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解析几何解答题



2015 年 12 月 07 日博强教育的高中数学组卷
一.解答题(共 30 小题) 1. (2014 秋?安徽月考)已知椭圆 C: + =1({a>b>0})的离心率 e= ,且由椭圆

上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0,2) ,过点 Q(﹣1,﹣2)作直线 l 交椭圆 C 于 A、B

两点(异于 P) ,直 线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是, 请说明理由.

2. (2014?河北)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是

椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

3. (2015?浙江)已知椭圆

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称.

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

4. (2015?山东) 平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的离心率为



左、 右焦点分别是 F1, F2, 以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交, 且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

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(Ⅱ)设椭圆 E:

+

=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ ABQ 面积的最大值.

5. (2015?福建模拟)已知椭圆

的离心率为

,其左、右焦点

分别为 F1,F2,点 P(x0,y0)是坐标平面内一点,且 标原点) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点

(O 为坐

且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定

点 M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标,若不存在,说明理由.

6. (2014?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为



直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值.

7. (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:
2

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线

C2:y=﹣x +1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为



(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B) ,若 AP⊥AQ,求直 线 l 的方程.

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8. (2014?天津二模)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且长轴长等于 4.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 ? =﹣ ,求 k 的值.

9. (2014?四川)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴

的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; ②当 最小时,求点 T 的坐标.

10. (2010?河北)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直

线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

11. (2015?南充二模)已知椭圆 T:

+

=1(a>b>0)经过点 P(2,

) ,一个焦点 F

的坐标是(2,0) . (1)求椭圆 T 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 T 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,椭圆 T 的离心率为 e, 2 若 kOA?kOB=e ﹣1,求证:△ AOB 的面积为定值.
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12. (2014?辽宁)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角 形面积最小时,切点为 P(如图) . (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 交于 A、B 两点,若△ PAB 的面 积为 2,求 C 的标准方程.

2

2

13. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标

为(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜 率为 .

(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB.

14. (2011?陕西)设椭圆 C: (Ⅰ)求 C 的方程;

过点(0,4) ,离心率为

(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标.

15. (2015?天津)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为
2 2



点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = (Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 值范围.

截得的线段的长为 c,|FM|=



,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取

16. (2015?上海模拟)已知直线 l:y=kx+1(k≠0)与椭圆 3x +y =a 相交于 A、B 两个不同 的点,记 l 与 y 轴的交点为 C.
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2

2

(Ⅰ)若 k=1,且|AB|= (Ⅱ)若 =2

,求实数 a 的值;

,求△ AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

17. (2015?陕西模拟)已知 F1,F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆

上位于第一象限内的一点,

,若椭圆的离心率等于



(1)求直线 AO 的方程(O 为坐标原点) ; (2)直线 AO 交椭圆于点 B,若三角形 ABF2 的面积等于 4 ,求椭圆的方程.

18. (2015?四川)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率是

,点 P(0,1)在短

轴 CD 上,且

?

=﹣1

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 λ,使得 ? +λ ? 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.

19. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标

为(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜 率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵 坐标为 ,求 E 的方程.

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20. (2014?湖南)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分

别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2:



=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为

e2,已知 e1e2=

,且|F2F4|=

﹣1.

(Ⅰ)求 C1、C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

21. (2015?崇明县一模)已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭 圆短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A,B 两点的直线 l:y=kx+m(k∈R) ,使得 成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

22. (2015?鄂州三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,的

离心率为

,且经过点(1,

) ,过椭圆的左顶点 A 作直线 l⊥x 轴,点 M 为直线 l 上的

动点(点 M 与点 A 在不重合) ,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于点 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:AP⊥OM; (3)试问 ? 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是,请说明理由.

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23. (2015?江西一模)已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的

距离之和为 2

,离心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ ABO 的最大值为 直线 l 方程;若不存在,说明理由.

24. (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,且点(

, )在椭圆 C 上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

与 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)求△ ABQ 面积的最大值. 25. (2015?南市区校级模拟)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣ 且经过点( , ) . ,0) , ( ,0) ,并

(1)求椭圆的标准方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 经过点(0,﹣2) ,且与椭圆交于不同的两点 A、B,求△ OAB 面 积的最大值.
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26. (2013?黑龙江)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

(a>b>0)右焦点的

直线 x+y﹣

=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .

(Ⅰ)求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的 最大值. 27. (2015?惠州模拟)已知直线 y=﹣2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动 点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方 程.

28. (2015?济宁二模)如图,已知椭圆 C:
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,以椭圆 C

的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S, O 为坐标原点,求证:|OR|?|OS|为定值.

29. (2012?浙江)如图,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,

1)的距离为 ,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平 分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ APB 面积取最大值时直线 l 的方程.

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30. (2014?卢湾区校级模拟)已知椭圆 象限内的一点,并满足

的两焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆在第一

,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA,PB 分别交椭圆于

A,B 两点. (Ⅰ)求 P 点坐标; (Ⅱ)当直线 PA 经过点(1, )时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)求证直线 AB 的斜率为定值.

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2015 年 12 月 07 日博强教育的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.解答题(共 30 小题) 1. (2014 秋?安徽月考)已知椭圆 C: + =1({a>b>0})的离心率 e= ,且由椭圆

上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0,2) ,过点 Q(﹣1,﹣2)作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(异于 P) ,直 线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是, 请说明理由. 【考点】圆锥曲线的实际背景及作用;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)留言椭圆的离心率,a、b、c 的关系,以及三角形的面积,解方程组即可求 椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 利用直线斜率存在与不存在两种情况, 通过直线方程与椭圆的方程, 求出 A、 B 坐标,
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求出直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.k1+k2 为定值.

【解答】解: (Ⅰ)由题意得

,解得 a =8,b =4,

2

2

所以椭圆 C 的方程为

=1.…5 分

(Ⅱ)k1+k2 为定值 4,证明如下:…6 分 (ⅰ)当直线 l 斜率不存在时,l 方程为 x=﹣1,

由方程组

易得





于是 k1=

,k2=



所以 k1+k2=4 为定值.…8 分 (ⅱ)当直线 l 斜率存在时,设 l 方程为 y﹣(﹣2)=k[x﹣(﹣1)],即 y=kx+k﹣2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

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由方程组

,消去 y,得(1+2k )x +4k(k﹣2)x+2k ﹣8k=0,

2

2

2

由韦达定理得

(*) …10 分

∴k1+k2=

=

=

=2k+(k﹣4)?



将(*)式代入上式得 k1+k2=4 为定值.…13 分. 【点评】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,直线的斜率的应用,考查转化 思想以及计算能力.

