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海南省文昌中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题



2015—2016 学年度第一学期

高一年级数学科段考试题
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.设集合 U ? x x ? 3? , A ? x x ? 1?,则 CU A = ( A. x1 ? x ? 3 2.函数 f ( x) ? A.R C. (??, ?1) ? (1, 10

) 3.下列运算结果中,正确的是( A. a 2 ? a 3 ? a 6 C. )

?

?

) D. ? x x ? 1?

?

?

B. x1 ? x ? 3

?

?

C. x 1 ? x ? 3? ) B.[1,10] D. (1,10)

?

x2 ? lg(10 ? x) 的定义域为( x ?1

?

a ?1 ? 0

?

0

? ? ? ?? a ? D. ?? a ? ? ?a
B. ? a 2
3 2 3 6

3 2

4.函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 零点所在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2]

) C. [2,3] D. [3, 4]

5.设偶函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0, 5] 时, f ( x) 的图象如图,则不等式 f ( x) ? 0 的解集 是( A. ?2,5? B. ?? 5,?2? ? ?2,5? C. ?? 2,0? ? ?2,5? D. ?? 5,0? ? ?2,5?
x 6.已知 a ? 0且a ? 1 ,函数 y ? log a x , y ?a , y ?x ?a 在同一坐标系中的图象可能是(





A.

B.
0.3

C. ) C. c ? a ? b

D.

7.设 a ? log 1 3 , b ? ? ?
2

?1? , c ? ln ? ,则( ? 3?
B. a ? c ? b

A. a ? b ? c

D. b ? a ? c

8.已知幂函数 f ( x) ? x a 的部分对应值如下表,则不等式

x
f ( x)

f ( x ) ≤ 2 的解集是 (

1

)
1

1 2

2 2

A.{x | 0 < x ≤

2} 2}

B.{x | 0 ≤ x ≤ 4 } D.{x | - 4 ≤ x ≤ 4 } ) C . C . m ? ?1 D . D . m ? ?1 )

C.{x | - 2 ≤ x ≤

9.设集合 M ? {x | x ? m ? 0} , N ? { y | y ? a x ?1, a ? 0且a ? 1} ,若 M∩N= ? ,则 m 的范围是(

. m ? ?1 AA .
A.4 11.已知函数 f ( x) ? A. (2,3) 12.已知函数 f ( x) ? A.a<1

. m ? ?1 BB .
B. 0

10.已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? 2 ,且 f (?5) ? m, 则 f (5) ? f (?5) 的值为( C. 2 m

D. ? m ? 4 )

2 x-1 ,则不等式 2x ? 1
B. (1,3)

? ? ? ? f (2 f? log ( x - 1 ) -x ) >0 的解集为( 1 ? ? ? 2 ?
C. (0,2) D. (1,2)

ax2 ? 2 x ? 1, ( x ? 0) 有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是( ax-3 , ( x ? 0)
B.0<a<1 C.a≥1 D.a>0

)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
0 ? 3? ? 1 ?2 13.计算 ? 2 ? ? ? ?9.6 ? ? ? 3 ? ? 4? ? 8?
1 2 ?3

? ?1.5?

?2

=

. . .

14.幂函数 f ( x) ? (m ? 2m ? 2) x
2

1 m? m2 2

在 (0, ??) 上是减函数,则 m ?

15.已知全集U ? R ,集合 A ? {x | 0 ? 2x ? 1} , B ? {x | log3 x ? 0} 则 A ? (CU B) = 16.下列命题: ①函数 y ? ?

2 在其定义域上是增函数; x

②函数 y ?

x 2 ( x ? 1) 是偶函数; x ?1
.

③函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象可由 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象向右平移 2 个单位得到; ④若 2a ? 3b ? 1,则 a ? b ? 0 ; 则上述正确命题的序号是

三、解答题(17 题 10 分,18-22 题各 12 分,共 70 分)
?? x ? 1 ? x ? 0 ? ? 2 17.(10 分)已知 f ( x) = ? x 0 ? x ? 1 ? x 1? x ? 2 ? ?
(1)求 f(

y

1 1

3 2 ),f [f (- )]值; 2 3
1 ,求 x 值; 2

x

(2)若 f (x)=

(3)作出该函数简图(画在右图坐标系内); (4)求函数的单调增区间与值域。

18.(12 分)已知函数 f ( x) ?

