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江苏省海门中学2011届高三考前热身训练



江苏省海门中学 2011 届高三考前热身训练
一:填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1、设 i 是虚数单位,则复数 z ? (1 ? i) ? 2i 所对应的点落在第 2、已知全集 U=R,集合 A={x|log2x>1},则 CUA=__________

6.2

象限

4、函数

y ?| log 2 2 x | ? | log 2

x | 的值域为____
2

5、已知向量 a 与 b 的夹角为 150° ,且|a|=2,|b|= 3,则(2a+b)· a=_______ 6、用半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分 忽略不计) 则该容器盛满水时的体积是 , 开始 7、如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 63,则判断框中 的整数 M 的值是 A 1, S 1 S5 8、已知等差数列{an}的公差不为零且 a3、a5、a8 依次成等比数列,则 a9 =___ _ N A≤M 9、某人 2011 年初向银行申请个人住房公积金贷款 a(a>0)元购买住房, 年利率为 r(r>0),按复利计算,每年等额还贷一次,并从贷款后的次年 Y 初开始还贷. 如果 10 年还清, 那么每年应还贷款__ _______元. (用 S S+ 2 A 输 出 a、r 表示) S 10、若在区间 [1, 5]和 [2, 4] 上分别各取一个数,记为 m 和 n ,则方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率为 m2 n2



A

A+ 1

结束

11、已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 C 位于 y 轴左侧,且与直线

(第 7 题)

x ? y ? 0 相切,则圆 C 的方程是



13、已知三次函数 f ( x) ?

a 3 b 2 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增,则 3 2

a?b?c 的最小值为 b?a 4x+k·x+1 2 14、已知函数 f(x)= x ,若对于任意实数 x1、x2、x3,均存在以 f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边 4 +2x+1
1

边长的三角形,则实数 k 的取值范围是_ _ 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1 15、(本小题满分 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosA= . 3
π 4π π B+C (1) 求 2sin2?3+ 2 ?+sin 3 cos 2+A 的值; (2) 若 a= 3,求三角形面积的最大值. ? ?

( )

AB △ 16、 (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD , ∥ DC , PAD

是等边三角形,已知 AD ? 4 , BD ? 4 3 , AB ? 2CD ? 8 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)当 M 点位于线段 PC 什么位置时, PA∥平面 MBD ? (Ⅲ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

2

17、(本题满分 14 分)如图,海岸线 MAN,现用拦网 BC 围成一养殖场,其中 B ? MA, C ? NA ,
0 (1)若 ?A ? 120 , BC ? l ( l 为定值),求养殖场 ABC 面积的最大值;

(2)为扩大养殖, 在折线 MBCN 内选一点 D, 再增加两道拦网 BD,CD,使 BD+CD=3(单位: 千米), 且 BC<3,已知拦网的安全程度与拦网长度的平方成反比 (比例系数为 k,k 为正常数) ,且 D 处的安全程度为拦网 BD 与 CD 的安全程度之和,问:拦网 BD 的长度为多少 时,D 点最不安全(安全程度最小)?

18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点离心率 e ?

6 ,F2 到右准线的距离为 2 (1)求椭圆 C 的方程; 3

(2)设点 P 是椭圆 C 的上顶点,过点 P 且斜率为-1 的直线与椭圆的另一个交点为 Q,是否 存在椭圆 C 的弦 MN 同时满足:① MN⊥ PQ;② P、M、Q、N 在同一个圆上,若存在,求出弦 MN 所在的直线方程;若不存在,说明理由。

3

19、 (本小题满分 16 分) 设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 , 公比为 q (q 为正整数) 且满足 3a3 是 ,

3 8a1 与 a5 的等差中项;数列 ?bn ? 满足 2n 2 ? (t ? bn )n ? bn ? 0 (t ? R, n ? N * ) 。 2
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;(2)试确定实数 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3)当数列 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 和 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列

?cn ? 。设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m 。

20、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? c ?b, c ? R ? ,并设 F ? x ? ?
2

f ? x? , ex

(1)若 F ? x ? 图像在 x ? 0 处的切线方程为 x ? y ? 0 ,求 b 、 c 的值; (2)若函数 F ? x ? 是 ? ??, ??? 上单调递减,则
2

① 当 x ? 0 时,试判断 f ? x ? 与 ? x ? c ? 的大小关系,并证明之;
2

② 对满足题设条件的任意 b 、c , 不等式 f ? c ? ? Mc ? f ?b? ? Mb 恒成立, M 的取值范围. 求
2

4

附加题部分
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡 指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲 如图,⊙ 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙ 上一点,AE=AC, DE O O E 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC. A · O C
(第 21-A 题)

F

B D

P

B.选修 4-2 矩阵与变换

1 已知矩阵 A ? ?a b ? ,若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,属于特征值-1 的一个 ?1? ?c d ? ?? ? ?