2. (2014?河北)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是

椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (Ⅰ)设 F(c,0) ,利用直线的斜率公式可得
2

,可得 c.又

,b =a

2

2

﹣c ,即可解得 a,b; (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程 联立可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式 即可得出 S△ OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)设 F(c,0) ,∵直线 AF 的斜率为 ,

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∴ 又

,解得 c=
2 2 2



,b =a ﹣c ,解得 a=2,b=1. ;

∴椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2. 联立
2 2


2

化为(1+4k )x ﹣16kx+12=0,当△ =16(4k ﹣3)>0 时,即 , ∴|PQ|= .

时,

=

=



点 O 到直线 l 的距离 d=



∴S△ OPQ= 设 ∴

=
2 2



>0,则 4k =t +3, = =1, 当且仅当 t=2, 即 , 解得 时取等号.

满足△ >0,∴△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:



【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根 与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性 质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属 于难题.

3. (2015?浙江)已知椭圆

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称.
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(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 2 【分析】 (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程可得(m +2)y ﹣ 2 2mny+n ﹣2=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .可得△ >0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,
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利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P,代入直线 y=mx+ ,可得 0,即可解出. (2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n,可得 S△ OAB= 即可得出. 【解答】解: (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程
2 2 2

,代入△ >

,再利用均值不等式



可得(m +2)y ﹣2mny+n ﹣2=0, 2 2 2 2 2 2 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由题意,△ =4m n ﹣4(m +2) (n ﹣2)=8(m ﹣n +2)>0, 设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,则 由于点 P 在直线 y=mx+ 上,∴ ∴ 解得 m
2 4

.x0=﹣m× =
2

+n=



+ ,

,代入△ >0,可得 3m +4m ﹣4>0, ,∴ 或m .

(2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n, ∴S△ OAB= = |n|? = ,

由均值不等式可得:n (m ﹣n +2)

2

2

2

=



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∴S△ AOB m= ,

=

,当且仅当 n =m ﹣n +2,即 2n =m +2,又∵

2

2

2

2

2

,解得

当且仅当 m=

时,S△ AOB 取得最大值为



【点评】 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公 式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

4. (2015?山东) 平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的离心率为



左、 右焦点分别是 F1, F2, 以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交, 且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: + =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ ABQ 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;曲线与方程. 【专题】创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,计算即可得到 b,进而得到椭圆 C 的方程;
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(Ⅱ)求得椭圆 E 的方程, (i)设 P(x0,y0) ,|

|=λ,求得 Q 的坐标,分别代入椭圆 C,

E 的方程,化简整理,即可得到所求值; (ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,运用韦达定理,三 角形的面积公式,将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,由判别式大于 0,可得 t 的范围,结 合二次函数的最值,又△ ABQ 的面积为 3S,即可得到所求的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得 a=2, 又 = ,a ﹣c =b , +y =1;
2 2 2 2

可得 b=1,即有椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 E 的方程为 (i)设 P(x0,y0) ,|

+

=1,

|=λ,由题意可知,
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Q(﹣λx0,﹣λy0) ,由于

+y0 =1,

2

又 所以 λ=2,即|

+ |=2;

=1,即



+y0 )=1,

2

(ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得 2 2 2 2 2 (1+4k )x +8kmx+4m ﹣16=0,由△ >0,可得 m <4+16k ,① 则有 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,所以|x1﹣x2|= ,

由直线 y=kx+m 与 y 轴交于(0,m) , 则△ AOB 的面积为 S= |m|?|x1﹣x2|= |m|?

=2

,设

=t,则 S=2
2 2 2



将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0, 2 2 由△ ≥0 可得 m ≤1+4k ,② 由①②可得 0<t≤1,则 S=2
2 2

在(0,1]递增,即有 t=1 取得最大值,

即有 S ,即 m =1+4k ,取得最大值 2 , 由(i)知,△ ABQ 的面积为 3S, 即△ ABQ 面积的最大值为 6 . 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理, 同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题.

5. (2015?福建模拟)已知椭圆

的离心率为

,其左、右焦点

分别为 F1,F2,点 P(x0,y0)是坐标平面内一点,且 标原点) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点

(O 为坐

且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定

点 M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标,若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;综合题;压轴题.
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【分析】 (1)设出 P 的坐标,利用|OP|的值求得 x0 和 y0 的关系式,同时利用 求得 x0 和 y0 的另一关系式,进而求得 c,通过椭圆的离心率求得 a,最后利用 a,b 和 c 的 关系求得 b,则椭圆的方程可得. (2)设出直线 l 的方程,与椭圆方程联立消去 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则可利用 韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,假设在 y 轴上存在定点 M(0,m) ,满足题设,则可表示出 ,利用 =0 求得 m 的值.

【解答】解: (1)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 则由 由 即 所以 c=1 又因为 因此所求椭圆的方程为: (2)动直线 l 的方程为: . . , 得 . ; ,







设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 则 假设在 y 轴上存在定点 M(0,m) ,满足题设,则 . .

= =

=

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=

由假设得对于任意的 即 解得 m=1.

恒成立,

因此,在 y 轴上存在定点 M,使得以 AB 为直径的圆恒过这个点, 点 M 的坐标为(0,1) 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生分析问题和推理的能力.

6. (2014?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为



直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆离心率得到 a,b 的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点 的横坐标, 把弦长用交点横坐标表示, 则 a 的值可求, 进一步得到 b 的值, 则椭圆方程可求; (Ⅱ) (i)设出 A,D 的坐标分别为(x1,y1) (x1y1≠0) , (x2,y2) ,用 A 的坐标表示 B 的 坐标,把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示,写出直线 AD 的方程,和椭圆方程联立后利 用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和,求出 AD 中点坐标,则 BD 斜率可求,再写出 BD 所在直线方程,取 y=0 得到 M 点坐标,由两点求斜率得到 AM 的斜率,由两直线斜率的关 系得到 λ 的值; (ii)由 BD 方程求出 N 点坐标,结合(i)中求得的 M 的坐标得到△ OMN 的面积,然后结 合椭圆方程利用基本不等式求最值.
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【解答】解: (Ⅰ)由题意知, ∴椭圆 C 的方程可化为 x +4y =a . 将 y=x 代入可得 因此 则 b=1. , ,解得 a=2.
2 2 2

,则 a =4b .

2

2

第 17 页(共 57 页)

∴椭圆 C 的方程为



(Ⅱ) (i)设 A(x1,y1) (x1y1≠0) ,D(x2,y2) , 则 B(﹣x1,﹣y1) . ∵直线 AB 的斜率 又 AB⊥AD, ∴直线 AD 的斜率 设 AD 方程为 y=kx+m, 由题意知 k≠0,m≠0.
2 2 2





联立

,得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0.

∴ 因此

. .

由题意可得



∴直线 BD 的方程为 令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0) . 可得 .



∴ 因此存在常数

,即

. 使得结论成立.

(ii)直线 BD 方程为



令 x=0,得

,即 N(

) .

