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2014《等比数列的前n项和》 (4)



第一单元 集合与常用 逻辑用语

第1 讲 第2 讲 第3 讲

集合及其运算 基本逻辑联结词与量词 命题、充要条件

第一单元

集合与常用 逻辑用语

第一单元 │ 知识框架 知识框架

第一单元 │ 考纲要求 考纲要求
1.集合 (1)集合

的含义与表示 ①了解集合的含义、元素与集合的属于关系. ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题. (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集. ②在具体情境中,了解全集与空集的含义.

第一单元 │ 考纲要求
(3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集 合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定 子集的补集. ③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 2.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ①理解命题的概念. ②了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与 逆否命题,会分析四种命题的相互关系. ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

第一单元 │ 考纲要求

(2)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. (3)全称量词与存在量词 ①理解全称量词与存在量词的意义. ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

第一单元 │ 命题趋势

命题趋势
本单元内容属于工具性知识,近两年新课标省份高 考对本部分内容都有考查,考查题型都以选择题、填空 题为主,分值在 5 ~ 10 分左右,难度以容易题和中档题 为主,有时也出现难度较大的信息迁移题.另外对集合 与常用逻辑用语的考查形式如下:

第一单元 │ 命题趋势

1. 高考对集合的考查有两种形式:直接考查集合间的 包含关系与交、并、补基本运算;以集合为工具考查集合 语言和集合思想在方程、不等式内容等中的运用. 2.高考对常用逻辑用语有两种形式:直接考查涉及命 题及其关系,逻辑联结词,充分条件、必要条件的判断, 全称命题、特称命题的否定等内容;以常用逻辑用语为工 具考查逻辑推理能力.

第一单元 │ 命题趋势

预测 2012 年高考仍以选择题、填空题为主要考查 题型,难度以容易题为主,以基本概念、基本方法为 考查对象,以代数、三角、立体几何、解析几何等知 识为依托,重点考查集合的运算,全称命题、特称命 题的否定,判断特称命题、全称命题的真假,确定充 分(或必要)条件等内容.

第一单元 │ 编写意图 编写意图
高考对集合和常用逻辑用语的要求不高,集合主要是 一种基本语言和数学表达的工具,常用逻辑用语主要是数 学学习和思维的工具. 编写中注意到以下几个问题:(1)考虑到该部分在高 考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方 法的讲解和练习题的力度,控制了选题的难度;(2)近几 年高考看来,涉及该部分内容的信息迁移题是高考的一个 热点话题,因此适当加入了类似的题目;(3)考虑到该部 分内容是第一轮初始阶段复习的知识,因此在选题时尽量 避免选用综合性强,思维难度大的题目.

第一单元 │ 教学指导 教学指导
高考对该部分内容的要求不高,教师在引导学生复习 该部分时,切忌对各层次知识点随意拔高,习题一味求深、 求广、求难. 教学时,注意到如下几个问题:(1)集合主要是强调其 工具性和应用性,解集合问题时,要引导充分利用Venn图 或数轴的直观性来帮助解题.(2)对“命题的逆命题、否命 题与逆否命题”只要求做一般性了解,重点关注必要条件、 充分条件、充要条件.(3)对逻辑联结“或”“且”“非” 的含义,只要求通过数学实例加以了解,帮助学生正确地 表述相关的数学内容.

第一单元 │ 教学指导

(4)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们 的形式化定义,在复习中,应通过对具体实例的探究,加 强学生对于含有一个量词的命题的否定的理解.(5)常用 逻辑用语理论性强,重在注意引导学生提高逻辑思维能力 和判断问题的能力,在使用常用逻辑用语的过程中,体会 运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性,避免 对逻辑用语的机械记忆和抽象解释.

第1讲 │ 集合及其运算

第1 讲

集合及其运算

第1讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.集合的含义与表示 (1)一般地,我们把研究对象统称为 ______ 元素 ,把一 些元素组成的总体叫做______( 集合 简称为集). 确定性 , (2) 集 合 中 的 元 素 有 三 个 性 质 : ________ ________ 互异性 ,________. 无序性 属于 和 (3) 集 合 中 元 素 与 集 合 的 关 系 分 为 ______ 不属于 两种,分别用____ ________ ? 表示. ∈ 和____

第1讲 │ 知识梳理

(4)几个常用集合的表示法
数集 表示法 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

N ______

N 或N ______

*



Z ______

Q ______

R ______

列举法 ,________ 描述法 , (5)集合有三种表示法:________ Venn图法 ________.

