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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理单元综合测试 北师大版选修2-3


【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 第一章 计数原理单元综合测 试 北师大版选修 2-3
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.如图,从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会,创美好未来”的不同读法 种数是( ) 构 建 建 和 和 和

谐 谐 谐 谐 社 社 社 社 社

会 会 会 会 会 会 创 创 创 创 创

美 美 美 美 好 好 好

未 未 来 A.250 C.252 [答案] C [解析] 要组成题设中的句子,则每行读一字,不能跳读.每一种读法须 10 步完成(从 上一个字到下一个字为一步),其中 5 步是从左上角到右下角方向读的,故共有不同读法 C10 =252 种. 2. 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班, 每天安排 2 人, 每人值班 1 天,若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法共有( A.30 种 C.42 种 [答案] C [解析] 本题考查排列组合的基本知识,涉及分类,分步计算原理、特殊元素、特殊位 置. 甲在 16 日,有 C4C4=24 种;甲在 15 日,乙在 15 日有 C4=6 种. 甲在 15 日,乙在 14 日时有 C4C3=12 种,所以总共 24+6+12=42,
1
1 1 1 2 2 5

B.240 D.300

)

B.36 种 D.48 种

故选 C. 3.(1+x) 的展开式中 x 的系数是( A.42 C.28 [答案] D [解析] 展开式中第 r+1 项为 Tr+1=C7x ,T3=C7x ,∴x 的系数为 C7=21,此题误认为
r r
2 2 2 2 7 2

) B.35 D.21

Tr+1 为第 r 项,导致失分.
4.A、B、C、D、E 五人并排站成一排,如果 A、B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同 的排法种数有( A.60 种 C.36 种 [答案] D [解析] 把 A,B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列,A4= 24 种. 5.设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( A.5 C.7 [答案] B [解析] a=c2m=
m
2m 2m+1 4

) B.48 种 D.24 种

展开式的二

) B.6 D.8

2m?2m-1???m+1? , m!

b=cm 2m+1=

?2m+1?·2m??m+2? , m!

又∵13a=7b,∴13(m+1)=7(2m+1), ∴m=6. 6.如图,一圆形花圃内有 5 块区域,现有 4 种不同颜色的花.从 4 种花中选出若干种植 入花圃中,要求相邻两区域不同色,种法有( )

A.324 种 C.244 种 [答案] D

B.216 种 D.240 种

[解析] 若 1、4 同色,共有 C4×3×3×2=72(种).若 1、4 不同色(里面分 2 与 4 同色

1

2

不同色),共有 A4×2×(1×3+2×2)=168(种).所以一共有 168+72=240(种). 7.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家, 若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3×3! C.(3!)
4

2

)

B.3×(3!) D.9!

3

[答案] C [解析] 本题考查捆绑法排列问题. 由于一家人坐在一起,可以将一家三口人看作一个整体,一家人坐法 3! , 三个家庭即(3!) ,三个家庭又可全排列,因此(3!) 注意排列中在一起可用捆绑法,即相邻问题. 8.(x y-y x) 的展示式中 x y 的系数为( A.4 C.6 [答案] C [解析] 本题考查二项展开式的通项公式,以及二项展开式中项的系数. (x y-y x) 的展开式中的第(r+1)项
r 4-r r Tr+1=Cr (y x) 4(-1) (x y)
4 4 3 3 3 4

)

B.5 D.8

=C4(-1) x4- y2+ 2 2 令 4- =3 得 r=2 2 ∴展开式中 x y 的系数为 C4(-1) =6. 9.已知碳元素有 3 种同位素 C、 C、 C,氧元素也有 3 种同位素 O、 O、 O,则不 同的原子构成的 CO2 分子有( A.9 种 C.54 种 [答案] B [解析] 先选碳原子,再选第一个氧原子,最后选第二个氧原子.根据乘法原理所以 N =C3·C3·C3=27 种. 10.(2014·福建理,10)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原 理, 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b +ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示 把红球和蓝球都取出来. 依此类推, 下列各式中, 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、 5 个有区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的 所有取法的是( )
1 1 1 12 13 14 16 17 18 3 3 2 2

r

r

r

r

r

) B.27 种 D.81 种

3

A.(1+a+a +a +a +a )(1+b )(1+c)
5 2 3 4 5

2

3

4

5

5

5

B.(1+a )(1+b+b +b +b +b )(1+c)
5 2 3 4 5 5

5

C.(1+a) (1+b+b +b +b +b )(1+c ) D.(1+a )(1+b) (1+c+c +c +c +c ) [答案] A [解析] 从 5 个无区别的红球中取出若干个球的所有情况为 1+a+a +a +a +a , 从5 个有区别的黑球中取出若干个球的所有情况为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c), 而所有蓝 球都取出或都不取出有 1+b 种情况,故选 A. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若(x+
5 2 3 4 5 5 5 2 3 4 5

a
3

) 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a=________.

