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2014年9月高中数学联赛模拟试题4



2014 年 9 月高中数学联赛模拟试题 3 一试
一、填空题(共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? 象限。若
y2 ? 1的左、右焦点, P 为双曲线 C 上一点,且点 P 在第一 24

PF1 PF2

4 ? ,则 △

PF1F2 内切圆半径为 3



2.已知集合 A ? ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? , B ? ? x x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 ? 。若 a ? 0 ,且 A ? B 中恰有 1 个整数,则 a 的取值范围为 3.若分数
p?q ?

。 ,则当 q 取最小值时,

p p ( p , q 为 正 整 数 ) 化 成 小 数 为 ? 0.198 q q

。 。 。

4.随机地投掷 3 粒骰子,则其中有 2 粒骰子出现的点数之和为 7 的概率为
1? ? ? b) y) 组成的区域。 的点 P( x , 若区域 D 的面积为 8, 则 a ? b 的最小值为
2 3 ?8 ? ?8 ? ?8 ? 6. A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 ? ? 9 ? ? 9 ?

? 1) , B(4 , 0) ,C (2 , 2) 。平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC ( 1 ? ? ? a , 5.已知点 A(1,

? 82014 ? ?? ? 被 63 除的余数为 ? 9 ?

。 (符号 ? x ? 表示不超过

) x 的最大整数。 7.若 a ,b ,c 为关于 x 的方程 x3 ? x2 ? x ? m ? 0 的三个实根,则 m 的最小值为
8.已知




?

2 ?1

?

21

? a ? b 2 ,其中 a 和 b 为正整数,则 b 与 27 的最大公约数是

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 9.已知 F 为椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,椭圆 C 上任意一点 P 到点 F 的距离与点 P 到直线 4 3
1 。设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 F 的直线交椭圆 C 于 D 、 E 两点, 2

l : x ? m 的距离之比为

直线 AD 、 AE 与直线 l 分别相交于 M 、 N 两点。以 MN 为直径的圆是否恒过一定点?若是, 求出定点坐标;若不是,请说明理由。

1

10.已知 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

1 ? 3x ? 1。 x ?1

(1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求证: 立。
2 3 4 ? ? ? 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 32 ? 1 ? n ?1 1 ? ln(2n ? 1) 对一切正整数 n 均成 2 4 ? n ?1 4

? 11、随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,A 组最小数为 a1 ,

?

?

最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 ,最大数为 b1 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2 (1)令 C 表示事件 ? 与? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 p ? c ? ; (2)对(2)中的事件 C, c 表示 C 的对立事件,判断 p ? c ? 和 p ? c ? 的大小关系,并说明理由。

2

二试 一.如图,在五边形 ABCDE 中, BC∥AE , AB ? BC ? AE ,?ABC ? ?CDE ,M 为 CE 中点,
O 为 △BCD 的外心,且 OM ? MD 。延长 DM 至点 K ,使得 MK ? MD 。

求证: ?ABC ? 2?BDA 。

二、给定 2014 个和为 1 的非负实数 a1 , a2 , a3 ,?, a2014 。 是 否 存 在 a1 , a2 , a3 , ? , a2014 的 一 个 排 列 x1 , x2 , x3 , ? , x2014 , 满 足
x1 x 2 ? x x 2 ? 3 ?x
2013

x

1 ? x1 4 x ? 20 2014 1。 2014

3

三、 (a)设实数 x,y,z 都不等于 1,xyz=1,求证:

x2 y2 z2 ? ? ? 1. ( x ? 1)2 ( y ? 1)2 ( z ? 1) 2

(b)证明:存在无穷多组三元有理数组(x,y,z) ,使得上述不等式等号成立.