由(i)知 M(3x1,0) ,

第 18 页(共 57 页)

可得△ OMN 的面积为 S= 当且仅当 时等号成立.

=



∴△OMN 面积的最大值为 . 【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线 联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的 特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.

7. (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:
2

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线

C2:y=﹣x +1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为



(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B) ,若 AP⊥AQ,求直 线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】向量与圆锥曲线.

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【分析】 (Ⅰ)在 C1、C2 的方程中,令 y=0,即得 b=1,设 C1:的半焦距为 c,由 = a ﹣c =b =1 得 a=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆 C1 的方程为
2 2 2 2 2 2



+x =1(y≥0) ,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,
2

2

代入 C1 的方程,整理得(k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*)设点 P(xp,yp) ,依题意,可求 得点 P 的坐标为( , ) ;同理可得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) ,利用
2

?

=0,可求得 k 的值,从而可得答案.

【解答】解: (Ⅰ)在 C1、C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(﹣1,0) ,B(1,0)是 上半椭圆 C1 的左右顶点.
第 19 页(共 57 页)

设 C1:的半焦距为 c,由 = ∴a=2,b=1.

及 a ﹣c =b =1 得 a=2.

2

2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆 C1 的方程为

+x =1(y≥0) .

2

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) , 代入 C1 的方程,整理得 2 2 2 2 (k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*) 设点 P(xp,yp) , ∵直线 l 过点 B, ∴x=1 是方程(*)的一个根, 由求根公式,得 xp= ,从而 yp= ,

∴点 P 的坐标为(



) .

同理,由 ∴ = (k,﹣4) ,

得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) , =﹣k(1,k+2) ,

2

∵AP⊥AQ,∴

?

=0,即

[k﹣4(k+2)]=0,

∵k≠0,∴k﹣4(k+2)=0,解得 k=﹣ . 经检验,k=﹣ 符合题意, 故直线 l 的方程为 y=﹣ (x﹣1) ,即 8x+3y﹣8=0. 【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考 查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函 数与方程思想,属于难题.

8. (2014?天津二模)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且长轴长等于 4.

第 20 页(共 57 页)

(Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题.
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?

=﹣ ,求 k 的值.

【分析】 (I)由题意长轴长为 4 求得 a 的值,在有椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1,

)建立方程求解即可; (II)由于圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,利用直线与圆相切 的从要条件得到一个等式,把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想,根据 ﹣ 建立 k 的方程求 k. 【解答】解: (I)由题义长轴长为 4,即 2a=4,解得:a=2, ∵点 在椭圆上,∴ 解得:b =3
2

?

=

椭圆的方程为:



(II)由直线 l 与圆 O 相切,得:

设 A(x1,y1)B(x2,y2)
2 2 2





整理得: (3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0, ∴ ,
2



∴y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2) +m =
2

=



=

∵m =1+k ∴

2

2



第 21 页(共 57 页)

解得: ∴

, .

【点评】 此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程, 还考查了直线方程与椭圆方程联立 之后的整体代换设而不求,还有求解问题时方程的思想.

9. (2014?四川)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴

的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; ②当 最小时,求点 T 的坐标.
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【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】第(1)问中,由正三角形底边与高的关系,a =b +c 及焦距 2c=4 建立方程组求得 2 2 a ,b ; 第(2)问中,先设点的坐标及直线 PQ 的方程,利用两点间距离公式及弦长公式将 示出来,由 取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点 T 的坐标. 表

2

2

2

【解答】解: (1)依题意有

解得

所以椭圆 C 的标准方程为

+

=1.

(2)设 T(﹣3,t) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 的中点为 N(x0,y0) , ①证明:由 F(﹣2,0) ,可设直线 PQ 的方程为 x=my﹣2,则 PQ 的斜率 .



?(m +3)y ﹣4my﹣2=0,

2

2

第 22 页(共 57 页)

所以



于是

,从而





,则直线 ON 的斜率



又由 PQ⊥TF 知,直线 TF 的斜率

,得 t=m.

从而

,即 kOT=kON,

所以 O,N,T 三点共线,从而 OT 平分线段 PQ,故得证. ②由两点间距离公式得 由弦长公式得 = = ,



所以



令 号) , 所以当

,则

(当且仅当 x =2 时,取“=”

2

最小时,由 x =2=m +1,得 m=1 或 m=﹣1,此时点 T 的坐标为(﹣3,1)或

2

2

(﹣3,﹣1) . 【点评】本题属相交弦问题,应注意考虑这几个方面: 1、设交点坐标,设直线方程; 2、联立直线与椭圆方程,消去 y 或 x,得到一个关于 x 或 y 一元二次方程,利用韦达定理; 3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.

第 23 页(共 57 页)

10. (2010?河北)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直

线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 【考点】椭圆的应用. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,能够求 出|AB|的值.
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(2)L 的方程式为 y=x+c,其中

,设 A(x1,y1) ,B(x1,y1) ,则 A,B 两点

坐标满足方程组

,化简得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0.然后结合题设条件和根与

2

2

2

系数的关系能够求出 b 的大小. 【解答】解: (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得 (2)L 的方程式为 y=x+c,其中

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A,B 两点坐标满足方程组
2 2 2

. ,

化简得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0. 则 因为直线 AB 的斜率为 1,所以 即 . .





解得



【点评】 本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系, 解题时要注意公式的 灵活运用.

第 24 页(共 57 页)

11. (2015?南充二模)已知椭圆 T:

+

=1(a>b>0)经过点 P(2,

) ,一个焦点 F

的坐标是(2,0) . (1)求椭圆 T 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 T 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,椭圆 T 的离心率为 e, 若 kOA?kOB=e ﹣1,求证:△ AOB 的面积为定值. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由椭圆的 a,b,c 的关系,点 P 在椭圆上满足椭圆方程,解方程可得 a,b, 进而得到椭圆方程; (2)联立直线方程和椭圆方程,消去 y 后利用根与系数关系得到 A,B 两点的横纵坐标的 和与积,由弦长公式求得|AB|,由点到直线的距离公式求得 O 到 AB 的距离,代入三角形的 面积公式证得答案. 2 2 【解答】 (1)解:由题意可得,c=2,即有 a ﹣b =4,
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2



=1,解得,a=2

,b=2,

则随圆 T 的方程为 (2)证明:e= =

+

=1;
2

.则 kOA?kOB=e ﹣1=﹣ ,
2 2 2

将 y=kx+m 代入

+

=1,消去 y,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0,

x1+x2=﹣

,x1x2=
2 2



由△ >0,得 8k ﹣m +4>0. 2 2 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m =k ?
2



+m =

2



∵kOA?kOB=﹣ ,
2 2



=

=﹣ ,即 m ﹣4k =2.

∵|AB|=

=

第 25 页(共 57 页)

=



又 O 点到直线 y=kx+m 的距离 d=



∴S△ AOB= d|AB|= ?

