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空间向量学案



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高一数学

空间向量的概念及其运算
一、基本概念 1. 了解空间向量的相关知识 2. 熟练掌握向量数量积的概念及性质 3. 能够用向量的知识解决立体几何中的问题

1.设 OABC 为四面体,G1 是△ ABC 的重心, G 是 OG1 上一点,且 OG=3GG1.若

O = x +y +z ,则(x,y,z)为( )

A. ( , , )
一、空间向量的基本知识 1 概念

B. (

, ,

)

C. ( , , )
2 表示 3 模长

D. ( , , ) 2.已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O

4 特殊向量

是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 ( + +2



5 向量平行、垂直

),则点 P 一定为三角

6 的加法、减法、数乘向量

7 向量的数量积及性质

8 空间向量的坐标表示

9 空间向量的坐标运算 二、 空间向量在立体几何中的应用 1、 求夹角 2、 求线段的长度

) 形 ABC 的( A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点(非重心) C. 重心 D. AB 边的中点 3.已知向量 a,b,且 =a+2b, =- 5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点 ( ) 是 A. A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D 4.若 a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1- e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc, ) 则 α,β,γ 分别为( A. B. ,-1,- ,1,

3、 证明垂直

C. - ,1,-

教育目标:低进中出 中进高出 高进优出

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D. ,1,-

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5.若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 A. 0 = = 是 a∥b 的( ) B. C. B. 必要不充分条件 D. 2.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1, -4,1),则向量 与 的夹角为( ) D. 90°

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条 件 6.已知空间四点 A(4,1,3),B(2,3,1), C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则 x 的 ) 值为( A. 4 B. 1 C. 10 D. 11 7.如下图所示,四棱锥 P-OABC 的底面为 一矩形,PO⊥平面 OABC,设 =b, =a,

=c,E,F 分别是 PC 和 PB , , ,

b, c 表示: 的中点, 试用 a, .

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3.已知 a=(x,2,0),b=(3,2-x,x),且 a ) 与 b 的夹角为钝角, 则 x 的取值范围是( A. x<-4 B. -4<x<0 C. 0<x<4 D. x>4
三、求线段的长度 1.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量

, | =1, A. 5 C. 4



两两的夹角均为 60° , 且| |=3, 则| |等于(

| )

|=2, | B. 6 D. 8

二、求夹角 1.如下图所示,已知空间四边形 OABC,OB

=OC, 且∠AOB=∠AOC= , 则 cos 〈 〉的值为( )



2.如下图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90° , ∠BAA1=∠DAA1=60° AC ( ) , 则 1 的长为

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学习模式:自主学习、合作学习、探究学习

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5.在正四面体 ABCD 中,棱长为 a,M,N 分 CD 上的点, |CN| 别是棱 AB, 且|MB|=2|AM|, = |ND|, 求|MN|. A. B. C. D.

3.已知点 A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1, 1, 1), 若 =2 , 则| |的值是______.

4.如下图,在四棱锥 M—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 AM 的长 为 3,且 AM 和 AB,AD 的夹角都是 60° ,N b= c= 是 CM 的中点, 设 a= , , , 试以 a,b,c 为基向量表示出向量 ,并 求 BN 的长.
四、证明垂直

1.已知|a|=3

,|b|=4,m=a+b,n=a+

λb, b〉 m⊥n, 〈a, =135° , 则 λ=__________.

2.已知点 A(2,3,-1),B(8,-2,4),C(3, 0, 5), 是否存在实数 x, 使 垂直? 与 +x

3.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6), C(1,-1,5).

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(1)求以向量 形的面积 S; ,

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为一组邻边的平行四边

(2)若向量 a 分别与向量 = ,求向量 a 的坐标.



垂直,且|a| 2.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1), O 为原点,点 A(-3,-1,4),B(-2,-2, 2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得 ⊥b?

1.已知正 28.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱长为 a. (1)用向量法求 A1B 和 B1C 的夹角; (2)用向量法证明 A1B⊥AC1; (3)用向量法求 AC1 的长度.

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