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刘薇函数的极值与导数课件(新人教A版选修1-1)



复习:函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,
f(x)增函数 f(x)减函数 y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,

则 f ( x)为常数.

巩固:
解:

1 3 1 2 7 f(x) ? x - x ? 单调区间 3 2 2

(第一步) 定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1) (第二步) 令x(x-1)>0, 得x<0或x>1, 则f(x)单增区间(-∞,0),(1,+∞) (第三步)令x(x-1)<0,得0<x<1, f(x)单减区(0,2). 注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接

探究一:观察图像:

在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右 附近各点处的函数值相比,有什么特点?
f (x2)、 f (x4)比x2 、 x4左右附近各点处的函数值相比呢?
y f ( x1 ) f ( x3 ) y?f ( x)

f ( x2 ) O a x1 x2 x3

f ( x4 ) x4
b x

函数的极值定义
y

y

使函数取得极值的 点x0称为极值点

o

设函数f(x)在点x0附近有定义,
(1)如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0);
(2)如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称为极值.

x0

x

o

x0

x

(极值即峰谷处的值)

注意:(1)函数的极值是一个局部性的概 念,是仅对某一点的左右两侧附近的点而言 的,在函数的整个定义区间内可能有多个极 大值或极小值 (2)若f(x)在[a,b]内有极值,那么f(x) 在[a,b]内绝不是单调函数,即在定义域 区间上的单调函数没有极值. (3)极值点是函数定义域内的点,而函 数定义域的端点绝不是函数的极值点
(4)极大值不一定比极小值大

练习:
下图是函数

y ? f ( x) 的图象, 试找出函数
y

y ? f ( x)

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

y ? f ( x)
x3 x x5

a x1 O

x2

x4

x6

b

探究二:极值点处导数值(即切线斜率)有何特 点? y
y

分析y?x3
3

y?f(x)

由f ( x ) ? x , 得f ' ( x ) ? 3 x ,
2

O

x
a

在x ? 0处,f( ' 0) ? 0,
x2 x

O

x1

x3 b ? 0是极值点吗?

x

f ?(x1)=0

f ?(x2)=0 f ?(x3)=0

结论:极值点处,如果有切线,切线水平的.即: f ?(x)=0

思考;若 f ?(x )=0,则x0是否为极值点?
0

极大值

极小值

即: 极值点两侧单调性互异

探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y y?f(x) f ?(x)<0 极大值点两侧 f ?(x)>0 f ?(x)<0

x
f?(x) f(x)

X<x2


x2
极大值

X>x2


f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0

f ?(x)>0
x2 b x

O a x1 极小值点两侧

x1 X<x1 X>x1 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 减 极小值 增 f ( x)

x

结论:极值点处,f?(x) =0 注意:(1) f?(x0) =0, x0不一定是极值点
(2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f?(x0) =0的点,再列表判断单调 性

变式练习:
下图是导函数 y

y? f, ( x) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x) y? f, ( x)
x3 x x5

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

a x1 O

x2

x4

x6

b

1 3 例1 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4. 3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)


2 0

( 2, +∞)

f ?( x)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

练习题1. 判断下面4个命题,其中是真命题 序号为 。
① f ?(x0)=0,则f (x0)必为极值; ② f (x)= x 3 在x=0 处取极大值0,

③函数的极小值一定小于极大值
④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

⑤函数的极值即为最值

2.函数f ( x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ( x)在(a,b)内的函数图像如图,则函数 f ( x)在开区间(a,b)内存在极小值点
'

1

个.

y
b x

a

O

练习3:直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有 相异的三个公共点,则a的取值范围是________. 解析:令f′(x)=3x2-3=0, 得x=±1, 可求得f(x)的极大值为f(-1)=2, 极小值为f(1)=-2, 如图所示,-2<a<2时,恰有三个不同公共点.

答案:(-2,2 )

题型一:求函数的极值
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?( x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

题型一:求函数的极值
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: (2) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
2 3

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?( x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

题型一:求函数的极值
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 2 ? (3) 令f ( x) ? 12 ? 3x ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2.
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

总结
求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域

(2)求方程f’(x)=0的根
(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况

1. 若f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1
3 2

既有极大值,又有极小值.求a的取值范围.

例1:已知函数f(x)=x +bx +cx+d的图象过(0,) 2 且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0。 (1)求f(x)的解析式 (2)求f(x)的单调递增区间与极值。

3

2

例2:已知函数f(x)=x +ax+2在x=1时 取得极值, ( 1)求a的值 (2)求函数y=f(x)在x=2处的切线方程。

3

例3:已知函数f(x)=x +ax +bx在x=1处有 极值为-1。 求f(2)

3

2

2 例4:已知f(x)=x +ax +bx+c在x=1与x=3 时都取得极值。
3 2

(1)求a,b的值 3 (2)若f(-1)= ,求f(x)的单调区间和极值。 2

例5:已知函数f(x)=ax +bx -3x在x= ? 1处取
3 2

得极值。 极小值。 切线方程。

( 1)讨论f(1),f(-1)是函数f(x)的极大值还是

(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求

1个定义: 极值定义 2个关键: ①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0 。 ②极值点左右两边的导数必须异号。 3个步骤: ①确定定义域 ②求f’(x)=0的根 ③并列成表格 用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个 开 区间,并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的 符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况



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