?

=

?

=2 为定值. 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立, 根据方程的根与系数的关系解题, 这是处理这类问题的最为常用的方法, 考查了弦长公式及 点到直线的距离公式,是高考试卷中的压轴题. 12. (2014?辽宁)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角 形面积最小时,切点为 P(如图) . (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 交于 A、B 两点,若△ PAB 的面 积为 2,求 C 的标准方程.
2 2

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.
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【分析】 (Ⅰ)设切点 P 的坐标为(x0,y0) ,求得圆的切线方程,根据切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成的三角形的面积 S= P 的坐标. (Ⅱ)设椭圆的标准方程为 + =1,a>b>0,则 + =1.把直线方程和椭圆的方 .再利用基本不等式求得 S 取得最小值,求得点

程联立方程组,转化为关于 x 的一元二次方程,里哦也难怪韦达定理、弦长公式求出弦长 AB 以及点 P 到直线的距离 d,再由△ PAB 的面积为 S= ?AB?d=2,求出 a 、b 的值,从而 得到所求椭圆的方程. 【解答】解: (Ⅰ)设切点 P 的坐标为(x0,y0) ,且 x0>0,y0>0.
第 26 页(共 57 页)
2 2

则切线的斜率为﹣

,故切线方程为 y﹣y0=﹣

(x﹣x0) ,即 x0x+y0y=4.

此时,切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成的三角形的面积 S= ?

?

=



再根据

+

=4≥2

,可得当且仅当 x0=y0=

时,

x0?y0 取得最大值为 4,即 S 取得最小值为 =2, 故此时,点 P 的坐标为( (Ⅱ)设椭圆的标准方程为 , + ) . =1,a>b>0,∵椭圆 C 过点 P,∴ + =1.



求得 b x +4

2 2

x+6﹣2b =0,

2

∴x1+x2=﹣ 由 y1=x1+ x1|= ?

,x1?x2= ,y2=x2+

. ,可得 AB= = |x2﹣ ?

=



由于点 P(



)到直线 l:y=x+
4

的距离 d=
2 2


2

△ PAB 的面积为 S= ?AB?d=2,可得 b ﹣9b +18=0,解得 b =3,或 b =6, 当 b =6 时,由
2

+

=1 求得 a =3,不满足题意;

2

当 b =3 时,由

2

+

=1 求得 a =6,满足题意,故所求的椭圆的标准方程为

2

+

=1.

【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直线和圆锥曲线的位置关系,点到直线的距离 公式、弦长公式的应用,属于难题.

第 27 页(共 57 页)

13. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标

为(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜 率为 .

(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【专题】开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (1)通过题意,利用 即得结论;

=2

,可得点 M 坐标,利用直线 OM 的斜率为

,计算

(2)通过中点坐标公式解得点 N 坐标,利用

?

=0 即得结论.

【解答】 (1)解:设 M(x,y) ,∵A(a,0) 、B(0,b) ,点 M 在线段 AB 上且|BM|=2|MA|, ∴ =2 ,即(x﹣0,y﹣b)=2(a﹣x,0﹣y) ,

解得 x= a,y= b,即 M( a, b) , 又∵直线 OM 的斜率为 ∴a= b,c= ,∴ =2b, ; = ,

∴椭圆 E 的离心率 e= =

(2)证明:∵点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点, ∴N( ,﹣ ) ,∴ 又∵ ∴ ? =(﹣a,b) , =(﹣a,b)?( ,﹣
2 2

=( ,﹣

) ,

)=﹣ a +

2

= (5b ﹣a ) ,

2

2

由(1)可知 a =5b ,故

?

=0,即 MN⊥AB.

【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、注意解题方法的 积累,属于中档题.

14. (2011?陕西)设椭圆 C: (Ⅰ)求 C 的方程;
第 28 页(共 57 页)

过点(0,4) ,离心率为

(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 【考点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题.
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【分析】 (Ⅰ)根据题意,将(0,4)代入 C 的方程得 b 的值,进而由椭圆的离心率为 ,

结合椭圆的性质,可得 圆的方程.

=

;解可得 a 的值,将 a、b 的值代入方程,可得椭

(Ⅱ)根据题意,可得直线的方程,设直线与 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立 2 直线与椭圆的方程,化简可得方程 x ﹣3x﹣8=0,解可得 x1 与 x2 的值,由中点坐标公式可 得中点的横坐标,将其代入直线方程,可得中点的纵坐标,即可得答案. 【解答】解: (Ⅰ)根据题意,椭圆过点(0,4) , 将(0,4)代入 C 的方程得 ,即 b=4

又 即



= ,∴a=5



∴C 的方程为

(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 将直线方程
2



代入 C 的方程,得 , , ,



即 x ﹣3x﹣8=0,解得 ∴AB 的中点坐标

, 即中点为 .

【点评】本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质,涉及直线与椭圆问题,一般 要联立两者的方程,转化为一元二次方程,由韦达定理分析解决.
第 29 页(共 57 页)

15. (2015?天津)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为
2 2



点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y =

截得的线段的长为 c,|FM|=



(Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取 值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (Ⅰ) 通过离心率为

, 计算可得 a =3c 、 b =2c , 设直线 FM 的方程为 y=k (x+c) ,

2

2

2

2

利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论; (Ⅱ)通过联立椭圆与直线 FM 的方程,可得 M(c, c) ,利用|FM|= 计算即可;

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程,分 x∈(﹣ , ﹣1)与 x∈(﹣1,0)两种情况讨论即可结论. 【解答】解: (Ⅰ)∵离心率为
2 2 2 2 2 2

,∴

=

= ,

∴2a =3b ,∴a =3c ,b =2c , 设直线 FM 的斜率为 k(k>0) ,则直线 FM 的方程为 y=k(x+c) , ∵直线 FM 被圆 x +y =
2 2

截得的线段的长为 c, ,

∴圆心(0,0)到直线 FM 的距离 d=

∴d +

2

=

,即(

)+

2

=



解得 k=

,即直线 FM 的斜率为



(Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:
2

+

=1,直线 FM 的方程为 y=
2

(x+c) ,

联立两个方程,消去 y,整理得 3x +2cx﹣5c =0,解得 x=﹣ c,或 x=c, ∵点 M 在第一象限,∴M(c, ∵|FM|= ,∴ c) , =
第 30 页(共 57 页)



解得 c=1,∴a =3c =3,b =2c =2, 即椭圆的方程为 + =1;

2

2

2

2

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,直线 FP 的斜率为 t, ∵F(﹣1,0) ,∴t= ,即 y=t(x+1) (x≠﹣1) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 2x +3t (x+1) =6,

2

2

2

又∵直线 FP 的斜率大于 ∴ >



,解得﹣ <x<﹣1,或﹣1<x<0,

设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 m =

2

﹣ .

