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浙江省台州市2009-2010学年高二下学期期末质量评估理科数学试题



台州市

2 0 0 9学 年 第二学期

高二期末质量评估试题 学(理科)
2010.7



(台州中学) (路桥中学) (新河中学) 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y ? 4 x 的

准线方程是
2

A. x ? 1 2.已知 i 是虚数单位,则 A.2

B. y ? 1
(1 ? i ) i
2

C. x ? ? 1

D. y ? ? 1

?

B.-2 C. i ? ? 3.已知向量 a ? ( 2, 4, ? 4 ) , b ? ( 2 , x , 4 ) ,若 a ⊥ b ,则 x 的值是 A. 3 B. ? 3 C. 1

D. ? 2i

D. ? 1

3 4.若 f ( x ) 满足 f ? ( x ) ? 4 x , f (1) ? ? 1 ,则 f ( x ) 为

A. f ( x ) ? ? 1 ? x

4

B. f ( x ) ? x ? 2
4

C. f ( x ) ? x ? 2
3

D.f ( x ) ? x ? 1
4

5.在棱长为 a 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,点 B 到平面 A B1C 的距离为
6 2
2 2

A.

a

B.

3 2

a

C.

3 3

a

D.

a 3

6.已知 F1、 F 2 是椭圆 C :

x a

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上的一点,且

???? ???? ? P F1 ? P F 2 ,若 ? P F1 F 2 的面积为 9,则 b 的值为

A. 3 7.下列有关选项正确的是 ...

B. 2 3

C. 4

D. 9

A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 B. x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件 “
2 2
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C.命题“若 x ? ? 1 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定为: “若 x ? ? 1 ,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”
2

D.已知命题 p : ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0
2 2

8. 已知点 P 是椭圆 x ? 4 y ? 4 上的任意一点,A ( 4 , 0 ) , M 为线段 PA 中点, 若 则点 M 的
2 2

轨迹方程是 A. ? x ? 2 ? ? 4 y ? 1
2 2

B. ? x ? 4 ? ? 4 y ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? 4 y ? 1
2 2

D. ? x ? 4 ? ? 4 y ? 1
2 2

9.在棱长都为 2 的侧棱垂直于底面的平行六面体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, ? BAD ? 60 , 则面 A B1C 与底面 A1 B1C 1 D 1 所成角的正弦值为
1 2
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?

A.

B. 2

C.

5 5

D.

2 5 5

10. 设双曲线 心率为 A.
5 4

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x ? 1 只有一个公共点, 则双曲线的离
2

B. 5

C.

5 2

D. 5
2 B B1 , A B 1 则

11. 在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, 底面是正三角形, 侧棱垂直于底面, A B ? 若 与 C 1 B 所成的角的大小为 A.60°
3
[来源:学#科#网]

B.90°
2

C.105°

D.75°
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12.已知函数 f ( x ) ? x ? px A.极大值是
4 27

? qx 的图象与 x 轴相切于 (1, 0 ) 点,则 f ( x )

,极小值是 0
4 27

B.极大值为 0 ,极小值为 D.极大值为
4 27

4 27 4 27

C.极大值为 0 ,极小值为 ?

,极小值为 ?

13. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1、 F2 , 且它们在第一象限的交点为 P , ? P F1 F 2 是以 P F1 为底边的等腰三角形.若双曲线的离心 率的取值范围为 (1, 2 ) ,则该椭圆的离心率的取值范围是 A. (
1 1 , ) 3 2
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B. (

2 1 , ) 5 2

C. (

1 2 , ) 3 5

D. (

2 5

,1)

14.对任意 x ? R ,函数 f ( x ) 的导数存在,若 f ? ( x ) ? f ( x ) ,且 a ? 0 ,则下列结论正确 的是 A. f ( a ) ? f ( 0 ) B. f ( a ) ? e ? f ( 0 )
a

C. f ( a ) ? f ( 0 )

D. f ( a ) ? e ? f ( 0 )
a

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
x 15.若 f ( x ) ? e ? x ,则 f ? (0 ) ?