四、设 n 和 k 是正整数, k ? n ,且 k ? n 是一个偶数.2n 盏灯依次编号为 1,2,?,2n,每一盏 灯可以“开”和“关”.开始时,所有的灯都是“关”的.对这些灯可进行操作,每一次操作 改变其中的一盏灯的开关状态(即“开”变成“关” , “关”变成“开” ) ,我们考虑长度为 k 的操作序列,序列中的第 i 项就是第 i 次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号. 设 N 是 k 次操作后灯 1,?,n 是“开”的,灯 n+1,?,2n 是“关”的状态的所有不 同的操作序列的个数.设 M 是 k 次操作后灯 1,?,n 是“开”的,灯 n+1,?,2n 是“关” 的,但是灯 n+1,?,2n 始终没有被操作过的所有不同的操作序列的个数.求比值
N . M

4

2014 年 9 月高中数学联赛模拟试题 1 一试
一、填空题(共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? 第一象限。若 【答案】
y2 ? 1的左、右焦点, P 为双曲线 C 上一点,且点 P 在 24

PF1 PF2
2

4 ? ,则 △PF1F2 内切圆半径为 3



【解答】设 PF1 ? 4t ,则 PF2 ? 3t , 4t ? 3t ? PF1 ? PF2 ? 2 。
t ? 2 , PF 于是, 结合 F1F2 ? 10 知, PF1 ? PF2 。 △PF1F2 为直角三角形, 1 ? 8 , PF 2 ? 6,



△PF1F2 内切圆半径 r ?

6 ? 8 ? 10 ? 2。 2

2.已知集合 A ? ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? , B ? ? x x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 ? 。若 a ? 0 ,且 A ? B 中恰 有 1 个整数,则 a 的取值范围为 【答案】 。

?1 3 5 ? ,? ? ? 6 2?

【解答】 A ? ? x x ? ?4 或 x ? 2 ? 。设 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,则 f ( x) 的轴对称 x ? a ? 0 。 由 f (?4) ? 16 ? 8a ? 4 ? 0 ,知 B ? ? x x ? ?4 ? ? ? 。 因此, A ? B 中恰有的一个整数为 3。 ∴

? ? 9 a6 ? ?4 0 ? f(3) 13 5 ?13 5 ? ,解得 ? a ? 。故, a 的取值范围为 ? , ? 。 ? 6 2 ? 1? 6 a? 8 ?4 0 ? 6 2? ? f(4)
p p ( p , q 为正整数)化成小数为 ? 0.198 ,则当 q 取最小值时, q q

3.若分数
p?q ?

。 121
p ? 0.198 q ? 1 p 1 ,知 ? , q ? 5 p ,记 q ? 5 p ? m ( m 为正整数) 。 5 q 5
1 9 .m 8 ? p? 3 9m .。 8

【答案】 【解答】由 于是,

p ? 0.198 5p ? m

, 0.198(5 p ? m) ? p ? 0.199(5 p ? m) 。∴

当 m ? 1 时, 20 ? p ? 39 ,取 p ? 20 , m ? 1 时, q 最小为 101。

5



20 ? 0.19801980 101

符合要求。故,当 q 最小时, p ? q ? 121 。 。

4.随机地投掷 3 粒骰子,则其中有 2 粒骰子出现的点数之和为 7 的概率为 【答案】
5 12

【解答】投掷 3 粒骰子共有 63 ? 216 种可能。考虑 7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 5 ? 3 ? 4 。 投掷三粒骰子,有两粒骰子出现 1 和 6 的可能有 6 ? 6 ? 6 ? 30 (种) 。 (分为 (1, 6, ?) , (1, ?, 6) , (6 ,, 1 ?) , (6 , ?, 1) , (? ,, 1 6) , (? , 6, 1) 这 6 种可能,每类有
6, 1) , (1, 1 6) , (6 ,, 1 1) , (6 ,, 6 种情况。其中, (1, 6, 6) , (1,, 1 6) , (6 , 6, 1) 重复出现)

同理,投掷三粒骰子,有两粒骰子出现 2 和 5 的可能与有两粒骰子出现 3 和 4 的可能均 为 30 种。 ∴ 投掷 3 粒骰子,其中有 2 粒骰子出现的点数之和为 7 的有 3 ? 30 ? 90 种可能。 ∴ 所求概率为
90 5 ? 。 216 12

? 1) , B(4 , 0) , C (2 , 2) 。 5. 已知点 A(1, 平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC (1 ? ? ? a ,
1? ? ? b) y) 组成的区域。 的点 P( x , 若区域 D 的面积为 8, 则 a ? b 的最小值为



【答案】

4

【解答】如图,延长 AB 至点 N ,延长 AC 至点 M ,使得

AN ? a AB , AM ? b AC 。
四边形 ABEC 、 ANGM 、 EHGF 均为平行四边形。
y) 组成的区域 D 为图中的阴影部分, 由条件知, 点 P( x , 即

四边形 EHGF (不含边界 EH 、 EF ) 。 ∵ ∴
cos ?CAB ?