8

4

x

[答案]

1 2
r r

[解析] 由 Tr+1=C8·x (

a
3

)

8-r

4r-8 8-r r =C8·x ·a . 3

x



4r-8 4 5 3 =4,∴r=5,则 x 的系数为 C8a =7. 3

1 解之得 a= . 2 12.若(x-2) =a5x +a4x +a3x +a2x +a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=________(用数 字作答). [答案] 31 [解析] 已知(x-2) =a5x +a4x +a3x +a2x +a1x+a0, 令 x=1,得(1-2) =a5+a4+a3+a2+a1+a0=-1, 令 x=0,得(0-2) =a0=-32, 所以 a1+a2+a3+a4+a5=31. 13.一直线和圆相离,这条直线上有 6 个点,圆周上有 4 个点,通过任意两点作直线, 最少可作直线的条数是________. [答案] 19 [解析] 为了作的直线条数最少, 应出现 3 点或更多点共线的情况, 由于直线与圆相离, 应让圆上任意两点都与直线上的一点共线.圆周上有 4 点能连成 C4=6 条直线,而直线上恰 有 6 个点,故这 10 个点中最多有 6 个三点共线和 1 个六点共线的情况,因此最少可作直线 C10-6C3-C6+6+1=19(条). 14.某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1、a2、a3、a4、a5,4 种退烧药 b1、b2、b3、b4,现
2 2 2 2 5 5 5 5 4 3 2 5 5 4 3 2

4

从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知 a1、a2 两种药必须同时使 用,且 a3、b4 两种药不能同时使用,则不同的实验方案有________种. [答案] 14 [解析] 当 a1,a2 两种药同时使用时,只要选一种退烧药即可,有 4 种实验方案;当取 消炎药 a3 时,另一消炎药的选取有 2 种可能,退烧药的选取有 3 种可能,有 2×3=6 种实 验方案;当取消炎药 a4、a5 时,只要选一种退烧药即可,有 4 种实验方案;相加即可. 15.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要 求首尾必须播放公益广告,则共有________种不同的播放方式(结果用数值表示). [答案] 48 [解析] 本题可以分两步完成: 首尾必须播放公益广告的有 2 种; 中间 4 个为不同的商 业广告有 A4=24 种,从而有 2×24=48 种不同的播放方式. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.(1)化简 n·(n+1)·?·(n+m); (2)求证:A7+5A7=A8; (3)求 n,使 A2n=10An. [ 解析 ] An+m. (2) 证 明 : A 7 + 5A 7 = 7×6×5×4×3 + 5×7×6×5×4 = (3 + 5)×7×6×5×4 = 8×7×6×5×4=A8,故等式得证. (3)由 A2n=10An得 2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),即 4n(2n-1)(n-1)=10n(n -1)(n-2),4(2n-1)=10(n-2)(n≥3,n 是正整数),解得 n=8. 17.把 4 个男同志和 4 个女同志均分成 4 组,到 4 辆公共汽车里参加售票劳动,如果同 样两人在不同汽车上服务算作不同情况. (1)有几种不同的分配方法? (2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法? (3)男同志与女同志分别分组,有几种不同分配方法? [解析] (1)男女合在一起共有 8 人,每辆车上 2 人,可以分四个步骤完成,先安排 2 人上第一辆车,共有 C8种,再上第二车共有 C6种,再上第三车共有 C4种,最后上第四车共有 C2种,这样不同分配方法,按分步计数原理有 C8·C6·C4·C2=2520(种). (2)要求男女各 1 人,因此先把男同志安排上车,共有 A4种不同方法,同理,女同志也 有 A4种方法,由分步计数原理,男女各 1 人上车的不同分配方法为 A4·A4=576(种). C4 C4 (3)男女分别分组, 4 个男的平分成两组共有 =3(种), 4 个女的分成两组也有 =3(种) 2 2
5
2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 5 5 4 3 3 5 4 5 4

(1) 由排列数公式的阶乘形式可得 n·(n +1)·?·(n + m) =

?n+m?! = ?n-1?!

