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高考数学大题训练23













题 训 练 23

1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A ? (1)求 sin C 的值; (2)求 sin(2 A ? C) 的值;
3 (3)若△ABC 的面积 S ? sin

B sin C ,求 a 的值. 2 4 1.解: (1) ∵ a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A = 26c 2 ? 10c 2 ? = 18c2 , 5

4 , b ? 5c . 5

∴ a ? 3 2c . ∵ cos A ? ∵
4 ,0 ? A? π , 5

…………………………………2 分 ∴ sin A ?
3 . 5

a c , ? sin A sin C

3 c sin A 5 = 2 . ……………………………5 分 ∴ sin C ? = a 3 2c 10 c?
(2)∵ c ? a ,∴ C 为锐角,
7 2 . 10 3 4 24 ∵ sin 2 A ? 2sin A cos A ? 2 ? ? ? , 5 5 25

∴ cos C ? 1 ? sin 2 C ?

cos 2 A ? 2cos2 A ? 1 ? 2 ?

16 7 , ………………………8 分 ?1 ? 25 25

∴ sin(2 A ? C ) = sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C
24 7 2 7 2 7 2 . ………………………10 分 ? ? ? ? 25 10 25 10 10 sin B b (3)∵ b ? 5c , ∴ ? ? 5 , sin B ? 5sin C . sin C c

=

3 15 3 ∴ sin B sin C ? sin 2 C ? . 2 2 20
1 3 a2 又∵S= bc sin A ? c2 ? , 2 2 12

……………12 分



a2 3 , ? 12 20

∴a ?

3 5 . 5

……………………14 分

2.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ DC , DC ? 2 AB ,

P E D C

AP ? AD , PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , E 为 PD 的中点.
求证: (1) AE ∥平面 PBC ; (2) PD ⊥平面 ACE .

A

B

(第 16 题图) 目

2.证明: (1)取 PC 中点 F ,连结 EF , BF , ∵ E 为 PD 中点,
1 ∴ EF ∥ DC 且 EF = DC .………2 分 2
1 ∵ AB ∥ DC 且 AB ? DC , 2

P E D F C

∴ EF ∥ AB 且 EF = AB .……………4 分 ∴四边形 ABFE 为平行四边形. ∴ AE ∥ BF . …………………6 分

A

B

∵ AE ? 平面 PBC , BF ? 平面 PBC , ∴ AE ∥平面 PBC . ………………8 分

(第 16 题图)

(2)∵ PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , PB ? BD ? B , ∴ AC ? 平面 PBD . ∵ PD ? 平面 PBD , ∴ AC ? PD . …………………………………………10 分 ∵ AP ? AD , E 为 PD 的中点, ∴ PD ? AE . …………………………………………12 分

∵ AE ? AC ? A , ∴ PD ⊥平面 ACE . …………………………………………14 分

3. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F ,右顶点为 A, a 2 b2

y P

M

动点 M 为右准线上一点 (异于右准线与 x 轴的交点) , 设线段 FM 交椭圆 C 于点 P, 已知椭圆 C 的离心率为
2 9 ,点 M 的横坐标为 . 3 2

F

O

A

x

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(第 17 题图)

(2)设直线 PA 的斜率为 k1 ,直线 MA 的斜率为 k 2 ,求 k1 ? k2 的取值范围. 3.解: (1)由已知,得
?c 2 ?a ? 3 , ? ? 2 ?a ? 9 , ?c 2 ?
?a ? 3, 解得 ? ?c ? 2.
?a 2 ? 9, ? ∴ ? 2 ?b ? 5. ?

……………………………………2 分

………………………………4 分

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………6 分 9 5 9 (2)设点 P( x1 , y1 ) ( ?2 ? x1 ? 3 ) ,点 M ( , y2 ) , 2

∴椭圆 C 的标准方程为

∵点 F 、P、M 三点共线, x1 ? ?2 , ∴
y1 y 13 y1 ? 2 , y2 ? , 13 x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2

9 13 y1 ∴点 M ( , ). 2 2( x1 ? 2)

……………………………………………8 分

∵ k1 ?

y1 13 y1 , k2 ? , x1 ? 3 3( x1 ? 2)

∴ k1 ? k2 =

y1 13 y1 13 y12 = . ? x1 ? 3 3( x1 ? 2) 3( x1 ? 2)( x1 ? 3)

……………………10 分
5 ∴ y12 ? ? ( x12 ? 9) . 9

∵点 P 在椭圆 C 上,



x12 y12 ? ? 1, 9 5

5 13 ? (? )( x12 ? 9) 65 x ? 3 65 1 9 ∴ k1 ? k2 = =? ? 1 = ? ? (1 ? ) .……………12 分 27 x1 ? 2 27 x1 ? 2 3( x1 ? 2)( x1 ? 3)

∵ ?2 ? x1 ? 3 ,

∴ k1 ? k2 ? ?

