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2014届吴川一中高三测试题5(理数)



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2014 届吴川一中高三测试题(五)
数学 (理科)
第 I 卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.已知 i 为虚数单位, m ? R ,若 z ? (A) ? 1 或 1 (B) ? 1

(m ? 1) ? (m2

? 1)i 为纯虚数,则 m ? ( i
(D) 0

). A

(C) 1 ). (C) (0, ??)

2.函数 f ( x) ? ln(1 ? e x ) 的值域为( (A) (0,1) (B) (??,0)

(D) R

B

D

C ).

3.如图,在 △ ABC 中,点 D 满足 BD ? 2DC ,若 AD ? xAB ? y AC ,则 x ? y ? ( (A) 1 (B)

2 3

(C) ?

1 3

(D) ?

2 3
).

4.已知 k ? R ,函数 f ( x ) ? ? (A)奇函数

? x(k ? x ), x ? 0 ,则 f ( x ) 是( ? x(k ? x ), x ? 0
(B)偶函数

(C)既是奇函数又是偶函数 (D)可能是奇函数也可能是偶函数 2 5. 在 △ ABC 中,?B ? 60 , a ? 1, c ? 2 , 则 sin?A =(
2 3 1 (A) (B) (C) (D) 1 2 2 2 6.一几何体的主视图、左视图与俯视图如图所示, 则该几何体的体积等于( ).

). 2 主视图 1 俯视图

1 2 左视图

1

(A) 2 ?

(B)

?? 2

(C) ?

(D)

? 2

7.某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数 据得到的频率分布表,其中产品净重的范围是[96,108],则该样本数据的中位数为 范围 [96, 100) [100, 104) [104, 108]

1

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( ). 101 (A) (C) 102.6

频率 (B) 102.4 (D) 103

0.2

0.5

0.3

?a c ? ? x ? ? ax ? cy ? ? x?? ? a c ? ? x ? 8. 定义运算:? , 称? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 为将点 ( x, y ) 映到点 ( x?, y ?) 的 ? b d ? ? y ? ?bx ? dy ? ? y ?? ? b d ? ? y ? ? x?? ? 2 ?1? ? x ? 一次变换.若 ? ? ? ? ? ? ? 把直线 y ? kx 上的各点映到这点本身,而把直线 ? y?? ? p q ? ? y ?

y ? mx 上的各点映到这点关于原点对称的点.则 k , m, p, q 的值依次是(
(A) k ? 1, m ? ?2, p ? 3, q ? 3 (C) k ? ?2, m ? 3, p ? 3, q ? 1 (B) k ? ?2, m ? 1, p ? 3, q ? 3 (D) k ? 1, m ? 3, p ? 3, q ? ?2

).

第 II 卷(选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. ( x ? 开始

S=0,i=1
. T=3i-1 S=S+T i= i+1

1 8 ) 的展开式中含 x 2 的项为 x

10.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 2, a5 ? 3a3 , 则 S9 ? .

11.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为

i>5? . 是 输出 S 结束



12.已知双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0 ,则双曲线 C 的离心率 等于 .

?2 x ? y ? 4 ? 13.设点 P( x, y ) 是区域 ? : ? x ? 4 y ? 4 上一动点,且 A(4,0) , ? x? y?4 ?
B(0,4) , OP ? ?OA ? ?OB ,则 ? ? ? 的取值范围是
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
2

.

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14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l : ?

?x ? t ? x ? sin ? ? cos ? (t 为参数 ) 与曲线 C : ? (? ? y ? t ?1 ? y ? sin ? ? cos ?

为参数 ) 相交于 A、B 两点,O 为原点,则 ?AOB ?

.

15.(几何证明选讲选做题)如图, AD 为圆 O 直径, BC 切圆 O 于点 E ,

AB ? BC , DC ? BC , AB ? 4, DC ? 1 ,则 AD 等于

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(本小题满分 12 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正 半轴重合, 终边交单位圆于点 A , 且? ? ? , ) . 将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . (1)若 x1 ?

? ? 6 2

? , 3

1 ,求 x2 ; 3

(2)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D . 记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

17.(本小题满分 12 分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所 示,其中年龄分组区间是: ?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? . (1)求图中 x 的值, 并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人 数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传 活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 频率/组距 0.07 x

0.04 0.02 0.01 O
3

20

25

30

35

40

45

年龄/岁

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18.(本小题满分 14 分)如图, ABCD 是正方形,

E

DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? DA ? 3 AF . (1)求证: AC ? BE ; (2)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值(锐角); (3)设点 M 是线段 BD 上一个动点, 试确定点 M 的位置,使得 AM // 平面 BEF ,
证明你的结论.

F A D

B

C

19.(本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

s ,若 s
n

5

? 70 ,

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . s 6 8 ? n?
x2 y2 3 ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , a 2 b2 2

20.(本小题满分 14 分)如图,已知椭圆 C :

以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于 点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时 圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M 、N 的任意一点,且直线 MP 、NP 分别 与 x 轴交于点 R、S , O 为坐标原 点,求证: OR ? OS 为定值. 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? ) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg ( x) 有两个不相等的实根?如果存
4

3 2

2 , g ( x) ? ln x . x

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在,求的 k 取值范围,如果不存在,说明理由?

