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山东省枣庄六中2014-2015学年高一下学期期初数学试卷



山东省枣庄六中 2014-2015 学年高一下学期期初数学试卷
一、选择题(5×10=50 分) 1. A. =() B. C. D.

2.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则 f(x)的解析式为()

A.f(x)= sin x+1 C. f(x)= sin +1

>B. f(x)=sin x+ D.f(x)=sin +

3. 已知函数 ( f x) =cosωx (x∈R, ω>0) 的最小正周期为 π, 为了得到函数 g (x) =sin (ωx+ 的图象,只要将 y=f(x)的图象() A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度 B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度



4.设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 的值为()

A.

B.

C.

D.

5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期 其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是()

,直线 x=



A.y=4sin(4x+ C. y=2sin(4x+

) )+2

B. y=2sin(4x+ D.y=2sin(2x+

)+2 )+2

6.若 为任一非零向量, 为长度为 1 的向量,下列各式正确的是() A.| |>| | B. ∥ C.| |>0 D.| |=±1

7.四边形 OABC 中, A. B.

,若

, C.

,则

=() D.

8.在矩形 ABCD 中,| A.4

|=4

,设

= ,

= , C. 8

= ,则| + + |=() D.2

B.

9.如图,E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 各边中点,若| 形 EFGH 必是()

+

|=|

+

|,则四边

A.正方形

B.梯形

C.菱形

D.矩形

10. 知向量 、 、 中任意二个都不共线, 但 + 与 共线, 且 + 与 共线, 则向量 + + = () A. B. C. D.

二、填空题(5×5=25 分) 11.函数 f(x)=3sin(﹣2x+ )的单调递增区间为.

12.已知 P 是△ ABC 内一点,且满足 依次为 S1、S2、S3,则 S1:S2:S3.

=0,记△ ABP、△ BCP、△ ACP 的面积

13.设 G 为△ ABC 的重心,若△ ABC 所在平面内一点 P 满足 值等于.

+2

= ,则



14.设



是不共线的二个向量, =2

+

, =k

+3

,且 、 可作为平面向量

的基底,则实数 k 的取值范围是. 15.函数 y=sin(πx+φ) (φ>0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图 象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=.

三、解答题(12 分+12 分+12 分+12 分+13 分+14 分=75 分) 16.将函数 y=sin(6x+ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移 个单

位,得到函数 f(x) . (1)写出 f(x)的解析式 (2)求 f(x)的对称中心.

17. 如图, 在△ ABC 中, G 为中线 AM 的中点, O 为△ ABC 外一点, 若 求 (用 、 、 表示)







18.设



是二个不共线向量,知

=2

﹣8



=

+3



=2





(1)证明:A、B、D 三点共线

(2)若

=3

﹣k

,且 B、D、F 三点共线,求 k 的值.

19.已知函数 f(x)=2

sin( +

)?cos( +

)﹣sin(π+x) .

(1)求 f(x)的最小正周期. (2)若将 f(x)的图象向右平移 间[0,π]上的值域. 20.已知 (1)求 cosα 的值; (2)若 , ,求 cosβ 的值. ,且 , 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区

21.若点 M 是△ ABC 所在平面内一点,且满足: (1)求△ ABM 与△ ABC 的面积之比. (2)若 N 为 AB 中点,AM 与 CN 交于点 O,设

=

+



=x

+y

,求 x,y 的值.

山东省枣庄六中 2014-2015 学年高一下学期期初数学试 卷
一、选择题(5×10=50 分) 1. A. =() B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,计算即可得到结果. 解答: 解:sin π=sin(4π+ )=sin = .

故选 A 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

2.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则 f(x)的解析式为()

A.f(x)= sin x+1 C. f(x)= sin +1

B. f(x)=sin x+ D.f(x)=sin +

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象可求得 A,最小正周期 T=4 可求得 ω,再 由 0×?+φ=0 可求得 φ, =b 可求得 b,从而可求得 f(x)的解析式. = ,

解答: 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象可知,A= b= =1, ,

又最小正周期 T=4= ∴ω= ;

又 0×?+φ=0, ∴φ=0. ∴f(x)的解析式为:f(x)= sin +1.