26 . 9
26 ). 9

∴ k1 ? k2 的取值范围是 (??, ?

……………………………………14 分

4.(本小题满分 16 分) 如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分 别为 9 m, 3 m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF , 线段 MN 必须过点 P, 端点 M, MN : NE ? 16 : 9 . N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) ,液晶广 告屏幕 MNEF 的面积为 S(m ). (1) 用 x 的代数式表示 AM; (2)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义 域; (3)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?
2

F E D M A P N
(第 18 题图)

C

B

4.解: (1) AM ?

3x (10 ≤ x ≤ 30) . x?9

…………………………………2 分 …………………………4 分

(2) MN 2 ? AN 2 ? AM 2 ? x 2 ?

9 x2 . ( x ? 9)2

∵ MN : NE ? 16 : 9 , ∴ NE ? ∴ S ? MN ? NE ?

9 MN . 16
…………………6 分

9 9 9 x2 MN 2 ? [ x 2 ? ]. 16 16 ( x ? 9)2

定义域为 [10,30] . (3) S ? ?

……………………………8 分

9 18 x( x ? 9)2 ? 9 x 2 (2 x ? 18) 9 x[( x ? 9)3 ? 81] ,………11 分 [2 x ? ]= ? 16 ( x ? 9)4 8 ( x ? 9)3

令 S ? ? 0 ,得 x ? 0 (舍) x ? 9 ? 3 3 3 . , 当 10 ≤ x ? 9 ? 3 3 3 时, S ? ? 0, S 关于 x 为减函数; 当 9 ? 3 3 3 ? x ≤ 30 时, S ? ? 0, S 关于 x 为增函数; ∴当 x ? 9 ? 3 3 3 时, S 取得最小值.

…………………13 分

…………………15 分

答:当 AN 长为 9 ? 3 3 3 m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小.…16 分

5.(本小题满分 16 分)
2 已知等比数列 {an } 的公比为 q ,首项为 a1 ,其前 n 项的和为 S n .数列 {an } 的前 n 项的

和为 An , 数列 {(?1)n ?1 an } 的前 n 项的和为 Bn . (1)若 A2 ? 5 , B2 ? ?1 ,求 {an } 的通项公式; (2)①当 n 为奇数时,比较 Bn S n 与 An 的大小; ②当 n 为偶数时,若 q ?1 ,问是否存在常数 ? (与 n 无关) 使得等式 ,
( Bn ? ? )Sn ? An ? 0 恒成立,若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

5.解: (1) ∵ A2 ? 5, B2 ? ?1 ,

? a12 ? a12 q 2 ? 5, ∴? ? a1 ? a1q ? ?1,

?a1 ? ?2, ? a1 ? 1, ? ∴? 1 或? ? q ? 2 , ? q ? 2. ?

………………2 分

1 ∴ an ? ?( )n ? 2 ,或 an ? 2n ?1 . 2

……………………………………4 分

(2) ∵

an ?12 a ? ( n ?1 ) 2 ? q 2 ? 常数, 2 an an

(?1) n ? 2 an ?1 a ? (?1) ? n ?1 ? ? q =常数, n ?1 (?1) an an

2 ∴数列 {an } , {(?1)n ?1 an } 均为等比数列,首项分别为 a12 , a1 ,公比分别为 q 2 ,

?q .
①当 n 为奇数时,

………………………………6 分

当 q ? 1 时, Sn ? na1 , An ? na12 , Bn ? a1 , ∴ Bn Sn ? na12 ? An . 当 q ? ?1 时, Sn ? a1 , An ? na12 , Bn ? na1 , ∴ Bn Sn ? na12 ? An . ……………………………………8 分

当 q ? ?1 时, 设 n ? 2k ? 1(k ? N? ) ,
S2 k ?1 ? a1 (1 ? q 2 k ?1 ) a 2 [1 ? (q 2 )2 k ?1 ] a12 (1 ? q 2 k ?1 )(1 ? q 2k ?1 ) ? , A2 k ?1 ? 1 , 1? q 1 ? q2 1 ? q2

