9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

放缩法技巧及经典例题讲解 - 副本



放缩法技巧及经典例题讲解
一.放缩技巧 所谓放缩的技巧:即欲证 A ? B ,欲寻找一个(或多个)中间变量 C ,使 A ? C ? B , 由 A 到 C 叫做“放” ,由 B 到 C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 (1)若 t ? 0, a ? t ? a, a ? t ? a (2) (3)

n ?1 ? n , 2 n ? n ? n ?1

, n ? 1 ? 1 ? n ? 1, n(n ? 1) ? n 2 ? n
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? (n ? 1) n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n 2 2 1 2 ? ? ? ? 2( n ? n ? 1) n ?1 ? n n? n n n ? n ?1
a a a a?m ? , ? b b?m b b

(4) 2( n ? 1 ? n ) ? (5)若 a, b, m ? R? ,则 (6) 1 ? (7) 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 2! 3! n! 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) (因为 2 ? ) 2 2 3 n 2 2 3 n ?1 n n (n ? 1)n

(7)

1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n n ? 1 n ? 1 n ?1 n ?1


1 1 1 1 ? ? ????? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n

1 ? 2n

1 ? 2n

1n 1 ????? ? ? 2n 2n 2

(8) 1 ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? n, 2 3 n n n n n

(9)

1 1 1 1 1? 1 1? ? 2 ? , ? ? ? ? k (k ? 1) k k (k ? 1) k! 2 ( ! k! ? k ? 1) ? 2 k ? k ?1 ? 1 k ? 2 k ? k ?1

(10)

【经典回放】 例 1、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4
-1-

【解析】(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3

(Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 S n ? nan ?1 ?

1 3 2 n ? n2 ? n , 3 3

2S n ?1 ? ? n ? 1? an ?
两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ?

1 2 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3
1 2 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? ? 3 3
an ?1 an a a ? ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1

整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 故数列 ? 所以

a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n?

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n

(Ⅲ) 当 n ? 1 时,

1 7 1 1 1 5 7 ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4

当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1? ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?
? 1? 1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

例 2:

-2-

【经典例题】 例 1、设数列 ?an ?满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? n ? 1 (1) 求 ?an ?的通项公式; (2) 若 c1 ? 1, bn ? cn ?1 ? cn ?

1 1 1 1 求证:数列 ?bn ? dn ? 的前 n 项和 S n ? , dn ? ? 3 an ? n cn cn?1

分析: (1)此时我们不妨设 即

an?1 ? A(n ? 1) ? B ? 2(a n ? An ? B)

an?1 ? 2an ? An ? A ? B 与已知条件式比较系数得 A ? ?1, B ? 0.

? an?1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) 又 a1 ? 1 ? 2,?{an ? n} 是 首 项 为 2 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 。

? an ? n ? 2n ,即an ? 2n ? n .
an ? 2 n ? n,? bn ? 1 2 n . 当 n ? 2 时,

(3) 由(1)知

-3-

cn ? c1 ? (c2 ? c1 ) ? (c3 ? c2 ) ? ... ? (cn ? cn?1 ) ? 1 ? b1 ? b2 ? ......? bn?1 1 1? n 1 1 1 2 ? 2? 1 . ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 ? 1 2 2 2 2 n?1 1? 2
c1
cn ? 2 ? 1 2 n?1



n=1





=1





















bn d n ?

1 1 1 1 ( ? ) ? n?1 n 1 2 2? 1 (2 ? 2)(2n?1 ? 1) 2 ? 2n?1 2n
n?1

方法一:? 2

? 2 ? 2n , 2

n?1

? 1 ? 3 (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有

执果索因的分析才可推测出.)

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 1 ? bn d n ? ,? S n ? ? ? ... ? ? ? n 2 n 3? 2 3? 2 3? 2 3? 2 6 1? 1 3 2n 3 2 .
方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要 .很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处 理达不到目的.但是当 n ? 3 时,我们看:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? n?1 由前二项会得到 ? n ?1 2 ? 3 6 ? 7 14 ? 15 (2 ? 2) ? (2 ? 1) 3 7 1 1 1 1 1 1 1 这样S n ? ? ? ? ? ? ... ? n?1 ? n?1 我们可重新加括号得 6 6 7 14 15 2 ? 2 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( n ? n?1 )] ? n?1 3 7 14 15 30 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 Sn ?
1 1 1 ? n?1 ? 0, n?1 ?0 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 1 故sn ? 得证.这样也实现了我们的初 步想法.也易让学生接受 . 3 显然
n

易验证当 n=1,2 时

sn ?