? 1? 特征向量为 ? 2 ? ? ? ,求矩阵 A . ? ?1?

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1 :

? cos(? ? ) ? 2 2 与曲线 C2: ?

? 4

? x ? 4t 2 , ? y ? 4t

(t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB.

D.选修 4-5 不等式选讲

y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是棱 BC 的中点, Q 在棱 CD 上. 且 DQ ? ? DC , 若二面角 P ? C1Q ? C 的余弦值为

A1

D1

14 ,求实数 ? 的值. 7

B1

C1

A Q B P C

D

23.已知 ( x ?1) n ? a0 ? a1( x ?1) ? a2 ( x ?1) ? a3( x ?1) 3 ?... ? an( x ?1) n, (其中 n ? N )
*

(1)求 a0 及 Sn ?

?a ;
i ?1 i

n

(2) 试比较 Sn 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2

6

1、二

江苏省海门中学 2011 届高三考前热身训练 1000? 1 cm 3 7、5 2、_ (-∞,2]__ 3、< 4、 [ ,?? ) 5、_5_ 6、 2 3
10、

ar?1+r?10 8、_ 2_ 9、 ?1+r?10-1

1 2

11、 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2

12、2

1 13、3 14、- ≤k≤4 2

π 2π 4π π π B+C? 15、解:(1) 2sin2? + +sin cos?2+A?=1+cos? 3 +B+C?+sin sinA(2 分) ? ? ? ? 3 3 2 ? ?3 5π π 5π 5π π =1+cos? 3 -A?+sin sinA=1+cos cosA+sin sinA+sin sinA ? ? 3 3 3 3 π π π 7 =1+cos cosA-sin sinA+sin sinA= . (6 分) 3 3 3 6 2 2 2 b +c -a 1 2 (2) ∵ =cosA= ,∴ bc=b2+c2-a2≥2bc-a2. (8 分) 2bc 3 3 9 又 a= 3,∴ bc≤ , 4 3 9 9 当且仅当 b=c= 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . (10 分) 2 4 4 1 2 2 1 3 ∵ cosA= ,∴ sinA= ,S= bcsinA≤ 2. (12 分) 3 3 2 4 3 2 故三角形面积的最大值是 . (14 分) 4 16、证明: (Ⅰ)在 △ ABD 中,∵ AD ? 4 , BD ? 4 3 , AB ? 8 ,∴ AD 2 ? BD 2 ? AB 2 . ∴ AD ? BD . 又 ∵平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? 平面 PAD . 又 BD ? 平面 MBD , ∴平面 MBD ? 平面 PAD . …………………………4 分 (Ⅱ)当 M 点位于线段 PC 靠近 C 点的三等分点处时, PA∥平面 MBD . 证明如下:连接 AC,交 BD 于点 N,连接 MN. ∵ AB ∥ DC ,所以四边形 ABCD 是梯形. ∵ AB ? 2CD ,∴ CN : NA ? 1: 2 . 又 ∵ CM : MP ? 1: 2 , ∴ CN : NA ? CM : MP , ∴ PA∥MN. ∵ MN ? 平面 MBD ,∴ PA∥平面 MBD . ………………………………9 分 (Ⅲ)过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , ∵平面 PAD ? 平面 ABCD , ∴ PO ? 平面 ABCD . 即 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高. 又 ∵ △ PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴ PO ? 在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为

3 ?4 ? 2 3 . 2

4?4 3 ? 2 3 ,此即为梯形 ABCD 的高. 8
7

∴梯形 ABCD 的面积 S ABCD ?