故选 C. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,确定 A,ω,φ,b 是关键, 属于中档题. 3. 已知函数 ( f x) =cosωx (x∈R, ω>0) 的最小正周期为 π, 为了得到函数 g (x) =sin (ωx+ 的图象,只要将 y=f(x)的图象() A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度 B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度



考点: 专题: 分析: 解答:

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 三角函数的图像与性质. 根据最小正周期为 π,可以求出 ω 的值,然后再利用图象平移求解. 解:∵函数 f(x)=cosωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,

∴由

得 ω=2, )

∴函数 f(x)=cos2x,g(x)=sin(2x+ ∴要得到函数 g(x)=sin(2x+ 由于 sin(2x+ 即可, ∴需要把函数 f(x)=cos2x 图象向右平移 )=cos(2x+

)的图象, ﹣ )=cos(2x﹣ ) ,得到函数 g(x)=cos(2x﹣ )

个单位长度,

故选 B. 点评: 本题考查了余弦型函数的性质、 诱导公式及图象变换, 关键是用诱导公式把两个函 数的名称化成一致的. 4.设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题. 分析: 通过函数的图象, 利用 KL 以及∠KML=90°求出求出 A, 然后函数的周期, 确定 ω, 利用函数是偶函数求出 φ,即可求解 f(16)的值. 解答: 解:因为 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1, 所以 A= ,T=2,因为 T= ,所以 ω=π, , ) ,

函数是偶函数,0<φ<π,所以 φ=

∴函数的解析式为:f(x)= sin(πx+ 所以 故选 D. = sin( + )= .

点评: 本题考查函数的解析式的求法, 函数奇偶性的应用, 考查学生识图能力、 计算能力.

5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期 其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是() A.y=4sin(4x+ C. y=2sin(4x+ ) )+2 B. y=2sin(4x+ D.y=2sin(2x+ )+2 )+2

,直线 x=



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数 y=Asin (ωx+φ) +m 的最大值是 4, 最小值是 0 联立方程组求解 A, m 的值, 再由函数周期求得 ω 值,最后验证 B,C 得答案. 解答: 解:∵函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值是 4,最小值是 0, 则 ,解得 . ,

又函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最小正周期 ∴ ,|ω|=4.

结合选项可知函数解析式为 y=2sin(4x+φ)+2. 又直线 x= 是其图象的一条对称轴, )+2 符合,即 φ= . )+2.

经验证 y=2sin(4x+

∴适合题目中条件的解析式是 y=2sin(4x+

故选:B. 点评: 本题考查了由函数的部分图象求函数的解析式,训练了验证法,是中档题.

6.若 为任一非零向量, 为长度为 1 的向量,下列各式正确的是() A.| |>| | B. ∥ C.| |>0 D.| |=±1

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的定义,判定每个命题是否正确,从而得出答案

解答: 解∵若 为任一非零向量, 为长度为 1 的向量, ∴A 选项错误,不能知道是否平行,B 错误,模式大于 0 的数,D 错误,非零向量的模一定 大于 0,C 正确, 故选 C. 点评: 本题考查了平面向量的基本定义,是基础题

7.四边形 OABC 中, A. B.

,若

, C.

,则

=() D.

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的基本运算以及向量的基本定理进行化简即可. 解答: 解:∵ ∴ 即 则 ﹣ = = = + , , = ﹣ = , ,

故选:D 点评: 本题主要考查向量的基本运算,比较基础.

8.在矩形 ABCD 中,| A.4

|=4

,设

= ,

= , C. 8

= ,则| + + |=() D.2

B.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 根据向量加法减法的几何意义,得出 = 解答: 解:由已知, = ,∴| + + |=|2 |=2| ,从而| + + |=|2 |. |=8 ,

故选:C. 点评: 本题考查向量加法减法的几何意义,模的计算,属于基础题.

9.如图,E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 各边中点,若| 形 EFGH 必是()

+

|=|

+

|,则四边

A.正方形

B.梯形

C.菱形

D.矩形

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的平行四边形法则可得 四边形的判定定理和菱形的判定定理即可得出. 解答: 解:如图所示,连接 AC,BD. ∵| + |=| + |,∴ . . 再利用三角形的中位线定理和平行

∵E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 各边中点, ∴ ∴ , . ,

∴四边形 EFGM 是平行四边形. 又 ,

∴EM=EF. ∴四边形 EFGM 是菱形. 故选:C.

点评: 本题考查了向量的平行四边形法则、 三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理 和菱形的判定定理等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力,属于中档题.