B2 k ?1 ?

a1[1 ? (?q) 2 k ?1 ] a1 (1 ? q 2 k ?1 ) , ? 1? q 1? q

∴ B2k ?1S2k ?1 ? A2k ?1 . 综上所述,当 n 为奇数时, Bn Sn ? An . ②当 n 为偶数时, 存在常数 ? ? ∵ q ? 1,
a1 (1 ? q n ) a 2 (1 ? q 2 n ) a (1 ? q n ) , An ? 1 , Bn ? 1 . 1? q 1 ? q2 1? q a1 (1 ? q n ) a (1 ? q n ) a12 (1 ? q 2 n ) ? ?] 1 ? 1? q 1? q 1 ? q2

……………………10 分

2a1 ,使得等式 ( Bn ? ? )Sn ? An ? 0 恒成立. ……11 分 1? q

∴ Sn ?

∴ ( Bn ? ? )Sn ? An = [

?

a12 (1 ? q n )2 ? a1 (1 ? q n ) a12 (1 ? q 2 n ) ? ? 1 ? q2 1? q 1 ? q2 2a12 (1 ? q n ) ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q2 1? q a1 (1 ? q n ) 2a1 ( ? ?) . 1? q 1? q

?

=

………………………………14 分

由题设, ∴? ?

a1 (1 ? q n ) 2a1 a (1 ? q n ) ( ? ? ) ? 0 对所有的偶数 n 恒成立,又 1 ? 0, 1? q 1? q 1? q

2a1 . 1? q

………………………………16 分
2a1 ,使得等式 ( Bn ? ? )Sn ? An ? 0 恒成立. 1? q

∴存在常数 ? ?

6.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? n ln x ( x ? 0 ,实数 m , n 为常数) . (1)若 n ? 3m2 ? 0 ( m ? 0 ) ,且函数 f ( x) 在 x ?[1, ??) 上的最小值为 0,求 m 的值; (2)若对于任意的实数 a ? [1,2] , b ? a ? 1,函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上总是减函数,对每 个给定的 n,求 m 的最大值 h(n).

6.解: (1)当 n ? 3m2 ? 0 时, f ( x) ? x2 ? mx ? 3m2 ln x .
3m2 2 x2 ? mx ? 3m2 (2 x ? 3m)( x ? m) . ? ? x x x 3m 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? (舍) x ? m .…………………3 分 , 2

则 f ?( x) ? 2 x ? m ?

①当 m >1 时,

x
f ?( x) f ( x)

1

(1,??m)

m
0
2m2 ? 3m2 ln m

(m,??? ?)

-

+ ↗

1? m



∴当 x ? m 时, f min ( x) ? 2m2 ? 3m2 ln m .
2

令 2m2 ? 3m2 ln m ? 0 ,得 m ? e 3 .

……………………………5 分

②当 0 ? m ≤1 时, f ?( x) ≥0 在 x ?[1, ??) 上恒成立,
f ( x) 在 x?[1, ??) 上为增函数,当 x ? 1 时, f min ( x) ? 1 ? m .

令 m ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1 (舍) . 综上所述,所求 m 为 m ? e 3 .
2

……………………………7 分

(2) ∵对于任意的实数 a ? [1, 2] , b ? a ? 1, f ( x) 在区间 (a, b) 上总是减函数, 则对于 x∈(1,3), f ?( x) ? 2 x ? m ?

n 2 x 2 ? mx ? n <0, ? x x
……………………9 分

∴ f ?( x) ≤ 0 在区间[1,3]上恒成立. 设 g(x)= 2x2 ? mx ? n , ∵ x ? 0 ,∴g(x) ≤0 在区间[1,3]上恒成立. 由 g(x)二次项系数为正,得
? g (1) ≤ 0, ? ? g (3) ≤ 0,

?m ≤ - n ? 2, ?m ? n ? 2 ≤ 0, ? 即? 亦即 ? n 3m ? n ? 18 ≤ 0, ? ?m ≤ - 3 - 6. ?

………12 分

n 2n 2 ∵ (?n ? 2) ?(? ? 6) = 4 ? ? ? (n ? 6) , 3 3 3

∴ 当 n<6 时,m≤ -

n -6, 3
……………………………14 分

当 n≥6 时,m≤ ?n ? 2 ,
n ∴ 当 n<6 时,h(n)= ? ? 6 , 3

当 n≥6 时,h(n)= ?n ? 2 ,
? n ?? ? 6, 即 h( n) ? ? 3 ??n ? 2, ? n ? 6, n ≥ 6.

