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上海市奉贤区2016年高三数学一模


2015 学年奉贤区高三数学一模调研测试卷

(考试时间:120 分钟,满分 150 分)

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果,1-14 题每个空格填对得 4 分) 1、复数 i ?1 ? i ? ( i 是虚数单位)的虚部是__________. 2、已知点 A ? ?1,5? 和向量 a ? ? 2,3? ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为__________. 3、方程 9 ? 3 ? 6 ? 0 的实数解为__________.
x x
2 4、已知集合 M ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , N ? x y ? lg x ,则 M ? N =__________.

?

?

?

?

?

5、若 ? x ?
?

? ?

1? 2 ? 展开式中含 x 的项的系数是__________. x?
?

8

6、若圆 x ? y ? ?x ? ? y ? ? 被直线 ?x ? y ? a ? ? 平分,则 a 的值为__________.
2 2 2 7、 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点, 则 p ? _________.

8、 数列 {an } 是等差数列, 则数列 {an } 的前 2015 a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,
2

项的和为__________. 9、函数 y ? 3 cos x ? sin x , x ? ? ?

? ? ? , ? 的值域是__________. ? 3 ? ?

3 10、已知 a , b 是常数, ab ? 0 ,若函数 f ( x) ? ax ? b arcsin x ? 3 的最大值为 10,则 f ( x)

的最小值为__________. 11、函数 f ( x) ? sin ? ? x ? _________. 12、设 ?、? 都是锐角, cos ? ?

? ?

??

?? ? ? 在 ? , ? ? 上单调递减,则正实数 ? 的取值范围是 4? ?2 ?
1 5 3 ,cos(? ? ? ) ? ,请问 cos ? 是否可以求解,若能求 7 14

解,求出答案,若不能求解简述理由________________________________________________ ______________________________________________________________________________.
2 13、不等式 ? x ? 1? x ? 4 x ? 3 ? 0 有多种解法,其中有一种方法如下,在同一直角坐标系

?

?

中作出 y1 ? x ? 1和 y2 ? x ? 4x ? 3 的图像然后进行求解,请类比求解以下问题:
2

设 a , b ? Z ,若对任意 x ? 0 ,都有 ( ax ? 2)( x ? 2b) ? 0 ,则 a ? b ? __________.
2

1

14、线段 AB 的长度为 2,点 A 、 B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动, 以线段 AB 为一边, 在第一象限内作矩形 ABCD (顺时针排序),BC ? 1 , 设 O 为坐标原点,则 OC ? OD 的取值范围是__________. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、下面四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是????( ) .

A. a ? 1 ? b
16、已知数列 an ? n ? sin

B. 2a ? 2b

C. a2 ? b2

D. lg a ? lg b

A. ?48 ;

n? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ????( ) . 2 B. ?50 ; C. ?52 ; D. ?49

17、 已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等, 那么这样的直角三角 形有????( ) . A. 0; B. 1; C . 2; D. 3 18、设函数 f ( x) ? min{x ? 1, x ? 1, ? x ? 1} ,其中 min{x, y, z} 表示 x, y, z 中的最小者.
2

若 f ( a ? 2) ? f ( a ) ,则实数 a 的取值范围为????(

) .

A. ? ?1,0? ;

B. ? ?2,0? ;

C. ? ??, ?2? ? ? ?1,0? ;

D. ? ?2, ?? ?

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19、 如图, 已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1 ,BC ? 2 ,PD ? 平面 ABCD , 且 PD ? 3 , PB 的中点 E ,求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小.(用反三角表示)

P

E

D

C

A

B

2

B、 C 所对的边分别为 a, b, c , 20、 设 ?ABC 的内角 A 、 且满足 cos
(1) 、求 ?ABC 的面积; (2) 、求 a 的最小值.

A 2 5 ,AB ? AC ? 3 ? 2 5

21、设三个数

? x ? 1?

2

? y 2 ,2,

? x ? 1?

