(疱疹面积单位:mm2)
表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 30 40 20 10 频数 表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 面积 10 25 20 30 15 频数

(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药 物后疱疹面积的中位数大小; 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

(1)

注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

(2) (2)完成下面 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的 把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

表 3: 疱疹面积 小于 70 mm2 注射药 物A 注射药 物B 合计 a= c= 疱疹面积 不小于 70 mm2 b= d= n= 合 计

2 n ? ad - bc ? 附:K2= . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k) k

0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

解 (1)如图所示. 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直 方图

(1)

注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布 直方图

(2)

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数 在 65 至 70 之间, 而注射药物 B 后的疱疹面积 的中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后 疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面 积的中位数.

(2)表 3: 疱疹面积 小于 70 mm2 注射药 物A 注射药 物B 合计 a=70 c=35 105 疱疹面积 不小于 70 mm2 b=30 d=65 95 合计 100 100 n= 200

2 200 × ? 70 × 65 - 35 × 30 ? K2= ≈24.56. 100×100×105×95 由于 K2>10.828,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积 与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

第 三部分
1.流程图
(1)程序框图

框图

程序框图就是算法步骤的直观图示,算法的输入?输 出?条件?循环等基本单元构成了程序框图的基本 要素,基本要素之间的关系由流程线来建立.用程序 框图表示的算法,比用自然语言描述的算法更加直 观?明确?流向清楚,而且更容易改写成计算机程序.

(2)流程图 ①定义:由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图.

②表示:流程图常常用来表示一些动态过程,通常会有一个
“起点”,一个或多个“终点”. (3)工序流程图 用于描述工业生产的流程图称为工序流程图.

2.结构图 (1)定义:描述系统结构的图示称为结构图.

(2)构成:结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之
间关系的连线(或方向箭头)构成.

考点陪练2.下列框图中不是结构图的是(

)

答案:

4.用来表示一个组织或部门的构成的图是________,学校的 作息时间表是________.

答案:结构图 流程图

5.某学校的组织结构图如下:

则保卫科的直接领导是________. 答案:副校长乙

类型一

程序框图

解题准备:画程序框图要注意以下几点:

(1)使用标准的图形符号;
(2)框图一般按从上到下,从左到右的方向画; (3)在图形符号内描述的语言要简练?清楚.

题型分类 深度剖析
题型一 算法的意义与设计 例 1 已知点 P (x0,y0)和直线 l :A x+B y+C =0,求点 P (x0,y0)到直线 l 的距离 d,写出其算法并画出程 序框图.

思维启迪:利用点到直线的距离公式可写出算 法,而程序框图利用顺序结构比较简单.



算法如下:

第一步,输入 x0,y0 及直线方程的系数 A ,B ,C . 第二步,计算 Z 1=A x0+B y0+C . 第三步,计算 Z 2=A 2+B 2. 第四步,计算 d= 第五步,输出 d. 程序框图: |Z 1| .

Z2

题型三

算法的循环结构 1 1 1 例 3 设计算法求 + + +?+ 1×2 2×3 3×4 1 的值,并画出程序框图. 2 011×2 012

思维启迪(1)这是一个累加求和问题,共 2 011 项 相加; (2)设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结 构实现这一算法. 解 算法如下:

第一步,令 S=0,i =1; 第二步,若 i ≤2 011 成立,则执行第三步; 否则,输出 S,结束算法;

第三步,S=S+

1 i ?i +1?



第四步,i =i +1,返回第二步. 程序框图: 方法一 当型循环程序框图:

方法二

直到型循环程序框图:

探究提高

利用循环结构表示算法,第一要确定是利

用当型循环结构,还是直到型循环结构;第二要选择 准确的表示累加变量;第三要注意在哪一步开始循环.

例3

画出计算S=1×22+2×23+3×24+?+10×211的程序

框图.

[分析] (1)这是个求和问题,因此需要用循环结构.
(2)需要选择一个累加变量和计数变量.

[解] 程序框图

类型二

工序流程图

解题准备:1.工序流程图可以按照从左到右,也可以按照从上

到下的顺序来画,图形用矩形或平行四边形表示,再用流程
线相连,流程线是有向线,表示工序进展的方向. 2.工序流程图描述加工工序之间的动态过程,这就与实际生活 联系密切,因此,对一些行业术语?流程程序要有初步的了解.

【典例2】 想沏壶茶喝,当时的情况是:开水没有,烧开水的壶 要洗,沏茶的壶和茶杯要洗,茶叶已有,洗水壶需1分钟,洗茶

壶?茶杯需2分钟,烧开水需15分钟,取茶叶需1分钟,沏茶需1
分钟.问应如何进行? [分析] 完成每道工序顺序可不同,因此可选用不同方案.

