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南昌市高三第二次模拟突破冲刺数学文科试题(七)含答案



一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的 一项。 1. 设集合 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x﹣y+m>0},B={(x,y)|x+y﹣n≤0},若 P(2,3)

∈A∩ (?UB) ,则( A. m>﹣1 且 n<5
2. 设复数 z=


) B. m<﹣1 且 n<5 C. m>﹣1 且 n>5 D. m<﹣1 且 n>5 )

(i 为虚数单位) ,z 的共轭复数为 ,则在复平面内 i 对应当点的坐标为( D.(﹣1,﹣1) D. 5 =( )


A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣1) 3. 已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( ) A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 4. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? a3 ?


5 5 , a2 ? a4 ? ,则 2 4

A. 4n﹣1 B. 4n 1 C.2n﹣1 D.2n 1 5. 设抛物线 x2=8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为 抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的倾斜角 等于 60°,那么|PF|等于( A. 2
[来

) B. 4 C. D. 4

源:Zxxk.Com]

6.下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x﹣3 成立; ②若 log2x+logx2≥ 2,则 x>1; ③命题“ 若a ? b ? 0且c ? 0, 则

c c ? ”的逆否命题; a b

④若命题 p:?x∈R,x2+1≥1,命题 q:?x∈R,x2﹣2x﹣1≤0,则命题 p∧?q 是真命题.其中真命题只有 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ ) 7. 执行如图所示的程序图,若任意输入区间[1,19]中实数 x,则输出 x 大于 49 的概率为(

A.

B.

C.
2

D.

8. 已知点(a,b)在圆 x2+y2=1 上,则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ? 的最小正周期和最小值分别为( A. B. ) C.

a ?1 2
D.

9. 如图, 把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A (0,1) ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周, 记弧 AM=x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t ? f ( x) 的图像大致为( )

10. 如图,F1、F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分 a 2 b2


支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

11. 定义在 R 上的函数 f(x)=ax3+bx2+ cx(a≠0)的 单调增区间为(﹣1,1) ,若方程 3a(f(x) )2+2bf (x)+c=0 恰有 4 个不同的实根,则实数 a 的值为( )

A.

B.



C.1 )

D.﹣1

12.某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于( A .10cm3 B.20cm3 C.30cm3 B.40cm3

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题 -第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13.设 a,b∈{1,2,3},那么函数 f(x)=x2+bx+a 无零点的概率为 ,则∠ B= . |的最小值 。 14. 在 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 S 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,

15.已知 , 是两个互相垂直的单位向量,且 ? = ? =1,则对任意的正实数 t,| +t + 是 。

16. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? n ,数列 则 bnSn 的最小值为 。

的前项和为 Sn,数列{bn}的通项公式为 bn=n﹣8,

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? cos (1)若 x∈[0,

? ?

1 x x x? ? ? , ?1? , n ? ? 3 sin , cos 2 ? ,设函数 f ? x ? ? m ? n ? . 2 2 2 2? ? ?
,求 cosx 的值; b.求 f(A)的取值范围.

],f(x)=

(2)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c,且满足 2acosB≤2c﹣

18. (本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值;

(2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,10 0]两个分数段内的学生中随机选取两名学 生,求这两名学生的数 学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,AE⊥ 平面 CDE,已知 AE=DE=2,F 为线段 DE 的 中点. (Ⅰ )求证:BE∥ 平面 ACF; (Ⅱ )求三棱锥 C ? BED 的高。

20. (本小题满 分 12 分) 已知点 F 是椭圆 C 的右焦点,A,B 是椭圆短轴的两个端点,且△ ABF 是正三角形, (Ⅰ )求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ )直线 l 与以 AB 为直径的圆 O 相切,并且被椭圆 C 截得的弦长的最大值为 2 程. ,求椭圆 C 的标准方

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex(其中 a∈R). (Ⅰ )若 x=0 为 f(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,解不等式 f(x)>(x﹣1)( +x+1);

(Ⅲ )若函数 f(x)在区间(1,2)上单调递增,求实数 a 的取值范围.