3) , BC ? (?2 , AB ? ( 3 ,1, ) AC ? (1, 2) 。

AB ? 10 ,

AC ? 10 ,

BC ? 2 2 ,

4 10 ? 10 ? 8 3 ? , sin ?CAB ? 。 5 2 ? 10 ? 10 5 4 ?8。 5

∴ 四边形 EHGF 的面积为 (a ? 1) 10 ? (b ? 1) 10 ? ∴
(a ? 1 )b(?
a?b ? a?( ? 1 ) ,1

1 1 ? 1) ? (a ? 1) ? ?2。 a ?1 a ?1

由 a ? 1 , b ? 1 知,当且仅当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? b ? 2 时, a ? b 取最小值 4。
2 3 ?8 ? ?8 ? ?8 ? 6. A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 ? ? 9 ? ? 9 ?

? 82014 ? ?? ? 被 63 除的余数为 9 ? ?

。 (符号 ? x ? 表示不

超过 x 的最大整数。 )
6

【答案】 【解答】∵

56 对任意正整数 k ,
82 k ? 1 8 2 k 82 k ? 1 82 k ? ? 82 k ? 1 。 与 均不是整数,且 9 9 9 9

? 82 k ? 1 ? ? 82 k ? 82 k ? 1 82 k ∴ 对任意正整数 k , ? ?? ? ? ? ? 1 ? 82 k ? 1 ? 1 ? 7 ( mod 63 ) 。 ? 9 9 ? 9 ? ? 9 ?

2 3 ?8 ? ? 8 ? ?8 ? A?? ??? ??? ?? ? 9 ? ? 9? ? 9 ?

?? ?

2 0 1 4 ?8 ? ?1 0 0? 7 ? 7 ? 9?

5 6 ( m o。 d 63 )


7.若 a ,b ,c 为关于 x 的方程 x3 ? x2 ? x ? m ? 0 的三个实根,则 m 的最小值为 【答案】
? 5 27

【解答】依题意,有 x3 ? x2 ? x ? m ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 。 ∴ ∴

x3 ? x2 ? x ? m ? 3 x (? a ? b ) ? c2 x( ? a b ? b? c )
a ?b ? c ) ? a ?b ? c ?1 ? ?1 ? ? ( ? ? ? ? 1 ? ab ? bc ? ca , ? ab ? bc ? ca ? ?1 。 ? m ? ? abc ? m ? ? abc ? ?

c a。 ?x

abc



b c? ? 1 ?( a b ? c)a ? ? 1 ?a ( b ? )c ? 1 ? ?a ( 1 ?2 a ) ?a 。 ?a 1? a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ca) ? 3 。
a 2 ? 1 , b2 ? 1 , c2 ? 1 中至少有一个成立。不妨设 a 2 ? 1 , ?1 ? a ? 1 。

∴ ∴

m ? ?a b c? ? ( a2 a ? a 1? )

? 3 ?a 2? a 。 ?a

设 m ? f (a) ? ?a3 ? a2 ? a ,则 f ?(a) ? ?3a2 ? 2a ? 1 ? ?(3a ? 1)(a ?1) 。 ∴
1 1 1? ? ?1 ?a ? ? 时, f ?(a) ? 0 ; ? ? a ? 1 时, f ?(a) ? 0 。 f (a ) 在 ? ?1, ? ? 上为减函数, 3 3 3? ?

? 1 ? 在 ?? , 1 上为增函数。 ? 3 ? ?

1 5 1 1 5 1 5 1 此时,a ? ? ,b ? ? ,c ? 或 a ? ? ,b ? ,c ? ? 。 m 有最小值 f ( ? ) ? ? 。 3 27 3 3 3 3 3 3

8.已知

?