①当 x∈(﹣ ,﹣1)时,有 y=t(x+1)<0,因此 m>0, ∴m= ,∴m∈( , ) ;

②当 x∈(﹣1,0)时,有 y=t(x+1)>0,因此 m<0, ∴m=﹣ ,∴m∈(﹣∞,﹣ ) ;

综上所述,直线 OP 的斜率的取值范围是: (﹣∞,﹣

)∪(



) .

【点评】 本题考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程和圆的方程、 直线与圆的位置关系、 一元二次不等式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、以 及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题. 16. (2015?上海模拟)已知直线 l:y=kx+1(k≠0)与椭圆 3x +y =a 相交于 A、B 两个不同 的点,记 l 与 y 轴的交点为 C. (Ⅰ)若 k=1,且|AB|= (Ⅱ)若 =2 ,求实数 a 的值;
2 2

,求△ AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.
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【考点】椭圆的简单性质.

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【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)若 k=1,联立直线和椭圆方程,结合相交弦的弦长公式以及|AB|= 求实数 a 的值; (Ⅱ)根据 =2 关系,结合一元二次方程根与系数之间的关系,以及基本不等式进行求 ,即可

解即可. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (Ⅰ)由 得 4x +2x+1﹣a=0,
2

则 x1+x2= 则|AB|=

,x1x2= =

, ,解得 a=2.
2 2

(Ⅱ)由

,得(3+k )x +2kx+1﹣a=0,

则 x1+x2=﹣

,x1x2=





=2

得(﹣x1,1﹣y1)=2(x2,y2﹣1) ,

解得 x1=﹣2x2,代入上式得: x1+x2=﹣x2=﹣ ,则 x2= = , = ,

当且仅当 k =3 时取等号,此时 x2=

2

,x1x2=﹣2x2 =﹣2×

2



又 x1x2=

=





= ,解得 a=5. ,此时椭圆的方程为 3x +y =5.
2 2

所以,△ AOB 面积的最大值为

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,利用直线方程和椭圆方程构造方程组,转化为根与 系数之间的关系是解决本题的关键.

第 32 页(共 57 页)

17. (2015?陕西模拟)已知 F1,F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆

上位于第一象限内的一点,

,若椭圆的离心率等于



(1)求直线 AO 的方程(O 为坐标原点) ; (2)直线 AO 交椭圆于点 B,若三角形 ABF2 的面积等于 4 ,求椭圆的方程. 【考点】椭圆的简单性质;直线的一般式方程;椭圆的标准方程. 【专题】计算题.
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【分析】 (1)根据椭圆的离心率 e=
2 2 2

,即 、

,可得

,因此设椭圆方程为

x +2y =a .再设点 A(x0,y0) ,因为向量

的数量积为 0,得到 AF2、F1F2 互相 ,得到 A 的坐标,从而 x;

垂直,所以 x0=c,将 A(c,y0) ,代入椭圆方程,化简可得 得到直线 AO 的斜率为

,最后根据直线 AO 过原点,得直线 AO 的方程为 y=

(2)连接 AF1,BF1,AF2,BF2,由椭圆的对称性可知:S△ ABF1=S△ ABF2=S△ AF1F2,可用 △ AF1F2 的面积列式,解之得 a =16,c = a =8,所以 b =a ﹣c =8,最终得到椭圆方程为
2 2 2 2 2 2

. 【解答】解: (1)∵ 又∵椭圆的离心率 e= = ∴ ,可得
2 2 2

,∴AF2⊥F1F2, , ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

设椭圆方程为 x +2y =a ,设 A(x0,y0) ,由 AF2⊥F1F2,得 x0=c ∴A(c,y0) ,代入椭圆方程,化简可得 ∴A( , ) ,可得直线 AO 的斜率 (舍负)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

因为直线 AO 过原点,故直线 AO 的方程为 y=

(2)连接 AF1,BF1,AF2,BF2, 由椭圆的对称性可知:S△ ABF1=S△ ABF2=S△ AF1F2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴S△ AF1F2= ×2c×yA=4 又∵ ,即 ac=4 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

第 33 页(共 57 页)



a =4
2 2 2

2

,解之得 a =16,c = a =8,

2

2

2

∴b =a ﹣c =8,故椭圆方程为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分)

【点评】 本题给出一个特殊的椭圆, 在已知其离心率的情况下求直线的方程和三角形的面积, 着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质,属于基础题.

18. (2015?四川)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率是

,点 P(0,1)在短

轴 CD 上,且

?

=﹣1

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 λ,使得 ? +λ ? 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】开放型;向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (Ⅰ)通过 e=



?

=﹣1,计算即得 a=2、b=

,进而可得结论;

(Ⅱ)分情况对直线 AB 斜率的存在性进行讨论:①当直线 AB 的斜率存在时,联立直线 AB 与椭圆方程,利用韦达定理计算可得当 λ=1 时 斜率不存在时, ? +λ ? =﹣3. ? +λ ? =﹣3;②当直线 AB 的

【解答】解: (Ⅰ)根据题意,可得 C(0,﹣b) ,D(0,b) , 又∵P(0,1) ,且 ? =﹣1,



,解得 a=2,b=



第 34 页(共 57 页)

∴椭圆 E 的方程为:

+

=1;

(Ⅱ)结论:存在常数 λ=1,使得

?



?

为定值﹣3.

理由如下: 对直线 AB 斜率的存在性进行讨论: ①当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立
2

,消去 y 并整理得: (1+2k )x +4kx﹣2=0,
2

2

2

∵△=(4k) +8(1+2k )>0, ∴x1+x2=﹣ 从而 ? +λ
2

,x1x2=﹣ ?



=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1﹣1) (y2﹣1)]

=(1+λ) (1+k )x1x2+k(x1+x2)+1 =

=﹣

﹣λ﹣2.

∴当 λ=1 时,﹣

﹣λ﹣2=﹣3,

此时

?



?

=﹣3 为定值;

②当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD, 此时 ? +λ ? = ? + +λ ? =﹣2﹣1=﹣3; 为定值﹣3.

故存在常数 λ=1,使得

【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能 力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想,注意解题方法的积 累,属于难题.

第 35 页(共 57 页)

19. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标

为(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜 率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵 坐标为 ,求 E 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【专题】创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (I) 由于点 M 在线段 AB 上, 满足|BM|=2|MA|, 即
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, 可得

. 利



,可得



(II)由(I)可得直线 AB 的方程为: 直线 AB 的对称点为 S 解得即可.

=1,利用中点坐标公式可得 N.设点 N 关于

,线段 NS 的中点 T,又 AB 垂直平分线段 NS,可得 b,

【解答】解: (I)∵点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,∴ ∵A(a,0) ,B(0,b) ,∴ ∵ ,∴ ,a= b. = .