10. 知向量 、 、 中任意二个都不共线, 但 + 与 共线, 且 + 与 共线, 则向量 + + = () A. B. C. D.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 + 与 共线,且 + 与 共线,得到 得到(1+λ) =(1+μ) 再由 不共线可得 λ=﹣1,代入 求得 + + . , ,两式作差整理后

解答: 解:∵ + 与 共线, + 与 共线, ∴ 两式相减得 ∵向量 不共线, , , ,移项得(1+λ) =(1+μ) .

∴只有 1+λ=0,1+μ=0. 即 λ=﹣1,μ=﹣1. 也就是 即 + + = . 故选:D. 点评: 本题考查了平行向量与共线向量,考查了共线向量基本定理,是基础题. 二、填空题(5×5=25 分) 11.函数 f(x)=3sin(﹣2x+ )的单调递增区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈z. .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 本题即求函数 y=3sin(2x﹣ 求得 x 的范围,即可得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=3sin(﹣2x+ ∴函数 f(x)=3sin(﹣2x+ 令 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ )=﹣3sin(2x﹣ ) , )的减区间. )的减区间,令 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,

)的单调递增区间即函数 y=3sin(2x﹣ ,k∈z,求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈z.

故函数 y=3sin(2x﹣ 故答案为:[kπ+

)的减区间为[kπ+ ],k∈z.

,kπ+

],k∈z,

,kπ+

点评: 本题主要考查正弦函数的增减区间,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.

12.已知 P 是△ ABC 内一点,且满足 依次为 S1、S2、S3,则 S1:S2:S33:1:2. 考点: 平行向量与共线向量. 专题: 数形结合. 分析: 有已知的等式变形可得∴ =﹣6 ,

=0,记△ ABP、△ BCP、△ ACP 的面积

=﹣

,P 到 BC 的距离等于 A 到 BC

的距离的 ,P 到 AC 的距离等于 B 到 AC 的距离的 .从而,S2 = S,S3 = S,S1 =S﹣S2 ﹣S3 = S,从而求得 S1:S2:S3 的值. 解答: 解:如图:设 D、E 分别为 BC、AC 的中点, ∵ ∴ =﹣3×2 + =0,∴ = ﹣6 , + ) ,即 2 =﹣2× , ﹣ =﹣3( + ) ,

同理由( ∴ =﹣

)=﹣2(

.∴P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 ,

设△ ABC 的面积为 S,则 S2 = S. P 到 AC 的距离等于 B 到 AC 的距离的 , ∴S3 = S.∴S1 =S﹣S2﹣S3 = S. ∴S1:S2:S3 = S: S: S=3:1:2, 故答案为:3:1:2.

点评: 本题考查共线向量的意义, 两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比, 体现 了数形结合的数学思想.

13.设 G 为△ ABC 的重心,若△ ABC 所在平面内一点 P 满足 值等于 2. 考点: 向量的共线定理. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的基本运算将条件足 长度确定比值即可. 解答: 解:由足 设 BC 的中点为 M,则 所以 ,所以 +2 = ,得 , , +2

+2

= ,则



= ,化简转化为共线关系,然后根据



又因为 G 为△ ABC 的重心, 所以 G 为 PA 的中点, 所以 =2.

故答案为:2.

点评: 本题主要考查向量的共线定理的应用,属于中档题.

14.设



是不共线的二个向量, =2

+

, =k

+3

,且 、 可作为平面向量

的基底,则实数 k 的取值范围是 k∈R 且 k≠6. 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先由共线向量定理求出 k,再从实数集去掉求出的 k 值即可得出. 解答: 解:若 、 共线,则存在实数 λ 使得 ∴2 ∵ + , =λ(k +3 )= , ,

是不共线的二个向量,



,解得 k=6.

∵ 、 可作为平面向量的基底, ∴k≠6 且 k∈R. 故答案为:k≠6 且 k∈R. 点评: 本题考查了向量共线定理、 共面向量基本定理、 平面向量的基底, 考查了推理能力, 属于基础题. 15.函数 y=sin(πx+φ) (φ>0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图 象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=8.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出函数的周期,与最值,过 p 作 PD⊥x 轴于 D,解出∠APD 与∠BPD 的 正切,利用两角和的正切函数求出 tan∠APB. 解答: 解:由题意可知 T= ,最大值为:1;过 p 作 PD⊥x 轴于 D,AD= ,DB= ,

DP=1,所以 tan∠APD= 与 tan∠BPD= ,

所以 tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)=

=8.