第1讲 │ 知识梳理
2.集合间的基本关系

表示 关系 相等 子集 真子 集 空集

文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有 元素都相同 A 中任意一元素均为 B 中 的元素 A 中任意一元素均为 B 中 的元素,且 B 中至少有一 元素不是 A 中的元素 空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集

符号语言
A?B且A?B __________ ?A=B A?B 或 B? A

A B

B或 A

??A,? B(B≠?)

第1讲 │ 知识梳理
3.集合的基本运算

?U A

x∈A或x∈B

x∈A且 x∈B

x?A

x∈U



第1讲 │ 知识梳理
4.常见结论 (1)若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集有 ____ 2n 个,真子集有 ______ 2n-1 个. (2)并集: A∪ B= ______ A∪ A= ____ A∪?= ____ B∪A , A , A, ? A,A∪B=B?A?B. A∪ B____ A ,A∩?=____ (3)交集:A∩B= ______ B∩A ,A∩A=____ ? , A∩B____ ? A,A∩B=A?A?B. U (4)补集: A∩? UA= ____ , A∪? UA= ____. ? ? ? ? ? ? ? ? (5)? U(A∪ B) = ___________ ? A ? B? , ? U(A∩B) = ? U ? ∩? U ? ? ? ? ? ?? A? ∪?? B? ______________. ? U ? ? U ? A=B . (6)若 A? B 且 B? A,则 ________

第1讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 集合的概念

例1 [2010·南通模拟] 已知集合A={x∈R|ax2 -3x+2=0}. (1)若A=?,求实数a的取值范围; (2)若A是单元素集,求a的值和集合A; (3)求集合M={a∈R|A≠?}. [思路] 集合A表示方程ax2-3x+2=0的解,根 据方程的类型与方程根的情况确定a所满足的条件.

第1讲 │ 要点探究

[解答 ] (1) ∵ A=?,∴方程 ax2- 3x+ 2= 0 无解. 当 a= 0 时,方程 ax2- 3x+ 2= 0 有解,不符合题意; 当 a≠ 0 时,方程 ax2- 3x+ 2= 0 为一元二次方程,由 9 题意可得 Δ= 9- 8a<0,则 a> . 8 9 综上可知,若 A= ?,则 a 的取值范围为 a> . 8

第1讲 │ 要点探究
(2)当 a= 0 时,方程 ax2- 3x+ 2= 0 可化为- 3x+ 2 ?2 ? 2 = 0,方程只有一解 x= ,此时 A=? ?; 3 ?3 ? 当 a≠ 0 时,方程 ax2- 3x+ 2= 0 为一元二次方程, ?4 ? 9 由题意可得 Δ= 9- 8a= 0,则 a= ,此时 A=? ?. 8 ?3 ? (3)当 a= 0 时,方程 ax2- 3x+ 2= 0 有解; 当 a≠ 0 时,方程 ax2- 3x+ 2= 0 为一元二次方程, 9 由题意可得 Δ= 9- 8a≥ 0,解得 a≤ . 8 ? 9? 综上可知, M=?a|a≤ ?. 8? ?

第1讲 │ 要点探究

已知 A = {a + 2 , (a + 1)2 , a2 + 3a + 3} ,若 1∈A,求实数a构成的集合B的元素个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

[思路] 由题意可知,集合A中的三个元素中必有一 个为1,由此列出关于a的方程后求解,最后对结果进行 检验.

第1讲 │ 要点探究
B [解析] 若 1=a+2,则 a=-1. ∵a2+3a+3=1=a+2,∴a=-1 不合题意. 若 1=(a+1)2,则 a=0 或 a=-2. 当 a=0 时,A={2,1,3}. 当 a=-2 不合题意,a=0 适合. 若 1=a2+3a+3,则 a=-1 或 a=-2, 由上面结论可知,此时没有 a 符合题意. ∴满足条件的 a 的值为 0. [点评] 关于集合的概念求字母参数问题,通常的解 法步骤:(1)对集合中元素的合理搭配;(2)列出方程组求 出字母参数的值;(3)检验所求的参数值是不是满足集合 元素的互异性以及符合题意.