▲ _.
? ?

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16.若 a ? (1, ? 1, 0 ), b ? (0, ? 1,1) ,则 a , b 的夹角大小等于
x
2

?

?



_.

17.过椭圆

?

y

2

? 1 的右焦点 F 作倾斜角为

?
4

的直线与椭圆交于 M 、 N 两点, O 为坐

3

2

标原点,则 ? O M N 的面积为


?
2

_.

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18.已知曲线 f ( x ) ? x co s x ? 1 在点 (
a ?

, 1) 处的切线与直线 a x ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数

▲ _.

19.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的正半轴上,点 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ) 在抛物线上, 若 ? A B C 的重心恰为抛物线的焦点 F , 且 | F A | ? | F B | ? | F C |? 6 ,则抛 物线的方程为 ▲ _.

20.当 a 0 , a 1 , a 2 成等差数列时,有 a 0 ? 2 a 1 ? a 2 ? 0 ,当 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 成等差数列时,有
a 0 ? 3 a 1 ? 3 a 2 ? a 3 ? 0 , a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 当

成等差数列时, a 0 ? 4 a 1 ? 6 a 2 ? 4 a 3 ? a 4 ? 0 , 有
0 1 2 n n

由此归纳:当 a 0 , a 1 , a 2 , ? , a n 成等差数列时,有 C n a 0 ? C n a 1 ? C n a 2 ? ? ? ( ? 1) C n a n ? 0 , 如果 a 0 , a 1 , a 2 , ? , a n 成等比数列,类比上述方法归纳出的等式为 ▲ _.

三、解答题(本大题共 5 题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本题满分 6 分) 已知命题 p :当 x ? R 时,不等式 x ? 2 x ? m ? 0 恒成立;命题 q :
2

方程 x ? my
2

2

? 1 表示双曲线. 若命题 p 和命题 q 中有且只有一个是真命题, 求实数 m

的取值范围. 22. (本题满分 8 分)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,P D ? 平面 A B C D ,四边形 A B C D 是 菱形, A C ? 6 3 , B D ? 6 , P D ? 3 6 , E 、 F 分别是 P B 、 C B 上靠近点 B 的一 个三等分点. (Ⅰ)求证: A C ? D E ; (Ⅱ)求 E F 与平面 P A B 所成角的正弦值.
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P

E D A O (第 22 题) F B

C

23.(本题满分 8 分)已知数列{

1 n

}的前 n 项和是 S n .
n

(Ⅰ)分别计算 S 2 ? S 1 , S 4 ? S 2 的值,并比较 S

2

? S 2 n ?1 与

1 2

的大小( 不必证明) ;

(Ⅱ) 求使 S 1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n ? 1 ? f ( n )( S n ? 1) 对于大于 1 的正整数 n 都成立的函数 f ( n ) , 并证明你的结论. 24.(本题满分 8 分)已知椭圆 C 的一个焦点 F 与抛物线 y ? 1 2 x 的焦点重合,且椭圆 C 上
2

的点到焦点 F 的最大距离为 8. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P ( m , n ) 是椭圆 C 上的一动点,求直线 l : m x ? n y ? 1 被圆 O : x ? y ? 1 所截
2 2

得的弦长的取值范围.

25.(本题满分 10 分)函数 f ( x ) ?

a x

? x ln x ( a ? 0 ), g ( x ) ? x ? x ? 3 .
3 2

(Ⅰ)试判断函数 g ( x ) 在区间 (0 , 2 ) 上的单调性; (Ⅱ)如果存在 x 1 , x 2 ? [ 0 , 2 ] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? M 成立,求满足上述条件的 最大 整数 M; (Ⅲ)如果对任意的 x 1 , x 2 ? [ , 2 ] ,都有 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
2
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1

?????????????密?????????????封????????????线???????????????