2 ?1

?

21

? a ? b 2 ,其中 a 和 b 为正整数,则 b 与 27 的最大公约数是
n n



解:令 an

?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ?
2 2

,则 an?1 ? 2an ? an?1 , a1 ? 1, a2 ? 2 ,

2 2 ? 3? ? 23 ? mod 27 ? , a3n ? an 8an ? 3 ? ?1? , b ? a21 ? a7 ? 8a7

?

n

?

?b,27? ? ? a21,27? ? ? 23,27? ? 1 ,故应填1 .
7

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 9.已知 F 为椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,椭圆 C 上任意一点 P 到点 F 的距离与点 P 到 4 3
1 。设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 F 的直线交椭圆 C 于 D 、 E 两 2

直线 l : x ? m 的距离之比为

点,直线 AD 、 AE 与直线 l 分别相交于 M 、 N 两点。以 MN 为直径的圆是否恒过一定点?若 是,求出定点坐标;若不是,请说明理由。
( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? 。 【解答】 (1) F (1, y) 为椭圆 C 上任意一点,依题意有 0) ,设 P( x , x?m 2



2 2 4 (x ? 1 )? y 42 ? x( ? m。将 ) 4 y 2 ? 12 ? 3x2 代入,并整理得 (8 ? 2m) x ? m2 ?16 ? 0 。

y) 为椭圆上任意一点知,方程 (8 ? 2m) x ? m2 ?16 ? 0 对 ?2 ? x ? 2 的 x 均成立。 由点 P( x ,



8? 2 m? 0 ,且 m2 ? 16 ? 0 。解得 m ? 4 。

∴ 直线 l 的方程为 x ? 4 。 (2)易知直线 DE 斜率不为 0,设 DE 方程为 x ? ty ? 1。

…………………… 5 分

? x ? ty ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ,得 (3t 2 ? 4) y2 ? 6ty ? 9 ? 0 。 ? ?1 ? 3 ? 4
设 D( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?
0) ,知 AD 方程为 y ? 0 ? 由 A(?2 ,
?6t ?9 , y1 y2 ? 2 。 2 3t ? 4 3t ? 4

…………… 10 分

y1 ? 0 6y ( x ? 2) ,点 M 坐标为 M (4 , 1 ) 。 x1 ? 2 x1 ? 2
………………… 15 分

6y 同理,点 N 坐标为 N (4 , 2 ) 。 x2 ? 2

0) 在以 MN 为直径的圆上。 由对称性,若定点存在,则定点在 x 轴上。设 G(n ,

6y 6y 36 y1 y2 则 GM ? GN ? (4 ? n , 1 ) ? (4 ? n , 2 ) ? (4 ? n) 2 ? ? 0。 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)


(4 ? n)2 ?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? (4 ? n)2 ? 2 ?0。 (ty1 ? 3)(ty2 ? 3) t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9
2

即 (4 ? n)2 ?

36 ? (?9) ? 0 , (4 ? n)2 ? 9 ? 0 , n ? 1 或 n ? 7 。 2 ?9t ? 3t (?6t ) ? 9(3t ? 4)

0) 和 (7 , 0) 。 ∴ 以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上两定点 (1 ,

10.已知 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

1 ? 3x ? 1。 x ?1

(1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
8

(2)求证: 立。

2 3 4 ? ? ? 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 32 ? 1

?

n ?1 1 ? ln(2n ? 1) 对一切正整数 n 均成 2 4 ? n ?1 4

【解答】 (1) f ?( x) ?

a 1 3( x ? 1)2 ? a( x ? 1) ? 1 3x 2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 。 ? ?3? ? x ? 1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
…………………… 5 分

若 a ? ?2 ,则 a ? 6 ? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。此时, f ( x) 在区间 ?0 , ? ?? 上为增函数。 ∴
x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 。 a ? ?2 符合要求。

若 a ? ?2 ,则方程 3x2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 ? 0 有两个异号的实根,设这两个实根为 x1 , x2 , 且 x1 ? 0 ? x2 。 ∴ ∴

0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 。 f ( x) 在区间 ?0 , x2 ? 上为减函数, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 。
a ? ?2 不符合要求。



? ?? 。 a 的取值范围为 ??2 ,
1 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立。 x ?1

(2)由(1)知, x ? 0 时,不等式 ?2 ln( x ? 1) ? ∴
x ? 0 时,

1 ? 3x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) 恒成立。 x ?1

令x?