第1讲 │ 要点探究
? 探究点2 集合间关系

例 2 已知集合 A={x|x2- 3x- 10≤ 0}. (1)若 B?A,B={x|m+ 1≤ x≤ 2m- 1)},求实数 m 的取值范围; (2)若 A=B,B={x|m- 6≤ x≤ 2m- 1)},求实数 m 的取值范围; (3)若 A?B,B={x|m- 6≤ x≤ 2m- 1)},求实数 m 的取值范围.
[思路] 处理集合间的包含关系,关键是搞清 A,B 两集合 谁是谁的子集,B?A 说明 B 是 A 的子集,即集合 B 中的元素 都在集合 A 中, 注意 B 是?的情况;A?B, 说明 A 是 B 的子集, 此时注意 A 是不是?;A=B,说明两集合元素完全相同.

第1讲 │ 要点探究
[解答 ] 由 A={x|x2-3x- 10≤0}, 得 A={x|- 2≤x≤ 5}. ∵ B? A, ∴①若 B=?,由 B?A, 则 m+1>2m-1, 即 m<2,此时满足 B? A. ②若 B≠?, ?m+1≤2m-1, ? 得?m+1≥- 2, ?2m- 1≤ 5, ? 解得 2≤ m≤ 3. 由①,②得 m 的取值范围是(-∞,3].

第1讲 │ 要点探究
(2)若
?m- 6=- 2, ? A= B, 则必有? ? ?2m- 1= 5,

方程组无解,

即不存在 m 值使得 A= B. (3)若 A? B, ?2m-1> m- 6, ? 则依题意应有?m- 6≤- 2, ? 2m-1≥ 5, ? ?m>- 5, ? 解得?m≤ 4, ?m≥ 3, ?

故 3≤ m≤ 4.

∴ m 的取值范围是 [3,4].

第1讲 │ 要点探究

[点评] 解决这类问题要注意空集是一个特殊 的集合,它是任何集合的子集,解题时不要漏掉 这一点,同时解决两个集合的关系时,避免出错 的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求 解,这也是数与形的完美结合之所在.

第1讲 │ 要点探究
? ? x<4} , Q = { x? (1)[2010· 浙江卷 ] 设 P = { x? ? ?

x2<4},则( ) A.P?Q B.Q?P C.P??RQ D.Q??RP (2)[2010·福建六校二联]已知集合 A={3,m2},B= {-1,3,2m-1},若 A?B,则实数 m 的值为________.
[思路 ] (1)求出集合 Q,利用数轴判断两个集合的 相互关系;(2)建立集合 A 中的元素 m2 与集合 B 中相 关元素的等量关系,求得 m 的值.

第1讲 │ 要点探究

(1)B
? ? ? ?

(2)1

[ 解 析 ] (1)Q = -2,2 , P =

? ? ?

? ? ?

-∞,4??,Q?P.

(2)根据题意,得 m2=2m-1,解得 m=1,经验 证符合题意,所以 m=1.

第1讲 │ 要点探究

? 探究点3
例3

集合的运算
? ? 6 ? ? ? ? ? ? ≥ 1 A= x?x+ 1 ? ? ? ? ?

已知全集 U= R,集合



集合 B={x|x2- 2x- m< 0}. (1)当 m= 3 时,求 A∩? UB; (2)若 A∩ B= {x|- 1< x< 4)},求 m 的值.

第1讲 │ 要点探究
? ?x+ 1> 0, 6 [解答 ] ∵ ≥ (1)?? ? - 1< x≤ 5, ? x+ 1 ?6≥ x+ 1 ∴ A={x|- 1< x≤ 5}. (1)当 m= 3 时, B= {x|- 1< x< 3}, ∴? UB={x|x≤- 1 或 x≥ 3}, ∴ A∩? UB= {x|3≤ x≤ 5}. (2)由 A∩ B={x|- 1< x< 4}可知 x= 4 是方程 x2- 2x- m= 0 的一个根, ∴ 42- 2× 4- m= 0,∴ m= 8. 当 m= 8 时, B= {x|- 2< x< 4}, ∴ A∩ B= {x|- 1< x< 4},符合题意, ∴ m= 8.

第1讲 │ 要点探究
(1)[2010· 海南五校三联] 设 U=Z,A={1,3,5,7,9}, B={1,2,3,4,5},则图 1-1 中阴影部分表示的集合是( )

图 1-1 A.{2,4} B.{1,2,3,4,5} C.{7,9} D.{1,3,5} (2)[2010· 重庆卷] 设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx= 0},若?UA={1,2},则实数 m=________.

第1讲 │ 要点探究
[思路] (1)根据给出的 Venn 图可知,所求的集合中的元 素属于集合 B 但不属于集合 A,即求?UA 与 B 的交集;(2)集 合 A 表示一元二次方程的根,根据这个方程的根是否相等分 类解决,并注意对所求的结果进行检验.