2

? y 2 成等差数列,其中 ? x, y ? 对应点的曲线方

程是 C . (1)、求 C 的标准方程; (2)、直线 l1 : x ? y ? m ? 0 与曲线 C 相交于不同两点 M , N ,且满足 ?MON 为钝角,其 中 O 为直角坐标原点,求出 m 的取值范围.

3

22、已知函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,其反函数是 y ? f ?1 ? x ? .

1? ? ?1 ? ,求 y ? f ? x ? 并写出定义域 M ; 2? ? ?1 (2)、对于(1)的 y ? f ? x ? 和 M ,设任意 x1 ? M , x2 ? M , x1 ? x2 ,
(1) 、若 y ? x 2 ? 1? x ? 求证: f (3) 、若 y ?

?x1 ? ? f ?1 ?x 2 ? ? x1 ? x 2 ; f ?x ? 和 y ? f ?1 ? x ? 有交点,那么交点一定在 y ? x 上.
?1

23、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn ? am , 则称 ?an ? 是“H 数列” . (1)、若数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ,判断 ?an ? 是否为“H 数列” ; (2) 、等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 ? 2d ,求证: ?an ? 是“H 数列” ; (3) 、设点 ? Sn , an?1 ? 在直线 ?1 ? q ? x ? y ? r 上,其中 a1 ? 2t ? 0 , q ? 0 . 若 ?an ? 是“H 数列” ,求 q , r 满足的条件.

4

2016 年奉贤区高三数学一模参考答案
一、填空题(每题 4 分,56 分) 1、 1 ; 3、 log3 2 5、 56 ; 7、 2 2 ; 9、 ? ? 3, 2 ? ; 2、 B ? 5,14? ; 4、 ? 0,3? ; 6、 a ? 1 ; 8、 1209 ; 10、 ?4 ;

?

?

?1 5? ? ? 12、 ? ,? ? ? ? ? 0, ? ? ,? ? ? ? ? ,? y ? cos x 在 ? 0, ? ? 上递减,而 cos ?? ? ? ? ? cos ? ,
11、 ? , ? 2 4 所以条件错误,不可解 13、 ?1 14、 ?1,3?

二、选择题(每题 5 分,20 分) 15、 A ; 16、 B ; 17、 C ; 三、解答题(12+14+14+16+18=74 分) 19、取 BC 的中点 F ,连接 EF , AF 、 AE

18、 C ;

? E 、 F 是中点,? EF 是 ?PBD 的中位线

? EF ∥ PB ? ?AEF (或者其补角)为异面直线 AE 与 PC 所成角

3分

在 Rt ?PAB 中, PB ? 14, AE ?

14 2

5分

PC ? 10, EF ?

10 2 5 14 , AE ? AF ? 2 , AE ? 2 2
AE 2 ? EF 2 ? AF 2 2 AE ? EF
2

P
6分 7分

由余弦定理可知

cos ?AEF ?
2

D

E

C
F

? 14 ? ? 10 ? ? ? ?? ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? 14 10 2? ? 2 2 4 35 ??AEF ? arccos 35

? ?

2

?

4 35 35

10 分

A

B

11 分

异面直线 AE 与 PC 所成角的大小 arccos

4 35 . 35

12 分

5

20、解: (1)因为 cos

3 A 2 5 2 A ?1 ? , ,所以 cos A ? 2 cos ? 2 5 2 5

2分 3分 4分 5分 7分

4 5 ??? ? ??? ? 又因为 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3 sin A ?
bc cos A ? 3 ? bc ? 5 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2
(2)? bc ? 5,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 2 ? 5 ?
2 2 2 2 2

3 5

10 分 11 分 12 分

?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6

? ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ? b2 ? c 2 ? 6 ? a 2 ? 2bc ? 10 amin ? 2
当且仅当 b ? c ?