=



(II)由(I)可得直线 AB 的方程为: 设点 N 关于直线 AB 的对称点为 S T ,

=1,N ,线段 NS 的中点



第 36 页(共 57 页)

又 AB 垂直平分线段 NS,∴

,解得 b=3,

∴a=3

. .

∴椭圆 E 的方程为:

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相 互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20. (2014?湖南)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分

别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2:



=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为

e2,已知 e1e2=

,且|F2F4|=

﹣1.

(Ⅰ)求 C1、C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

【考点】圆锥曲线的综合;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)由斜率公式写出 e1,e2,把双曲线的焦点用含有 a,b 的代数式表示,结合已 知条件列关于 a,b 的方程组求解 a,b 的值,则圆锥曲线方程可求; (Ⅱ)设出 AB 所在直线方程,和椭圆方程联立后得到关于 y 的一元二次方程,由根与系数 的关系得到 AB 中点 M 的坐标,并由椭圆的焦点弦公式求出 AB 的长度,写出 PQ 的方程, 和双曲线联立后解出 P,Q 的坐标,由点到直线的距离公式分别求出 P,Q 到 AB 的距离, 然后代入代入三角形面积公式得四边形 APBQ 的面积,再由关于 n 的函数的单调性求得最 值.
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第 37 页(共 57 页)

【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,

,且



∵e1e2= ∴ 解得:

,且|F2F4|=

﹣1.

,且 . ,双曲线 C2 的方程为



∴椭圆 C1 的方程为



(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 F1(﹣1,0) . ∵直线 AB 不垂直于 y 轴, ∴设 AB 的方程为 x=ny﹣1,
2 2

联立

,得(n +2)y ﹣2ny﹣1=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) , 则 则 , .

= ∵M 在直线 AB 上, ∴ .

=



直线 PQ 的方程为



联立

,得



解得
2

,代入 <n< .





由 2﹣n >0,得﹣

第 38 页(共 57 页)

∴P,Q 的坐标分别为



则 P,Q 到 AB 的距离分别为:



. ∵P,Q 在直线 A,B 的两端,





则四边形 APBQ 的面积 S= |AB|
2



∴当 n =0,即 n=0 时,四边形 APBQ 面积取得最小值 2. 【点评】本题考查圆锥曲线方程的求法,是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系 的综合题,考查了椭圆与双曲线的基本性质,关键是学生要有较强的运算能力,是压轴题. 21. (2015?崇明县一模)已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭 圆短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A,B 两点的直线 l:y=kx+m(k∈R) ,使得 成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设椭圆的顶点为 P,则 a=2c,又由 a﹣c=1,由 PF1=PF2=2 结合椭圆的定义可 2 2 2 得 2a,结合 b =a ﹣c 可求椭圆的方程;
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(2)存在直线 l,使得

成立.设直线 l 的方程为 y=kx+m,由

得(3+4k )x +8lmx+4m ﹣12=0.由此利用根的判别式和韦达定理结合已知

2

2

2

条件能求出实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)设椭圆的顶点为 P, 由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形, 可得 a=2c,
第 39 页(共 57 页)

又∵右焦点到右顶点的距离为 1. ∴a﹣c=1, 2 2 2 ∴a=2,c=1,b =a ﹣c =3 椭圆的方程为: , 成立.理由如下:

(2)解:存在直线 l,使得 设直线 l 的方程为 y=kx+m,
2 2 2


2

得(3+4k )x +8lmx+4m ﹣12=0.
2 2 2 2

△ =(8km) ﹣4(3+4k ) (4m ﹣12)>0,化简得 3+4k >m . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣ 若 即 ,x1x2= .

成立, ,等价于 =0.

所以 x1x2+y1y2=0. x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=0, 2 2 (1+k )x1x2+km(x1+x2)+m =0, (1+k )?
2 2 2

﹣km?
2

+m =0,
2

2

化简得 7m =12+12k .即 k = 代入 3+4k >m 中,3+4( 解得 m > . 又由 7m =12+12k ≥12,得 m ≥ 从而 m ≥ 解得 m≥
2 2 2 2 2 2 2

m ﹣1, m ﹣1)>m ,
2 2



, 或 m≤﹣ . ]∪[ ,+∞) .

所以实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣

第 40 页(共 57 页)

【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,考查满足条件的直线方程是否存在的判断,解题 时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地加以运用.

22. (2015?鄂州三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,的

离心率为

,且经过点(1,

) ,过椭圆的左顶点 A 作直线 l⊥x 轴,点 M 为直线 l 上的

动点(点 M 与点 A 在不重合) ,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于点 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:AP⊥OM; (3)试问 ? 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是,请说明理由.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.
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【分析】 (1)椭圆的离心率为

,且经过点(1,

) ,可得

,解得 a,c,b,

即可得出椭圆 C 的方程; (2)设直线 BM 的斜率为 k,直线 BM 的方程为:y=k(x﹣2) ,设 P(x1,y2) ,与椭圆方 2 2 2 2 程联立可得(2k +1)x ﹣4k x+8k ﹣4=0,解得 x1,x2.可得 P 坐标,由 y=k(x﹣2) ,令 x=﹣2,解得 M(﹣2,﹣4k) ,只要证明 (3)利用数量积运算即可得出 【解答】 (1)解:∵椭圆的离心率为 =0,即可得出 .

是否为定值. ,且经过点(1, ) ,

第 41 页(共 57 页)



,解得 a=2,c=

=b,

∴椭圆 C 的方程为



(2)证明:设直线 BM 的斜率为 k,直线 BM 的方程为:y=k(x﹣2) ,设 P(x1,y2) , 联立 ,化为(2k +1)x ﹣8k x+8k ﹣4=0,
2 2 2 2

解得 x1=

,x2=2.

∴y1=k(x1﹣2)=



∴P



由 y=k(x﹣2) ,令 x=﹣2,解得 y=﹣4k, ∴M(﹣2,﹣4k) , 又 = =(﹣2,﹣4k) , .



=

=0,





即 AP⊥OM. (3) = = =4.



=4 为定值.

【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交 点坐标、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

第 42 页(共 57 页)

23. (2015?江西一模)已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的

距离之和为 2

,离心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ ABO 的最大值为

直线 l 方程;若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)利用椭圆的定义求出 a,根据离心率,求出 c,可得 b,即可求椭圆的方程; (Ⅱ) (1)设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理、中点坐标 公式,可得 AB 的中点坐标,分类讨论,利用|MA|=|MB|,可得方程,即可求直线 l 斜率 k 的值; (2)分类讨论,求出 S△ ABO,即可得出结论.
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【解答】解: (Ⅰ) ∵
2 2 2

,∴ ,

…(1 分)

,∴

∴b =a ﹣c =2﹣1=1…(2 分) 椭圆的标准方程为 …(3 分)

(Ⅱ)已知 F2(1,0) ,设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1)B(x2,y2) 联立直线与椭圆方程 ,化简得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0
2 2 2 2





…(4 分)

∴AB 的中点坐标为 (1)k=0 时,不满足条件;

…(5 分)

当 k≠0 时,∵|MA|=|MB|,∴



第 43 页(共 57 页)

整理得 2k ﹣3k+1=0,解得 k=1 或

2

…(7 分) ,S△ ABO= ,

(2)k=0 时,直线方程为 x=1,代入椭圆方程,此时 y=±

k≠0 时,S△ ABO= |y1﹣y2|=| |

=

?