1 1 sn ? 3 . 综上 3

-4-

例 2、已知正项数列 ?an ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? (1) 判断数列 ?an ?的单调性; (2) 求证:

an ?

1 ? an n ? N * 2 ?n ? 1?

?

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 an an?1 ?n ? 1?
1 ? 0故 an?1 ? an a ? an (n ? 1) 2 ,即 n?1

? an?1 ? an ?
分析: (1) 故数列{

an }为递增数列.

1 1 1 ? ? 2 an an?1 (n ? 1)
(2) 不妨先证

1 1 ? ? an an?1

an?1 ? an an an?1

?

an (n ? 1)
2

an an?1

?

an 1 1 ? ? . 2 (n ? 1) an?1 (n ? 1) 2

再证:

1 1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 an an?1

原解答中放缩技巧太强,下面给出另一种证法

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 2 ? 2 ? ... ? ? 2 3 (n ? 1) 2 a1 an?1 a1 a2 a2 a3 an an?1

1 1 1 1 1 ? ? ... ? (用到了累差迭加法及 ? 这种常用的放缩手段 ). 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) (n ? 1) n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ?1

-5-

? an?1 ? n ? 1 ? an?1 ? an ? ? ? an 1 a ? an [1 ? ] 2 n (n ? 1) (n ? 1) 2

an an?1 ?1? an (n ? 1) 2 1 1 ? ? an an?1 an?1 ? an an an?1

?

an (n ? 1) 2 an an?1
1

?

1 (n ? 1) 2 an?1 an

?

1 (n ? 1) 2 [1 ? an ] (n ? 1) 2

?

an (n ? 1)(n ? 1 ? ) n ?1

这种证法还是比较自然 的, 也易让学生接受 .
.

an an ? ?1 n 当 n ? 2 时, n ? 1

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

.

易验证当 n=1 时,上式也成立.

综上,故有

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 an an?1 (n ? 1)

成立.

-6-

经典方法归纳: 一.先求和后放缩 例 1.正数数列 ?an ?的前 n 项的和 Sn ,满足 2 sn ? an ? 1 ,试求: (1)数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ,数列 ?bn ?的前 n 项的和为 Bn , ,求证: Bn ? 2 an an?1

解 :( 1 ) 由 已 知 得

4S n ? (an ? 1) 2 , n ? 2 时 , 4S n?1 ? (an?1 ? 1) 2 , 作 差 得 :

2 2 an ? 为正数数列,所 4an ? an ? 2an ? an ?1 ? 2an?1 ,所以 (an ? an ?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,又因为 ?



an ? an?1 ? 2 ,即 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,由 2 S1 ? a1 ? 1,得 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1
bn ? 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ,所以

(2)

Bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? )? ? ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2

注:一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用 先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差 比数列,即指数列 求和. 例 2、已知 an ? 2n ?1(n ? N * ). 求证:

{an } 满足条件 an?1 ? an ? f ?n? )求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ... ? n (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1

证明: ?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2

?

a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。 由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传 递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 2 ? 2 ,从而是使和式得到化
k

-7-

二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和
2 例 1.已知各项均为正数的数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2asn .
2 an ? a2 n?1

(1) 求证: S n ?

4



(2) 求证:

sn s ?1 ? s1 ? s2 ? s3 ? ? ? ? ? sn ? n ?1 2 2
2

2 a ? an ? 2S n ? a1 ? 0 ? a1 ? 1 , 解: (1) 在条件中, 令 n ? 1, 得 a1 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 , 又由条件 n



2 an ?1 ? an ?1 ? 2S n ?1 ,上述两式相减,注意到 an ?1 ? S n ?1 ? S n 得

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0 a ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n , 所以, n
Sn ? n(n ? 1) 2
2 2



an?1 ? an ? 1

n(n ? 1) 1 n 2 ? (n ? 1) 2 an ? an?1 Sn ? ? ? ? 2 2 2 4 所以

n n(n ? 1) n ? 1 ? ? n ? n ( n ? 1 ) ? n ? 1 2 2 2 ,所以 (2)因为 ,所以
S1 ? S 2 ? ? S n ? ? n 2 ? 3n 2 2 ? S n?1 ? 1 2


2 3 n ?1 1? 2 2?3 n(n ? 1) ? ? ??? ? ??? 2 2 2 2 2 2

S1 ? S 2 ? ? S n ?
? ?

1 2

?

2 2

???

n 2

?

n(n ? 1) 2 2

?