4?8 ? 2 3 ? 12 3 . 2
…………………………14 分

1 3 17、解: (1)设 AB= x , AC ? y , x ? 0, y ? 0.
故 VP? ABCD ? ?12 3 ? 2 3 ? 24 . (3 l 2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos A = x2 ? y 2 ? xy ; 分) 2 l ? 3xy

?S ?

1 3 2 xy sin1200 ? l 2 12 3 3 2 所以当 x ? y ? l 时,养殖场面积的最大值为 l 3 12 (2)设 D 处的安全程度为 y,BD 长为 x ,则 CD 长为 3 ? x ; k k 由题意有: y ? 2 ? (0< x <3) x ? 3 ? x ?2
y' ?

(7 分)

(11 分)

3 2k 2k ? 3 ? 0 解得 x= 3 2 (3 ? x) x 3 3 当 0 ? x ? 时, y ' ? 0;当 ? x ? 3 时, y' ? 0 2 2 3 因此 x ? 时 y 取得极小值,也是最小值。 (13 分) 2 3 3 2 答: (1)养殖场面积的最大值为 l (2)拦网 BD 长为 千米时,D 点最不安全.(14 分) 2 12 ?c 6 ? ? ? a 2 ? 12 ? ?a 3 18、解: (1)依题意知 ? 解得 ? 2 , ?c ? 8 a2 ? ? ?c ? 2 ?c ? x2 y 2 ? ?1 故椭圆的标准方程为 (6 分) 12 4
(2)假设存在求出弦 MN 满足条件 依题意知 P ? 0,2? , Q ? 3, ?1? ,故圆心在弦 PQ 的中垂线 y ? x ? 1 上 (8 分)

?3m ? 48 ? 3m2 xM ? , ? y? x?m ? 4 设直线 MN : y ? x ? m ,联立方程组 ? x 2 y 2 ,解得 ?12 ? 4 ? 1 ?3m ? 48 ? 3m2 ? xN ? 4 3m m m , yM ? y N ? ,故圆心在弦 MN 的中垂线 y ? ? x ? 上 则 xM ? xN ? ? 2 2 2 1 m 1 m 因此圆心坐标为 ( ? , ? ? ) , (13 分) 2 4 2 4
8

半径 PE ? ( ?
2

1 2

m 2 5 m 2 m2 ? 8m ? 52 ) ?( ? ) ? , E 到 MN 的距离为 d 4 2 4 8
2 2

2 m2 ? 8m ? 52 ? MN ? ? m ? 1 ? 48 ? m 由 d ?? , ?? ? ? ? ? 8 8 ? 2 ? ? 2 ? 所以点 E 到 M , N , P, Q 四点距离相等, 故 点 M , N , P, Q 均在以 E 为圆心的圆上。 (16 分) 方法二:若 M , N , P, Q 四点共圆,则只要 ?PMN ? ?PQN ,又 PQ, MN 斜率为 ?1 与 1 , 2

故只要 kPM ? ?kNQ ,即

2?

m ? 48 ? 3m 2 4 ? m ? 48 ? 3m 2 4 4 ? 2 3m ? 48 ? 3m 12 ? 3m ? 48 ? 3m 2 4 4

,此方程成立与 m 无关 ? 3m ? 48 ? 3m2 12 ? 3m ? 48 ? 3m2 故 M , N , P, Q 四点共圆 19、解: (1)由题意 6a3 ? 8a1 ? a5 ,则 6q2 ? 8 ? q4 ,解得 q 2 ? 4 或 q 2 ? 2 因为 q 为正整数,所以 q ? 2 , 又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 (n ? N )
n *

8 ? m ? 48 ? 3m2

4 ? m ? 48 ? 3m2

…………………………………4 分

(2)当 n ? 1 时, 2 ? (t ? b1 ) ?

