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平面几何专题讲座



平面几何专题讲座
【前言】显著提升平面几何能力的唯一方法是多做题,本讲座仅仅起到辅助、引 导作用.建议在明年联赛之前至少做 100 道平面几何题. 【纲要】 一、知识补充 1.帕斯卡定理 2.笛沙格定理 3.密克定理 4.斯图瓦尔特定理 5.布洛卡点 r 6. R 二、专题突破 1.共点线(3 题) 2.五心(5 题) 3.圆(6 题) 4.计算证明(6 题) 【难度等

级】 I 级:第 4 题、第 6 题、第 8 题、第 10 题、第 15 题 II 级:第 1 题、第 2 题、第 5 题、第 9 题、第 11 题、第 12 题、16 题、第 18 题、 第 19 题 III 级:第 3 题、第 7 题、第 13 题、第 14 题、第 17 题、第 20 题

知识补充
1.帕斯卡定理: 圆内接六边形 ABCDEF 中, AE∩BF=M,AD∩CF=N,BD∩CE=P.则 M、 N、P 三点共线.

A M B N C P D E F

2.笛沙格定理:△ABC 与△A1B1C1 的对应顶点连线 AA1、BB1、CC1 共点 O,则 对应边 BC 与 B1C1、AC 与 A1C1、AB 与 A1B1 的交点 D、E、F 共线.

F E A1

A

O C B C1 B1

D

3.密克定理: (1)△ABC 中,D、E、F 分别在 BC、CA、AB 上,则△AEF、△ BDF、 △CDE 的外接圆交于△DEF 内一点 O (密克点) ( . 2) 完全四边形 ABCDEF 中,△ACF、△BCD、△ABE、△DEF 的外接圆交于一点 O(密克点).

A E O B D CC

A B D O F

F

E

4.斯图瓦尔特定理: △ABC 中 D 在 BC 上, BD=u, CD=v, 则 AD 2 ?

b 2u ? c 2 v ? uv . a

A

B

u

D

v

C

5.布洛卡点: △ABC 中有一点 O, 满足∠OAB=∠OBC=∠OCA=α , 则称 O 为△ABC 的布洛卡点,其基本性质为:cotα =cotA+cotB+cotC.

A

O B C

6.

r : △ ABC 中 , r 、 R 分 别 为 内 切 圆 、 外 接 圆 半 径 , 则 R r A B C ?4 s i n s i n s ? i nA ? c o Bs ? c C o. s ? cos 1 R 2 2 2

A D I B C

专题突破
共点线
1.M、N、P 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 中点,M1、N1、P1 在△ABC 的边 上,且 MM1、NN1、PP1 均平分△ABC 的周长.求证:MM1、NN1、PP1 交于一点.

A P

M

1

N

B

N1

M

P1 C

2.正方形 PQRS 内接于△ABC,PQ 在 BC 上,其中心为 A1.同样地,定义两个顶 点分别在 AC、AB 上的内接正方形的中心为 B1、C1.求证:AA1、BB1、CC1 三线 共点.

A S A1 B P Q C R

3.P、Q 为△ABC 外接圆上两点,P 关于 BC、CA、AB 的对称点分别为 U、V、 W.连接 QU、QV、QW,分别交 BC、CA、AB 于 D、E、F.求证:D、E、F 三点 共线.

Q P F B U D W

E

A C

V

五心
4.O 为△ABC 的外心.经过 O、B 的圆交 AB、BC 于 P、Q.求证:△OPQ 的垂心 在直线 AC 上.

A P O B Q C

5. △ABC 中,B 关于 AC 的对称点为 E,C 关于 AB 的对称点为 F,CF∩BE=H.O 为△ABC 的外心,J 为△EFH 的外心.求证:AO=AJ.

J F A O H E C

B

6. △ABC 中,AB=AC,O 为△ABC 的外心,D 为 AB 中点. E 为△ACD 的重心. 求证:OE⊥CD.

A D B E O C

7. △ABC 中,∠A=30°.D、E 在 AC、AB 上,BE=BC=CD.O、I 为△ABC 的外心、 内心.求证:OI=DE,OI⊥DE.

D A E O I

C

B

8. △ABC 中,D 在 BC 上,O、O1、O2 分别为△ABC、△ABD、△ACD 在∠A 内的旁心,且 OE⊥BC 于 E.求证:EO1⊥EO2.

A B O1 O E D C O2


9. △ABC 的内切圆与 AB、BC 切于 F、D.AD、CF 交内切圆于另一点 H、K.求 FD ? HK ? 3. 证: FH ? DK

A F H K B D C

10.⊙O1 与⊙O2 交于 C、D.过 D 的一条直线交⊙O1 于 A, 交⊙O2 于 B.P 在劣弧 AD 上,Q 在劣弧 BD 上,PD∩AC=M,QD∩BC=N. O 为△ABC 的外心.求证:OD⊥MN 的充要条件是 P、Q、M、N 共圆.

O P A O1 C N D Q O2 B M

11. △ABC 中,E、F 为 AB、AC 中点,CM、BN 为高,EF∩MN=P.O、H 为△ABC 的外心、垂心.求证:AP⊥OH.

A M E O B P H F N C

12. ⊙O、⊙O1 与⊙O2 两两相切,直线 m 与⊙O、⊙O1 相切,n 与⊙O、⊙O2 相 切,m∥n.A、B、C、D、E 均为切点,AD∩BC=Q.求证:Q 为△CDE 的外心.

m O n

A O1 C E Q D O2 B

13. ⊙O1 与⊙O2 外切于 T,一直线切⊙O2 于 X,与⊙O1 交于 A、B.直线 TX 与 ⊙O1 交于另一点 S,C 为不包含 A 的弧 TS 上一点,过 C 作 CY 切⊙O2 于 Y, SC∩XY=I.求证:I 为△ABC 在∠A 内的旁心.

X B A O1 S C Y T I O2

14.⊙O 与△ABC 的 AB、 BC 相切,与△ABC 的外接圆内切于 T.I 为△ABC 的内 心.求证:∠ATI=∠CTI.

B

I A

O T C

计算证明
15. △ABC 中,D、E、F 为 BC、CA、AB 中点,H 为△ABC 的垂心.一个以 H 为圆心的圆与 EF 交于 A1、A2,与 DF 交于 B1、B2 与 DE 交于 C1、C2.求证: AA1=BB1=CC1=AA2=BB2=CC2.

B1 A1

A F H B D C2 E

C1 A2 C B2

16.等腰△ABC 中 AB=AC,P 在 BC 的延长线上,X、Y 在直线 AB、AC 上,PX ∥AC,PY∥AB,T 为△ABC 外接圆上不含 A 的弧 BC 的中点.求证:PT⊥XY.

X A C T Y

B

P

17. △ABC 中,三个内角的三等分线交成△DEF.求证:△DEF 为正三角形.

A E F B C

D

18.A、B 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点.C、D 在椭圆上,C 在第二象 a 2 b2

限,D 在第三象限,AD∩BC=E,AC∩BD=F,E 在第二象限,F 在第三象限.求 证:△CDE 与△CDF 等周长.

19. △ABC 中 AB=AC,一个圆与△ABC 的外接圆内切于 D,与 AB、AC 相切 于 P、Q.求证:PQ 中点 M 为△ABC 的内心.

A

P B

M D

Q C

20.E、F 为圆内接四边形 ABCD 的边 AB、CD 的中点,M 为 EF 中点.EQ⊥AD 于 Q,EP⊥BC 于 P.求证:MP=MQ.

A Q E B P M D F C



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