Sn 2

例 2.已知数列 ?an ?满足: a1 ? 1, an ?1 ? ?1 ?

n ?1 n? a ?n ? 1,2,3 ? ? ?? .求证: an ?1 ? an ? 3 ? n ?1 . n ? n 2 2 ?

证明:因为

a n ?1 ? (1 ?

n )a n a a a ? 0, 2n ,所以 n ?1 与 n 同号,又因为 a1 ? 1 ? 0 ,所以 n



a n ?1 ? a n ?

n an ? 0 a ? an .所以数列 {an } 为递增数列,所以 an ? a1 ? 1, 2n ,即 n?1 n n 1 2 n ?1 an ? n a n ? a1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 n 2 2 2 2 ,累加得: 2 .



a n ?1 ? a n ?

-8-



Sn ?

1 2 n ?1 1 1 2 n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 ,所以 2 2 2 2 ,两式相减得:

n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 n ?1 S n ? 2 ? n ?1 a n ? 3 ? n ?1 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 ,所以 2 , 2 2 2 ,所以 a n ?1 ? a n ? 3 ? n ?1 2 n ?1 .

故得

2.放缩后成等比数列,再求和 例 2. (1)设 a,n∈N*,a≥2,证明: a 2n ? ?? a? ? ?a ? 1?a n ;
n

(2)等比数列{an}中, a1 ? ?

2 1 an ,前 n 项的和为 An,且 A7,A9,A8 成等差数列.设 bn ? , 2 1 ? an

数列{bn}前 n 项的和为 Bn,证明: Bn ? 解: (1)当 n 为奇数时,an≥a,于是, a
2n

1 . 3

? (?a) n ? a n (a n ? 1) ? (a ? 1) ? a n .

当 n 为偶数时,a-1≥1,且 an≥a2,于是

a 2n ? (?a) n ? a n (a n ? 1) ? (a 2 ? 1) ? a n ? (a ? 1)(a ? 1) ? a n ? (a ? 1) ? a n .
(2)∵ A9 ? A7 ? a8 ? a9 , A8 ? A9 ? ?a9 , a8 ? a9 ? ?a9 ,∴公比
q? a9 1 ?? a8 2



1 a n ? (? ) n 2 . ∴

bn ?

1 4n 1 1 ? (? ) n 2

?

1 1 ? n 4 ? (?2) 3 ? 2n
n



1 1 (1 ? 2 ) 1 1 1 1 2 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 ? ? ??? ? ?2 2 n 1 3? 2 3? 2 3 3 3 3? 2 2n 1 ? B ? b ? b ? ? b 1 2 n 2 ∴ n .

-9-

3.放缩后为裂项相消,再求和 例 5.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2?Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于后面某 数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 ?n ? 1?n?n ? 1?? ? ? 321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的逆序数

a3 ? 6. .
(1)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (2)令 bn ?

a n an?1 ? , ,证明 2n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 2n ? 3, n ? 1,2 ? ? ? an?1 an

解(1)由已知得

a4 ? 10, a5 ? 15 ,

a n ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ?

n(n ? 1) 2 .

bn ?
(2)因为 所以

an a n n?2 n n?2 ? n?1 ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1,2,? an?1 an n?2 n n?2 n ,

b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n .
bn ? n n?2 2 2 ? ? 2? ? , n ? 1,2, ? n?2 n n n?2 ,

又因为

1 1 1 1 1 1 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 1 3 2 4 n n?2 所以 2n ? 3 ?
= 综上,

2 2 ? ? 2n ? 3 n ?1 n ? 2 .

2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3, n ? 1,2, ? .

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? ? (k ? 2) k (k ? 1) k ? 1 k 注:常用放缩的结论: (1) k k ? 1 k (k ? 1) k 2(
(2) .

1 k

?

1 k ?1

)?

2 k ? k ?1

?

1 k

?

2 k ? k ?1

? 2(

1 k ?1

?

1 k

)(k ? 2)

- 10 -

三. 裂项放缩 1、若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例 1. 已知 n∈N*,求 1 ?

1 1 1 ? ??? ? ?2 n。 2 3 n

1 1 1 2 2 1? ? ? ? < ? 2 ( n ?? n 1 ) 2 3 ? n n ?? n 1 证明:因为 n n ,则

??

1 n

<1 ? 2 ( 2 ? 1) ? 2 ( 3 ? 2 ) ? ? ? 2 ( n ? n ? 1) ? 2 n ? 1< 2 n
,证毕。

例 2、已知 an=n ,求证:∑ 证明:∑
n

n

k=1

k a2 k

<3.
n

k a
2 k

k=1

=∑

n

1 k
3

k=1

<1+∑

k=2

1 (k-1)k(k+1) =1 ?