(1)A (2)-3 [解析] (1)阴影部分所表示的集合是 (?UA)∩B= {2,4},故选 A. (2)由 x2+ mx= 0?x= 0 或 x=-m,∴当 m=0 时 A = {0}, 不满足; 当 m≠ 0 时, A={0, -m}. 由? UA= {1,2}, ∴-m= 3,m=-3.

第1讲 │ 要点探究
? 探究点4 新型集合的概念与运算

例 4[2010· 福建卷] 对于平面上的点集 Ω,如果连接 Ω 中任 意两点的线段必定包含于 Ω,则称 Ω 为平面上的凸集,给出平 面上 4 个点集的图形如图 1-2 所示(阴影区域及其边界),其中 为凸集的是__________.(写出所有凸集相应图形的序号)

图 1-2

第1讲 │ 要点探究
②③ [解析] 利用平面上的凸集的新定义知:连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω,那么对于①中多边 形的最上面的两个角上相应的两点的连线就不包含于 Ω, 而对于④中分别在两个圆中各取一点的连线就不包含于 Ω,对于②和③满足平面上的凸集的新定义.

[点评] 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标 高考的热点问题, 解决此类信息迁移题的关键是在理解新 信息并把它纳入已有的知识体系中, 用原来的知识和方法 来解决新情景下的问题.

第1讲 │ 要点探究

对于集合 N={1,2,3, ?, n}和它的每一个非空 子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排 列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例 如集合{1,2,4,6,9}的交替和是 9-6+4-2+1=6, 当集合 N 中的 n=1 时,它的交替和 S1=1;当集合 N 中的 n=2 时, 集合 N={1,2}的所有非空子集为{1}, {2}, {1,2}, 则它的“交 替和”的总和 S2=1+2+(2-1)=4.请你尝试对 n=3、n= 4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3、S4,并根据其 结构猜测集合 N={1,2,3,?,n}的每一个非空子集的“交 替和”的总和 Sn=________.

第1讲 │ 要点探究

n· 2n 1 [解析] 对于任一个不含元素 n 的子集 A,加入一个元素 n 后成集合 B,则集合 A 与集合 B“交替和”的和为 n, 这种构造的集合 A 与集合 B - 是一一对应的,各有 2n 1 个,且每一对集合的“交 替和”的和为 n,故非空子集的“交替和”的总和 - Sn= n· 2n 1.


第1讲 │ 要点探究

例 5 对于任意两个正数 m,n,定义某种运算(运算 符号用#表示):当 m,n 都为正偶数或正奇数时,m#n= m+n;当 m,n 中一个为正奇数,另一个为正偶数时, m#n=mn,则在上述定义下,集合 M={(a,b)|a#b=36, a∈N*,b∈N*}的元素个数为( ) A.40 B.41 C.36 D.9

第1讲 │ 要点探究

B [解析] 当 m,n 都为正偶数或正奇数时,36=1 +35=2+34=3+33=?=17+19=18+18,共 18 个 等式, 能组成的实数对(a, b)为 18×2-1=35 对; 当 m, n 中一个为正奇数,另一个为正偶数时, 36=1×36= 3×12=4×9,能组成的实数对(a,b)为 2×3=6 对,因 此集合中共有 41 个元素,故选 B.

第1讲 │ 规律总结 规律总结
1.集合的准确识别 对集合的准确识别,关键是要特别注意代表元素是什 么,有什么属性,如果属性相同,但代表元素不同,所表 示的集合也不一样,如集合{y|y=2x},{x|y=2x},{(x, y)|y=2x}表示不同的集合. 2.集合元素的性质 集合元素具有确定性、互异性、无序性三个特征,尤 其是“互异性”在解题中要注意把握与运用,在解决元素含 参数的集合问题时,千万别忘了检验,否则很可能会因为 不满足“互异性”而导致结论错误.

第1讲 │ 规律总结
3.空集的特殊性 任何集合是它自身的子集,空集是任何集合的子 集.在涉及集合之间的包含关系,利用 A? B 解题时,若 不明确集合 A 是否是为空集时,应对集合 A 的情况进行分 类讨论,勿因忽略“空集是任何集合的子集”造成解题结 果不全面. 4.数形结合思想的应用 在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩图和数轴 使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用韦恩图表 示,集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点 值的取舍.

第1讲 │ 规律总结

5.补集思想的应用 在解决集合有关问题时,如果从正面求解较困难,则采 用“正难则反”的解题策略,具体地说,就是将研究对象的 全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则集合A的补 集即为所求. 6.集合问题中常用的转化结论 A∪B=A?B? A,A∩B=A?A? B,A? B且B? A?A=B.