2014 届吴川一中高三测试题(五)参考答案及评分标准
一.选择题:1~4 CBCA 5~8 ADBD 二.填空题:9. 28 x
2

10. ?54 11. 40 12. 5 或

?? 4 5 13. [ ,1] 14. 15. 5 3 7 2 ? ) . …………………2 分 3

16.解:(1)由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? ∵? ? ? , ) , cos ? ?

? ? 6 2

1 2 2 2 ,∴sin ? ? 1 ? cos ? ? .…3 分 3 3

∴x2 ? cos(? ? ) ?

? 3

1 3 1? 2 6 .…………5 分 cos ? ? sin ? ? 2 2 6
? ). 3

(2)依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? ∴S1 ?

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , ……………………………………7 分 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) . …………………9 分 2 2 3 3 4 3 2? ) ,整理得 cos 2? ? 0 . …………………………11 分 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 3 ? ? ? ? ? ∵ ? ? ? ,∴ ? 2? ? ? ,有 2? ? , 即 ? ? . …………………………12 分 6 2 3 2 4
17.解:(1)因为小矩形的面积等于频率,所以除 ?35,40? 外的频率和为 0.70,

?x ?

1 ? 0.70 ? 0.06 . ……………………………………………………………………3 分 5

500 名志愿者中,年龄在 ?35,40? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人). ………………4 分 (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名.故 X 的可能取值为 0,1,2,3,……………………6 分
3 1 C8 C12 C82 14 28 , P? X ? 1? ? , P? X ? 0 ? ? 3 ? ? 3 285 95 C20 C20

P? X ? 2 ? ?

2 1 3 C12 C8 C12 44 11 , ,………………………………10 分 ? ? ? P X ? 3 ? ? 3 3 95 C20 57 C 20

故 X 的分布列为:
5

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X

0

1

2

3

P
所以 EX ? 0 ?

14 285

28 95

44 95

11 57

14 28 44 11 171 ? 1? ? 2? ? 3? ? .………………………………12 分 285 95 95 57 95

18.(1)证明: ∵DE ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD , ∴DE ? AC . …………………………1 分 由 ABCD 是正方形,得 AC ? BD , 而 DE BD ? D , ∴ AC ? 平面 BDE , BE ? 平面 BDE ,…3 分 ∴ AC ? BE ; …………………………4 分 (2)解:因为 DA, DC, DE 两两垂直,以建立空间 直角坐标系 D ? xyz 如图所示. ……………5 分 设 AD ? 3 ,可知 DE ? 3, AF ? 1. ………6 分
x
F

z
E

A M B

D C

y

则 D(0,0,0) , A(3, 0, 0) , F (3,0,1) , E (0,0,3) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , ∴BF ? (0, ?3,1) , EF ? (3,0, ?2) ,……7 分 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 ? 令 z ? 3 ,则 n ? (2,1,3) .

? ?n ? BF ? 0 ? ?n ? EF ? 0

,得 ?

?? 3 y ? z ? 0, , ? 3x ? 2 z ? 0.

……………………………8 分

∵ AC ? 平面 BDE ,∴ 平面 BDE 的法向量 CA ? (3, ?3,0) , ∴ cos ? n, CA ? ?

n ? CA n CA

?

7 14

………………………………………………………9 分

∴ 二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

7 . 14

………………………………………………10 分

(Ⅲ )点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t ,0) (0 ? t ? 3 2) ,则 AM ? (t ? 3, t ,0) ,

6

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由 AM // 平面 BEF ,得 AM ? n ? 0 , 即 2(t ? 3) ? t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2,0) , BM ? 19.解:(1)

………………………11 分 ……………………………13 分

1 BD ,符合题意. 3

……………………………14 分 ① ………………2 分

数列 ?an ? 是等差数列且 s5 ? 70 ,? 5a1 ? 10d ? 70 .

2 ………4 分 a2 , a7 , a22 成等比数列,? a7 ? a2 a22 即 (a1 ? 6d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ). ②

由① ,② 解得 a1 ? 6, d ? 4 或 a1 ? 14, d ? 0(舍去) ………………………………………5 分

? an ? 4n ? 2 ;……………………………………………………………………………6 分
(2)证明:由(1)可得 sn ? 2n 2 ? 4n ,∴

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ). sn 2n ? 4n 4 n n ? 2

…………8 分

∴Tn ?

1 1 1 ? ? ? s1 s2 s3

?

1 sn ?1

?

1 sn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? )? ( ? )? ? ( ? )? ( ? ) 4 1 3 4 2 4 4 3 5 4 n ?1 n ?1 4 n n ? 2 3 1 1 1 ……………………………………10 分 ? ? ( ? ). 8 4 n ?1 n ? 2 3 3 1 1 1 …………………………………11 分 Tn ? ? ? ( ? ) ? 0 ,? Tn ? . 8 8 4 n ?1 n ? 2 ?
1 1 1 Tn ?1 ? Tn ? ( ? ) ?0, 4 n ?1 n ? 3

? 数列 ?Tn ? 是递增数列, ? Tn ? T1 ?
? 1 ? Tn ? 3 .
6 8
20.解:(1)依题意得 a ? 2 , e ?