x2 ? a ,且 f (1) ? 2 。 x

(1)证明函数 f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数; (2)求函数 f ( x) 在 [2,5] 上的最大值与最小值。 19.(12 分)已知函数 y ? f ( x) 是二次函数,且满足 f (0) ? 3 , f (?1) ? f (3) ? 0 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 x ?[t , t ? 2] ,试将 y ? f ( x) 的最大值表示成关于 t 的函数 g (t ) . 20. (12 分)为了预防甲型 H1N1 流感,某学校对教室用药薰消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与 t 时间(小时)成正比,药物释放完毕后,y 与 t 之间的函 数关系式为 y ? (

1 t ?a ) (a 为常数)如下图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题。 16

(Ⅰ)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)之间的函数关系式; (Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时, 学生方可进教室,那么从药物释放开始至少需要经过多少小时 后,学生才可能回到教室。 21.(12 分)已知函数 f ( x) ? log 1

1? x . 2 x ?1

(I)若 a ? b ? 1 ,试比较 f (a) 与 f (b) 的大小; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ( ) x ? m ,且 g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点,求实数 m 的取值范围。

1 2

22.(12 分)定义在 R 上的单调函数 f ( x) 满足 f (3) ? log2 3 ,且对任意 x, y ? R ,都有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 。
(1)求证 f ( x) 为奇函数; (2)若 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围。

2015—2016 学年度第一学期

高一年级数学科段考试题参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 A 11 D 12 B

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.

1 2

14.-1

15. (??, 0)

16.③④

三、解答题(17 题 10 分,18-22 题各 12 分,共 70 分)
17. 解: (1)f(

3 3 )= 2 2

…………………………………………1分

f(-

2 2 2 4 2 )= ,∴f[f(- )]=f( )= . …………………………2分 3 3 3 9 3
1 1 ? x=- 符合题意 2 2
…………………3分

(2)当-1≤x<0时,f(x)=-x= 当0≤x<1时,f(x)=x2= 当1≤x≤2时,f(x)=x= 综上:x=- (3)见右图

1 2 2 或x=- (不合,舍去) …………4分 ?x= 2 2 2
……………………5分

1 (不合题意,舍去) 2

1 2 或 .………………6分 2 2
…………………………8分

(4)增区间为[0, 2], ………………9分 值域为[0, 2] ………………10分 ………………………………………………1 分 ………………………………………………2 分

18.解: (1)由 f(1)= 2,得 a=1 任取 x2 ? x1 ? 1,

x2 ? 1 1 f ( x) ? ? x? x x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

x x ?1 1 1 ……………………………… 3分 ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) 1 2 x1 x2 x1 x2
………………………………5 分 ………………………………………6 分 ……………………………………7 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

x x ?1 1 1 ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) 1 2 x1 x2 x1 x2
因为 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1, 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数; ………………………………8 分 (2)由(1)知,最大值为 f (5) ? 最小值为 f (2) ?

26 ; 5

……………………………………10 分

5 2

……………………………………………12 分

19. (1)由题可设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) , 又 f (0) ? 3 ,得 a=-1,
2 得 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3

…………………………………………3 分 …………………………………………5 分

………………………………………………6 分

(2)由(1)知, y ? f ( x) 的对称轴为 x0 ? 1 , ……………………………………7 分 若 t ? 1 ,则 y ? f ( x) 在 [t , t ? 2] 上是减函数, ymax ? f (t ) ? ?t 2 ? 2t ? 3 …8 分 若 t ? 2 ? 1 ,即 t ? ?1 ,则 y ? f ( x) 在 [t , t ? 2] 上是增函数,

ymax ? f (t ? 2) ? ?t 2 ? 2t ? 3

…………………………………………9 分 ………………………10 分

若 t ? 1 ? t ? 2 ,即 ?1 ? t ? 1,则 ymax ? f (1) ? 4
22 ?? ? ? tt ?? 22 t? t 3( ?3 t( ? t? ? 1)? 1) ?? 故 gg (t ()t ? )??? 44 (?1 ? ( ?1 t ?? t 1) ? 1) ?? 22 ? ? tt ?? 22 t? t 3( ?3 t( ? t 1) ?1) ??

