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四川省广安市邻水县、岳池县、前锋区2015-2016学年高二数学下学期期末联考试题 文



邻水县、岳池县、前锋区 2016 年春高中期末联考试题 高二
注意事项: 1.本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.本试卷分为试题卷(1~4 页)和答题卡两部分。试题卷上不答题,请将第Ⅰ卷选择题和第 Ⅱ卷非选择题的答案答在答题卡上的相应位置; 选择题答题用机读卡的, 请将第 I 卷选择题 的答案填涂在机读卡上。 考试结束, 只交答题卡; 选择题答题用

机读卡的, 同时须交机读卡。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 2 1.| |=( 1+i A.2 2 ) B.2 C. 2 处应填入 ( ) D.1

数学(文科)

2.下图是函数性质的知识结构图,在

A.图象变换 3.已知 f(x+1)=

B.对称性

C.奇偶性

D.解析式

2f(x) * ,f(1)=1(x∈N ),猜想 f(x)的表达式为( ) f(x)+2 4 2 1 2 A.f(x)= x B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2 +2 x+1 x+1 2x+1 4.身高与体重的关系可以用________来分析( ) A.残差分析 B.回归分析 C.二维条形图 D.独立检验 ) D.- 3 6

1 π 5.若函数 f(x)=asin x+ cos x 在 x= 处有最值,那么 a 等于( 3 3 A. 3 3
2

B.-
2

3 3
2

C.

3 6

6.在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 7.复数 z= A.a=0

D.不能确定 ) D.a=0,或 a=-2
1

a(a+2) 2 +(a +2a-3)i(a∈R)为纯虚数,则 a 的值为( a-1
B.a=0,且 a≠-1 C.a≠1,或 a≠-3

8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A.1 13 C. 21 2 B. 3 610 D. 987

)

9.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 ) 3 7

^ ^ ^ 则 y 与 x 的线性回归方程y=bx+a必过点( A.(2,2) B.(1.5,0) C.(1,2)

D.(1.5,4)

10.函数 f(x)=2x -3x -12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是 ( ) A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 3 11. 已知 f(x)=x +x, a、 b、 c∈R, 且 a+b>0, a+c>0, b+c>0, 则 f(a)+f(b)+f(c)的值 ( A.一定大于零 B.一定等于零 C.一定小于零 D.正负都有可能

3

2

)

12.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x) >0,且 g(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
?log2x, x≥2, ? 13.已知函数 y=? ?2-x, x<2. ?

如图表示的是给

定 x 的值,求其对应的函数值 y 的程序框图.①处 应填写________;②处应填写________. 14.给出下列命题:①若 z∈C,则 z ≥0;②若 a,b 是 实数,且 a>b,则 a+i>b+i;③a∈C,则(a+1)i 1 2 是纯虚数; ④z= , 则 z +1 对应的点在第一象限. 其 i 中正确的有_______________个. 15.若下列两个方程 x -(a-1)x+a =0,x +2ax -2a =0 中至少有一个方程有实数根, 则实数 a 的取值范 围是________.
2 2 2 2

2

16.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如下图所示,给出下列判断: (1)函数 y=f(x)在区间(3,5)内单调递增; ? 1 ? (2)函数 y=f(x)在区间?- ,3?内单调递减; ? 2 ? (3)函数 y=f(x)在区间(-3,2)内单调递增; 1 (4)当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值; 2 (5)当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值. 则上述判断中正确的序号是________________. 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小 题满分 12 分)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部 为 2,z1·z2 是实数,求 z2.

18. (本小题满分 12 分)证明:若 a>0,则

a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

1

1

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,

AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn= (n∈N+),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.

Sn n

3

4

21. (本小题满分 12 分) 1 3 2 2 设函数 f(x)=- x +2ax -3a x+b(常数 a,b 满足 0<a<1,b∈R). 3 (1)求函数 f(x)的单调区间、极值; (2)若当 x∈[a+1,a+2]时,恒有|f′(x)|≤a,试确定 a 的取值范围.

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题 卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长 线交于点 E,AB=AC,AE=6,BD=5,求 CF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 过定点 P ( ?3, ? ) 与圆 C : ? 求: (1)若 |

3 2

? x ? 5cos ? (? 为参数) 相交于 A 、 B 两点. y ? 5sin ? ?

AB |? 8 ,求直线 l 的方程;
3 2

(2)若点 P ( ?3, ? ) 为弦 AB 的中点,求弦 AB 的方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2; (2)求函数 y=f(x)的最小值.

5

邻水县、岳池县、前锋区 2016 年春高中期末联考试题 高二 数学(文科)参考答案 1-5:CCBBA 13: 6-10:CDCDA 11-12:AD 0 15: a≤-2 或 a≥-1 16: (3)

x<2,y=log2x

14:

17、解:(z1-2)(1+i)=1-i? z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R,则 z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·z2∈R,∴z2=4+2i.

18. 证明:∵a>0,要证 只需证 只需证? 1

a2+ 2- 2≥a+ -2, a a
1

1

1

a2+ 2+2≥a+ + 2, a a

? ?
a

? ? a2+ 2+2? ≥?a+a+ 2? , a ? ? ?
1 1

?2

2

1 2 即证 a + 2+4+4 即证 1 2?

a2+ 2≥a2+ 2+4+2 2?a+ ?, a a ? a?
1?

1

1

?

1?

a2+ 2≥ ?a+ ?, a 2 ? a?

