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2015-2016学年第一学期十校联考期中对口单招数学调研测试卷


2015-2016 学年第一学期十校联考期中调研测试卷

高 三 数 学
页。两卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

试卷

本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 页至 6

第Ⅰ卷
注意事项:

( 共 60 分)

1.答第Ⅰ卷前,考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、准考证号等项目。 2.用铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑。答案不涂写在答题卡上,成绩 无效。

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,每小题列出的四个选 项中,只有一项是符合要求的) ⒈ 已知集合 U ? R , A ? x | x ? 1 ? 2 ,B ? ?x |1, 2,3, 4? , 则 CUA ? B = A.{4} ⒉
"α =

?

?





B.{3,4}

C.{2,3,4}

D.{1,2,3,4} ( )

π 1 " 是 "cos 2α = " 6 2 A.充要条件 C.充分不必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( D. 2 - i ( D.第四象限 ( D. 24 7

⒊ 已知复数 z 满足 z (1- i)i = 2 ,则复数 z ? A. 1 + i B. 2 + i C. 1- i



⒋ 已知函数 y = lg (- sin θ )+ lg (cos θ ), 则 θ 角在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限



? ? ? ? n t2 ⒌ 已知向量 a ? ? 3, 4? , 则a b ? ?sin ? ,cos ? ? 且 a ? b ,
A.
4 3
6

? 的值为



B. -

4 3

C.

24 7

⒍ (1- 2 x ) 展开式中的中间项为 A. - 40 x3 B. - 120 x3 C. - 160 x3 D. 240 x3





⒎ 在等差数列 ?an ? 中, 若 a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 , 则 2a9 ? 0a 1 的值为
十校联考高三年级数学学科试卷 第 1 页 (共 12 页)





A.24

B.22

C.20

D.-8

⒏ 在正方体 ABCD ? A 1 1 所成的角 1B 1C 1D 1 中,侧面对角线 BC1 与上底面对角线 AC 等于( A. 45? ) B. 60? C. 90? D. 120? ( D.0 或 1 )

⒐ 若直线 x ? ay ? a ? 0 与直线 ax ? (2a ? 3) y ? 1 ? 0 垂直, 则a= A.2 B.-3 或 1 C.2 或 0

⒑ 抛物线 C : y 2 = 2 px 的焦点为 F,弦 AB 过焦点 F,则以 AB 为直径的圆与抛物线

C 的准线的位置关系是
A.相离

(

) C.相交 D. 无法确定

B. 相切

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) ⒒ 将二进制数 (110011)2 转换成十进制数为 ⒓ 函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的单调递增区间是
5 2 ⒔ 已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 ? 的最小值是 x y

⒕ 执行下面的程序框图,输出的 T ?
开始

S ? 0, T ? 0, n ? 0


T ?S


S ? S ?5 n ? n?2 T ?T ?n

输出 T 结束

工作代码 A B C D E F

紧前工作 无 无

D、E

紧后工作 D、E C D、E F F 无

工期/天 7 2 3 2 1 1

(第 14 题)

(第 15 题)

⒖ 某项工程的明细表如右(单位:天),此工程的关键路径是

十校联考高三年级数学学科试卷 第 2 页 (共 12 页)

班级: 姓名: 考号: (密 封 线 内 不 得 答 题) ………………………试………………………卷………………………密………………………封………………………线………………………

2015-2016 学年第一学期十校联考期中调研测试卷

高 三 数 学
页至 6 页。两卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

试卷

本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3

第Ⅰ卷
一、选择题:[每小题 4 分,计 40 分]
题号 答案 1. 2. 3. 4.