2 ( k ? N* ) ,得 2k ? 1

1 2 ?1 2k ? 1

? 3?

2 2 ? 1 ? 2ln( ? 1) , 2k ? 1 2k ? 1

整理得 ∴

8k ? 8 2k ? 1 ? 2 ln 。 2 4k ? 1 2k ? 1

k ?1 1 2 k? 1 ? ln 。令 k ? 1 ,2,3,?, n ,得 2 4k ? 1 4 2 k ? 1

2 1 3 3 1 5 4 1 7 n ?1 1 2n ? 1 ? ln , ? ln , ? ln ,?, ? ln 。 2 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 1 4 ? 2 ?1 4 3 4 ? 3 ?1 4 5 4 ? n ? 1 4 2n ? 1

将上述 n 个不等式的左右两边分别相加,得
2 3 4 ? ? ? 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 32 ? 1 ? n ?1 1 3 5 7 ? ln( ? ? ? 2 4 ? n ?1 4 1 3 5 ? ? 2n ? 1 1 ) ? ln(2n ? 1) 。 2n ? 1 4



2 3 4 ? ? ? 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 32 ? 1

n ?1 1 ? ln(2n ? 1) 对一切正整数 n 均成立。 2 4 ? n ?1 4

注:若只求出或证明两定点中的一个不扣分。
0) 和 (7 , 0) 后,再予以证明。 也可以由特殊的直线 l ,如 x ? 1 ,得到圆与 x 轴的交点 (1 ,
? 11、随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,A 组最小数为 a1 ,

?

?

最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 ,最大数为 b1 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2
9

(2)令 C 表示事件 ? 与? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 p ? c ? ; (2)对(2)中的事件 C, c 表示 C 的对立事件,判断 p ? c ? 和 p ? c ? 的大小关系,并说明理由。 【解析】 (1)事件 ? 与 ? 的取值恰好相等的基本事件:



P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?

??? 1 ? P ? c? ? P ? c? ? 1 ? ? P c P c ? ? ? ? (2)因为 ,所以要比较 与 P ? c ? 的大小,实际上要比较 与 2 的大小, 由 ? ? ? ?

P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?

可知,

??? P ?c? ? P ? c ? 当 n ? 2 时, ? ?,

??? P ?c? ? P ? c ? 当 n ? 3 时, ? ?

二试 一.如图,在五边形 ABCDE 中, BC∥AE , AB ? BC ? AE ,?ABC ? ?CDE ,M 为 CE 中点,
O 为 △BCD 的外心,且 OM ? MD 。延长 DM 至点 K ,使得 MK ? MD 。

求证: ?ABC ? 2?BDA 。 【解答】 ∵ ∴ ∴
M 为 KD 中点,且 OM ? MD ,

O K? O D ,点 K 在 △BCD 的外接圆上。 ?B K C? ? B D。 C

延长 AE 至点 T ,使得 ET ? BC 。联结 TB , TC , TD ,
TK , KE 。

由 AB ? BC ? AE 知, AT ? AB 。 又 BC∥AE 。 ∴ ∴
?C B T ? ? B T A ? ? A, B? T ABC ? 2?BTA ,且四边形 BCTE 为平行四边形。
M 也是 BT 中点。

∴ 四边形 BKTD 为平行四边形, ?BKD ? ?KDT 。 四边形 KCDE 为平行四边形, ?CKD ? ?KDE 。 ∴ ∴ ∴ ∴
?BKC ? ?BKD ? ?CKD
? ?KDT ? ?KDE ? ?EDT 。