<1+∑
n

n

2 (k-1)(k+1) ( ( k+1 + k-1 )

k=2

?
k ?2

n

k ? 1 ? k ?1 (k ? 1)(k ? 1)

=1+ ∑

k=2

1 1 - ) (k-1) (k+1)

=1+1+

1 2 2 1 - - <2+ <3. (n+1) 2 2 n

本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.

例 3. 已知 n ? N 且 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n(n ?1) ,求证:
*

?n ? 1? 对所有正 n?n ? 1? ? an ? 2 2
2

整数 n 都成立。

证明:因为

n(n ? 1) ? n 2 ? n

,所以

a n ?1? 2 ? ?? n ?

n(n ? 1) 2 ,

n(n ? 1) ?


n(n ? 1) 2 ,

- 11 -

所以

an ?

n (n ? 1) 3 5 1? 2 2 ? 3 2n ? 1 (n ? 1) 2 ? ??? ? ? ??? ? 2 2 2 2 2 2 2 ,综合知结论成立。

2、固定一部分项,放缩另外的项; 例 4、求证: 证明:?

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 1 2 3 n 4

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n(n ? 1) n ? 1 n

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 7 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? 2 ? ( ? ??? ? )? ?( ? )? . 2 1 2 3 n 2 2 3 n ?1 n 4 2 n 4
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题

型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。

例 5、设 a n ? 1 ?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. a 3 n 2

1 1 1 1 1 1 2 ? a ? ? ? a ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 又 k ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 a 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩) ,? 2 ? ? ? , k (k ? 1) k ? 1 k k

解析 a n ? 1 ?

1 于是 a n ? 1 ? 12 ? 12 ? ? ? 12 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n
2 例 10 设 数列 ?an ? 满 足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? , 当 a1 ? 3 时 证明 对所 有 n ? 1, 有

(i)an ? n ? 2 ; (ii)

1 1 1 1 ? ??? ? (02 年全国高考题) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析 (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当

n ? k ? 1 时 ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得

ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?

1 1 ? k ?1 . ak ? 1 2

- 12 -

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注 : 上 述 证 明 (i ) 用 到 部 分 放 缩 , 当 然 根 据 不 等 式 的 性 质 也 可 以 整 体 放 缩 :
ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 。

3. 添减项放缩

2 8 例 11 设 n ? 1, n ? N ,求证 ( ) n ? . 3 (n ? 1)(n ? 2)
简析 观察 ( ) 的结构,注意到 ( ) ? (1 ? ) ,展开得
n n n

2 3

3 2

1 2

1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 , 1 1 2 3 (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? 2 2 2 8 8 2 2

即 (1 ? 1 ) n ? (n ? 1)( n ? 2) ,得证.
2 8

四. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。

n 2x ?1 , 证明:对于 n ? N * 且 n ? 3 都有 f ?n ? ? 例 6. 已知函数 f ? x ? ? x 。 n ?1 2 ?1
证明:由题意知

n 2n ? 1 n 2 1 1 2 2 n ? (2n ? 1) f (n) ? ? ? ? (1 ? n ) ? (1 ? )? ? ? n ? 1 2n ? 1 n ? 1 n ? 1 n ? 1 2 n ? 1 (n ? 1)(2 n ? 1) ,又因为 2 ?1

n ? N * 且 n ? 3 ,所以只须证 2 n ? 2n ? 1 ,又因为
2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? C n ? C n ? ?? C n
0 1 2 n ?1

? Cn ? 1? n ?

n

n(n ?1) ? ?? n ? 1 ? 2n ? 1 2





f ( n) ?

n n ?1。

- 13 -

巩固练习: 1.设 bn ?

1 3 ? ( n? N ) ,数列 {bnbn?2 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? n 4
1 n

1.证: bn ?
bn bb ? 2 ?

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

Tn ? b1b3 ? b2b4 ? b3b5 ? ?bnbn ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 1 3 2 4 3 5 4 6 n n?2
1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4

2.设 S n ? 1 ?