( 共 60 分)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

二、填空题:[每小题 4 分,计 20 分]
⒒ ⒕ ⒓ ⒖ ⒔

第Ⅱ卷

( 共 90 分)

三、解答题:[本大题共 8 小题,共计 90 分]
⒗ [本题满分 10 分] 已知函数 f ( x) = log2 (- x2 + 4x + 5) , ⑴ 函数的定义域; ⑵解不等式 f(x)-3<0

学校:

县(市)区:

17. [本题满分 10 分] 在?ABC 中,AB=2,BC=3,CA=4 ⑴判断?ABC 的形状;⑵求 sin A 的值;⑶求?ABC 的面积

十校联考高三年级数学学科试卷 第 3 页 (共 12 页)

18. [本题满分 12 分] 已知 f (x + 1) = x2 - 4 ,在等差数列 {an }中, a1 = f (x - 1) ,
a2 = 3 , a3 = f ( x ) , 2

求⑴ x 的值;⑵数列 {an }的通项公式 an ;⑶ a2 + a5 + a8 + …+ a26 的值

19. [ 本题满分 12 分 ] 已知函数 f ( x) 是定义在 (0, +?

) 上的减函数,并且对于

x x > 0, y > 0 满足 f ( ) = f ( x)- f ( y ) , y
1 求:⑴求 f (1) 的值;⑵若 f (6) = 1 ,解不等式 f ( x) ? f ( ) ? 2 x

`20. [本题满分 12 分] 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球;甲袋装有 2
十校联考高三年级数学学科试卷 第 4 页 (共 12 页)

个红球和 2 个白球;乙袋装有 2 个红球和 n 个.白球。现从甲、乙两袋中各任取 2 个球, ⑴若 n=3 时,求取到的 4 个球全是红球的概率; 35 ⑵若取到的 4 个球中至少有 1 个红球的概率为 ,求 n。 36

? 21. [本题满分 12 分] 已知 f ( x) ? 2a cos2 x ? b sin x cos x ?1 , f (0) ? f ( ) ? 1 4
⑴求 a , b 的值; ⑵求 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

十校联考高三年级数学学科试卷 第 5 页 (共 12 页)

22. [本题满分 12 分] 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨 甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周 期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润 是多少?

23. [本题满分 12 分] 设 F (c,0)(c > 0)是双曲线 x 2 的直线 l 交双曲线于 P、Q 两点,O 是坐标原点。 ⑴证明: OP ? OQ ? ?1 ⑵若原点 O 到直线 l 的距离是

y2 = 1 的右焦点, 过点 F (c,0) 2

3 ,求?OPQ 的面积. 2

十校联考高三年级数学学科试卷 第 6 页 (共 12 页)

2015-2016 学年第一学期十校联考期中调研测试卷

高 三 数 学
页至 6 页。两卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

试卷

本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3

第Ⅰ卷
一、选择题:[每小题 4 分,计 40 分]
题号 答案 1.
B

( 共 60 分)

2.
C

3.
C

4.
D

5.
C

6.
C

7.
A

8.
B

9.
C

10.
B

第Ⅱ卷
二、填空题:[每小题 4 分,计 20 分]
⒒ ⒕ 51 30 ⒓ ⒖

( 共 90 分)
[3,??)(开区间亦可)
A→D→F ⒔ 2

三、解答题:[本大题共 8 小题,共计 90 分]
⒗ [本题满分 10 分] 已知函数 f ( x) = log2 (- x2 + 4x + 5) , ⑴求函数的定义域; 解:⑴∵ - x2 + 4 x + 5 > 0 ∴ x2 - 4 x - 5 < 0 ⑵∵ f ( x) - 3 ? 0 ∴ log 2 (- x 2 + 4 x + 5) ? log 2 8 …………………5 分
ì - x2 + 4 x + 5 ? 8 ì ? ? x 31或x 3 揶 ∴镲 眄 2 镲 ? 1< x < 5 ? ? - x + 4x + 5 > 0 ? - 1 < x #1或3 x < 5 ……9 分

⑵解不等式 f ( x) - 3 ? 0 …………………………1 分 ∴ - 1 < x < 5 …………………3 分

∴该函数的定义域为 (- 1,5) …………………4 分

∴该不等式的解集为 (-1,1]? [3,5) …………………10 分 17. [本题满分 10 分] 在?ABC 中,AB=2,BC=3,CA=4 ⑴判断?ABC 的形状;⑵求 sin A 的值;⑶求?ABC 的面积 解:⑴∵ c = 2, a = 3, b = 4 ∴ b > a > c
十校联考高三年级数学学科试卷 第 7 页 (共 12 页)