……………………………………12 分

20.(Ⅰ)当 0 ? t ? 0.1 时,设 y ? kt , 图象过点 (0.1 , 1) ,从而 1 ? 0.1k,k ? 10. ? y ? 10t. 又y?( ……………………3 分

1 t ?a 1 ) 的图象过点 (0.1, ? 0.1 ? a ? 0,a ? 0.1. 1) ,得 1 ? ( ) 0.1? a , 16 16

所以,当 t ? 0.1 时, y ? (

1 t ?0.1 ) . 16

……………………………………6 分

故每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为

t, t( , 0 (0??t t??00 .1 .1 )) ?10 ?10 ?? yy???? 11 t ?t0 .. ?.0 1.1 ( ( ) ) , ( , t ( t ? ? 0 0 . 1 . 1 ) ) ? 16 ?? ?16
(Ⅱ)由 y ? (

……………………………………8 分

1 t ? 0 .1 ) ? 0.25 16

…………………………………………………9 分

得 ( ) 2 t ? 0 .2 ?

1 4

1 , 4

……………………………………………………10 分 ………………………………………………11 分

? 2t ? 0.2 ? 1,t ? 0.6.

故从药物释放开始至少需要经过 0.6 小时后,学生才可能回到教室.…12 分

21. 解: (I) f ( x) ? log 1

1? x . 2 x ?1
…………………………1分

1? a 1? a 1? b f (a) ? f (b) ? log 1 ? log 1 ? log 1 a ? 1 1? b 2 a ?1 2 b ?1 2 b ?1
? log 1
2

(1 ? a)(b ? 1) ab ? a ? b ? 1 ? log 1 (a ? 1)(1 ? b) 2 ab ? a ? b ? 1

……………………3分

当 a ? b ? 1 时, ab ? a ? b ? 1 ? ab ? a ? b ? 1 ? 0 , 所以 0 ?
ab ? a ? b ? 1 ab ? a ? b ? 1 ? log 1 1 ? 0 , ? 1 ,从而 log 1 ab ? a ? b ? 1 2 ab ? a ? b ? 1 2

……5分

即 f (a) ? f (b) ? 0 . 所以 f (a) ? f (b) . ………………………………………………6分 ………………………………7分 …………………………8分

(Ⅱ)由(I)知, f ( x) 在 (1, ??) 递增,

所以 g ( x) ? f ( x) ? ( ) x ? m 在 ?3, 4? 递增. ∵ g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点, ∴ 或 g (4) ? log 1 ∴ m?

1 2

……………………9分

1? 4 1 4 5 1 ? ( ) ? m ? log 1 ? ? m ? 0 , 2 16 2 4 ?1 2 3

…………10分

9 1 5 或m ? ? log 1 . 8 16 2 3

……………………………………12分

22. (1)证明:已知 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,得 f (0) ? 0 …………1 分

令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,即 f ( x) ? f (? x) ? 0 , ……3 分 则 f ( ? x) ? ? f ( x) , 故 f ( x) 为奇函数; ……………………………………………4 分

(2)解:因为 f (3) ? log2 3 ? 0 ? f (0) , f ( x) 是在 R 上的单调函数, 所以 f ( x) 在 R 上是增函数。 ……………………………………5 分

由(1)知 f (k ? 3x ) ? ? f (3x ? 9x ? 2) ? f (?3x ? 9x ? 2) , 得 k ? 3x ? ?3x ? 9x ? 2 ……………………………………………6 分

即 32 x ? (1 ? k )3x ? 2 ? 0 对任意 x ? R 恒成立。 令 t ? 3x (t ? 0) ,则问题等价于 t 2 ? (1 ? k)t ? 2 ? 0 对任意 t ? 0 恒成立,…7 分 令 g (t ) ? t 2 ? (1 ? k )t ? 2 ,对称轴为 t ? 当 当

1? k , 2

……………………8 分

1? k ? 0 ,即 k ? ?1 时, g (t ) ? g (0) ? 2 ? 0 ,符合题意; ………9 分 2 1? k ? 0 ,即 k ? ?1 时,要使对任意 t ? 0 , g (t ) ? 0 恒成立, 2

只要 ? ? (1 ? k )2 ? 4 ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? ?1 ? 2 2 。 ………………11 分 综上所述,k 的取值范围为 (??, ?1 ? 2 2) 。 ……………………12 分



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