1 .…………………………………………………13 分 6
…………………………………14 分

c 3 2 2 ,∴c ? 3, b ? a ? c ? 1 , ? a 2

x2 ? y 2 ? 1;…………………………………………………………3 分 故椭圆 C 的方程为 4
(2)点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1, y1 ) , N ( x1 , ? y1 ) ,不妨设 y1 ? 0 .
7

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由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 1 ?

x12 ,① .…………………………………………4 分 4

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) , ∴TM ? TN

? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2)2 ? y12
? ( x1 ? 2)2 ? (1 ? x12 5 5 8 1 ) ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? ( x1 ? ) 2 ? .………………6 分 4 5 5 4 4
8 1 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5

由于 ?2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 由① 式得 y1 ?

3 13 8 3 2 ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 25 5 5
13 .………………………………………………………8 分 25

故圆 T 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ?

(3)设 P( x0 , y0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ? y0 ?

y0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1
……………………………10 分

令 y ? 0 ,得 xR ?

x y ? x0 y1 x1 y0 ? x0 y1 ,同理 xS ? 1 0 , y0 ? y1 y0 ? y1

故 x R ? xS ?

x12 y02 ? x02 y12 ,②…………………………………………………………11 分 y02 ? y12
2 2

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 ? 4(1 ? y0 ) , x12 ? 4(1 ? y12 ) , …………………12 分 代入② 式,得 xR ? xS ?

4(1 ? y12 ) y02 ? 4(1 ? y02 ) y12 4( y02 ? y12 ) ? ?4. y02 ? y12 y02 ? y12

∴ OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值. ………………………………………………14 分

3 2 3 21.解:(1) f ( x) ? ln( x ? ) ? ( x ? ? ,且 x ? 0) , 2 x 2

f ?( x) ?

1 x? 3 2

?

2 2 2 2( x ? 1)( x ? 3) ,令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 或 3 . ? ? 2 ? 2 x 2 (2 x ? 3) x 2x ? 3 x

8

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当?

3 ? x ? ?1 或 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 2

当 ?1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; ∴ f ( x ) 的单调递增区间是( ?

3 , ?1 )和( 3, ?? ),单调递减区间是( ?1, 0 )和( 0, 3 );…4 分 2
3 2 2 ? k ln x ( x ? 0) , k ? 0 , x

(2) h( x) ? f ( x) ? kg ( x) ? ln( x ? ) ? ∴h '( x) ?

1 x? 3 2

?

2 k 2 2 k 2 x 2 ? 2(2 x ? 3) ? kx(2 x ? 3) ? ? ? ? ? x 2 (2 x ? 3) x2 x 2 x ? 3 x2 x

?

2(1 ? k ) x 2 ? (3k ? 4) x ? 6 x 2 (2 x ? 3)

令 p ( x) ? 2(1 ? k ) x 2 ? (3k ? 4) x ? 6( x ? 0) ,对称轴 x ? ? ?(3k ? 4) ? ? 3k ? 4 ,………9 分 4(1 ? k ) 4(k ? 1) ①当 k ? 1 时, p ( x) 图象开口向下, ?

3k ? 4 ?0 4(k ? 1)

∴ p ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, p( x) ? p(0) ? ?6 ? 0 , ∴h '( x) ? 0 ,∴h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, h( x) ? 0 不可能有两个不等实根. ……10 分 ②当 k ? 1 时, p ( x) ? ?7 x ? 6 ? 0 ,同理 h '( x) ? 0 ,∴h( x) 在 (0, ??) 上单调递减,

h( x) ? 0 不可能有两个不等实根. …………………………………………………………11 分
③当 0 ? k ? 1 时, p ( x) 图象开口向上,又 p(0) ? ?6 ? 0 ,此时 p( x) ? 0 在 (0, ??) 有且 仅有一根,设为 x0 .对 x ? (0, x0 ) , p( x) ? 0 , h '( x) ? 0 , h( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减; 对 x ? ( x0 , ??) , p( x) ? 0 , h '( x) ? 0 , h( x) 在 ( x0 , ??) 上单调递增;

3 2 hmin ( x) ? h( x0 ) ? ln( x0 ? ) ? ? k ln x0 , 2 x0
又 p(1) ? 2(1 ? k ) ?1 ? (3k ? 4) ?1 ? 6 ? ?8 ? 5k ? 0 ,∴x0 ? 1 , ln x0 ? 0 ,
2

3 2 ln( x0 ? ) ? ln x0 ? k ln x0 (0 ? k ? 1) , ? 0 ,∴h( x0 ) ? 0 , 2 x0
此时 h( x) ? 0 没有实数根, ………………………………………………………………13 分 综上所述,不存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg ( x) 有两个不相等的实根. …14 分
9



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