∴ B > A > C …………………1 分 ∴ cos B = ∴
a 2 + c 2 - b 2 9 + 4 - 16 1 = = - < 0 ……………3 分 2ac 2创2 3 4

π < B < π ∴? ABC 是钝角三角形…………………4 分 2

⑵∵ cos B = -

1 π , < B < π ∴ sin B = 4 2

15 4

a b = ∵ ∴ sin A = sin A sin B

3?

15 4 = 3 15 …………………7 分 4 16

⑶s ?

1 3 15 …………………10 分 bc sin A ? 2 4

18. [本题满分 12 分] 已知 f (x + 1) = x2 - 4 ,在等差数列 {an }中, a1 = f (x - 1) ,
a2 = 3 , a3 = f ( x ) , 2

求⑴ x 的值;⑵数列 {an }的通项公式 an ;⑶ a2 + a5 + a8 + …+ a26 的值 解:⑴∵ f (x + 1) = x2 - 4 ∴ f (x) = x2 - 2x - 3 ∵ 2a2 = a1 + a3 ∴ 2 x2 - 6 x = 0 ∴令 t = x + 1, 则 x = t - 1, ∴ f (t ) = (t - 1) - 4 = t 2 - 2t - 3 …………………2 分
2 2

∴ - 3 = f (x - 1)+ f (x) ∴ - 3 = ( x - 1) - 2 ( x - 1)- 3 + x 2 - 2 x + 3 ∴ x = 0 或 x = 3 …………………4 分

⑵∵当 x = 0 时, a1 = f (- 1) = 0, a2 = -

3 3 3 , a3 = f (0) = - 3 ∴ an = - n + 2 2 2 3 3 9 当 x = 0 时, a1 = f (2) = - 3, a2 = - , a3 = f (3) = 0 ∴ an = n 2 2 2 …………8 分

⑶ a2,a5,a8,…,a26 也是等差数列,且公差是 3d ,项数是 9
3 9 351 时, 3d = - ∴ a2 + a5 + a8 + …+ a26 ? 2 2 2 3 9 297 若 a2 = - 时, 3d = ∴ a2 + a5 + a8 + …+ a26 ? 2 2 2 …………12 分

若 a2 = -

十校联考高三年级数学学科试卷 第 8 页 (共 12 页)

(0, ? ?) 20. [ 本题满分 10 分 ] 已知函数 f ( x) 是定义在 上的增函数,并且对于

x x > 0, y > 0满足 f ( ) = f ( x)- f ( y ) , y
1 求:⑴求 f (1) 的值;⑵若 f (6) = 1 ,解不等式 f(x ? 3) - f( ) ? 2 x

21. 解:⑴令 x = y = 1 ,则 f (1) = f (1)- f (1) = 0 ∴ f (1) = 0 ………………4 分 ⑵令 x = 36, y = 6 ,则 f (
1 ∵ f(x ? 3) - f( ) ? 2 x

36 ) = f (36)- f (6) ∴ f (36) = 2 …………6 分 6
∴ f ( x 2 + 3x) < f (36) …………7 分

(0, ? ?) ∵函数 f ( x) 是定义在 上的增函数

? ? x 2 ? 3x ? 36 ? ? 3 ? 3 17 ?0? x? ∴ ?x ? 3 ? 0 2 ?1 ? ?0 ?x

∴不等式的解集 {x | 0 ? x ?

? 3 ? 3 17 } 2

20. [本题满分 12 分] 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球;甲袋装有 2 个红 球和 2 个白球; 乙袋装有 2 个红球和 n 个.白球。 现从甲、 乙两袋中各任取 2 个球, ⑴若 n=3 时,求取到的 4 个球全是红球的概率; 35 ⑵若取到的 4 个球中至少有 1 个红球的概率为 ,求 n。 36 解:⑴设 A={取到的 4 个球全是红球}

P ? A? ?

