9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学直线和圆的方程复习讲义有答案



高一数学直线和圆的方程复习讲义
一.知识要点: 1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜 角,范围为 ?0, ? ? 。 2.斜率:当直线的倾斜角不是 900 时,则称其正切值为该直线的斜率,即 k=tan ? ;当直 线的倾斜角等于 900 时,直线的斜率不存在 过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的

直线的斜率公式:k=tan ? ?
y2 ? y1 (若 x1=x2,则直线 x2 ? x1

p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 900) 。 4.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式 很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 方程 说明 适用条件 k——斜率 倾斜角为 90°的直线 斜截式 y=kx+b b——纵截距 不能用此式 (x0,y0)——直线上 倾斜角为 90°的直线 点斜式 y-y0=k(x-x0) 已知点,k——斜率 不能用此式 两点式

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b

(x1,y1),(x2,y2)是直 线上两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距
?

与两坐标轴平行的直 线不能用此式 过(0,0)及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式

截距式

一般式 Ax+By+C=0

A C C , ? , ? 分别 B A B 为斜率、横截距和纵截 A、B 不能同时为零 距

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于 x 轴)的直线;两点式不能表示平 行或重合两坐标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 5.两条直线的位置关系 10 两条直线平行 ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论 的错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1 ,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 , 且 b 1 ?b 2 或 l 1 ,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 ? B1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1 ?C 2 )
l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线.

1

推论:如果两条直线 l 1 ,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ?? 1?? 2 . 20 两条直线垂直 两条直线垂直的条件:①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这 里的前提是 l 1 ,l 2 的斜率都存在. ② l 1 ?l 2 ?k 1? 0 ,且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ,且 l 1 的斜率不存 在. (即 A1 B 2 ? A 2 B1 ? 0 是垂直的充要条件) 6.两条直线的交角 ①直线 l 1 到 l 2 的角(方向角) ;直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到 与 l 2 重合时所转动的角 ? ,它的范围是 (0, ? ) ,当 ? ? 90? 时 tan? ?
k 2 ?k 1 1 ? k 1k 2

.

②两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四
? ?? ? 个角中最小的正角 ? ,又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? ? 0, ? ,当 ? ? 90 ,则有 ? 2? t an? ? k 2 ?k 1 1 ? k 1k 2

.

7.点到直线的距离 ①点到直线的距离公式: 设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ,则有 d ? ②两条平行线间的距离公式: 设两条平行直线 l 1 : Ax ? By ?C 1? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1?C 2 ) ,它们之间的距离 d ? 8.圆的方程: 圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (圆心 ( a , b) ,半径为 r ) 圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (其中 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ) , 圆心为点 (?
D E ,? ) ,半径 r ? 2 2
C 1 ?C 2 A2 ?B 2
Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

.

D 2 ? E 2 ? 4F 2
D E ,? ) 2 2

(Ⅰ)当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程表示一个点,这个点的坐标为 ( ? (Ⅱ)当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。 9. 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种
2

(Ⅰ)若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离,即直线与圆没有公共点;

(Ⅱ) d ? r ? 相切,即直线与圆只有一个公共点; (Ⅲ) d ? r ? 相交,即直线与圆有两个公共点。 10. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1, O2 ,半径分别为 r1, r2 , O1O2 ? d 。d ? r1 ? r2 ? 外离;d ? r1 ? r2 ? 外切; r 1 ?r 2 ?d ?r 1?r 2 ? 相交; d ? r 1 ?r 2 ? 内切; 0 ? d ? r 1 ?r 2 ? 内含。 二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是: ① x 2 项 y 2 项的系数相同且不为 0,即 A ? C ? 0 ; ②、没有 xy 项,即 B=0;③、 D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 。 二.习题精讲: 例 1. (2008 四川理,4) . 直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为( A )
1 1 (A) y ? ? x ? 3 3 1 (B) y ? ? x ? 1 3

(C) y ? 3x ? 3

(D) y ?

1 x ?1 3

1 【解】 :∵直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 的直线为 y ? ? x ,从而淘汰(C) , (D) 3 1 1 1 1 又∵将 y ? ? x 向右平移1个单位得 y ? ? ? x ? 1? ,即 y ? ? x ? 故选 A; 3 3 3 3

例 2.(全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为

2 2 ,则 m 的倾斜角可以是
① 15? ② 30? ③ 45? ④ 60? ⑤ 75? .(写出所有正确答案的序号)
| 3?1| 1?1 ? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o , l 1 的

其中正确答案的序号是 【解析】解:两平行线间的距离为 d ?

