9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

解析几何解答题



2015 年 12 月 07 日博强教育的高中数学组卷
一.解答题(共 30 小题) 1. (2014 秋?安徽月考)已知椭圆 C: + =1({a>b>0})的离心率 e= ,且由椭圆

上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0,2) ,过点 Q(﹣1,﹣2)作直线 l 交椭圆 C 于 A、B

两点(异于 P) ,直 线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是, 请说明理由.

2. (2014?河北)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是

椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

3. (2015?浙江)已知椭圆

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称.

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

4. (2015?山东) 平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的离心率为



左、 右焦点分别是 F1, F2, 以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交, 且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

第 1 页(共 57 页)

(Ⅱ)设椭圆 E:

+

=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ ABQ 面积的最大值.

5. (2015?福建模拟)已知椭圆

的离心率为

,其左、右焦点

分别为 F1,F2,点 P(x0,y0)是坐标平面内一点,且 标原点) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点

(O 为坐

且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定

点 M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标,若不存在,说明理由.

6. (2014?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为



直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值.

7. (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:
2

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线

C2:y=﹣x +1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为



(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B) ,若 AP⊥AQ,求直 线 l 的方程.

第 2 页(共 57 页)

8. (2014?天津二模)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且长轴长等于 4.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 ? =﹣ ,求 k 的值.

9. (2014?四川)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴

的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; ②当 最小时,求点 T 的坐标.

10. (2010?河北)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直

线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

11. (2015?南充二模)已知椭圆 T:

+

=1(a>b>0)经过点 P(2,

) ,一个焦点 F

的坐标是(2,0) . (1)求椭圆 T 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 T 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,椭圆 T 的离心率为 e, 2 若 kOA?kOB=e ﹣1,求证:△ AOB 的面积为定值.
第 3 页(共 57 页)

12. (2014?辽宁)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角 形面积最小时,切点为 P(如图) . (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 交于 A、B 两点,若△ PAB 的面 积为 2,求 C 的标准方程.

2

2

13. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标

为(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜 率为 .

(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB.

14. (2011?陕西)设椭圆 C: (Ⅰ)求 C 的方程;

过点(0,4) ,离心率为

(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标.

15. (2015?天津)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为
2 2



点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = (Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 值范围.

截得的线段的长为 c,|FM|=



,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取

16. (2015?上海模拟)已知直线 l:y=kx+1(k≠0)与椭圆 3x +y =a 相交于 A、B 两个不同 的点,记 l 与 y 轴的交点为 C.
第 4 页(共 57 页)

2

2

(Ⅰ)若 k=1,且|AB|= (Ⅱ)若 =2

,求实数 a 的值;

,求△ AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

17. (2015?陕西模拟)已知 F1,F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆

上位于第一象限内的一点,

,若椭圆的离心率等于



(1)求直线 AO 的方程(O 为坐标原点) ; (2)直线 AO 交椭圆于点 B,若三角形 ABF2 的面积等于 4 ,求椭圆的方程.

18. (2015?四川)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率是

,点 P(0,1)在短

轴 CD 上,且

?

=﹣1

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 λ,使得 ? +λ ? 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.

19. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标

为(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜 率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵 坐标为 ,求 E 的方程.

第 5 页(共 57 页)

20. (2014?湖南)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分

别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2:



=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为

e2,已知 e1e2=

,且|F2F4|=

﹣1.

(Ⅰ)求 C1、C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

21. (2015?崇明县一模)已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭 圆短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A,B 两点的直线 l:y=kx+m(k∈R) ,使得 成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

22. (2015?鄂州三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,的

离心率为

,且经过点(1,

) ,过椭圆的左顶点 A 作直线 l⊥x 轴,点 M 为直线 l 上的

动点(点 M 与点 A 在不重合) ,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于点 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:AP⊥OM; (3)试问 ? 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是,请说明理由.

第 6 页(共 57 页)

23. (2015?江西一模)已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的

距离之和为 2

,离心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ ABO 的最大值为 直线 l 方程;若不存在,说明理由.

24. (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,且点(

, )在椭圆 C 上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

与 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)求△ ABQ 面积的最大值. 25. (2015?南市区校级模拟)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣ 且经过点( , ) . ,0) , ( ,0) ,并

(1)求椭圆的标准方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 经过点(0,﹣2) ,且与椭圆交于不同的两点 A、B,求△ OAB 面 积的最大值.
第 7 页(共 57 页)

26. (2013?黑龙江)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

(a>b>0)右焦点的

直线 x+y﹣

=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .

(Ⅰ)求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的 最大值. 27. (2015?惠州模拟)已知直线 y=﹣2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动 点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方 程.

28. (2015?济宁二模)如图,已知椭圆 C:
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,以椭圆 C

的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S, O 为坐标原点,求证:|OR|?|OS|为定值.