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,A,B,C 是圆 O 上三个点,AD 是∠ BAC 的平分线,交圆 O 于 D,过 B 做直线 BE 交 AD 延长线于 E,使 BD 平分∠ EBC. (1)求证:BE 是圆 O 的切线; (2)若 AE=6,AB=4,BD=3,求 DE 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1: (t 为参数),C2: (θ 为参数).

(Ⅰ )化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ )过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A,B 两点,求|AB|.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= + .

(1)求 f(x)≥f(4)的解集; (2)设函数 g(x)=k(x﹣3) ,k∈R,若 f(x)>g(x)对任意的 x∈R 都成立,求 k 的取值范围.

文科试卷答案 一:选择题 ①A ②C ③D ④C ⑤C ⑥A ⑦C ⑧B ⑨D ⑩B ⑾B ⑿B ?解:∵集合 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x﹣y+m>0},B={(x,y)|x+y﹣n≤0}, ∴?UB={(x,y)|x+y﹣n>0},

故选 D. ⑷解:设等比数列{an}的公比为 q, ∴ q= = ,

∴ a1+a3=a1(1+q2)=a1(1+ )= ,解得 a1=2, ∴ an=2× = ,

Sn=



∴ =

=2n﹣1

故选:C ⑸解:在△APF 中,由抛物线的定义,可得|PA|=|PF|, ∵|AF|sin 60°=4,∴|AF|= , = .

又∠PAF=∠PFA=30°,过 P 作 PB⊥AF 于 B,则|PF|=

故选:C.

⑹解:不等式 x2+2x>4x﹣3 可化为 x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2>0 由实数的性质我们易得该不等式恒成立,故①为真命题; log2x+logx2≥2,则 log2x>0,即 x>1,故②为真命题; 根据不等式的性质, 成立,

由原命题和其逆否命题真假性一致,故③为真命题; 根据实数的性质,命题 p:?x∈R,x2+1≥1 为真命题, 命题 q:?x∈R,x2﹣2x﹣1≤0 也为真命题,则?q 是假命题 则命题 p∧?q 也是假 命题,故④为假命题; 综上,①②③为真命题 故选 A ⑺解:由程序框图知:第一次运行 x=2x﹣1,n=2; 第二次运行 x=2× (2x﹣1)﹣1.n=2+1=3; 第三次运行 x=2× [2× (2x﹣1)﹣1]﹣1,n=3+1=4, 不满足条件 n≤3,程序运行终止,输出 x=8x﹣(4+2+1)=8x﹣7, 由输出的 x 大于 49,得 x>7,∴ 输入 x∈(7,19],数集的长度为 12, 又数集[1,19]的长度为 18, ∴ 输出的 x 大于 49 的概率 P= = .

故选:C ⑻解:∵ 点(a,b)在圆 x2+y2=1 上,∴ a2+b2=1.

= =

=

=

﹣1,(tanθ= ). ,

∴ 函数的最小正周期为

当 sin(2x+θ)=﹣1 时,函数有最小值﹣ . 故选:B. ⑼解:当 x 由 0 ? 由

1 1 时, 0 ? t 从 ?? ? 0 ,且单调递增, 2 2

1 ? 1 时, t 从 0 ? ?? ,且单调递增,∴排除 A,B,C,故选:D. 2


⑽解:∵ △ ABF2 为等边三角形,∴ |AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴ |BF1|=2a. 又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴ |BF2|=4a. ∴ |AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△ AF1F2 中,由余弦定理可得: ∴ = ﹣ ,化为 c2=7a2,



∴ 故选 B.