[解] 方案一:洗好水壶,灌入凉水,放在炉子上,打开煤气.待水 烧开后,洗茶壶?茶杯,取茶叶,沏茶,用流程图表示为:

方案二:先做好准备工作,即洗水壶,洗茶壶?茶杯,取茶叶,灌凉 水烧开水,沏茶,将此方案用图表示出来,则有

方案三:洗好水壶,灌入凉水烧开水,在等待水开的时间内洗茶 壶?茶杯,取茶叶,水开后沏茶.如图所示.

方案三还可用下图表示:

类型三

结构图

解题准备:结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素

之间关系的连线(或方向箭头)构成,连线通常是从上到下或
从左到右的方向,一般是“树”形结构,在结构图中也经常 出现一些“环”形结构,这种情形常在表达逻辑先后关系 时出现.

【典例3】 某公司的组织结构如下:董事长下设一个销售公 司总经理和总经理(董事长兼任),销售公司总经理管理销售

各部和市场开发部,总经理下设有财务总监,行政副总经理,
厂长,总工程师.财务总监管理财务;行政副总经理管理人力 资源部,行政,后勤;厂长管理采购,生产;总工程师管理技术

研发和质量管理,试画出该公司的组织结构图.

[分析] (1)该公司董事长居最高的领导位置,销售公司总经理 和总经理为董事长提供参谋意见.

(2)用“树”形结构图来画出组织结构图.

[解 ]

[反思感悟] 绘制结构图的要求 (1)对所画的结构图的每一部分有一个深刻的理解,从头到尾

抓住主要脉络进行分解.
(2)将每一部分进行归纳与提炼,形成一个个点并逐一写在矩 形框内. (3)按其逻辑顺序将它们排列起来,并用线相连.

【典例】 机械制造厂加工某种零件有四道工序:铸(造)件?粗 加工(刨?车)?热处理和精加工(洗?磨).每道工序完成时,都

要对产品进行检验,合格品进入下一道工序,不合格品为废
品.铸(造)件合格品进入粗加工,粗加工合格品进入热处理, 热处理(热处理不合格可以返工一次)合格品进入精加工,精

加工的合格品为零件成品.用流程图表示这种零件的加工
过程.

[解题切入点] 依据工序流程图的特点,该厂加工零件的四道 工序之间应用箭头和文字标注进行连接,体现一个动态过

程.

[解] 工序流程图如图:

[方法与技巧] 工序流程图描述各加工工序环节之间的动态 过程,只要联系实际生活,对一些行业术语?流程程序有初步

的了解,就不难画出来.图用矩形和判断框表示,矩形框表示
加工,判断框表示质检合格与否,类似于程序框图中的条件 结构或循环结构.各个图形之间用流程线连结,其方向表示

加工的顺序方向.

第四部分 推理与证明

知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法

归纳推理 类比推理

直接证明

综合法 分析法 反证法

数学归纳法

例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1, 1 1 1 证求 : a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c

一.综合法

证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ,且abc = 1,

bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2

>

abc +

2

a bc +

2

ab c =
2

a + b + c.

1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c

例.已知a、b、c 为 不相等正数 ,且abc = 1, 1 1 1 证求 : a + b + c < + + . a b c

证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ,且abc = 1,

1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + 1 1 1 b c c a a b = + + . < + + 2 2 2 a b c

1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c

例:已知a > 5,求证 :
? ? ? ? ? ? ? ?

二.分析法

a -5 - a -3 <

证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 ? a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.

a - 2 - a.

题型三 例3

反证法

实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:

a,b,c,d 中至少有一个为负数.

思维启迪:a,b,c,d 中至少有一个为负数的否定是 a,b, c,d 都是非负数.

证明

假设 a,b,c,d 都是非负数,则由 a+b=c+d=1,

有 1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, 即 ac+bd≤1,这与 ac+bd>1 矛盾,故假设不成立. 即 a,b,c,d 中至少有一个为负数.

探究提高

结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”

形式的不等式,或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的 问题,宜考虑使用反证法.用反证法证明命题时,推导出的 矛盾可能多种多样.有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有 的与已知事实相违背等等,推导出的矛盾必须是明显的.

变式训练 3 知 f (x)=x2+ax+b. (1)求:f (1)+f (3)-2f (2); 1 (2)求证:|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|中至少有一个不小于 . 2 (1)解 ∵f (1)=a+b+1,f (2)=2a+b+4, f (3)=3a+b+9,∴f (1)+f (3)-2f (2)=2. 1 (2)证明 假设|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|都小于 . 2 1 1 1 1 则- <f (1)< ,- <f (2)< , 2 2 2 2 1 1 - <f (3)< , 2 2

∴-1<-2f (2)<1,-1<f (1)+f (3)<1. ∴-2<f (1)+f (3)-2f (2)<2, 这与 f (1)+f (3)-2f (2)=2 矛盾. ∴假设错误,即所证结论成立.