倾斜角为 45o ,所以直线 m 的倾斜角等于 30o ? 450 ? 750 或 45o ? 300 ? 150 。 【答案】①⑤ 例 3. ? ABC 的顶点 A(1,3) , B (2,1), C (?3, ?1) ,试求∠A 平分线 AT 所在直线方程。 [思路] 利用角平线性质∠CAT=∠BAT 结合到角公式求出直线 AT 的斜率即可。 [破解] 如图 7-1,由已知易求 K AC ? 1, K AB ? ?2 。由角平线的性质∠CAT=∠BAT 知 AC
3

k AT ? k AC k ? k AT 1 即可求出 k AT ? ? ,从而∠ ? AB 6 1 ? k AT k AC 1 ? k AT k AB A 平分线 AT 所在直线方程为: x ? 6 y ? 19 ? 0
到 AT 的角与 AT 到 AB 的角相等。 例 4.(2010 安徽文) (4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 【答案】A 【解析】设直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,又经过 (1, 0) ,故 c ? ?1 ,所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 【方法技巧】 因为所求直线与与直线 x-2y-2=0 平行, 所以设平行直线系方程为 x ? 2 y ? c ? 0 , 代入此直线所过的点的坐标,得参数值,进而得直线方程.也可以用验证法,判 断四个选项中方程哪一个过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行. 例 5. ( 2010 上海文) 7. 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4y ? 4? 0的距离
d?

(B)x-2y+1=0

(C)2x+y-2=0

(D)x+2y-1=0



【答案】3 解析:考查点到直线距离公式 圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为

3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 5

?3
.

例 6. (2010 四川理) (14) 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 相交于 A、 B 两点, 则?AB ?? 解析:圆心为(0,0),半径为 2 2 圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d= 故?

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? 得|AB|=2 3答案:2 3 ?

例 7.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点, PA, PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线, A、 B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 . 答案:2 2 解法一:∵点 P 在直线 3x+4y+8=0 上.如图 7—9. ∴设 P(x, ? 2 ? S 四边形 PACB=2S△PAC
4

3 x) ,C 点坐标为(1,1) , 4

=2· ·|AP|·|AC|=|AP|·|AC|=|AP| ∵|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1 ∴当|PC|最小时,|AP|最小,四边形 PACB 的面积最小. ∴|PC|2=(1-x)2+(1+2+ ∴|PC|min=3

1 2

25 2 5 5 3 x ? x ? 10 ? ( x ? 1) 2 ? 9 x)2= 4 16 2 4

∴四边形 PACB 面积的最小值为 2 2 .

解法二:由法一知需求|PC|最小值,即求 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离,∵C(1,1) ,∴ |PC|=

|3? 4 ?8| =3,SPACD=2 2 . 5

例 8、 已知⊙M: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点, 如果 | AB |?
4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3 4 2 | AB | 2 2 2 2 1 , 可得 | MP |? | MA | 2 ?( ) ? 12 ? ( ) ? , 3 2 3 3 2 | MB | ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,

解:设 Q 坐标 (0, a) ,由 | AB |? 由射影定理,得

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,

故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是 2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0; 说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。

三.实战演练: 一、选择题 1.(辽宁理,4)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 A. ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 C. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 B. ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等 于半径 2即可. 【答案】B 2.(重庆理,1)直线 y ? x ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1的位置关系为( A.相切 B.相交但直线不过圆心 ) D.相离

C.直线过圆心

【解析】圆心 (0, 0) 为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?
5

2 1 2 ? 1 ,选 ,而 0 ? ? 2 2 2

B。 【答案】B 3.(重庆文,1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 )

解法 1(直接法) :设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) 2 ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,故圆 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1。 解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故圆的 方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排 除 C。 【答案】A 4.(上海文,17)点 P(4,-2)与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连续的中点轨迹方程是 A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ( )

4?s ? x? ? ?s ? 2 x ? 4 ? 2 【解析】 设圆上任一点为 Q (s, t) , PQ 的中点为 A (x , y) , 则? , 解得:? , ?t ? 2 y ? 2 ?y ? ? 2 ? t ? 2 ?