5 时 a 最小值是 2
2

14 分

21、 (1) 、依题意:

? x ?1? ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 所以点 P ? x, y ? 对应的曲线方程 C 是椭圆

1分 2分 3分 4分 5分 6分

2a ? 4,? a ? 2 . c ?1 ?a ? 2, c ? 1, b ? 3

x y ? ?1 4 3

2

2

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 (2) 、联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
2 ? ?6 4 m2 ? 2 ? 8 m 42 ? ? 1 2 ? 3 3? 6 m4 8?

7分

0

8分 9分

? m2 ? 7
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

4m 2 ? 12 得 x1 x2 ? 7
方法一

10 分

6

可计算 y1 y2 ?

3m 2 ? 12 7

11 分

由 ?MON 为钝角,则 OM ? ON ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0

???? ? ????

4m2 ? 12 3m2 ? 12 ? ?0 7 7
所以 m ?
2

12 分

24 7

13 分

??

2 42 2 42 ?m? 7 7

14 分

方法二 或者 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 2x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m2 11 分

?

2 4m2 ?12 7
所以 m ?
2

?

? ? m 8m ? m
7

2

?

7m2 ? 24 ?0 7

12 分 13 分

24 7

??

2 42 2 42 ?m? , 7 7
?1

14 分

22、解: (1) 、f (2) 、 f
?1

?x ? ?

? 3 ? x ? 1, M ? ? ? ,?? ? ? 4 ?
x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

3+2=5 分 7分 9分 10 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ?

3 1 3 1 ? x1 ? ? ,? x1 ? 1 ? , x 2 ? ? ,? x 2 ? 1 ? 4 2 4 2 1 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1,? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1

?
? f

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
?1

? x1 ? x 2
11 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ? x1 ? x2 ?1 (3) 、设 ?a, b ? 是 y ? f ?x ? 和 y ? f ? x ? 有交点 ?b ? f ?a ? 即? ,? a ? f ?b?, b ? f ?a ? ?1 ?b ? f ?a ?
当 a ? b ,显然在 y ? x 上 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾
7

12 分 13 分 15 分 16 分

因此,若 y ? f ?x ? 和 y ? f ?1 ? x ? 的交点一定在 y ? x 上 23、解析:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2

16 分

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2 ? 2n ? 1 是奇数,2m 是偶数 m ? 2n ? 1? 2
当 n ≥ 2 时, Sn ? ∴ {an } 不是“H 数列” n(n ? 1) n(n ? 1) (2) Sn ? na1 ? d ? 2dn ? d 2 2 对任意 n ? N? ,存在 m ? N? 使 Sn ? am ,即 na1 ?

1分 2分 3分 4分 6分
n(n ? 1) d ? a1 ? (m ? 1)d 2

m ? 2n ? 1 ?

n, n ? 1 是一奇一偶,?m 一定是自然数 (3) n ? 2 时 ?1? q? Sn ? an?1 ? r , ?1? q? Sn?1 ? an ? r

n( n ? 1 ) 2

8分 10 分

?1? q? an ? an?1 ? an ? 0

? an?1 ? qan

12 分

?1? q? ? 2t ? a2 ? r
a2 ? r ? 2qt ? 2t ? p
13 分 14 分

? ?2t ? n ? 1? ? an ? ? n?2 ? ? p ? q ? n ? 2? ? ?2t ? n ? 1? q ? 1 时, an ? ? ? ?r ? n ? 2 ? Sn ? 2t ? ? n ?1? r ? r 不恒成立 显然 ?an ? 不是“H 数列” q ? 1时
S n ? 2t ? p 1 ? q n ?1

15 分

?

,所以对任意 n ? 2 时,存在 m ? N * 成立 ?an ? 是“H 数列”

1? q n ? 1, S1 ? a1

? ? 2t ?

p pq n ?1 ? 1? q 1? q

16 分

p pq n?1 ? ? pq m?2 1? q 1? q ? q ? 2 , p ? 2t ,? r ? 4t ? 2t ? 2t , r ? 0 ? q ? 2, r ? 0, t ? 0 的正实数 ? Sn ? 2t ?

18 分

8


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