=



⑾解:∵ 函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(﹣1,1) , ∴ f'(x)>0 的解集为(﹣1,1) , 2 即 f'(x)=3ax +2bx+c>0 的解集为(﹣1,1) , ∴ a<0,且 x=﹣1 和 x=1 是方程 f'(x)=3ax2+2bx+c=0 的两个根, 即﹣1+1= , ,

解得 b=0,c=﹣3a. ∴ f(x)=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax(x2﹣3) , 2 则方程 3a(f(x) ) +2bf(x)+c=0 等价为 3a(f(x) )2﹣3a=0, 即(f(x) )2=1,即 f(x)=±1. 要使方程 3a(f(x) )2+2bf(x)+c=0 恰有 4 个不同的实根,即 f(x)=±1.各有 2 个不同的根, 即函数 f(x)的极值等于±1, ∵ f(x)=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax(x2﹣3) , 2 2 ∴ f'(x)=3ax ﹣3a=3a(x ﹣1) , ∵ a<0, ∴ 当 f'(x)>0 得﹣1<x<1,此时函数单调递增, 当 f'(x)<0 得 x<﹣1 或 x>1,此时函数单调递减, ∴ 当 x=1 时,函数取得极大值 f(1)=﹣2a, 当 x=﹣1 时,函数取得极小值 f(﹣1)=2a, 由 f(1)=﹣2a=1 且 f(﹣1)=2a=﹣1 得,a= ,

故选:B. ⑿解:作出长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、5 cm 的长方体如图 1-3-21 所示,则 四棱锥 A ? BDD1 B1 即为所求的空间几何体. 由四棱锥 A ? BDD1 B1 底面是边长为

D1 A1 D
3 5 4

C1 B1
5

C A B

5 的正方形,高为

12 1 12 cm,故体积为 ? cm ? 25cm2 ? 20cm3 .故选 B. 5 3 5

二:填空题 ⒀

2 3



450 或

?
4



2 2

⒃-4

⒀解:由题意知本题是一个古典概型, ∵ 试验发生包含的事件是从含有三个元素的集合中取元素,每一个有 3 种取法,共有 3×3=9 种结果, 满足条件的事件是函数 f(x)=x2+bx+a 无零点, 要满足 b2﹣4a<0,即 b2<4a, 从所给的数据中,列举出有 b=1 时,a 有 3 种结果, b=2 时,a 有 2 种结果, b=3 时,a 有一种结果, 综上所述共有 3+2+1=6 种结果, ∴ 概率是 = ⒁解:解:由正弦定理可知 a=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC, ∵ acosB+bcosA=csinC, ∴ sinAcosB+sinBcosA= sinCsinC,即 sin(A+B)=sin2C, ∵ A+B=π﹣c∴ sin(A+B)=sinC=sin2C, ∵ 0<C<π∴ sinC≠0∴ sinC=1∴ C=90° ∴ S= = ∵ b2+a2=c2,∴ = b2=

∴ a=b∴ △ ABC 为等腰直角三角形∴ ∠ B=45° ⒂解:∵ =0, , , . .

建立如图所示的直角坐标系,取 设 ,

∴(x,y)?(1,0)=(x,y)?(0,1)=1. ∴x=y=1.∴ ∴ ∵t>0. ∴ = . .

=

=

,当且仅当 t=1 时取等号.

⒃解:由 an ? n2 ? n ,∴ ∴ 数列 的前项和为 Sn=(1﹣ )+(

, )+…+( )= .

又 bn=n﹣8, ∴ bnSn= = 当且仅当 n+1= 三:解答题 17. 解:(1)∵ 向量 =(cos ,﹣1), =( ∴ 函数 f(x)= ? + = = sin cos ﹣cos2 + sinx﹣ cosx=sin(x﹣ ],∴ x﹣ ∈[﹣ ), , ], sin ,cos2 ), ,即 n=2 时等号成立. = =﹣4.