3 b1 ? 0, 得 b1 ? 2t ? 4 , 2

同理: n ? 2 时,得 b2 ? 16 ? 4t ; n ? 3 时,得 b3 ? 12 ? 2t , 则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 3 。 而当 t ? 3 时, 2n ? (3 ? bn ) n ?
2

3 bn ? 0 ,得 bn ? 2n 。 2

由 bn?1 ? bn ? 2 ,知此时数列 ?bn ? 为等差数列。……………………………8 分 (3)由题意知,

c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,?
则当 m ? 1 时, T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去; 当 m ? 2 时, T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立; …………………………10 分

当 m ? 3 时,若 cm?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm?1 ,不合题意,舍去;从而 cm?1 必是数列 ?an ? 中的某一项
9

ak ?1 ,
则 Tm

? a1 ? 2? ? 2 ? a2 ? 2? ? 2 ? a3 ? 2? ? 2 ? a4 ? ?? ak ? 2? ? 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ??? ??? ??? ???
b1个 b2个 b3个 bk 个

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ?? bk )
? 2(2k ? 1) ? 2 ? (2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 , 2
k ?1

又 2cm?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2
k 2

,所以 2

k ?1

? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,

即 2 ? k ? k ? 1 ? 0 ,所以 2k ? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1) , 因为 2k ? 1 (k ? N * ) 为奇数,而 k 2 ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解。 即当 m ? 3 时, Tm ? 2cm?1 。 综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 。 ………………………………………..16 分

? x2 ? ? 2 ? b ? x ? ?b ? c ? x 2 ? bx ? c ?? x? ? 20、1)因为 F ? x ? ? ,所以 F ,…………2 分 ex ex
又因为 F ? x ? 图像在 x ? 0 处的切线方程为 x ? y ? 0 , 所以 ?

?F ?0? ? 0 ?c ? 0 ? ,即 ? ,解得 b ? 1 , c ? 0 . b ? c ?1 F ? ? 0? ? 1 ? ? ?

………………4 分

(2)①因为 F ? x ? 是 ? ??, ??? 上的单调递减函数,所以 F ? ? x ? ? 0 恒成立, 即 ? x ? ? 2 ? b ? x ? ?b ? c ? ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,
2
2 2

……………………6 分

2 2 所以 ? ? ? 2 ? b ? ? 4 ? b ? c ? ? 0 ,所以 4c ? b ? 4 ? 2 b ? 4 ? 4 b ? 4b ,即 c ? b 且 c ? 1 ,

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? c ? ? ? b ? 2c ? x ? c ? c ? 1? ,由 b ? 2c ? 0 ,知 g ? x ? 是减函数, 故 g ? x ? 在 ?0, ?? ? 内取得最小值 g ? 0 ? ,又 g ? 0? ? ?c ? c ?1? ? 0 , 所以 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即 f ? x ? ? ? x ? c ? .
2

……………………10 分

② 由①知, c ? b ? 0 ,当 b ? c 时, b ? c 或 b ? ?c , 因为 b ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 4 ?4 c ?0 ,解得 c ? 2 ,b ? 2 或 b ? ?2 ,所以 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 2 ,
2 2

而 f ? c ? ? f ?b? ? c ? bc ? c ? b ? b ? c ? c ? bc ? 2b ? ?c ? 2b ??c ? b ? ,
2 2 2 2 2

所以 f ? c ? ? f ? b ? ? ?8 或 0 ,

2 2 2 2 不等式 f ? c ? ? Mc ? f ?b? ? Mb 等价于 f ? c ? ? f ? b ? ? M c ? b ,

?

?

0 0 变为 ?8 ? M ? 或 0 ? M ? 恒成立, M ? R ,
10

………………………12 分

当 b ? c 时 , c ? b , 即 c ? b ? 0 , 所 以 不 等 式 f ? c ? ? Mc2 ? f ?b ? ? Mb2 恒 成 立 等 价 于
2 2

M?

f ?c ? ? f ?b ? c2 ? b2

? f ? c ? ? f ?b ? ? 恒成立,等价于 M ? ? ? , ……………………14 分 2 2 ? c ?b ?max



f ? c ? ? f ?b ? c ?b
2 2

?

? c ? 2b ?? c ? b ? c ? 2b 1 , ? ? 2? b ? c ? b ?? c ? b ? c ? b 1?
c

因为 c ? b ,

b b b 1 1 ? 1 ,所以 ?1 ? ? 1 ,所以 0 ? 1 ? ? 2 ,所以 ? , b 2 c c c 1? c
?2? 1 3 3 ? ,所以 M ? . ………………………………………16 分 2 2 2

所以

f ?c ? ? f ?b? c ?b
2 2

附加题部分
A.选修 4-1 几何证明选讲 证明:∵AE=AC,∠CDE=∠AOC, ---------3 分 又∠CDE=∠P+∠PDF,∠AOC=∠P+∠OCP,从而∠PDF=∠OCP. ----------------8 分 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P,∠PDF=∠OCP, 故△PDF∽△POC. ----------------10 分 B.选修 4-2 矩阵与变换 解:由矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? 可得 ?