1 1 1 ? 2 ?? ? 2 2 2 3 n
n ? Sn ? 2 ; n ?1

(1)求证:当 n ? 2 时,

(2)试探究:当 n ? 2 时,是否有

6n 5 ? Sn ? ?说明理由. (n ? 1)(2n ? 1) 3

2.解: (1)∵当 n ? 2 时, ∴1 ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 n (n ? 1)n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] = 2 ? 2 n ?1 2 3 n 2 2 3 n ?1 n ? 1

又∵

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n(n ? 1) n n ? 1
1 2
1 n 1 ? ) ? 1? n ?1 n ?1 n ?1

1 1 1 2 3 n n ? Sn ? 2 . ∴当 n ? 2 时, n ?1
(2)∵ ∴1 ?

∴ Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

1 4 4 1 1 ? 2? ? 2( ? ) 2 n 4n (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 5 2 5 ? = ? 3 2n ? 1 3

当 n ? 2 时,要 Sn ?

6n n 6n ? 只需 (n ? 1)(2n ? 1) n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)
- 14 -

即需 2n ? 1 ? 6 ,显然这在 n ? 3 时成立 而 S2 ? 1 ?

1 5 5 4 6n 6? 2 4 ? ,当 n ? 2 时 显然 ? ? ? 4 5 4 4 (n ? 1)(2n ? 1) (2 ? 1)(4 ? 1) 5

即当 n ? 2 时 Sn ?

6n 也成立 (n ? 1)(2n ? 1) 6n 5 ? Sn ? . (n ? 1)(2n ? 1) 3

综上所述:当 n ? 2 时,有

3.设 bn ? (1) bn ?

1 3 5 2n ? 1 ? ? ?? ? ,求证: 2 4 6 2n

1 . 2n ? 1

(2) b1 ? b2 ? b3 ??? bn ? 2n ?1 ?1

3.证法一:∵ 4n2 ? 1 ? 4n2 , ∴ (2n ?1)(2n ? 1) ? 4n2 ? (2n ?1)2 (2n ? 1) ? 4n2 (2n ?1).



2n ? 1 2n ? 1 ? , 2n 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 1 .??????10 分 ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? 2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1
2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ,下同证法一. 2 2n 2n ? 1 (2n) ? 1
????10 分



证法二:

1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n ? ? ? , Bn ? ? ? ? , 2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 1 2n ? 1 2n 1 2 2 2 ? 则 An Bn ? .又 4n ? 1 ? 4n , 也即 , 所以 An ? Bn , 也即 An ? An Bn ? , 2n ? 1 2n 2n ? 1 2n ? 1
证法三: (利用对偶式)设 An ? 又因为 An ? 0 ,所以 An ?

1 .即 2n ? 1
??????10 分

1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ?? ? ? . 2 4 6 2n 2n ? 1
证法四: (数学归纳法)①当 n ? 1 时, x1 ?

1 1 ? ,命题成立; 2 3

- 15 -

②假设 n ? k 时,命题成立,即

1 3 5 2k ? 1 1 , ? ? ? ? 2 4 6 2k 2k ? 1

则当 n ? k ? 1 时,

1 3 5 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 4 6 2k 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1) 2(k ? 2)

2k ? 1 1 (2k ? 1)(2k ? 3) ? 4(k ? 1) 2 ? ? 4(k ? 1)2 2k ? 3 4(2k ? 3)(k ? 1) 2 ?
?

(4k 2 ? 8k ? 3) ? (4k 2 ? 8k ? 4) ?1 ? ?0 2 4(2k ? 3)(k ? 1) 4(2k ? 3)(k ? 1) 2
2k ? 1 1 ? 2 4(k ? 1) 2k ? 3


2k ? 1 1 ? 2k ? 2 2k ? 3



1 3 5 2k ? 1 2 k ? 1 1 ? ? ? ? ? 2 4 6 2k 2(k ? 1) 2k ? 3

故当 n ? k ? 1 时,命题成立. 综上可知,对一切非零自然数 n ,不等式②成立. ②由于 所以 bk ? ??????10 分

1 2 ? ? 2k ? 1 ? 2 k ? 1 , 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 1 ? 2 k ? 1 ? 2k ? 1 , 2k ? 1

从而 b1 ? b2 ??bn ? ( 3 ?1) ? ( 5 ? 3) ? ?? ( 2n ?1 ? 2n ?1) ? 2n ?1 ?1 . 也即 b1 ? b2 ? ?bn ? 2an ? 1 ? 1 ??????14 分

4.设 an ? n , bn ? (

2 )2 an ? an ?1

求证(1)

2 1 ? an ? an?1 n(n ? 1)
n (n ? N * ) n ?1

(2) b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

4. 证明: (法一)

- 16 -

?

an ? an ?1 2 ? an ? an ?1 ? ? 2 an ? an ?1

1 an ? an

?