sinx﹣ (2cos2 ﹣1)=

∴ f(x)=sin(x﹣ ∴ cos(x﹣

),∵ x∈[0,

)>0, )+ = ﹣ ]=cos(x﹣ . )cos ﹣sin(x﹣ )sin

∴ cosx=cos[(x﹣ = ∴ cosx= ﹣



(2)根据正弦定理,由 2acosB≤2c﹣ b,得 2sinAcosB≤2sin(A+B)﹣ sinB,∴ 2cosAsinB﹣ ∴ cosA ,∵ 0<A<π,∴ 0<A ),∵ 0<A , ,∴ ﹣

sinB≥0,

∴ f(A)=sin(A﹣

<A﹣

≤0,

∴f(A)∈(﹣ ,0],∴f(A)的取值范围(﹣ ,0]. 18. (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1,

所以 10× (0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.…(1 分) 解得 a=0.03.…(2 分) (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1﹣10× (0.005+0.01)=0.85.…(3 分) 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640× 0.85=544 人. …(5 分) (3)解:成绩在[40,50)分数段内的人数为 40× 0.05=2 人,分别记为 A,B.…(6 分) 成绩在[90,100]分数段内的人数为 40× 0.1=4 人,分别记为 C,D,E,F.…(7 分) 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F), (C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共 15 种.…(9 分) 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩 之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那 么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M,则事件 M 包含的基本事件有:(A,B), (C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共 7 种.…(11 分) 所以所求概率为 .…(12 分)
[来源:Zxxk.Com]

19. (Ⅰ )证明:连结 BD 和 AC 交于 O,连结 OF,…(1 分) ∵ ABC D 为正方形,∴ O 为 BD 中点, ∵ F 为 DE 中点,∴ OF∥ BE,…(3 分) ∵ BE?平面 ACF,OF?平面 ACF, ∴ BE∥ 平面 ACF.…(4 分)

A到面CDE的距离相等 (Ⅱ) AB // CD,? AB // 面CDE , ? 点B到面CDE的距离与点
?点B到面CDE的 距离为 2

Rt?ADE中,AE ? DE ? 2, ? AD ? 2 2 , BD ? 4

CD ? AD ? ? ? CD ? 面ADE? AB ? 面ADE AE ? 面CDE ? CD ? AE?
Rt?ABE中,AB ? 2 2,AE ? 2 ? BE ? 2 3
1 3 ?BDE中,由余弦定理知 cos?BDE ? , sin ?BDE ? 2 2 S?BDE ? 1 3 ? 2? 4? ?2 3 2 2

设求三棱锥 C ? BED 的高为 h,根据 VC ? BDE ? VB ?CDE 知 h ?

2 2 2 6 ? 3 3
,焦距为 2c,

20.解:(Ⅰ )设椭圆的标准方程为

∵ △ ABF 是正三角形,∴ a=2b,b= 又∵ a2=b2+c2,∴ c= ∴ 椭圆的离心率 e= = , .



(Ⅱ )由(Ⅰ )知 a=2b,∴ 椭圆方程为 x2+4y2=4b2, 设直线 l 与椭圆 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 若直线 l 与 x 轴垂直,则弦长|MN|= , 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y=kx+m, 与 x2+4y2=4b2 联立,整理,得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣b2)=0,(*)

则 x1,x2 是方程(*)的两个根,∴



∴ |MN|2=(

)2=(1+k2)[(﹣

)2﹣4?

]

=

,①

∵ 直线 l 与圆 O 相切,∴

,解得 m2=b2(1+k2),

代入① 得|MN|2=

?b2=4b2,

当且仅当 3k2=1+k2,k=

时,等号成立. ,

∴ 此时|MN|max=2b,于是弦长|MN|的最大值为 2b=2 ∴ b= ,a=2 , ∴ 椭圆 C 的方程为 .