台州市

2 0 0 9学 年 第二学期

高二期末质量评估试题
2010.7

学校_____________ 班级_____________ 姓名_____________ 准考证号_____________

理科数学答题卷
三 题 号
[来源:Z.xx.k.Com][来源:] [来源:学_科_网]



二 21 22 23 24 25





[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

得 分 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 题号 答案 二、填空题(本大题共有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 15. 18. .16. .19. . 17. . 20. . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

三、解答题(本大题共 5 题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本题满分 6 分)

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县(市、区)_____________

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22.(本题满分 8 分)

P

E
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D O A B F

C

23. (本题满分 8 分)

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24.(本题满分 8 分)

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25.(本题满分 10 分) ? ???????????
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台州市

2 0 0 9学 年 第二学期

高二期末质量评估试题
2010.7

数学(理科)答案与评分标准
有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 题号 答案 1 C 2
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一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,在每小题给出的四个选项中,只

3 A

4 B

5 C

6 A

7 B

8 A

9 D

10 D

11 B

12 A

13 C

14 D

B

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二、填空题: (本大题共有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 15. 2; 16.6 0 ; 17.
?

2 6 5

; 18. ; 19.x ? 4 y ; 20.a 0 a 1
2

2

Cn

0

?Cn

1

?

a2

Cn

2

? an

( ? 1) C n

n

n

?1.

三、解答题(本大题共 5 题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.解:命题 p 为真,则 m ? 1 , 命题 q 为真,则 m ? 0 ?????????? 3 分
? m ? 1, ? m ? 1, 无解, q 假 p 真,则 ? 即0 ? m ? 1 p 真 q 假,则 ? ?m ? 0 ? m ? 0,

故0 ? m ? 1

????????????????????????? 6 分
P

22.解: (Ⅰ)∵PD⊥面 ABCD,∴PD⊥AC ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC ∴AC⊥面 PBD ∴AC⊥DE
A D

E O B F

C

???????? 3 分

(Ⅱ)以点 O 为坐标原点, O B 、 O C 所在的直线为 x 轴、 y 轴,建立空间直角坐标系, 则 P ( ? 3, 0, 3 6 ), B (3, 0, 0 ) , E B ?
( 而 B C ? - 3 , 3 3 , 0 ) ,B F ? ???? ??? ? ??? ? ? 1 1 ??? P B ? (6 , 0 , ? 3 6 ) ? ( 2 , 0 , ? 3 3
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6) ,

1 ???? B C ? -1, 3 , 0 ) ( 3

??? ? ??? ??? ? ? ? ? E F ? E B ? B F ? 1, 3 , - 6) ( ,而平面 P A B 的法向量 n ? ( 6 , ?
? ??? ? ? cos ? n, E F ? ? 5 5

2 , 2)

,即为 E F 与平面 P A B 所成角的正弦值???????? 8 分

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1 1 1 7 23.解: (Ⅰ) S 2 ? S 1 = , S 4 ? S 2 = + = , 2 3 4 12 当 n ≥1 时, S 2 ? S 2
n n ?1

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1 1 1 1 1 n-1 n-1 + n-1 +?+ n(共 2 项)≥ n ×2 = , 2 +1 2 +2 2 2 2
n-1

当且仅当 n =1 时,等号成立.??????????????????? 4 分 (Ⅱ)当 n =2 时,有 1= f ( 2 )( 1 ?
n =3 时,有
5 2 1 2 ? 1) ? f ( 2 ) ? 2 , 1 3 ? 1) ? f ( 3 ) ? 3 ,

= f ( 3 )( 1 ?

1 2

?

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由此猜想 f ( n ) = n ( n ≥2).????????????????? 6 分 下面用数学归纳法证明: ① n =2,3 时,上面已证,猜想正确;
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②设 n = k ( k ≥2)时, f ( k ) ? k 即 S 1 ? S 2 ? ? ? ? ? S k ? 1 ? k ( S k ? 1) 成立 则 S 1 ? S 2 ? ? ? ? ? S k ? 1 ? S k ? k ( S k ? 1) ? S k
? ( k ? 1) S k ? k ? ( k ? 1)( S k ? 1 k ?1 ? 1) ? ( k ? 1)( S k ? 1 ? 1) .

