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必修4综合测试题



必修 4 综合测试题
一、选择题 1.sin480?等于 A. ? 2.已知

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

?
2

? ? ? ? , si

n(
B.

?

3 A. 4

4 3

3 ? ? ) ? ? ,则 tan(?-?)的值为 2 5 3 4 C. ? D. ? 4 3

3.已知三点 A(1,1)、B(-1,0)、C(3,-1),则确 AB ? AC 等于 A.-2 B.-6 C.2 D.3

4.设 x∈z,则 f(x)=cos A.{-1,

?
3

x 的值域是 1 1 , ,1} 2 2
C.{-1, ?

1 } 2

B.{-1, ?

5. 要得到函数 y=cos2x 的图象,只需将 y=cos(2x+

? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

? )的图象 4

1 1 ,0, ,1} 2 2

D.{

1 ,1} 2

6.已知| a |=3,| b |=4,( a + b )?( a +3 b )=33,则 a 与 b 的夹角为 A.30? B.60? C.120?
2

D.150?

8.若 0≤?<2?且满足不等式 cos A. (

?
2

? sin 2
C. (

?
2
,

,那么角?的取值范围是

? 3?
4 , 4

)

B. (

?
2

,? )

? 3?
2 2

)

D. (

? 10.设函数 f(x)=sin(2x- ),x?R,则 f(x)是 2
A.最小正周期为?的奇函数 C.最小正周期为

3? 5? , ) 4 4

B.最小正周期为?的偶函数

? ? 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 ? 2 ? 11. a =(cos2x,sinx), b =(1,2sinx-1),x? ( , ? ) ,若 a ? b = ,则 tan(x+ )等于 2 5 4
A.

1 3

B.

2 7

C.

1 7

D.

2 3

12.在边长为 2 的正三角形 ABC 中,设 AB ? c , BC ? a ,

CA ? b ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a 等于(



A.0 B .1 C.3 D.-3 二、填空题 13.若三点 A(-1,1)、B(2,-4)、C(x,-9)共线.则 x 的值为________。 14.已知向量 a 与 b 的夹角为 120?,且| a |=| b |=4,那么| a -3 b |等于__________。 15.已知向量 a 、 b 均为单位向量,且 a ? b .若(2 a +3 b )?(k a -4 b ),则 k 的值为_____.

三、解答题 18.已知 A、B、C 是△ABC 的内角,向量 m ? (?1, 3), n ? (cos A, sin A), 且 m ? n ? 1 。 (1)求角 A 的大小; (2)若

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tanC 。 cos 2 B ? sin 2 B

19.设 i , j 分别是直角坐标系 x 轴,y 轴方向上的单位向量,若在同一直线上有三点 A、B、C,且 OA ? ?2i ? m j ,

OB ? ni ? j , OC ? 5i ? j , OA ? OB ,求实数 m,n 的值。
20.已知函数 f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x. (1)在给定的坐标系(如图)中,作出函数 f(x)在区间[o,?]上的图象; (2)求函数 f(x)在区间[ ?

?
2

,0]上的最大值和最小值.

21.已知函数 f(x)=sin(2x+

? ? )+sin(2x- )+2cos2x(x?R). 6 6

(1)求函数 f(x)的最大值及此时自变量 x 的取值集合; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)求使 f(x)≥2 的 x 的取值范围. 22.已知函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 ). (1)当 ? ? 1 时,写出由 y ? f ( x) 的图象向右平移 函数解析式; (2)若 y ? f ( x) 图象过 (

? 个单位长度得到的图象所对应的 6

2? ? , 0) 点,且在区间 (0, ) 上是增函数,求 ? 的值. 3 3

高一必修 4 综合测试题答案
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 B 6 C 15.6 7 8 C 9 10 B 11 C 12 D

13.5 14. 4 13

18.解:(1)因为 m ? (?1, 3), n ? (cos A, sin A), 且 m ? n ? 1 所以-cosA+ 3 sinA=1,即 3 sinA-cosA=1 所以 2sin(A因为 A?(0,?),所以 A-

? ? 5? ? ? ? ?(- , ),所以 A- = ,故 A= 6 6 6 6 6 3

? ? 1 )=1,sin(A- )= 6 6 2

(2)

1 ? sin 2 B cos B ? sin B (cos B ? sin B) 2 ? ? 3 ? ?3 ? ?3 ? ? 2 2 2 2 cos B ? sin B cos B ? sin B cos B ? sin B

?cosB+sinB=-3cosB+3sinB?4cosB=2sinB?tanB=2 tanC=tan(?-(A+B))=-tan(A+B) =?

tan A ? tan B 3 ?2 8?5 3 = ?? 11 1 ? tan A tan B 1? 2 3

19.解:因为 A,B,C 三点在同一直线上,所以 AB ? ? AC , 而 AB ? OB ? OA ? (n ? 2)i ? (1 ? m) j

AC ? OC ? OA ? 7i ? (?1 ? m) j

所以 (n ? 2)i ? (1 ? m) j = 7?i ? (?1 ? m)? j 所以 ?