第2讲 │基本逻辑联结词与量词

第2讲 基本逻辑联结词与量词

第2讲 │ 知识梳理

知识梳理
1.简单的逻辑联结词 “且”“或”“非”,分别 常用的简单的逻辑联结词有___________________ ∧、∨、┓表示. 用符号__________ 同时 成立;“或” 其含义:“且”是若干个简单命题______ 是若干个简单命题中______ 至少 有一个成立;“非”是对一个命 否定 只否定结论). 题的______(

第2讲 │ 知识梳理
2.量词 (1) 短语“对所有的”或“对任意一个”在陈述语句中表示 全称 量词,并用符号“? ” 所述事物的全体,逻辑中通常叫做______ 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)短语“存在一个”或“至少有一个”在陈述语句中表示 存在 量词, 事物的个体或部分, 逻辑中通常叫做______ 并用符号“? ” 表示.含有存在量词的命题叫做特称命题,或叫存在性命题.

?x0∈M (3)全称命题 p:? x∈M,p(x);它的否定是____________ .
特 称 命 题 q : ? x0 ∈ M , q(x0) ; 它 的 否 定 是
┓p(x ) ?x∈M __________________________. 0

第2讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1
例1

含有逻辑联结词的命题真假判断

[2010· 常德模拟] 已知命题 p: ? x∈ R, 使

5 sinx= ;命题 q:? x∈ R,都有 x2+ x+ 1<0.给出下列 2 ┓ 结论:①命题“ p∧ q”是真命题;②命题“ p∧ q”是假 命题;③命题“┓ p∨ q”是真命题;④命题 “┓ p∨┓q”是真 命题. 其中正确的是 ( ) A.②④ B.②③ C.③④ D.①②③

第2讲 │ 要点探究

[思路] 先判断两个简单命题的真假,然后根据含逻 辑联结词的命题真假的判断准则逐个作出判断.

第2讲 │ 要点探究

[点评] 正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含 义是关键,解题时,应根据组成复合命题的语句中所出现的 逻辑联结词,以及组成复合命题的各简单命题的真假进行判 断,当 p 和 q 都为真命题时,p∧q 才是真命题,当 p 和 q 都 是假命题时,p∨q 才为假命题,而 p 与┓p 命题为一真一假.

第2讲 │ 要点探究
[2010· 海南卷] 已知命题 p1:函数 y=2x- - - 2 x 在 R 上为增函数,p2: 函数 y=2x+2 x 在 R 上为减 ┓ 函数,则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( p1)∨ ┓ p2 和 q4:p1∧( p2)中,真命题是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4
C [解析] p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,是真 命题,而 p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上不单调,是假命题, 根据复合语句的真值表判断可知: q1,q4 是真命题.

第2讲 │ 要点探究
? 探究点2 以含逻辑联结词的命题的真假为背景, 求解参数
例2 已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,命 题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p∨q为假命题,求实 数m的取值范围.

[思路] 分别求出满足命题 p,q 的实数 a 的取值范围,然 后根据含逻辑联结词命题真假的判断准则,得出命题 p,q 的 真假情况,从而求得实数 a 的取值范围.

第2讲 │ 要点探究

[解答 ] 命题 p 为真命题时,方程 x2+ mx+ 1=0 有两 个不等的负根,则 x1+ x2=-m<0, x1x2= 1>0,且 Δ= m2 - 4>0,解得 m>2; 命题 q 为真命题时,方程 4x2+ 4(m- 2)x+ 1=0 无实 根,则 Δ= 16(m- 2)2- 16<0,解得 1<m<3; ∵ p∨ q 为假命题,∴ p,q 都是假命题,所以 m 所满 足的条件为{m|m≤2}∩{m|m≥3 或 m≤1}= {m|m≤1}, 即m的 取值范围是{m|m≤1}.

第2讲 │ 要点探究

设p:关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q:函数 y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,若p∨q是真命题,p∧q是假 命题,求实数a的取值范围.

[思路] 分别求出满足命题 p, q 的实数 a 的取值范围, 然后根据含逻辑联结词命题真假的判断准则,根据对命题 p,q 的真假情况分类讨论,从而求得实数 a 的取值范围.