29. (2012?浙江)如图,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,

1)的距离为 ,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平 分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ APB 面积取最大值时直线 l 的方程.

第 8 页(共 57 页)

30. (2014?卢湾区校级模拟)已知椭圆 象限内的一点,并满足

的两焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆在第一

,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA,PB 分别交椭圆于

A,B 两点. (Ⅰ)求 P 点坐标; (Ⅱ)当直线 PA 经过点(1, )时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)求证直线 AB 的斜率为定值.

第 9 页(共 57 页)

2015 年 12 月 07 日博强教育的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.解答题(共 30 小题) 1. (2014 秋?安徽月考)已知椭圆 C: + =1({a>b>0})的离心率 e= ,且由椭圆

上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0,2) ,过点 Q(﹣1,﹣2)作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(异于 P) ,直 线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是, 请说明理由. 【考点】圆锥曲线的实际背景及作用;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)留言椭圆的离心率,a、b、c 的关系,以及三角形的面积,解方程组即可求 椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 利用直线斜率存在与不存在两种情况, 通过直线方程与椭圆的方程, 求出 A、 B 坐标,
菁优网版权所有

求出直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.k1+k2 为定值.

【解答】解: (Ⅰ)由题意得

,解得 a =8,b =4,

2

2

所以椭圆 C 的方程为

=1.…5 分

(Ⅱ)k1+k2 为定值 4,证明如下:…6 分 (ⅰ)当直线 l 斜率不存在时,l 方程为 x=﹣1,

由方程组

易得





于是 k1=

,k2=



所以 k1+k2=4 为定值.…8 分 (ⅱ)当直线 l 斜率存在时,设 l 方程为 y﹣(﹣2)=k[x﹣(﹣1)],即 y=kx+k﹣2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

第 10 页(共 57 页)

由方程组

,消去 y,得(1+2k )x +4k(k﹣2)x+2k ﹣8k=0,

2

2

2

由韦达定理得

(*) …10 分

∴k1+k2=

=

=

=2k+(k﹣4)?



将(*)式代入上式得 k1+k2=4 为定值.…13 分. 【点评】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,直线的斜率的应用,考查转化 思想以及计算能力.

2. (2014?河北)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是

椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
菁优网版权所有

【分析】 (Ⅰ)设 F(c,0) ,利用直线的斜率公式可得
2

,可得 c.又

,b =a

2

2

﹣c ,即可解得 a,b; (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程 联立可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式 即可得出 S△ OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)设 F(c,0) ,∵直线 AF 的斜率为 ,

第 11 页(共 57 页)

∴ 又

,解得 c=
2 2 2



,b =a ﹣c ,解得 a=2,b=1. ;

∴椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2. 联立
2 2


2

化为(1+4k )x ﹣16kx+12=0,当△ =16(4k ﹣3)>0 时,即 , ∴|PQ|= .

时,

=

=



点 O 到直线 l 的距离 d=



∴S△ OPQ= 设 ∴

=
2 2



>0,则 4k =t +3, = =1, 当且仅当 t=2, 即 , 解得 时取等号.

满足△ >0,∴△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:



【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根 与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性 质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属 于难题.

3. (2015?浙江)已知椭圆

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称.
第 12 页(共 57 页)

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 2 【分析】 (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程可得(m +2)y ﹣ 2 2mny+n ﹣2=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .可得△ >0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,
菁优网版权所有

利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P,代入直线 y=mx+ ,可得 0,即可解出. (2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n,可得 S△ OAB= 即可得出. 【解答】解: (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程
2 2 2

,代入△ >

,再利用均值不等式



可得(m +2)y ﹣2mny+n ﹣2=0, 2 2 2 2 2 2 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由题意,△ =4m n ﹣4(m +2) (n ﹣2)=8(m ﹣n +2)>0, 设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,则 由于点 P 在直线 y=mx+ 上,∴ ∴ 解得 m
2 4

.x0=﹣m× =
2

+n=



+ ,

,代入△ >0,可得 3m +4m ﹣4>0, ,∴ 或m .

(2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n, ∴S△ OAB= = |n|? = ,

由均值不等式可得:n (m ﹣n +2)

2

2

2

=



第 13 页(共 57 页)

∴S△ AOB m= ,

=

,当且仅当 n =m ﹣n +2,即 2n =m +2,又∵

2

2

2

2

2

,解得

当且仅当 m=

时,S△ AOB 取得最大值为



【点评】 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公 式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

4. (2015?山东) 平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的离心率为



左、 右焦点分别是 F1, F2, 以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交, 且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: + =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ ABQ 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;曲线与方程. 【专题】创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,计算即可得到 b,进而得到椭圆 C 的方程;
菁优网版权所有