?第五部分 复数

§ 12.5
要点梳理

数系的扩充与复数的引入 基础知识 自主学习

1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+ bi (a ,b∈R )的数叫做复数,其中 a,b 分别是 它的 实部 和 虚部 .若 b=0 , 则 a+bi 为实数, 若 b≠0 , 则 a+bi 为虚数,若a=0且b≠0 ,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等: a+bi=c+di ? a=c且b=d (a , b, c, d∈R ).

(3)共轭复数: a+bi 与 c+di 共轭? b,c,d∈R ). (4)复平面

a=c,b=-d

(a ,

建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面. x轴 叫做 实轴, y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ;除原点外, 虚轴上的点都表示 纯虚数;各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作 |z| 或 |a+bi|, 即|z|=|a+bi|= a2+b2.

2.复数的几何意义
?? 复平面内的点 Z (a, (1)复数 z=a+bi ??? b)(a, b∈R ).
一一对应

一一对应 ? ? ? ?? 平面向量 OZ (2)复数 z=a+bi (a,b∈R )

.

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R ),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= (ac-bd)+(ad+ ; bc)i z1 a+bi ?a+bi??c-di? ac+bd bc-ad ④除法: = = = + 2 i(c+di≠0). 2 2 2 c +d z2 c+di ?c+di??c-di? c +d
z1

(2)复数加法的运算定律 = z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C ,有 z1+z2

基础自测 1.若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则

-20 . 复数(z1-z2) i 的实部为__________
解析 ∵z1=4+29i,z2=6+9i,∴(z1-z2) i

=(-2+20i) i=-20-2i,∴复数(z1-z2) i 的实部为-20.

2i 2. (2010·北京)在复平面内,复数 对应 1-i

(-1,1) . 的点的坐标为________
2i 2i?1+i? 解析 ∵ = =i+i2=-1+i, 2 1-i 2i ∴复数 对应的点的坐标为(-1,1). 1-i

3. (2010·上海)若复数 z=1-2i (i 为虚数单位),则 z· z +z=________. 6-2i

解析

∵z=1-2i,∴z· z =|z|2=5.∴z· z +z=6-2i.

4.若复数(1+bi)· (2-i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数), 则 b 等于( A ) 1 1 A.-2 B.- C. D.2 2 2 解析 ∵(1+bi)· (2-i)=2+b+(2b-1) i 是纯虚数,
∴2+b=0,即 b=-2 a 1+i 5.i 为虚数单位,若 = ,则 a 的值为 ( C ) i 1-i

A.i B .-i C .-2i D .2i a 1+i 解析 由 = i 1-i ?1+i??1-i? 2 得:a= = =-2i i i

m 2-m -6 变式训练 1 当实数 m 为何值时,z= +(m 2+5m + m +3 6)i,(1)为实数;(2)为虚数;(3)为纯虚数;(4)复数 z 对应 的点在复平面内的第二象限.
?m 2+5m +6=0 ? (1)若 z 为实数,则? ? ?m +3≠0



,解得 m =-2.

?m 2+5m +6≠0 ? (2)若 z 为虚数,则? ? ? m + 3≠ 0

,解得 m ≠-2 且 m ≠-3.

?m 2+5m +6≠0 ? ? (3)若 z 为纯虚数,则?m 2-m -6 ? =0 ? m +3 ?

,解得 m =3.

?m 2-m -6 ? <0 ? (4)若 z 对应的点在第二象限,则? m +3 ? ?m 2+5m +6>0 ? ?m <-3或-2<m <3 ? 即? ? ?m <-3或m >-2 ∴m <-3 或-2<m <3. ,



题型三 例3

复数的几何意义

如图所示,平行四边形 O A B C ,顶点 O ,A ,

C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: (1) AO 、 BC 所表示的复数; (2)对角线 CA 所表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.

思维启迪结合图形和已知点对应的复数, 根据加减法的几 何意义,即可求解.



(1) AO =- OA ,∴ AO 所表示的复数为-3-2i.

? BC = AO ,∴ BC 所表示的复数为-3-2i.
(2) CA = OA - OC ,∴ CA 所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3) OB = OA + AB = OA + OC ,

OB 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
即 B 点对应的复数为 1+6i.

探究提高

根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是

一一对应的,要求某个向量对应的复数,只要找出所求向 量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论.



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