?n ? 2 ? 7? , 消 去 ? 得 ,( n+2 ) ?1 ? m ? (?1 ? m)?
(1) 又 因 为 OA ? OB, 所 以 ) ? (
2

(m+1)=7m-7 (

?2i ? m j
2

ni ? j

) = 0 , 即

?2ni ? (mn ? 2)i ? j ? m j ? 0
因为 i , j 分别是直角坐标系 x 轴,y 轴方向上的单位向 | i |=| j |=1, i ? j =0, 所以 -2n+m=0 量,所以

?m ? 3 ?m ? 6 ? (2)解(1) (2)得 ? 3 或? n? ?n ? 3 ? ? 2
20 解:f(x)=cos2x-sin2x= 2 cos(2x+ (1)因为 x?[0,?],所以 2x+ 2x+ x

? 4

? 4
0

? 2 ? 8
0

? ? 9? ?[ , ] 4 4 4 3?
?

? ) 4
9? 4
?

3? 8

2 5? 8
0

2?

7? 8

f(x)

1

? 2

2

1

(2)法一:在上图中作出[ ? 法二:因为 x?[ ?

?
2

,0]的图象,依图象可知,f(x)的最小值为-1,最大值为 2 .

? 3? ? ? 3? ? ?[ , ],当 2x+ = 时 f(x)取最小值-1,当 2x+ =0 时 f(x)取最大值 2 2 4 4 4 4 4 4 ? ? ? ? ? 21.解:f(x)=sin2xcos +cos2xsin +sin2xcos -cos2xsin +1+cos2x=2sin2xcos +cos2x+1= 3 sin2x+cos2x+1=2si 6 6 6 6 6 ? n(2x+ )+1 6 ? ? ? (1)f(x)取得最大值 3,此时 2x+ = +2k?,即 x= +k?,k?Z 6 2 6 ? 故 x 的取值集合为{x|x= +k?,k?Z} 6 ? ? ? ? ? (2)由 2x+ ?[ ? +2k?, +2k?],(k?Z)得,x?[ ? +k?, +k?],(k?Z) 2 3 6 2 6 ? ? 故函数 f(x)的单调递增区间为[ ? +k?, +k?],(k?Z) 3 6
,0],所以 2x+

?

1 ? ? ? ? 5? ? )+1≥2?sin(2x+ )≥ ? +2k??2x+ ? +2k?? k??x? +k?,(k?Z) 2 6 6 6 6 6 3 ? 故 f(x) ≥2 的 x 的取值范围是[k?, +k?],(k?Z) 3
(3)f(x) ≥2?2sin(2x+ 22.解: (1)由已知,所求函数解析式为 g ( x) ? sin( x ? ) . 6 (2) 由 又?

?

y ? f ( x) 的图象过 ( 2? , 0) 点, 得 sin
3

3 2? 2? k ? Z .即 ? ? k ,k ? Z . ? ? 0, ? ? k? , 所以 2 3 3

? 0 ,所以 k ? N* .
当k

? 1 时, ? ? 3 , f ( x) ? sin 3 x ,其周期为
2

2

4? , 3

此时 f ( x) 在 ? 0,

? ?

??

? 上是增函数; 3?

当 k ≥ 2 时, ? ≥ 3 , f ( x) ? sin ? x 的周期为
? ? 上不是增函数.所以, ? ? f ( x) 在 ? ? 0, ?
? 3?

2? ?



2? 4? ? , 3 3

此时

3 . 2
?
2 ? 2k? , k ? Z

方法 2:当

f ( x) 为增函数时, 2
?

?

?

? 2k? ? ?x ?

? 2k? ? 2k? ? ?x? ? , k?Z 2? ? 2? ?
?
3 ? 2?

因为

?? f ( x) 在 ? ? 0, ? 上是增函数.
? 3?

所以

?

, ? ?

3 2

又因为 ?

?0

所以 0 ? ? ?

3 2
即?



y ? f ( x) 的图象过 (
所以 ?

2? 2? , 0) 点,得 sin 2? ? ? 0 ,所以 ? ? k? , k ? Z . 3 3 3

?

3 k 2



k ?Z

?

3 2



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