第2讲 │ 要点探究
[解答]p 真: 当 0<a<1 时, 由 ax>1? x<0, 可得{a| 0<a<1}. ? ?a>0, 2 q 真:由 ax -x+a>0 恒成立,可得? 解 2 ? Δ = 1 - 4 a <0 , ? 1 得 a> . 2 由 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,得 p、q 两命题一真 一假.
? 1 1 ? 当 p 真 q 假时,可得 0<a<1, a≤2, 此时 0<a≤ ; 2 ? ? 1 当 p 假 q 真时,可知? a≥1, a>2, 此时 a≥1.综上,a ? ? ? 1 ? 的取值范围为 0,2?∪[1,+∞). ? ?

第2讲 │ 要点探究
? 探究点3 含有量词的命题

例3 [2010· 济南模拟] 判断下列命题是不是全称命题或特称命 题,若是,用符号表示,并判断其真假. (1) 有一个实数x,sin2x+cos2x≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解; 1 (4)存在实数x,使 2 =2. x -x+1

[思路] 根据定义判断命题是否是全称命题或特称命题,利 用证明或举例和举反例的方法判断它们的真假.

第2讲 │ 要点探究

[解答] (1)含有存在性量词“有一个”,因此是特 称命题,用符号表示为:? x∈R,sin2x+cos2x≠1.它 是假命题. (2)含有全称量词“任何一条”,因此是全称命 题,用符号表示为:? 直线l,l存在斜率.当l的方程 为x=1时,直线l不存在斜率,因此它是一个假命 题.

第2讲 │ 要点探究

(3) 含有全称量词“所有的”,因此是全称命题,用 符号表示为:? a,b∈R,方程ax+b=0恰有唯一 解.当a=0,b=0时,方程有无数个解,因此它是一个 假命题. (4) 含有存在性量词“存在”,因此是一个特称命 1 1 题,用符号表示为:? x∈R , 2 =2.若 2 x -x+1 x -x+1 =2,则2x2-2x+1=0,无解,故不存在实数x使 1 =2成立,因此它是个假命题. x2-x+1

第2讲 │ 要点探究

[点评] 判断全称命题为假命题,通常“举反例”来确 定此命题为假,判断一个特称命题为真命题,通常“找特 例”来肯定此命题为真,也能利用此方法解决由全称命题 与特称命题的真假求参数的范围的问题.

第2讲 │ 要点探究
[2010·安庆联考 ] 已知命题 p:? x∈ R, ax2 + 2x+ 3> 0.如果命题 p 是假命题,那么 a 的范围是 ( ) 1 1 A. a< B. 0< a≤ 3 3 1 1 C. a≤ D. a≥ 3 3
C [解析] 当 a=0 时,原不等式可化为 2x>3,当 x= -2 时,命题不成立,因此符合题意;当 a≠0 时,要使一元 二次不等式 ax2+2x+3>0 不恒成立, 只需要 Δ=4-12a≥0, 1 1 解得 a≤ ,因此 a 的取值范围是 a≤ . 3 3

第2讲 │ 要点探究
例 4 下列命题的否定形式正确的是( ) A .“? x ∈ R , x2 + 2x+ 1 >0”的否定是“ ? x∈ R , x2 + 2x +1<0” B.“有一个实数 a 不能取对数”的否定形式是“所有的 a 不能取对数” C.“有的菱形是正方形”的否定形式是“有的菱形不是正 方形” D.“每一个人都喜欢体育锻炼”的否定形式是“存在一个 人不喜欢体育锻炼”

[思路] 全称命题的否定形式是特称命题,特称命题 的否定形式是全称命题,含量词的命题的否定形式还要否 定原命题的结论.

第2讲 │ 要点探究

D [ 解析] A 中大于的否定应为小于或等于;B 中只改 了量词,没否定结论; C 只否定结论,没改量词. [点评 ] (1)含量词的命题的否定,要遵循“换量词,否 结论”的原则.(2)正确区别命题的否定与否命题.(3)判断 “┓p”的真假,可以直接判断,也可以利用 p 与┓p 的真假相 反判断.对于某些省略了量词的命题的否定形式,应在充分 理解题意确定它是何种命题,然后再写否定形式.

第2讲 │ 要点探究
命题“二次函数 y=ax2+ bx+ c(a≠0)与 y 轴相交 ”的 否定形式是( ) A.二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠0)与 y 轴不相交 B.任意二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠0)与 y 轴相交 C.存在二次函数 y=ax2+ bx+ c(a≠0)与 y 轴相交 D.存在二次函数 y=ax2+ bx+ c(a≠0)与 y 轴不相交

D [解析] 根据原命题可知,所有的二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴都相交,它是一个全称命题,因 此其否定形式是一个特称命题,而且要否定结论,因此 选 D.