1 n(n ? 1)

?(

2 1 1 )2 ? , 即bn ? ????? 9分 an ? an ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1)

? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
? 1?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 1? ? ??????12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 2 4 1 ) 2 ? , 右 ? ,显然成立 ????5 分 (法二) (1)当 n ? 1时, 右 ? b1 ? ( 2 ?1 ? 1 9 2
(2)假设 n ? k 时,

b1 ? b2 ? ? ? bk ?1 ?

k 2 2 ?( ) ??? ???7 分 k ? 1 2k ? 3 k 2 2 k ?1 ?( ) ? k ? 1 2k ? 3 k?2 2 k (k ? 2)(2k ? 3) ? 4(k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (k ? 1)(2k ? 3) 2 ? (k ? 2)

?
?

(2k ? 3) 2 [k (k ? 2) ? (k ? 1) 2 ] ? 4(k 2 ? 3k ? 2) (k ? 1)(2k ? 3) 2 ? (k ? 2)

?1 ?0 (k ? 1)(2k ? 3) 2 ? (k ? 2) k 2 2 k ?1 ? ?( ) ? k ? 1 2k ? 3 k?2 k ?1 k ?1 ? b1 ? b2 ? ? ? bk ?1 ? ? ?????11分 k ? 2 (k ? 1) ? 1
即当 n ? k ? 1 时,不等式成立,由(1) (2)可得原不等成立。????12 分

5. 设 bn ? (n ? 1)2 , an ? n(n ? 1) , 求证:

1 1 1 5 ? ?…? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

5.证明: 当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时.

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n .

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? bn 2n(n ? 1) 2 n n ? 1



1 1 1 1 ? ? …? ? ? a1 ? b 1 a 2? b 2 an ? bn 6

? 1 1 1 1? ? ? …? ? ? 2? 2 ? 3 ? 3 4 n n? ( ? 1)
- 17 -

?

1 ? 6

1? 1 1 1 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ?…? ? ?? ? 2? 2 3 3 4 n n? ? 1 6

1? 1 1? ? ? ?? 2? 2 n ? ? 1

1 1 ? ? 6 4

5 12

综上,原不等式成立.

6. 设 Sn 为数列 an ? 的前 n 项和, 对任意的 n ?N , 都有 Sn ? ? m ?1? ? man ( m 为常数, 且 m ? 0) .
*

?

(1)求证:数列 an ? 是等比数列; (2)设数列 an ? 的公比 q ? f ?m? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ? f ?bn?1 ? (n ? 2 , n ?N ) ,
*

?

?

求数列 ?bn ? 的通项公式;
2 (3)在满足(2)的条件下,求证:数列 bn 的前 n 项和 Tn ?

? ?

89 . 18

6. (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ? m ? 1? ? ma1 ,解得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man . 即 ?1 ? m? an ? man?1 . ∵ m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? ? n ? 2? . an ?1 1 ? m

m 的等比数列. 1? m m (2)解:由(1)得, q ? f ?m? ? , b1 ? 2a1 ? 2 . 1? m
∴数列 an ? 是首项为 1,公比为

?

∵ bn ? f ? bn ?1 ? ?

bn?1 , 1 ? bn?1



1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1 ? n ? 2? . bn bn ?1 bn bn?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ? bn ?
2 1 1 2n ? 1 * ,即 bn ? ( n ?N ) . ? ? ? n ? 1? ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2



( 3 ) 证 明 : 由 ( 2 ) 知 bn ?

2 4 2 2 2 2 , 则 bn 2 ? . ? 所 以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn 2 2n ? 1 ? 2n ? 1?
- 18 -

4 4 4 , ? 4 ? ? ??? 2 9 25 ? 2n ?1?
当 n ? 2 时,

4

? 2n ?1?

2

?

4 1 1 ? ? , 2n ? 2n ? 2 ? n ? 1 n

所以 Tn ? 4 ?

4 4 4 ? ??? 2 9 25 ? 2n ?1?

4 ? 1 1 1 1 ?1 ? ? 1 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 9 ? 2 3 ? ? 3 ?4 ? n ? 1n ?
? 40 1 1 89 ? ? ? . 9 2 n 18

7.在单调递增数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 a2n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2n , a2n ?1 , a2n ? 2 成等比数 列,
n ?1 , 2 , 3 ?,.

(1)分别计算 a 3 , a 5 和 a 4 , a 6 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式(将 a n 用 n 表示) ;

1 4n (3)设数列 { } 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn ? , n? N* . n?2 an
解: (1)由已知,得 a3 ? 3 , a5 ? 6 , a4 ?