∵k∈R,k≠0,∴ 综上,

,∴

∴满足题意的直线存在,方程为 x=1.…(14 分) 【点评】本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学 生分析解决问题的能力,有难度.

24. (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,且点(

, )在椭圆 C 上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

与 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)求△ ABQ 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
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【分析】 (Ⅰ)通过将点点( 结论;

, )代入椭圆 C 方程,结合 =

及 a ﹣c =b ,计算即得

2

2

2

(Ⅱ)通过(I)知椭圆 E 的方程为:

+

=1. (i)通过设 P(x0,y0) 、

=λ 可得 Q

(﹣λx0,﹣λy0) ,利用

+

=1 及

+

=1,计算即可; (ii)

设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,分别将 y=kx+m 代入椭圆 E、椭圆 C 的方程,利用根的判别 式△ >0、韦达定理、三角形面积公式及换元法,计算即可.
第 44 页(共 57 页)

【解答】解: (Ⅰ)∵点( ∴ ∵ =
2

, )在椭圆 C 上,

,① ,a ﹣c =b ,
2 2



= ,②
2 2

联立①②,解得:a =4,b =1, ∴椭圆 C 的方程为: +y =1;
2

(Ⅱ)由(I)知椭圆 E 的方程为: (i)设 P(x0,y0) , =λ,

+

=1.

由题意可得 Q(﹣λx0,﹣λy0) , ∵ + =1,及 =2; + =1,即 ( + )=1,

∴λ=2,即

(ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 2 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣16=0, 2 2 由△ >0,可得 m <4+16k , 由勾股定理,可得 x1+x2=﹣ ,x1?x2= ,

∴|x1﹣x2|=



∵直线 y=kx+m 交 y 轴于点(0,m) , ∴S△ OAB= |m|?|x1﹣x2|

= |m|?

=

第 45 页(共 57 页)

=2



设 t=

,将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,
2 2 2

可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0, 2 2 由△ ≥0,可得 m ≤1+4k , 2 2 又∵m <4+16k , ∴0<t≤1, ∴S=2 =2
2 2

= ≤2



当且仅当 t=1,即 m =1+4k 时取得最大值 2 , 由(i)知 S△ ABQ=3S, ∴△ABQ 面积的最大值为 6 . 【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题,考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面 积问题, 考查计算能力, 利用韦达定理是解决本题的关键, 注意解题方法的积累, 属于难题. 25. (2015?南市区校级模拟)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣ 且经过点( , ) . ,0) , ( ,0) ,并

(1)求椭圆的标准方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 经过点(0,﹣2) ,且与椭圆交于不同的两点 A、B,求△ OAB 面 积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程,在求 a 时利用椭圆的定义比较简单; (2)利用弦长公式先求出|AB|,然后利用面积公式构建关于斜率 k 的函数,通过换元法利 用基本不等求△ OAB 面积的最大值.
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【解答】解: (1)设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义可得



. ∴ ,又 ∴b=1, ,

故椭圆的标准方程为



(2)设直线 l 的方程为 y=kx﹣2,
第 46 页(共 57 页)



,得(1+3k )x ﹣12kx+9=0,
2

2

2

依题意△ =36k ﹣36>0, 2 ∴k >1(*) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,





由点到直线的距离公式得







设 ∴

, ,

当且仅当

时,上式取等号, .

所以,△ OAB 面积的最大值为

【点评】第(1)问用待定系数法求椭圆的方程时,也可以把点代入方程求解,但这种方法 计算量大;第(2)问得到的面积表达式比较复杂,当函数表达式比较复杂时,考虑用换元 法转化成简单函数,但要注意转化后函数的定义域.

26. (2013?黑龙江)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

(a>b>0)右焦点的

直线 x+y﹣

=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .

(Ⅰ)求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的 最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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第 47 页(共 57 页)

【分析】 (Ⅰ)把右焦点(c,0)代入直线可解得 c.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 2 2 2 的中点 P(x0,y0) ,利用“点差法”即可得到 a,b 的关系式,再与 a =b +c 联立即可得到 a, b,c. (Ⅱ)由 CD⊥AB,可设直线 CD 的方程为 y=x+t,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系, 即可得到弦长|CD|.把直线 x+y﹣ =0 与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,即可得到 弦长|AB|,利用 S 四边形 ACBD= 即可得到关于 t 的表达式,利用二次函数的单调

性即可得到其最大值. 【解答】解: (Ⅰ)把右焦点(c,0)代入直线 x+y﹣ =0 得 c+0﹣ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点 P(x0,y0) , 则 , ,相减得 ,

=0,解得 c=







∴ ∴
2 2

,又 ,即 a =2b .

=



联立得

,解得



∴M 的方程为



(Ⅱ)∵CD⊥AB,∴可设直线 CD 的方程为 y=x+t,
2 2

联立

,消去 y 得到 3x +4tx+2t ﹣6=0,

∵直线 CD 与椭圆有两个不同的交点, ∴△=16t ﹣12(2t ﹣6)=72﹣8t >0,解﹣3<t<3(*) . 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,∴ , .
2 2 2

第 48 页(共 57 页)

∴|CD|=

=

=



联立

得到 3x ﹣4

2

x=0,解得 x=0 或



∴交点为 A(0,

) ,B



∴|AB|=

=



∴S 四边形 ACBD=

=

= ,满足(*) .



∴当且仅当 t=0 时,四边形 ACBD 面积的最大值为 ∴四边形 ACBD 面积的最大值为 .