……………………………16 分

7.(本小题满分 14 分) cosC 2a-c 在△ ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, = . cosB b (1)求 B; π (2)若 tan(A+ )=7,求 cosC 的值. 4

cosC 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C …………2 分 ? , 由正弦定理,得 ? cos B b cos B sin B 所以 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B.
7.(1)因为 即 sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B ………………………4 分 因为 B ? C ? ? ? A. 所以 sin A ? 2 sin A cos B. 因为 A ? (0, ? ), 故 sin A ? 0. ? 因此 cos B ?

1 …………………………6 分, 2

又 B ? (0, ? ), 所以 B ? (2)因为 tan(A ?

?

?
4

3

………………8 分

) ? 7, 所以

因为 0 ? A ? ? . 所以 A 为锐角, 所以 cos A ?

tan A ? 1 3 ? 7, 解得 tan A ? …………………10 分 1 ? tan A 4

4 3 , sin A ? ………………12 分 5 5

所以 cosC ? cos( ? A ? B) ? ? cos(A ? B) ? ? cos(A ? ?

?
3

)

? ? cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

4 1 3 3 ?4?3 3 ?? ? ? ? ? ………………14 分 5 2 5 2 10

8.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, PB⊥平面 ABCD, CD⊥BD, PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA.P (1)求三棱锥 E-BAD 的体积; (2)求证:PC∥平面 BDE.
B A (第 16 题) D E C

8.(1)过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F , 因为 PB ? 平面 ABCD , 所以平面 PAB ? 平面 ABCD . 又平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ,

EF ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 ABCD , 即 EF 为三棱锥 E ? BAD 的高.…………3 分 由 PB ? 平面 ABCD 得 PB ? AB , 故 PB // EF. 因为 PE ? 2EA 且 PB ? 1 1 故 EF ? ? …………………5 分 3
因为 CD ? BD. 所以在直角梯形 ABCD 中, ?BAD ? 90 .
o

1 ? 2 1 1 从而 VE ? BAD ? ? S ?BAD ? EF ? ………………8 分 3 18 (2)连结 AC 交 BD 于 G ,连结 EG .
因为 AB ? AD ? 1. 所以 S ?BAD ? 因为在直角梯形 ABCD 中, ?BAD ? 90 . 又因为 AB ? AD ? 1.
o

所以 BD ?

2 , ?ABD ? 45 ? , 从而 ?CBD ? 45 ?.

因为 CD ? BD. 所以 BC ? 2. ……………………10 分 因为 AD // BC, BC ? 2, AD ? 1, 所以 AG : GC ? 1 : 2. 又因为 PE ? 2EA. ,所以 AG : GC ? AE : EP 所以 EG // PC. ……………………12 分 因为 PC ? 平面 BDE.EG ? 平面 BDE , ? 所以 PC // 平面 BDE .……………………14 分

9.(本小题满分 14 分) 如图,某广场中间有一块扇形状绿地 OAB,其中 O 为扇形所在圆的圆心,∠AOB=60?. 广场管理部门欲在绿地上修建一条观光小路:在⌒上选一点 C,过 C 修建与 OB 平行的 AB 小路 CD,修建与 OA 平行的小路 CE.问 C 应选在何处,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的 总长最大,并说明理由.
B

E

C

O (第 17 题)

D

A

9.由题意知,四边形 ODCE 是平行四边形. ∵ ?AOB ? 60 . ∴ ?ODC ? 120 .
? ?

连结 OC ,设 OC ? r 方法一:设 OD ? x, OE ? y, 则 CE ? x, CD ? y ? 在 ?ODC 中,由余弦定理,得

OC 2 ? OD 2 ? DC 2 ? 2OD ? DC cos120 o
即 r ? x ? y ? xy ? ……………………4 分
2 2 2

所以 ( x ? y ) ? r ? xy ? r ? (
2 2 2

x? y 2 ) . …………10 分 2

解得 x ? y ?

2 3 3 r , 当且仅当 x ? y ? r 时取等号, 3 3 2 3 r , 此时 C 弧 AB 的中点. 3

所以 x ? y 的最大值为

答:点 C 应选在弧 AB 的中点处,才能使得修建的道路总长最大.…………14 分 方法二:设 ?COA ? ? .0 ? ? ? 60 .
o ?