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即 n = ( k ? 1) 时,猜想也正确. 综上所述,存在 f ( n ) = n ,使得 S 1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n ? 1 ? f ( n )( S n ? 1) 对于大于 1 的 正整数 n 都成立. ?????????????????????? 8 分 24. ( Ⅰ) 解: 抛物线 y ? 1 2 x 的焦点是 F (3, 0 ) , 设椭圆 C 的方程为
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,

c ? 3 ? ?a ? 5 2 2 x y ? ? ? ? 1 ???????? 4 分 则 ? a ? c ? 8 ,解得 ? b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 25 16 ?a2 ? b2 ? c2 ?c ? 3 ? ?

(Ⅱ)因为点 P ( m , n ) 在椭圆 C 上运动,所以 1 ?

m

2

?

n

2

? m ?n ,
2 2

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25

16
1 m ?n
2 2

又直线 l 与圆 O 相交,所以圆心 O 到直线 l 的距离 d ?
1 m ?n
2 2

?1? r .

直线 l 被圆 O 截得的弦长为 L ? 2 r ? d
2

2

? 2 1?

? 2 1?

1 9 25 m ? 16
2

由于 0 ? m ? 2 5 ,所以 1 6 ?
2

9 25

m ? 1 6 ? 2 5 ,则 L ? [
2

15 2

,

4 5

6

],

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即直 线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ? [ 25.解: (Ⅰ)? g ? ( x ) ? 3 x ? 2 x ? x (3 x ? 2 )
2
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15 2

,

4 5

6

] ??????????? 8 分

? g ( x ) 在 (0 ,

2 3

) 上单调递减,在 [ 2 3 85 27

2 3

, 2 ) 上单调递增?????????????3 分
85 27 , g ( x ) m ax ? 1 ,

(Ⅱ)g (0 ) ? ? 3, g ( ) ? ?

, g ( 2 ) ? 1 , x ? [ 0 , 2 ] 时,g ( x ) m in ? ? 当 85 27 )? 112 27

故 ( g ( x1 ) ? g ( x 2 )) m a x ? 1 ? ( ?
1

,则 M

max

? 4 ;????????? 6 分

(Ⅲ)当 x ? [ , 2 ] 时, g ( x ) max ? 1
2

法一:

a x

? x ln x ? 1 ? a ? x ? x ln x ,
2

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令 h ( x ) ? x ? x ln x , h ? ( x ) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h ? (1) ? 0
2

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记 m ( x ) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m ? ( x ) ? ? 3 ? 2 ln x ? 0 ,则 m ( x ) ? h ? ( x ) 在 [ , 2 ] 上单调递减,
2

1

即在 [ , 1] 上 h ? ( x ) ? h ? (1) ? 0 , h ( x ) 单调递增, [1, 2 ] 上 h ? ( x ) ? h ? (1) ? 0 , h ( x ) 单调递减 在
2

1

h ( x ) max ? h (1) ? 1 ,故 a ? 1 .??????????????????????? 10 分

法二:当 x ? [ , 2 ] 时, g ( x ) max ? 1 ,则必须 f (1) ? a ? 1 ,
2

1

当 a ? 1 且 x ? [ , 2 ] 时, f ( x ) ?
2

1

a x

? x ln x ?

1 x

? x ln x

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令 h(x) ?
1

1 x

? x ln x , h ? ( x ) ? ?

1 x
2

? ln x ? 1, h ? (1) ? 0 , h ? ( x ) 在 [

1 2

, 2 ] 上单调递增,

即在 [ , 1] 上 h ? ( x ) ? h ? (1) ? 0 , h ( x ) 单调递减, [1, 2 ] 上 h ? ( x ) ? h ? (1) ? 0 , h ( x ) 单调递增 在
2

h ( x ) min ? h (1) ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 ,则 f ( x ) ? 1 .??????????????? 10 分

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