m+1

不同分法, 这样分组方法就有 3×3=9(种), 对于其中每一种分法上 4 部车, 又有 A4种上法, 因而不同分配方法为 9·A4=216(种). 18.把 7 个大小完全相同的小球,放置在三个盒子中,允许有的盒子一个也不放. (1)如果三个盒子完全相同,有多少种放置方法? (2)如果三个盒子各不相同,有多少种放置方法? [解析] (1)∵小球的大小完全相同,三个盒子也完全相同,∴把 7 个小球分成三份, 比如分成 3 个、2 个、2 个这样三份放入三个盒子中,不论哪一份小球放入哪一个盒子均是 同一种放法,因此,只需将 7 个小球分成如下三份即可,即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、 (5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2). 共计有 8 种不同的放置方法. (2)设三个盒子中小球的个数分别为 x1、x2、x3,显然有:x1+x2+x3=7,于是,问题就 转化为求这个不定方程的非负整数解,若令 yi=xi+1(i=1,2,3)由 y1+y2+y3=10,问题又 成为求不定方程 y1+y2+y3=10 的正整数解的组数的问题,在 10 个 1 中间 9 个空档中,任 取两个空档作记号,即可将 10 分成三组,∴不定方程的解有 C9=36 组.∴有 36 种放置方 法. 19.在产品质量检验时,常从产品中抽出一部分进行检查,现有 100 件产品,其中有 98 件正品,2 件次品,从中任意抽出 3 件检查, (1)共有多少种不同的抽法? (2)恰好有一件是次品的抽法有多少种? (3)至少有一件是次品的抽法有多少种? [解析] (1)所求的不同抽法数,即从 100 个不同元素中任取 3 个元素的组合数,共有 100×99×98 3 C100= =161700(种). 3×2×1 (2)抽出的 3 件中恰好有一件是次品的这件事,可以分两步完成. 第一步:从 2 件次品中任取 1 件,有 C2种方法; 第二步:从 98 件正品中任取 2 件,有 C98种方法. 根据分步乘法计数原理知,不同的抽取方法共有 C2·C98=2×4753=9506(种). (3)方法一:抽出的 3 件中至少有一件是次品的这件事,分为两类: 第一类:抽出的 3 件中有 1 件是次品的抽法,有 C2C98种; 第二类:抽出的 3 件中有 2 件是次品的抽法,有 C2C98种. 根据分类加法计数原理,不同的抽法共有 C2C98+C2C98=9506+98=9604(种). 方法二:从 100 件产品中任取 3 件的抽法有 C100种,其中抽出的 3 件中至少有一件是次 品的抽法共有 C100-C98=161700-152096=9 604(种). [反思总结] 本题考查了计数原理和组合知识的应用.
3 3 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 4

4

6

20.求(x +3x+2) 的展开式中 x 项的系数. [解析]
5 5 0 5

2

5

方 法 一 : 因 为 (x + 3x + 2) = (x + 2) ·(x + 1) = (C 5 x + C 5 x ·2 + ? +
1 4 5 4 4 5 5 5 4

2

5

5

5

0

5

1

4

C5·2 )(C5x +C5x +?+C5)展开后 x 项为 C5x·2 ·C5+C5·2 ·C5x=240x. 所以(x +3x+2) 展开式中 x 项的系数为 240. 方法二:因为(x +3x+2) =[x +(3x+2)] , 设 Tr+1=C5(x )
r r
2 5-r 2 5 2 5 2 5

(3x+2) ,
k r-k k

r

在(3x+2) 中,设 Tk+1=Cr(3x)

2,

2 5-r k r-k k r k r-k k 10-r-k Tr+1=Cr Cr(3x) 2 =C5Cr3 2 x , 5(x )

依题意可知 10-r-k=1,即 r+k=9. 又 0≤k≤r≤5,r,k∈N+,所以 r=5,k=4. 则 Tr+1=C5·C5·3·2 ·x=240x. 所以(x +3x+2) 展开式中 x 项的系数为 240. 方法三:把(x +3x+2) 看成 5 个 x +3x+2 相乘,每个因式各取一项相乘得到展开式 中的一项,x 项可由 1 个因式取 3x,4 个因式取 2 相乘得到,即 C53x·C4·2 =240x. 所以(x +3x+2) 展开式中 x 项的系数为 240. [反思总结] 本题考查利用转化的思想求三项展开式的特定项. 三项式求特定项的思路 有: (1)分解因式法:通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后再用二项式定理分别展 开. (2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开. (3)利用组合知识:把三项式看成几个因式的积,利用组合知识分析项的构成,注意最 后应把各个同类项相合并. 21.已知?
2 5 1 4 4 2 5 2 2 5 5 4 4

? 3 3 ?n ? 3 1 ?5 * ? 的展开式中的 - a? (n∈N )的展开式的各项系数之和等于?4 b- 5b? ? a ? ?

常数项,求?

? 3 3 ?n -1 - a? 的展开式中 a 项的二项式系数. ? a ?
1 ?r ? 3 r 3 5-r? 1 ?5 r r r 5-r 对于 ?4 b- ? : Tr + 1 = C 5 (4 b ) ?- ? = C 5 ·(- 1) ·4 ·5- 2 5b? ? 5b? ?

[ 解析 ]

b

10-5r 2 2 3 .若 Tr+1 为常数项, 则 10-5r=0, 所以 r=2, 此时得常数项为 T3=C5·(-1) ·4 ·5 6 =2 .令 a=1,得?
7

-1

?3 3 - ? a

n n n 7 a? 展开式的各项系数之和为 2 .由题意知 2 =2 ,所以 n=7.对

? ?

于?

3 ?7-r ? 3 3 ?7 3 r r r? r 7-r 5r-21 -1 - a? :Tr+1=C7? ? ·(- a) =C7·(-1) ·3 a 6 .若 Tr+1 为 a 项,则 ? a? ? a ?
7

? 3 3 ?n 5r-21 -1 3 =-1,所以 r=3.所以? - a? 的展开式中 a 项的二项式系数为 C7=35. 6 ? a ?

8


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