(Ⅱ)求得椭圆 E 的方程, (i)设 P(x0,y0) ,|

|=λ,求得 Q 的坐标,分别代入椭圆 C,

E 的方程,化简整理,即可得到所求值; (ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,运用韦达定理,三 角形的面积公式,将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,由判别式大于 0,可得 t 的范围,结 合二次函数的最值,又△ ABQ 的面积为 3S,即可得到所求的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得 a=2, 又 = ,a ﹣c =b , +y =1;
2 2 2 2

可得 b=1,即有椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 E 的方程为 (i)设 P(x0,y0) ,|

+

=1,

|=λ,由题意可知,
第 14 页(共 57 页)

Q(﹣λx0,﹣λy0) ,由于

+y0 =1,

2

又 所以 λ=2,即|

+ |=2;

=1,即



+y0 )=1,

2

(ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得 2 2 2 2 2 (1+4k )x +8kmx+4m ﹣16=0,由△ >0,可得 m <4+16k ,① 则有 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,所以|x1﹣x2|= ,

由直线 y=kx+m 与 y 轴交于(0,m) , 则△ AOB 的面积为 S= |m|?|x1﹣x2|= |m|?

=2

,设

=t,则 S=2
2 2 2



将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0, 2 2 由△ ≥0 可得 m ≤1+4k ,② 由①②可得 0<t≤1,则 S=2
2 2

在(0,1]递增,即有 t=1 取得最大值,

即有 S ,即 m =1+4k ,取得最大值 2 , 由(i)知,△ ABQ 的面积为 3S, 即△ ABQ 面积的最大值为 6 . 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理, 同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题.

5. (2015?福建模拟)已知椭圆

的离心率为

,其左、右焦点

分别为 F1,F2,点 P(x0,y0)是坐标平面内一点,且 标原点) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点

(O 为坐

且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定

点 M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标,若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;综合题;压轴题.
菁优网版权所有

第 15 页(共 57 页)

【分析】 (1)设出 P 的坐标,利用|OP|的值求得 x0 和 y0 的关系式,同时利用 求得 x0 和 y0 的另一关系式,进而求得 c,通过椭圆的离心率求得 a,最后利用 a,b 和 c 的 关系求得 b,则椭圆的方程可得. (2)设出直线 l 的方程,与椭圆方程联立消去 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则可利用 韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,假设在 y 轴上存在定点 M(0,m) ,满足题设,则可表示出 ,利用 =0 求得 m 的值.

【解答】解: (1)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 则由 由 即 所以 c=1 又因为 因此所求椭圆的方程为: (2)动直线 l 的方程为: . . , 得 . ; ,







设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 则 假设在 y 轴上存在定点 M(0,m) ,满足题设,则 . .

= =

=

第 16 页(共 57 页)

=

由假设得对于任意的 即 解得 m=1.

恒成立,

因此,在 y 轴上存在定点 M,使得以 AB 为直径的圆恒过这个点, 点 M 的坐标为(0,1) 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生分析问题和推理的能力.

6. (2014?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为



直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆离心率得到 a,b 的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点 的横坐标, 把弦长用交点横坐标表示, 则 a 的值可求, 进一步得到 b 的值, 则椭圆方程可求; (Ⅱ) (i)设出 A,D 的坐标分别为(x1,y1) (x1y1≠0) , (x2,y2) ,用 A 的坐标表示 B 的 坐标,把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示,写出直线 AD 的方程,和椭圆方程联立后利 用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和,求出 AD 中点坐标,则 BD 斜率可求,再写出 BD 所在直线方程,取 y=0 得到 M 点坐标,由两点求斜率得到 AM 的斜率,由两直线斜率的关 系得到 λ 的值; (ii)由 BD 方程求出 N 点坐标,结合(i)中求得的 M 的坐标得到△ OMN 的面积,然后结 合椭圆方程利用基本不等式求最值.
菁优网版权所有

【解答】解: (Ⅰ)由题意知, ∴椭圆 C 的方程可化为 x +4y =a . 将 y=x 代入可得 因此 则 b=1. , ,解得 a=2.
2 2 2

,则 a =4b .

2

2

第 17 页(共 57 页)

∴椭圆 C 的方程为



(Ⅱ) (i)设 A(x1,y1) (x1y1≠0) ,D(x2,y2) , 则 B(﹣x1,﹣y1) . ∵直线 AB 的斜率 又 AB⊥AD, ∴直线 AD 的斜率 设 AD 方程为 y=kx+m, 由题意知 k≠0,m≠0.
2 2 2





联立

,得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0.

∴ 因此

. .

由题意可得



∴直线 BD 的方程为 令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0) . 可得 .



∴ 因此存在常数

,即

. 使得结论成立.

(ii)直线 BD 方程为



令 x=0,得

,即 N(

) .

由(i)知 M(3x1,0) ,

第 18 页(共 57 页)

可得△ OMN 的面积为 S= 当且仅当 时等号成立.

=



∴△OMN 面积的最大值为 . 【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线 联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的 特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.

7. (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:
2

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线

C2:y=﹣x +1(y≤0)连