2 2 C2 C2 1 ? 2 2 C4 C5 60

取到的 4 个球全是红球的概率为

1 60
2 2 C2 Cn 2 2 C4 Cn? 2

⑵设 B={取到的 4 个球全是红球},则 B ={至少有 1 个红球}
P B ? 1?

? ?

35 1 ? 36 36

又∵ P B ?

? ?

十校联考高三年级数学学科试卷 第 9 页 (共 12 页)



CC CC

2 2 2 n 2 2 4 n?2

?

1 36

n ? n ? 1? 1 2 ? ∴ ? n ? 2 ?? n ? 1? 36 6 2

∴ 5n2 ? 9n ? 2 ? 0

? 21. [本题满分 12 分] 已知 f ( x) ? 2a cos2 x ? b sin x cos x ?1 , f (0) ? f ( ) ? 1 4
⑴求 a , b 的值; ⑵求 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

1 ∴n ? ? ,n ? 2 5

∴ n?2

? f (0) ? 2a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? 解:⑴ ? ? ? ? ?? 1 1 ? f ? 4 ? ? 2a ? 2 ? 2 b ? 1 ? 1 ?b ? 2 ? ? ?


f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2sin x cos x ? 1 ?????????? ?1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 1 ?????????? cos 2 x ? sin 2 x

?? ? ?????????? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
? ? ? ?? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? 1 时,即 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z ∴ x ? ? k? , k ? Z 4 2 8 4? ?

? ? ? ∴ f ( x) 的最大值 2 , f ( x) 取最大值时 x 的集合 ? x x ? ? k? , k ? Z ? 。 8 ? ?
22. [本题满分 12 分] 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨 甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周 期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润 是多少?

解:设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨,y 吨, 3x+y≤13 ? ?2x+3y≤18 由题意得? x≥0 ? ?y≥0



获利润 ω =5x+3y,画出可行域如图,
十校联考高三年级数学学科试卷 第 10 页 (共 12 页)

?3x+y=13 ? 由? ?2x+3y=18 ?

,解得 A(3,4).

5 2 ∵-3<- <- ,∴当直线 5x+3y=ω 经过 A 点时,ω max=27. 3 3

y2 = 1 的右焦点, 23. [本题满分 12 分] 设 F (c,0)(c > 0) 是双曲线 x 过点 F (c,0) 2
2

的直线 l 交双曲线于 P、Q 两点,O 是坐标原点。 ⑴证明: OP ? OQ ? ?1 ⑵若原点 O 到直线 l 的距离是 解:⑴由题意得 c =
3 ,求?OPQ 的面积. 2

3 3

①若斜率 k 存在, x =

∴ P ( 3, 2), Q ( 3, - 2) ∴ OP ? OQ ? ?1
②若斜率 k 不存在,设直线 l 的方程为 y = k x - 3 ì y = k x- 3 ? ? ? ∴? ? (2 k 2 ) x 2 + 2 3k 2 x - 3k 2 - 2 = 0 2 í y ? ? x2 =1 ? ? 2 ?

(

)

(

)

设 P(x1, y1 ), Q(x2 , y2 )

ì ? 2 3k 2 ? x1 + x2 = ? ? 2- k2 ∴? í ? - 3k 2 - 2 ? ? x x = 1 2 ? 2- k2 ? ?
- 3k 2 - 2 4k 2 k2 - 2 + = =- 1 ∴ x1 x2 + y1 y2 = 2- k2 2- k2 2- k2
十校联考高三年级数学学科试卷 第 11 页 (共 12 页)

∴ OP ? OQ ? ?1
⑵d =
2

3k k +1

=

3 2

∴ k2 = 3

PQ = 1 + k 2

? = 16 a

S?

1 | PQ | d ? 12 2

十校联考高三年级数学学科试卷 第 12 页 (共 12 页)


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