21. 解:(Ⅰ )因为 f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex 所以 f′(x)=[2ax+(a﹣1)2]ex+[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex=[ax2+(a2+1)x+a]ex 因为 x=0 为 f(x)的极值点,所以由 f′(0)=ae0=0,解得 a=0 检验,当 a=0 时,f′(x)=xex,当 x<0 时,f′(x)<0,当 x>0 时,f′(x)>0, 所以 x=0 为 f(x)的极值点,故 a=0. (Ⅱ ) 当 a=0 时,不等式不等式 整理得(x﹣1)[ex﹣( x2+x+1)]>0, ?(x﹣1)ex>(x﹣1) ( x2+x+1),





令 g(x)=)ex﹣( x2+x+1),h(x)=g′(x)=ex﹣(x+1),h′(x)=ex﹣1, 当 x>0 时,h′(x)=ex﹣1>0,当 x<0 时,h′(x)=ex﹣1<0, 所以 h(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增, 所以 h(x)>h(0)=0,即 g′(x)>0, 所以 g(x)在 R 上单调递增,而 g(0)=0; 故 ex﹣( x2+x+1)>0?x>0;ex﹣( x2+x+1)<0?x<0, 所以原不等式的解集为{x|x<0 或 x>1}; (Ⅲ ) 当 a≥0 时,f′(x)=[ax2+(a2+1)x+a]ex, 因为 x∈(1,2),所以 f′(x)>0,所以 f(x)在(1,2)上是增函数. 当 a<0 时,f′(x)=a(x+a)(x+ )?ex,x∈(1,2)时,f(x)是增函数,f′(x)>0. ① 若 a<﹣1,则 f′(x)=a(x+a)(x+ )?ex>0?x∈(﹣ ,﹣a),由(1,2)?(﹣ ,﹣a)得 a≤﹣2; ② 若﹣1<a<0,则 f′(x)=a(x+a)(x+ )?ex>0?x∈(﹣a,﹣ ),由(1,2)?(﹣a,﹣ )得﹣ ≤a <0. ③ 若 a=﹣1,f′(x)=﹣(x﹣1)2?ex≤0,不合题意,舍去. 综上可得,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪ [﹣ ,+∞) 22. (1)证明:连接 BO 并延长交圆 O 于 G,连接 GC, ∵ ∠ DBC=∠ DAC,又∵ AD 平分∠ BAC,BD 平分∠ EBC, ∴ ∠ EBC=∠ BAC. 又∵ ∠ BGC=∠ BAC,∴ ∠ EBC=∠ BGC, ∵ ∠ GBC+∠ BGC=90° , ∴ ∠ GBC+∠ EBC=90° ,∴ OB⊥ BE. ∴ BE 是圆 O 的切线.…(5 分) ( 2)由(1)知△ BDE∽ △ ABE, ,

∴ AE?BD=AB?BE,AE=6,AB=4,BD=3, ∴ .…(8 分)

由切割线定理得 BE2=DE?AE, ∴ .…(10 分)

23. 解:(1)∵ C 1:

(t 为参数),C2: ,

(θ 为参数),

∴ 消去参数得 C1:(x+2)2+(y﹣1)2=1,C2:

曲线 C1 为圆心是(﹣2,1),半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆.

(2)曲线 C2 的左顶点为(﹣4,0), 则直线 l 的参数方程为 将其代入曲线 C1 整理可得:s2﹣3 则 s1+s2=3 ,s1s2=4, 所以|AB|=|s1﹣s2|= 24. 解: (1)∵ 函数 f(x)= ∴ f(x)≥f(4)即|x﹣3|+|x+4|≥9. ∴ ① ,或② ,或③ . +

(s 为参数)

s+4=0,设 A,B 对应参数分别为 s1,s2, = . = + =|x﹣3|+| x+4|,

得不等式① :x≤﹣5; 解② 可得 x 无解; 解③ 求得:x≥4. 所以 f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤﹣5,或 x≥4}. (2)f(x)>g(x)对任意的 x∈R 都成立,即 f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方,

∵ f(x)=|x﹣3|+|x+4|=



由于函数 g(x)=k(x﹣3)的图象为恒过定点 P(3,0) ,且斜率 k 变化的一条直线, 作函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,其中,KPB=2,A(﹣4,7) , ∴ KPA=﹣1. 由图可知,要使得 f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方, ∴ 实数 k 的取值范围为(﹣1,2].



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江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺文科综合试题(七)
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