【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线 与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、 弦长公式、 四边形的面 积计算、 二次函数的单调性等基础知识, 考查了推理能力、 数形结合的思想方法、 计算能力、 分析问题和解决问题的能力. 27. (2015?惠州模拟)已知直线 y=﹣2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动 点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方 程. 【考点】抛物线的标准方程;直线的一般式方程. 【专题】计算题.
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【分析】 (1)先设 P 点坐标,进而得出 Q 点坐标,再根据 OP⊥OQ?kOP?kOQ=﹣1,求出曲 线方程; (2)设出直线直线 l2 的方程,然后与曲线方程联立,由于直线 l2 与曲线 C 相切,得出二次 函数有两个相等实根,求出 ,再由点到直线距离公式表示出 d,根据 a+b≥2 ,

求得 b 的值,即可得到直线方程. 【解答】解: (1)设点 P 的坐标为(x,y) ,则点 Q 的坐标为(x,﹣2) . ∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=﹣1. 当 x≠0 时,得
2

,化简得 x =2y. (2 分)

2

当 x=0 时,P、O、Q 三点共线,不符合题意,故 x≠0. ∴曲线 C 的方程为 x =2y(x≠0) . (4 分) (2)∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y=kx+b, (5 分) 由 得 x ﹣2kx﹣2b=0.
2

∵直线 l2 与曲线 C 相切, ∴△=4k +8b=0,即 点(0,2)到直线 l2 的距离
2

. (6 分) = (7 分)= (8

分)

(9 分)=

. (10 分)

当且仅当

,即

时,等号成立.此时 b=﹣1. (12 分)

∴直线 l2 的方程为 或 . (14 分) 【点评】本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数,对于(2)问关键是利 用了 a+b≥2 ,求出 b 的值.属于中档题.

28. (2015?济宁二模)如图,已知椭圆 C:
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,以椭圆 C

的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S, O 为坐标原点,求证:|OR|?|OS|为定值.
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【考点】直线与圆锥曲线的关系;圆的标准方程;椭圆的标准方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)依题意,得 a=2,

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,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2)法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) ,设 y1>0.由于 点 M 在椭圆 C 上,故 .由 T(﹣2,0) ,知 = , 由此能求出圆 T 的方

程. 法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) ,设 sinθ>0, 由 T(﹣2,0) ,得 = ,由此能求出圆 T 的方程. (3)法一:设 P(x0,y0) ,则直线 MP 的方程为: ,令 y=0,



, 同理:

, … (10 分) 故



由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值. 法二: 设M (2cosθ, sinθ) , N (2cosθ, ﹣sinθ) , 设 sinθ>0, P (2cosα, sinα) , 其中 sinα≠±sinθ. 则 直线 MP 的方程为: |OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值. 【解答】解: (1)依题意,得 a=2, ∴c= ,b= =1, .…(3 分) , ,由此能够证明

故椭圆 C 的方程为

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) ,不妨设 y1>0.
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由于点 M 在椭圆 C 上,所以 由已知 T(﹣2,0) ,则 ∴ =(x1+2) ﹣
2

. ,

(*)

…(4 分) ,

= = 由于﹣2<x1<2, 故当 由(*)式, 时, ,故 取得最小值为 , . .…(8 分) . .…(6 分)

又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为:

方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 故设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) , 不妨设 sinθ>0,由已知 T(﹣2,0) , 则 =(2cosθ+2) ﹣sin θ 2 =5cos θ+8cosθ+3 = 故当 此时 时, , . . …(8 分) .…(6 分) 取得最小值为 ,
2 2

又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为: (3)方法一:设 P(x0,y0) ,

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则直线 MP 的方程为:



令 y=0,得



同理:

,…(10 分)

故 又点 M 与点 P 在椭圆上, 故 代入(**)式, 得: ,

(**) …(11 分)

,…(12 分)

. …(14 分)

所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值. 方法二:设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) , 不妨设 sinθ>0,P(2cosα,sinα) ,其中 sinα≠±sinθ. 则直线 MP 的方程为: 令 y=0,得 同理: ,



,…(12 分)





所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值.…(14 分) 【点评】本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、推理 论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.

29. (2012?浙江)如图,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,

1)的距离为 ,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平 分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ APB 面积取最大值时直线 l 的方程.
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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)由题意,根据离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为

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,建立方程,

即可求得椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 M,当 AB⊥x 轴时,直线 AB 的方 程为 x=0,与不过原点的条件不符,故设 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0)由 ,消

元再利用韦达定理求得线段 AB 的中点 M,根据 M 在直线 OP 上,可求|AB|,P 到直线 AB 的距离,即可求得△ APB 面积,从而问题得解.

【解答】解: (Ⅰ)由题意

,解得:



∴所求椭圆 C 的方程为:



(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 M 当 AB⊥x 轴时, 直线 AB 的方程为 x=0, 与不过原点的条件不符, 故设 AB 的方程为 y=kx+m (m≠0)
2 2 2



,消元可得(3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0①

∴ ∴线段 AB 的中点 M



∵M 在直线 OP 上,∴ ∴k=﹣
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故①变为 3x ﹣3mx+m ﹣3=0,又直线与椭圆相交, ∴△>0,x1+x2=m, ∴|AB|= P 到直线 AB 的距离 d= ∴△APB 面积 S=
2 2

2

2

(m∈(﹣2

,0)

令u (m) = (12﹣m ) (m﹣4), 则 ∴m=1﹣ ,u(m)取到最大值 ∴m=1﹣ 时,S 取到最大值 综上,所求直线的方程为: 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算, 考查导数知识的运用,属于中档题.

30. (2014?卢湾区校级模拟)已知椭圆 象限内的一点,并满足

的两焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆在第一

,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA,PB 分别交椭圆于

A,B 两点. (Ⅰ)求 P 点坐标; (Ⅱ)当直线 PA 经过点(1, )时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)求证直线 AB 的斜率为定值. 【考点】椭圆的简单性质;直线的斜率;直线的一般式方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

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【分析】 (I)设 P( (x,y) ,由题意可得



解得即可; (II)由向量计算公式可得 kPA+kPB=0,解得 kPB=1. 因此直线 PA,PB,的方程分别为 , ,分别与椭圆方程 联立即可解得点 A,B 的坐标,再利用斜率计算公式可得斜率,利用点斜式即可得出方程; ,两条直线 PA,PB 倾斜角互补,可得

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(III)S 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .设直线 PA 的方程为: ,则直线 PB 的方程为 .分别与椭圆方程联立即可解得点 A,B 的坐标,再利 用斜率计算公式即可得出直线 AB 的斜率为定值. 【解答】解: (I)由椭圆 . 可得 c= ,∴两焦点分别为 ,

设 P( (x,y) ,由题意可得

,解得



∴P (II)∵

. ,两条直线 PA,PB 倾斜角互补,

∴kPA+kPB=0,解得 kPB=1. 因此直线 PA,PB,的方程分别为 化为 , , . ,

联立

, 解得

(舍去) ,

, 即A



同理解得 B



∴kAB=

=

,∴直线 AB 的方程为

,化为 (III)S 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 设直线 PA 的方程为: 联立 ,解得 A



,则直线 PB 的方程为 .



同理 B



∴kAB=

=


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即直线 AB 的斜率为定值



【点评】 熟练则直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到关于一个未知数的一元二次方程问 题、斜率公式、两条直线 PA,PB 倾斜角互补?kPA+kPB=0 等是解题的关键.

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