故答案为 8. 点评: 本题是中档题,考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用,题目新,考 查理解能力计算能力. 三、解答题(12 分+12 分+12 分+12 分+13 分+14 分=75 分) 16.将函数 y=sin(6x+ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移 个单

位,得到函数 f(x) . (1)写出 f(x)的解析式 (2)求 f(x)的对称中心. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.

(2)根据正弦函数的图象的对称性,求出 f(x)的对称中心. 解答: 解: (1)将函数 y=sin(6x+ 函数 y=sin(2x+ 再向右平移 )的图象, )+ ]=sin2x 的图象. )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,可得

个单位,可得 f(x)=sin[2(x﹣

(2)令 2x=kπ,k∈z,求得 x= π,k∈z, ∴函数 f(x)的对称中心 .

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性, 属于中档题.

17. 如图, 在△ ABC 中, G 为中线 AM 的中点, O 为△ ABC 外一点, 若 求 (用 、 、 表示)







考点: 专题: 分析: 解答: ∴

平面向量的基本定理及其意义;向量加减混合运算及其几何意义. 平面向量及应用. 利用向量的三角形法则、平行四边形法则、共线定理即可得出. 解:∵G 为中线 AM 的中点, . .

∵M 为 BC 的中点,∴ ∴ = = = = . =

点评: 本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、共线定理,考查了推理能力和计 算能力,属于基础题.

18.设



是二个不共线向量,知

=2

﹣8



=

+3



=2





(1)证明:A、B、D 三点共线 (2)若 =3 ﹣k ,且 B、D、F 三点共线,求 k 的值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)先求出 ,只要证明存在实数 λ 使得 即可;

(2)利用向量共线定理即可得出. 解答: (1)证明: , ∵ 与 有公共点,

∴A、B、D 三点共线 (2)解:∵B、D、F 三点共线, ∴存在实数 λ,使 ∴ ∴ , ,

又∵

不共线,∴



解得 λ=3,k=12. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题.

19.已知函数 f(x)=2

sin( +

)?cos( +

)﹣sin(π+x) .

(1)求 f(x)的最小正周期. (2)若将 f(x)的图象向右平移 间[0,π]上的值域. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区

分析: (1)先利用辅助角公式化简函数,再求 f(x)的最小正周期. (2)确定 解答: 解:由题设可得 (1)函数最小正周期为 2π; (2)将 f(x)的图象向右平移 ∵0≤x≤π, ∴ , 个单位,得到 . ,再求函数 g(x)在区间[0,π]上的值域. =

∴g(x)值域为[﹣1,2]. 点评: 本题考查三角函数的恒等变换、 三角函数的周期及其求法、 三角函数的图象变换等 知识,熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键.

20.已知 (1)求 cosα 的值; (2)若

,且





,求 cosβ 的值.

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把已知条件平方可得 sinα= ,再由已知 (2)由条件可得﹣ <α﹣β< ,可得 cosα 的值.

,cos(α﹣β)= ,再根据 cosβ=cos(﹣β)=cos[(α﹣β )

﹣α],利用两角 和差的余弦公式,运算求得结果. 解答: 解: (1)由 再由已知 (2)∵ = . ∴cosβ=cos(﹣β)=cos[(α﹣β )﹣α]=cos(α﹣β)cosα+sin(α﹣β)sinα = + =﹣ . ,可得 α= , ,平方可得 1+sinα= ,解得 sinα= . ,∴cosα=﹣ . <α﹣β< ,cos(α﹣β)

,∴﹣

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系, 二倍角公式、 两角和差的余弦公式的应用, 属于中档题.

21.若点 M 是△ ABC 所在平面内一点,且满足: (1)求△ ABM 与△ ABC 的面积之比. (2)若 N 为 AB 中点,AM 与 CN 交于点 O,设

=

+



=x

+y

,求 x,y 的值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由 (2)由 解答: 解(1)由 如图令 = , = ,可知 M、B、C 三点共线.可得 , ,即可得出;

,利用共线向量定理可得.

,可知 M、B、C 三点共线.



,即面积之比为 1:4.

(2)由 ,



由 O、M、A 三点共线及 O、N、C 三点共线

点评: 本题查克拉向量共线定理和共面向量定理、 三角形的面积之比, 考查了推理能力和 计算能力,属于基础题.



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