?B D C ? ? B K C ? ? E。 DT ?B D T ? ? B D E ? ? EDT ? ? B D? E? ? ?CDE ? ?ABC 。 ?BDT ? ?BAT ? ?ABC ? ?BAT ? 180? 。
10

BDC

∴ ∴ ∴

B 、 A 、 T 、 D 四点共圆。 ?BDA ? ?BTA 。

?ABC ? 2?BTA ? 2?BDA 。…………………… 40 分

二、给定 2014 个和为 1 的非负实数 a1 , a2 , a3 ,?, a2014 。 是 否 存 在 a1 , a2 , a3 , ? , a2014 的 一 个 排 列 x1 , x2 , x3 , ? , x2014 , 满 足
x1 x 2 ? x x 2 ? 3 ?x
2013

x

1 ? x1 4 x ? 20 2014 1。 2014

【解答】 为方便起见, 称和式 y1 y2 ? y2 y3 ? 。 y2014 的“循环和式”

?, ? y 2013 y2014 ? y2014 y1 为 2014 个实数 y1 ,y2 ,

由于 2014 个排列:b1 ,b2 ,b3 ,?,b2014 ; b2 ,b3 ,?,b2014 ,b1 ; b3 ,b4 ,?,b2014 , 。 b1 , b2 ;??; b2014 , b1 , b2 ,?, b2013 。对应的“循环和式”是同一个“循环和式” 因此, a1 , a2 , a3 ,?, a2014 的 2014 ! 个排列对应 2013! 个“循环和式” 。 ………………………… 10 分 记这 2013! 个“循环和式”为 P1 , P2 , P 3 ,?, P k 。其中 k ? 2013! 。 设这 2013! 个“循环和式”总和为 S ,即 S ? P 1?P 2 ?P 3?
S 中共出现 2 ? 2013! 次。

? Pk 。

由于每一个 am ( m ? 1 ,2,3,?,2014)在每个“循环和式”中均出现两次,因此,在



S? (

i j 1 ? i? j ? 2 0 1 4

?

aa) ? 2? 2 0 1 ! 2 。

………………………… 20 分

(这里

1? i ? j ? 2014

?

ai a j ? a1a2 ? a1a3 ?

? a1a2014 ? a2a3 ? a2a4 ?

? a2a2014 ?

? a2013a 2014 )
2 ? a2014 ),

另一方面,由 2

1? i ? j ? 2014

?

ai a j ? (a1 ? a2 ? a3 ?

2 2 ? a2014 )2 ? (a12 ? a2 ? a3 ?

以及柯西不等式: (a1 ? a2 ? a3 ?
2 2 ? a3 ? 得 a12 ? a2 2 ? a2014 ?

? a2014 )2 ? (12 ?12 ?12 ?

2 2 ?12 )(a12 ? a2 ? a3 ?

2 ? a2014 ),

1 1 , 2 ? ai a j ? 1 ? 。 2014 2014 1 ? i ? j ? 2014



1? i ? j ? 2 0 1 4

?

ai a j ?

2013 。 2 ? 2014

……………………… 30 分



S?

2013 2013 ! ?2 ?2 0 1 2 ? ! 。 2? 2 0 1 4 2014 S 1 1 ? 。设 Pl ? ,则对应的“循 2013! 2014 2014

∴ P1 , P2 , P 3 ,?, P k 中至少有一个不大于 环和式”为 Pl 的排列符合要求。
11

∴ 存在一个 a1 , a2 , a3 ,?, a2014 的排列符合要求。 三、 (a)设实数 x,y,z 都不等于 1,xyz=1,求证:

……………………40 分

x2 y2 z2 ? ? ? 1. ( x ? 1)2 ( y ? 1)2 ( z ? 1) 2
(b)证明:存在无穷多组三元有理数组(x,y,z) ,使得上述不等式等号成立. 证(a) 令
x y z ? a, ? b, ? c ,则 x ?1 y ?1 z ?1
x? a b c , y? ,z ? . a ?1 b ?1 c ?1

由题设条件 xyz=1 得,
abc ? (a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,

即 所以

a? b? c? 1 ? a b ? b c? , ca

a 2 ? b2 ? c 2 ? ( a ? b ?) c2 2 ? ( a b? b c ? )c a ? (a ? b ? c)2 ? 2(a ? b ? c ?1) ? (a ? b ? c ?1)2 ? 1 ? 1 ,