?1? ?1?
----------------------4 分

? a b ? ?1? ?1? ?a ? b ? 3 ? ?1? =3 ?1? ,即 ?c ? d ? 3 ; ?c d ? ? ? ? ? ?

由矩阵 A 属于特征值 2 的一个特征向量为 ? 2 ? ?

? 1? ? a b ? ? 1? ? 1? ? ,可得 ?c d ? ? ?1? =(-1) ? ?1? , ? ?? ? ? ? ? ?1?
--------------6 分

即?

?a ? b ? ?1 ?c ? d ? 1
即矩阵 A ? ?

?a ? 1 解得 ?b ? 2 ? ? ?c ? 2 ?d ? 1 ?

?1 2 ? ? ? 2 1?

------------10 分

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 ? 4 x ,…4 分
11

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得 y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 . ------------------6 分

? x1 x2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 .---------8 分
??? ??? ? ? ∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB .

---------------------10 分

D.选修 4-5 不等式选讲 证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ .------------------4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ , zx xy x xy yz y

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . ------------ 10 分 yz zx xy x y z

-------------------------7 分

z
A1 D1

??? ???? ???? ? 22.解:以 AB, AD, AA1 为正交基底,建立如图所示的空
间直角坐标系 A ? xyz , 设正方体的棱长为 4,则各点的坐标分别为 A(0, 0, 0) ,

B1

C1

A Q B P C

D

B(4, 0, 0) , C (4, 4,0) , D(0, 4,0) ; A1 (0,0, 4) ,

y

B1 (4,0, 4) , C1 (4, 4, 4) , D1 (0, 4, 4) , P(4, 2,0) , x Q(4?, 4,0) ----------------------------------------2 分 ???? ? ? ??? ? 设平面 C1 PQ 法向量为 n ? (1, b, c) ,而 PC1 ? (0, 2, 4) , PQ ? (4? ? 4, 2,0) , ? ? 2b ? 4c ? 0 所以 ? ,可得一个法向量 n ? (a, b, c) = (1, ?2(? ? 1),(? ? 1)) ,------------6 分 ?(4? ? 4) ? 2b ? 0 ? 设面 C1 PQ 的一个法向量为 u ? (0,1,0) ,
? ? 则 cos ? n, u ? ? ?2(? ? 1) 1 ? 4(? ? 1) ? (? ? 1)
2 2

?

14 , 7

-----------------------------------8 分

即: (? ? 1) ?
2

1 2 ,又因为点 Q 在棱 CD 上,所以 ? ? .--------------------------------10 分 9 3
n

23.解: (1)令 x ? 1 ,则 a0 ? 2 ,令 x ? 2 , 则
n 2

?a
i ?0
n

n

i

? 3n ,∴ Sn ? 3n ? 2n ; -------3 分
n 2

(2)要比较 Sn 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,即比较: 3 与 (n ? 1)2 ? 2n 的大小,

12

当 n ? 1 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ;当 n ? 2,3 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ; 当 n ? 4,5 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ; -----------------------------------5 分

猜想:当 n ? 4 时 n ? 4 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知, n ? 4 n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k (k ? 4) n ? k ,(k ? 4) 时结论成立,即 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 , 两边同乘以 3 得: 3k ?1 ? 3[(k ?1)2k ? 2k 2 ] ? k 2k ?1 ? 2(k ? 1)2 ? [(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2] 而 (k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4(k 2 ? k ? 2) ? 6 ? (k ? 2)2k ? 4(k ? 2)(k ? 1) ? 6 ? 0 ∴ 3k ?1 ? [(k ? 1) ?1]2k ?1 ? 2(k ? 1)2 即 n ? k ? 1 时结论也成立,

∴当 n ? 4 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 成立. 综上得,当 n ? 1 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ; 当 n ? 2,3 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;当 n ? 4, n ? N 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n
n n 2 n n ? 2

------10 分

13



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