9 , a6 ? 8 . 2 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4 ? (2) (证法 1) a1 ? ? , a3 ? ? , a5 ? ,……; 2 2 2 2 2 2

a2 ?

22 32 42 , a4 ? , a6 ? ,……. 2 2 2
n(n ? 1) (n ? 1) 2 , a2 n ? , n ? N* , 2 2

∴猜想 a2 n ?1 ?

以下用数学归纳法证明之. ①当 n ? 1 时, a2?1?1 ? a1 ? 1 , a2?1 ?

22 ? 2 ,猜想成立; 2
k (k ? 1) (k ? 1) 2 , a2 k ? , 2 2

②假设 n ? k (k ? 1, k ? N *) 时,猜想成立,即 a2 k ?1 ? 那么

- 19 -

a2( k ?1)?1 ? a2 k ?1 ? 2a2 k ? a2 k ?1 ? 2 ?

(k ? 1)2 k (k ? 1) (k ? 1) ?(k ? 1) ? 1? , ? ? 2 2 2
2

a2( k ?1) ? a2 k ? 2

2 a2 ? k ?1 ? a2 k

?(k ? 1)(k ? 2)?
2 (k ? 1) 2 2

(k ? 2) 2 ? (k ? 1) ? 1? . ? ? 2 2
2

∴ n ? k ? 1 时,猜想也成立.

由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,猜想成立.

n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1)(n ? 3) ∴当 n 为奇数时, a n ? ; 2 8

?n ? ? ? 1? (n ? 2) 2 2 ? ? 当 n 为偶数时, a n ? . ? 2 8

2

? (n ? 1)(n ? 3) , n为奇数 ? ? 8 即数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? . 2 ? (n ? 2) , n为偶数 ? 8 ?
(注:通项公式也可以写成 a n ? (证法 2)令 bn ?

7 ? (?1) n 1 2 1 n ? n? ) 8 2 16

a 2 n ?1 , n ? N* ,则 a 2 n ?1

bn?1 ?

a2 k ?3 2a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? ? a2 k ?1 a2 k ?1
2a 2 k ?1 a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 2

2?

2 a2 k ?1 ? a2 k ?1 a2k 2a ? 2 k ?1 ? 1 a2 k ?1 a2k

?

a 2 k ?1 a 2 k ?1 4bn ?1 ? ?1 ? ?1. a 2 k ?1 1 ? bn 1? a 2 k ?1 4?

∴ bn ?1 ? 1 ?

2(bn ? 1) (b ? 1) ? 2 1 1 1 , . ? n ? ? 1 ? bn bn?1 ? 1 2(bn ? 1) 2 bn ? 1
?

从而

1 1 1 1 ? (常数) ? , , n ? N* ,又 bn?1 ? 1 bn ? 1 2 b1 ? 1 2

1

- 20 -

故{

1 1 1 1 1 1 n } 是首项为 ,公差为 的等差数列,∴ ? ? (n ? 1) ? ? , 2 2 bn ? 1 bn ? 1 2 2 2

解之,得 bn ? ∴ a 2 n ?1 ? a1 ?

a n?2 n?2 ,即 2 n ?1 ? , n ? N* . n a 2 n?1 n a3 a5 a 7 a a ? ? ? ?? 2 n?3 ? 2 n?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ?3

3 4 5 n n ? 1 n(n ? 1) ? 1? ? ? ? ?? ? ? , 1 2 3 n ? 2 n ?1 2

从而 a2 n

a ? a2 n?1 ? 2 n?1 ? 2

n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1) 2 2 2 . (余同法 1) ? 2 2
a2n?2 a ,或令 bn ? 2 n ,余下解法与法 2 类似) a2n a 2 n ?1

(注:本小题解法中,也可以令 bn ?

8 ? , n为奇数 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 3) (3) (法 1)由(2) ,得 . ?? an ? 8 , n为偶数 2 ? ? (n ? 2)
显然, S1 ?

1 4 4 ?1 ; ?1? ? a1 3 1? 2

当 n 为偶数时,

? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? 8? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ??? ? ? 4?6 6 6?8 8 n ? ( n ? 2) ( n ? 2) 2 ? ?2? 4 4
?? 1 ? ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? 8?? ? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ? ?? ? n ? ( n ? 2 ) n ( n ? 2) ? ? ?? 2 ? 4 2 ? 4 ? ? 4 ? 6 4 ? 6 ? ? 6 ? 8 6 ? 8 ?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 8?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n n ? 2 ?? ?? 2 4 ? ? 4 6 ? ? 6 8 ?
1 ? 4n ?1 ; ? 8? ? ?? ?2 n? 2? n? 2
当 n 为奇数( n ? 3 )时, S n ? S n ?1 ?