代入圆方程,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,整理,得: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 【答案】A 5. (上海文, 15)已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 得值是( A. 1 或 3 ) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2
3?k =k-3, 4?k

【解析】当 k=3 时,两直线平行,当 k≠3 时,由两直线平行,斜率相等,得: 解得:k=5,故选 C。 【答案】C

6.(陕西理,4)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆学 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为科网 A. 3 B.2 C. 6
6

D.2 3

2 解析:x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ? x 2 ? (y ? 2) ? 4,

? A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1, ? ON= 3 ? 弦长2 3
【答案】D 二、填空题 1. ( 2010 上 海 文 ) 7. 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的 圆 心 到 直 线 3x ? 4y ? 4? 0的 距 离
d?



【答案】3 解析:考查点到直线距离公式 圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为
3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 5 ?3

2.(2010 湖南文)14.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b) , (3-b,3-a) ,则线段 PQ 的垂 直平分线 l 过原点,l 的方程为 程为 3.(2010 全国卷 2 理) (16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为 圆 M 与圆 N 的公共弦, AB ? 4 .若 OM ?ON ? 3 ,则两圆圆心的距 离 MN ? .
O B N E A

,圆(x-2) +(y-3) =1 关于直线 l 对称的圆的方

2

2

【解析】3:本题考查球、直线与圆的基础知识 ∵ ON=3, 球半径为 4, ∴小圆 N 的半径为 7 , ∵小圆 N 中弦长 AB=4, 作 NE 垂直于 AB, ∴ NE= 3 , 同理可得 ME ? 3 , 在直角三角形 ONE 中,∵ NE= 3 ,ON=3,∴ ∴ MN=3 4.(2010 山东文) (16) 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 答案: 5. (2010 四川理) (14) 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 相交于 A、 B 两点, 则?AB ?? 解析:方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 . .
?EON ?
M

?
6 ,∴

?MON ?

?
3,

7

圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d= 故?

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? ,得|AB|=2 3 ?

6. (2010 天津文) (14) 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 【答案】 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 本题主要考查直线的参数方程,圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识,属于容易题。 令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为(-1.0) 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r ? 程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 7.(2010 广东理)12.已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 8.(2010 山东理)
| ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,所以圆 C 的方 2



【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:
( | a-1| 2 ) +2=(a-1)2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐标为 2

(3,0) ,因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直线方 程为 x+y-3=0 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。 9.(2010 江苏卷)9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是___________ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2,
|c| ? 1 , c 的取值范围是(-13,13) 。 13

圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,
8



更多相关文章:
高一数学直线和圆的方程复习讲义有答案
高一数学直线和圆的方程复习讲义有答案_数学_高中教育_教育专区。高一数学直线和圆的方程复习讲义一.知识要点: 1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正...
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案_数学_高中教育_教育专区。一、 选择题(每题 3 分,共 54 分) 1、在直角坐标系中,直线 x ? A. 3 y ? ...
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1、已知圆 x 方程。 2 ? y 2 ? 25 ,求: (1)过点 A(4,-3)的切线...
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案
1、已知圆 x 方程。 2 ? y 2 ? 25 ,求: (1)过点 A(4,-3)的切线方程(2)过点 B(-5,2)的切线 A. ? 2 13、已知直线 l1 )A. B. ? 1 C....
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案[1]
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案[1] 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 1、已知圆 x 方程。 2 (1)过点 ? y 2 ? 25 ,求: A(4,-3...
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案_数学_高中教育_教育专区。直线与圆练习题一、 选择题(每题 3 分,共 54 分) 1、在直角坐标系中,直线 x ?...
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案_数学_高中教育_教育专区。1、已知圆 x 2 ? y 2 ? 25 ,求: (1)过点 A(4,-3)的切线方程(2)过点 B...
苏教版高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案doc
苏教版高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案doc_高二数学_数学_高中教育_教育专区。苏教版高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案一、 选择题...
高一数学复习讲义:第六章 直线和圆的方程
高一数学复习讲义:第六章 直线和圆的方程_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一...点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法,本题也可以先设直线方程,然后求交...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图