所以 ?OCD ? 60 ? ? .
?

在 ?ODC 中,根据正弦定理,得 即

OD CD OC ? ? , sin ?OCD sin ?COD sin ?ODC

OD CD r …………………4 分 ? ? ? sin(60 ? ? ) sin ? sin120 o 2 3 2 3 r sin(60 ? ? ? ), CD ? r sin ? . 3 3 2 3 r[sin(60 ? ? ? ) ? sin ? ] ………6 分 3

所以 OD ?

所以 CE ? CD ? OD ? CD ?

?

2 3 r (sin 60 ? cos? ? cos 60 ? sin ? ? sin ? ) 3 2 3 r (sin 60 o cos? ? cos 60 ? sin ? ) 3

?

?

2 3 r sin(60 o ? ? ) ……………10 分 3
o ? ? ? ? ? ?

因为 0 ? ? ? 60 . 所以 60 ? 60 ? ? ? 120 . 所以当 60 ? ? ? 90 . 即 ? ? 30 时, CE ? CD 取得最大值
?

2 3 r , 此时 C 弧 AB 的中点. 3

答:点 C 应选在弧 AB 的中点处,才能使得修建的道路总长最大.…………14 分 10.(本小题满分 16 分)
2 已知数列{an}的各项都为正数,且对任意 n∈N*,an+1=anan+2+k(k 为常数).

(1)若 k=(a2-a1)2,求证:a1,a2,a3 成等差数列; a2 (2)若 k=0,且 a2,a4,a5 成等差数列,求 的值; a1 (3)已知 a1=a,a2=b(a,b 为常数),是否存在常数 λ,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N* 都成立?若存在,求出 λ;若不存在,说明理由.

10.(1)当 k ? (a 2 ? a1 ) 时,在 a n ?1 ? a n a n ? 2 ? k 中,令 n ? 1. 得
2
2

2 a 2 ? a1 a3 ? (a 2 ? a1 ) 2 , 即 a1a3 ? 2a1 a 2 ? a12 ? 0.

因为 a1 ? 0, 所以 a3 ? 2a 2 ? a1 ? 0, 即 a 2 ? a1 ? a3 ? a 2 ? 故 a1 , a 2 , a3 成等差数列…………………………………2 分 (2)当 k ? 0 时, a n ?1 ? a n a n ? 2 ,因为数列 {a n } 的各项都为正数,
2

所以数列 {a n } 是等比数列……………………………4 分 设公比为 q(q ? 0). 因为 a 2 , a 4 , a5 成等差数列,所以 a 2 ? a5 ? 2a 4 , 即 a1 q ? a1q ? 2a1 q . 因为 a1 ? 0, q ? 0,
4 3

所以 q ? 2q ? 1 ? 0 …………………………………6 分
3 2

解得 q ? 1 或 q ?

1? 5 (舍去负值). 2
a 1? 5 ……………8 分 2

所以 a2 ? q ? 1 或 a2 ? q ? 1 1 (3)存在常数 ? ?

a

a2 ? b2 ? k , 使 a n ? a n ? 2 ? ?a n ?1 ab
2 2

证明如下:因为 a n ?1 ? a n a n ? 2 ? k , 所以 a n ? a n ?1 a n ?1 ? k , n ? 2, n ? N * 所以 a n ?1 ? a n ? a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 , 即 a n ?1 ? a n ?1 a n ?1 ? a n a n ? 2 ? a n . ………10 分
2 2 2 2

由于 an ? 0, 此等式两边同除以 a n a n?1 , 得

a n ? a n ? 2 a n ?1 ? a n ?1 ………………………12 分 an ?1 ? an a n ? a n? 2 a n?1 ? a n?1 a ?a ? ??? 1a 3 , an?1 an 2

所以

即当 n ? N * . 都有 a n ? a n ? 2 ?
2

a1 ? a3 a2 a n ?1 …………14 分
b2 ? k a

因为 a1 ? a, a 2 ? b, a n ?1 ? a n a n ? 2 ? k , 所以 a3 ?

b2 ? k a? 2 2 a ?a a ? a ?b ?k ? 所以 1 a 3 ? 2 b ab
所以对任意 n ? N * 都有 a n ? a n ? 2 ? ?a n ?1 ,

此时 ? ?

a2 ? b2 ? k …………………16 分 ab



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