1 1? 2 1 ? 2 即证 a + 2≥ ?a + 2+2?, a a 2? ? 1 2 即证 a + 2≥2,

a

2 ? 1? 即证?a- ? =0,

?

a?

该不等式显然成立. 19 解:(1)∵PD⊥平面 ABCD, BC? 平面 ABCD,∴PD⊥BC. 由∠BCD=90°,得 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC. ∵PC? 平面 PDC,∴BC⊥PC,即 PC⊥BC.

6

(2)连接 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h, ∵AB∥DC,∠BCD=90°,∴∠ABC=90°. 从而由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1, 1 1 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 PABC 的体积 V= S△ABC·PD= . 3 3 ∵PD⊥平面 ABCD,DC? 平面 ABCD,∴PD⊥DC,又 PD=DC=1. 2 2 ∴PC= PD +DC = 2. 2 由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 S△PBC= , 2 1 1 2 1 由 V= S△PBC·h= · ·h= ,得 h= 2. 3 3 2 3 因此,点 A 到平面 PBC 的距离为 2. 20.解:(1)设等差数列公差为 d, 3×2 则 3a1+ d=9+3 2, 2 解得 d=2,∴an=1+ 2+(n-1)×2=2n+ 2-1,

Sn=

1+ 2+2n+ 2-1 n=n(n+ 2). 2

(2)bn= =n+ 2.用反证法证明. 设 bn,bm,bk 成等比数列(m,n,k 互不相等),则 bnbk=bm,即(n+ 2)(k+ 2)=(m+ 2) , 整理得:nk-m = 2(2m-n-k),左边为有理数,右边是无理数,矛盾,故任何不同三项都不 可能成等比数列. 21.解:(1)f′(x)=-x +4ax-3a =-(x-3a)·(x-a), 令 f′(x)=0 得 x1=a,x2=3a,列表如下: x (-∞,a) a (a,3a) 3a f′(x) - 0 + 0 f(x) ? 极小值 ? 极大值 ∴f(x)在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减. 4 3 则当 x=a 时,f(x)极小=b- a , 3 当 x=3a 时,f(x)极大=b. 2 2 (2)f′(x)=-x +4ax-3a , ∵0<a<1, ∴对称轴 x=2a<a+1, ∴f′(x)在[a+1,a+2]上单调递减. 2 2 ∴f′max=-(a+1) +4a(a+1)-3a =2a-1, 2 2 f′min=-(a+2) +4a(a+2)-3a =4a-4.
2 2 2 2 2

Sn n

(3a,+∞) - ?

7

依题设,|f′(x)|≤a?|f′max|≤a,|f′min|≤a, 即|2a-1|≤a,|4a-4|≤a. 4 解得, ≤a≤1,又 0<a<1, 5 ?4 ? ∴a 的取值范围是? ,1?. ?5 ?

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题 卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.解:先证明四边形 AEBC 是平行四边形,然后利用切割线定理求出 EB 的长,即得 AC 的长,再通过三角形相似求出 CF 的长. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵AE 与圆相切,∴∠EAB=∠C.∴∠ABC=∠EAB,∴AE∥BC.又 ∵AC∥DE, ∴四边形 AEBC 是平行四边形. 由切割线定理可得 AE =EB·ED, 于是 6 =EB(EB+5), 4 CF 8 ∴EB=4(负值舍去),因此 AC=4,BC=6.又∵△AFC∽△DFB,∴ = ,解得 CF= . 5 6-CF 3 23.解: (1)由圆 C 的参数方程 ?
2 2

? x ? 5cos ? ? x2 ? y 2 ? 25 , ? y ? 5sin ?

? x ? ?3 ? t cos ? ? 设直线 l 的参数方程为① ? (t为参数) , 3 y ? ? ? t sin ? ? ? 2
将参数方程①代入圆的方程 x 得 4t
2
2

? y 2 ? 25

?12(2cos ? ? sin ? )t ? 55 ? 0 ,
2

∴△ ? 16[9(2cos ? ? sin ? )

? 55] ? 0 ,

所以方程有两相异实数根 1 、 2 , ∴ | AB |?| t1 ? t2 |? 化简有 3cos
2

t t

9(2 cos ? ? sin ? ) 2 ? 55 ? 8 ,

? ? 4sin ? cos ? ? 0 ,
8

解之 cos ? ? 0 或 tan ? ? ? 3 , 4 从而求出直线 l 的方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . (2)若 P 为

AB 的中点,所以 t1 ? t2 ? 0 ,
? sin ? ? 0 ,得 tan ? ? ?2 ,
2

由(1)知 2 cos ?

故所求弦 AB 的方程为 4 x ? 2 y ? 15 ? 0( x 24.解:(1)令 y=|2x+1|-|x-4|,则

? y 2 ? 25) .

? ? 1 y=? 3x-3,- <x<4, 2 ? ?x+5, x≥4.

1 -x-5, x≤- , 2

?5 ? 作出函数 y=|2x+1|-|x-4|的图像,它与直线 y=2 的交点为(-7,2)和? ,2?.于是|2x+1| ?3 ? ?5 ? -|x-4|>2 的解集为(-∞,-7)∪? ,+∞?. ?3 ?

1 9 (2)由函数 y=|2x+1|-|x-4|的图像可知, 当 x=- 时, y=|2x+1|-|x-4|取得最小值- . 2 2

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