1 4(n ? 1) 8 ? ? an (n ? 1) ? 2 (n ? 1)(n ? 3)

?

? n ?1 4n 2 n ? 4n 8 4n . ? 4? ? ? ? ? ? ? n?2 ? n ? 1 (n ? 1)(n ? 3) n ? 2 ? n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) n ? 2
4n , n ? N* . n?2

综上所述, S n ?

- 21 -

8 ? , n为奇数 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 3) (解法 2)由(2) ,得 . ?? an ? 8 , n为偶数 2 ? ? (n ? 2)
以下用数学归纳法证明 S n ? ①当 n ? 1 时, S1 ? 当 n ? 2 时, S 2 ?

4n , n ? N* . n?2

1 4 4 ?1 ; ?1? ? a1 3 1? 2 1 1 1 3 4? 2 .∴ n ? 1 , 2 时,不等式成立.?? ? ? 1? ? ? 2 ? a1 a 2 2 2 2?2
4k , k?2

②假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 S k ? 那么,当 k 为奇数时,

S k ?1 ? S k ?
?

1 a k ?1

?

4k 8 ? k ? 2 (k ? 3) 2

? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 4(k ? 1) ? 4? ? ? ? ? ; ?? 2 2 k ?3 k ? 3? k ?3 (k ? 2)( k ? 3) (k ? 1) ? 2 ? k ? 2 (k ? 3)

当 k 为偶数时,

S k ?1 ? S k ?

1 a k ?1

?

4k 8 ? k ? 2 (k ? 2)(k ? 4)

?
?

? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 ? 4? ? ? ? ? ? k ?3 k ?3 (k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) ? k ? 2 (k ? 2)(k ? 4) k ? 3 ?
4(k ? 1) . (k ? 1) ? 2

∴ n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,不等式 S n ?

4n 成立.??14 n?2

- 22 -



更多相关文章:
放缩法证明不等式例题
二、常见的放缩法技巧 1、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水...2 (2n ? 1)( 2n ? 1) (2n ? 1) 三、例题讲解例 1:设 a 、 b ...
不等式的经典公式和经典例题讲解
不等式的经典公式和经典例题讲解_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式的经典...证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是: 作差 (...
数学方法课(放缩法)部分试题解析
数学方法课(放缩法)部分试题解析_数学_高中教育_教育专区。成绩是开始 品格是永远 数学方法课(放缩法)部分试题解析 10 10 10 10 的整数部分. ? ? ? ? 100...
放缩法经典题库
题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有法 1 用数学归纳法(...年辽宁卷第 22 题) 解析 (II ) 结合第 (I ) 问结论及所给题设条件 ln...
高中数学数列放缩专题:用放缩法处理数列和不等问题(含答案)
本题的关键是根据题设条件裂项求和。 6 用放缩法处理数列和不等问题(学生版)...数列型不等式放缩技巧九... 9页 5下载券 高中数学方法讲解之放缩... 3页...
高中数学经典例题集
高中数学经典例题集第一部分 (一道解析几何题) (...b ? 2 . 说明:本题三种方法均采用反证法,有的...1 k k 同,结果也在变化. 2、放缩法一般包括:...
公务员考试资料分析,插值法,凑整法和放缩法
公务员考试资料分析的插值法、凑整法和放缩法插值法 在资料分析题的计算技巧中...遇到,但“放缩法”一定不是盲目的放缩,下面我们 将对此方法进行详细的讲解。 ...
放缩法典型例题一
放缩法典型例题一_理学_高等教育_教育专区。放缩法典型例题典型例题一 log a (1 x) > log a (1 + x) ( a > 0 且 a ≠ 1 ) . 例 1 若 0 ...
高中数学方法讲解之放缩法
高中数学方法讲解放缩法_数学_高中教育_教育专区。放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法,叫放缩 法放缩法方法有: ⑴添加或舍去一些...
高中数学方法讲解之放缩法
高中数学方法讲解放缩法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。放缩法放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法,叫放缩 法放缩法方法有: ...
更多相关标签:
子网划分例题讲解    假设检验例题讲解    分部积分法例题讲解    几何组成分析例题讲解    线性代数例题讲解    三角函数例题讲解    顺序分配法例题讲解    双曲线经典例题讲解    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图