第2讲 │ 规律总结 规律总结
1.命题与集合之间可以建立对应关系,在这 样的对应下,逻辑联结词与集合的运算具有一致 性,命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集 合的“交”“并”“补”.因此,可以从集合的 角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定. 2.同一个全称命题,特称命题,由于自然语 言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用 中可以灵活地选择.

第2讲 │ 规律总结

第2讲 │ 规律总结

3.全称命题为真时,表示所限定的集合中的每个元素 都具有某种属性,使所给语句为真,因此能通过“举反例”来 确定一个全称命题为假命题;特称命题为真时,表示在限定 的集合中有一些元素(至少一个)具有某种属性,使所给语句 为真,因此能通过“举特例”来确定一个特称命题为真命题.

第2讲 │ 规律总结
4.(1)一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下: 正面词 语 小于 (<) 不小 于(≥) 任意 的 某个

等于(=) 大于(>)


不是 所有 的 某些

都是
不都是

否定词 不大 不等于(≠) 于(≤) 语 正面 至多有 词语 一个 否定 至少有 词语 两个 至少有 一个 一个也 没有

一定 一定 不





另外:p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为:非p或非q.

第2讲 │ 规律总结

(2) 含量词的命题的否定规律是 “改量词,否结 论”,即把全称量词与存在量词互换,然否定原命题的 结论,对于某些省略了量词的命题,可以在理解命题的 基础上,添上量词,再按规命题的否定.

第3讲 │命题、充要条件

第3讲

命题、充要条件

第3讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.四种命题 能判断真假的陈述句 (1) 命 题 是 _______________________ , 具 有 若p,则q “__________”的形式. (2)一般地,用 p 和 q 分别表示命题的条件和结论,用 ┓ p 和┓q 分别表示 p 和 q 的否定, 于是四种命题的形式就是: 若p,则q ; 原命题:__________ 若q,则p ; 逆命题:__________ 若┓p,┓q ; 否命题:__________ ┓q,则┓p 若 逆否命题: ___________.

第3讲 │ 知识梳理
(3)四种命题的关系:

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 “若 p,则 q”为真,即 p? q,则 p 是 q 的__________ 充分条件, q 是 p 的__________ 必要条件 . 若 p? q 且 q? p,则 p 是 q 的充分且必要 __________条件,简称 充要条件 . __________

第3讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 四种命题及相互关系

例 1 (1)[2010· 天津卷] 命题“若 f(x)是奇函数,则 f(- x)是奇函数”的否命题是( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(- x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(- x)不是奇函数 C.若 f(- x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(- x)是奇函数,则 f(x)不是奇函数

第3讲 │ 要点探究
(2)[2010· 泉州质检] 命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆 否命题是( ) A.“若 x<y,则 x2<y2” B.“若 x>y,则 x2>y2” C.“若 x≤y,则 x2≤y2” D.“若 x≥y,则 x2≥y2”

[思路] 将命题写成“若p则q”的形式,再写出其逆命 题、否命题和逆否命题.

第3讲 │ 要点探究
(1)B (2)C [解析] (1)因为一个命题的否命题是 对其条件和结论都进行否定,所以选 B. (2) 将条件与结论否定,并互换得:若 x≤y,则 x2≤y2,故选 C.

[点评] 原命题写出其他三个命题时,将命题化为“若p 则 q”的形式,利用其他三个命题与原命题的关系,直接写 出相应的命题. 当一个命题有大前提而写其他三种命题时,必须保留大 前提且不做改换;另外,在判断命题的真假时,如果不易直 接判断它的真假时,可以转化为判断其逆否命题的真假.

第3讲 │ 要点探究
(1)命题“已知 c>0,若 a>b,则 ac>bc”的逆命题 是________. (2)命题“若 x≠-2 且 x≠4,则 x2-2x-8≠0”是______命 题.(填真、假中的一种)

(1)已知c>0,若ac>bc,则a>b (2)真 [解析] (1)“已知 c>0”是大前提,因此不做改换,而逆命 题只是将条件与结论互换,因此其逆命题为“已知 c>0 ,若 ac>bc ,则 a>b”. (2) 命题“若 x≠ - 2 且 x≠4 ,则 x2 - 2x- 8≠0” 的逆否命题为“若 x2 - 2x - 8 = 0 ,则 x =- 2 或 x = 4” ,其逆 否命题是真命题,因此原命题也为真命题.

