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一元二次方程复习


一元二次方程复习

一元二次方程的定义 一元二次方程的概念 一般式 ax?+bx+c=0(a?0)

方程的根(解)

化成x2 ? m ? m ? 0? ? x ? ? m 直接开平方法
一 因 式 分解法 化成A ? B ? 0 ? A ? 0或B ? 0 元 二 方 法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数 次 一元二次方程的解法 配 方 程 化成一般形式ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 求 根 公式法

根的判别式及根与系数的关系

?b ? b2 ? 4ac 当b2 ? 4ac ? 0时,x ? 2a

一元二次方程的应用

1、一元二次方程的概念 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2 的整式方程称为一元二次方程.
二次项系数a为 什么不等于0呢?

2、一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)
二次项 常数项
判别一个方程是 一元二次方程的 重要条件!

a为二次项系数 一次项 b为一次项系数
3、一元二次方程的解(根)

一、一元二次方程的概念

明辨是非

注意:一元二次方程的 三个要素

判断下列方程是不是一元二次方程,若不是一元二 次方程,请说明理由?
1、(x-1)2=4 3、x2+ 2、x2-2x=8 4、x2=y+1 6、ax2 + bx + c=1

1 =1 x

5、x3-2x2=1

一、一元二次方程的概念

1、已知关于x的方程mx? +(m-1)x-2m+1=0,当m 次方程.
2、已知关于x的方程(m? -1)x? +(m-1)x-2m+1=0,当m 次方程.

时是一元二
时是一元二

3、 若方程(m-1)x m2+1 +( m-1)x-2m+1=0是关于x的一元二次方程, 则m的值为 。

4、若x=0是一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的解,则a=

易错点:忽略二次项系数

1、若m=2是方程x2+2x-2013=0的解,则代数式m2+2m+1=

2、1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0 )的一个根, 则a、b、c有怎样的关系? 3、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0 )满足a+b+c=0 你能不能确定方程的一个根是多少?

二、 一元二次方程的解法
直 接 开 平 方 法 配 方 法 公 式 法

解法

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 当b 2 ? 4ac ? 0时,它的根是 ? b ? b 2 ? 4ac x? 2a

因式分解法
最具有局限性的方法是直接开平方法;

比较

最常用的方法是因式分解法;
最通用的方法是公式法;(万能公式) 最繁琐的方法是配方法.

1、x2-9=0

直接开平方法:
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的 一元二次方程,用开平方法比较方便; 2.形如:ax2+c=o (即没有一次项).

a(x+m)2=k

2、x2-3x=0

因式分解法:
1.用因式分解法的条件是:方程左边能 够分解为两个因式的积,而右边等于0的 方程; 2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).

一移-----方程的右边=0;

因式分解法的一 般步骤:

二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;

3、x2-3x+1=0

公式法:
用公式法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程,先将方程化为一般形式, 再求出b2-4ac的值, b2-4ac≥0则方程有 实数根, b2-4ac<0则方程无实数根;

?b ? b ? 4ac ? x? 2a
2

当b2-4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根;

方程根的情况与b2-4ac

当b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根; 当b2-4ac<0 时,方程没有实数根.

的值的关系:

4、x2-4x=1

配方法:
用配方法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程,但是在没有特别要求的 情况下,除了形如x2+2kx+c=0 用配方 法外,一般不用;(即二次项系数为1,

一次项系数是偶数。)

一除----把二次项系数化为1(方程的两边同
时除以二次项系数a)

配方法的一般步 骤:

二移----把常数项移到方程的右边; 三配----把方程的左边配成一个完全平方式; 四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四开、五解.

三、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0?a ? 0?根的判式是:

? b ? 4ac
2

一元二次方程
判别式的情况

ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?
根的情况 定理与逆定理

? b 2 ? 4ac ? 0 两个不相等实根 ? b 2 ? 4ac ? 0 两个相等实根 ? b 2 ? 4ac ? 0 无实根(无解)

?0

两不相等实根 两相等实根 无实根

?0 ?0

三、一元二次方程根的判别式
当m为何值时,方程mx? +2x-5=0 (1)有两个相等实根; (2)有两个不等实根; (3)有两个实数根。 (4)无实数根; (5)只有一个实数根; (6)有实根
注 意 不 同 的 说 法

不解方程判断下列方程根的情况
1、x2+2x-1=0 2、x2+kx+k-1=0 3、x2+kx+k-2=0

一元二次方程是中考数学卷的 得分基础, 一定要拿下!


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