从而

x2 y2 z2 ? ? ? 1. ( x ? 1)2 ( y ? 1)2 ( z ? 1) 2

? k k ?1 ? (b) 令(x,y,z)= ? ? , k ? k 2 , 2 ? ,k 是正整数,则(x,y,z)是三元有理 2 k ? ? (k ? 1)
数组,x,y,z 都不等于 1,且对于不同的正整数 k,三元有理数组 (x,y,z)是互不相同的.此时

x2 y2 z2 ? ? ( x ? 1)2 ( y ? 1)2 ( z ? 1)2 ? ? k2 (k ? k 2 ) 2 (k ? 1)2 ? ? (k 2 ? k ? 1)2 (k 2 ? k ? 1)2 (k 2 ? k ? 1)2 k 4 ? 2k 3 ? 3k 2 ? 2k ? 1 ? 1, (k 2 ? k ? 1)2

从而命题得证. 四、设 n 和 k 是正整数, k ? n ,且 k ? n 是一个偶数.2n 盏灯依次编号为 1,2,?,2n,每一盏 灯可以“开”和“关”.开始时,所有的灯都是“关”的.对这些灯可进行操作,每一次操作 改变其中的一盏灯的开关状态(即“开”变成“关” , “关”变成“开” ) ,我们考虑长度为 k 的操作序列,序列中的第 i 项就是第 i 次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号. 设 N 是 k 次操作后灯 1,?,n 是“开”的,灯 n+1,?,2n 是“关”的状态的所有不
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同的操作序列的个数. 设 M 是 k 次操作后灯 1, ?, n是 “开” 的, 灯 n+1, ?, 2n 是 “关” 的, 但是灯 n+1, ?, 2n 始终没有被操作过的所有不同的操作序列的个数. 求比值
N . M

解:所求的比值为 2k ?n . 引理:设 t 是正整数,如果一个 t 元 0,1 数组 ? a1 , a2 , 奇数个 0,那么称其为“好的”.则好数组共有 2t ?1 个. 事实上,对于相同的 a1 , a2 ,

, at ? ? a1, a2 ,

, at ??0, 1?? 其中共有

, at ,在 at 取 0,1 时得到的两个数组中的奇偶性不同,则恰

好有一个为“好的” ,于是我们可以将总共 2 t 个不同的可能数组两两配对,每对数组仅有 at 不 同,则每对恰好有一个好数组,故好数组占总体的一半,即有 2t ?1 个.引理得证. 称 k 次操作后灯 1,?,n 是“开”的,灯 n+1,?,2n 是“关”的状态的操作序列的 全体记为 A 类列;k 次操作后灯 1,?,n 是“开”的,灯 n+1,?,2n 是“关”的,但是 灯 n+1,?,2n 始终没有被操作过的操作序列的全体记为 B 类列.对于任意一个 B 类列 b, 将有如下性质的 A 类列 a 全部与它对应:“a 的各元素在模 n 的意义下对应相同” (例如,n= 2,k=4 时,b=(2,2,2,1)可对应如 a=(4,4,2,1) ,a=(2,2,2,1) ,a=(2, 4,4,1)等) ,那么由于 b 是 B 类列,其中 1,2,?,n 的个数必定全为奇数,而 a 是 A 类 列,又要求 a 中 1,?,n 的个数全为奇数,且 n+1,?,2n 的个数全为偶数.于是对任意的

i ??1, 2,

, n? ,设 b 中有 bi 个 i,则 a 必须且只需满足:对任意的 i ??1, 2,

, n? ,b 中是 i

的 bi 个元所在位上在 a 中都是 i 或者 n+i,且 i 有奇数个(自然 n+i 就有偶数个) ,那么由引 理及乘法原理,b 恰可对应 ? 2bi ?1 ? 2k ? n 个不同的 a,而每个 A 中的元 a 均有 B 中一元(唯一
i ?1 n

的一个元) b (它是把 a 的各位变成它除以 n 的最小正余数) 可以对应它, 从而必有 A ? 2k ?n B , 即 N = 2k ? n M .又易知 M ? 0 (因为操作列(1,2,?,n,n,?,n)? B ) ,所以
N = 2k ? n . M

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