第3讲 │ 要点探究
? 探究点2 充要条件的判断

例 2(1)[2010· 温州模拟 ] 已知 a, b 是实数,则“a= 1 且 b= 1”是“ a+ b= 2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 (2)若a∈R,则a<1是a>1的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第3讲 │ 要点探究
(3)[2010· 无锡模拟] 已知 P:x2+y2=0(x,y∈ ┓ R),Q:x≠0 或 y≠0,则 P 是 Q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (4)“b = ac ”是“a , b , c 成等比数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

第3讲 │ 要点探究

[ 思路 ] (1) 利用定义直接判断; (2) 将条件 进行适当的化简,利用集合法并借助数轴进行判 断;(3)利用等价法进行判断;(4)结合等比中项 的性质,利用定义进行判断.

第3讲 │ 要点探究

(1)A

(2)B

(3)C

(4)D

[解析] (1)若 a=1 且 b=1,则 a+b=2;若 a+b=2, 则 a=0,b=2 也符合.所以“a=1 且 b=1”是“a+b= 2”的充分不必要条件,故选 A. 1- a 1 1 1 (2)先求a>1 成立的充要条件,由a>1?a-1>0? a 1 >0,解得 0<a<1,所以 a<1 是a>1 的必要不充分条件,故 选 B.

第3讲 │ 要点探究

第3讲 │ 要点探究

[点评] (1)判断充分条件、必要条件的方法有三种:直接 法,集合法,等价法. (2)利用集合法进行判断时, 借助数轴能直观显示两个集合 的关系,从而使问题易于求解. (3)对于条件或结论是否定形式的充分条件、 必要条件的判 断,要善于利用等价命题进行判断. 在进行充分条件、必要条件判断时,首先要明确哪个论断 是条件,哪个论断是结论,而且将条件进行适当的化简及合理 的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键,如:

第3讲 │ 要点探究

(1)[2010· 杭州二检 ] 使 “lgm<1”成立的一个充 分不必要条件是( ) A.m∈(0,+∞) B.m∈{1,2} C.0<m<10 D.m<1

第3讲 │ 要点探究

(2)已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件,q 是 r 的 充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,现有 下列命题:① s 是 q 的充要条件;②p 是 q 的充分条件而 不是必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是充分条件;④ ┓ p 是┓ s 的必要条件而不是充分条件; ⑤r 是 s 的充分条件 而不是必要条件.则正确命题的序号是 ( ) A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤

第3讲 │ 要点探究
(1)B (2)B [解析] (1)由 lgm<1? 0<m<10, 由{1,2} 是 {m|0<m<10}的真子集,故得出结论:“ m∈ {1,2}”为 “lgm<1”成立的充分不必要条件. 本题考查集合的运算、 充要条件及对数的基本运算,难度不大,也是广大考生 普遍得分的题. 由已知得 . 由上面所给的图形知①②④正确,③⑤不正确,故 选 B.

第3讲 │ 要点探究

? 探究点3

充要条件的探求和证明

例 3 已知 ab≠ 0,求证: a+ b= 1 的充要条件是 a3 + b3+ ab- a2- b2= 0. 3

第3讲 │ 要点探究
[解答] 必要性: ∵a+b=1,∴a+b-1=0, ∴a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 充分性: ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又 ab≠0,∴a≠0 且 b≠0, ∴a -ab+b
2 2

? b ?2 3 2 ? = a-2? + b >0, 4 ? ?

∴a+b-1=0,即 a+b=1. 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2 -b2=0.

第3讲 │ 要点探究

[点评 ]有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件, 哪个是结论,由“条件”? “结论”是证明命题的充分性, 由“结论”? “条件”是证明命题的必要性. 证明要分两个 环节:一是充分性;二是必要性. 对于充要条件问题,我们不仅要会利用定义进行证明, 而且要掌握充要条件的探求.

第3讲 │ 规律总结 规律总结
1.在判断四个命题之间的关系时,首先要注意分清命题 的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系, 要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题, 也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”. 2.原命题与逆否命题为等价命题,逆命题与否命题为等 价命题,一真俱真,一假俱假;当一个命题的真假不易判断 时,可考虑判断其等价命题的真假.

第3讲 │ 规律总结

3.判断充分必要条件时,第一是要分清命题的条 件与结论; 第二是要善于将文字语言转化为符号语言进 行推理;第三是要注意等价命题的运用;第四是当判断 多个命题之间的关系时, 常用图示法, 它能使问题直观, 易于判断.

第3讲 │ 规律总结



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