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高中数学竞赛第二讲平面向量



第二讲
题型一 已知三角函数的值求角问题

平面向量

例 1 (1) (2010 年天津卷理科 7 题)在 ? ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若
a ?b ?
2 2

3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? (


) . D. 150?
1 3

A. 30?

B. 60?

C. 120?
7 50

(2)若 ? , ? ? ( 0 , ? ) , cos ? ? ?

, tan ? ? ?

,求 α+2β=

.

点拨 本题(1)宜利用正弦定理进行角化边,然后利用余弦定理求角 A. 题(2)首先 应求 α+2β 的函数值,为了使角的范围好控制,这里选用正切值好一点,然后根据条件依次 找出所需的条件,要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理, 正确进行边化角、角化边,探寻解答. 题(2)最困难的地方在于确定 α+2β 的范围,一般 地,根据已知条件,把角的范围限制得越精确,结果也越准确.

解(1)由 sin C ? 2 3 sin B 及正弦定理,得 c ? 2 3b ,代入 a ? b ?
2 2

3bc ,得

a ?b ?
2 2

3b ? 2 3b ? 6 b , a ? 7 b , c ? 12 b , 即 又 (为什么从角化边入手?)
2

2

2

2

2

由 余 弦 定 理 cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc

?

b ? 12 b ? 7 b
2 2

2

4 3b

2

?

6 4 3

?

3 2

, 选用余弦定理合理 (

否?) 所以 A ? 30 ? .故选A. ( 2 ) ∵

? , ? ? (0, ? )



cos ? ? ?

7 50



∴ tan ? ? ? ∴? , ? ? ( α+2β ? (
5? 2

1 7

? (?

3 3

, 0 ), tan ? ? ?

1 3

? (?

3 3

, 0 ),

5? 6

,? ) , (为什么要把角的范围定得这样精确?)
2 tan ? 1 ? tan ?
2

,3? ) ,又 tan2β=

??

3 4

,
11? 4

∴ tan( ? ? 2 ? ) ?

tan ? ? tan 2 ? 1 ? tan ? tan 2 ?

? ? 1 ,∴α+2β=

.

易错点 题(1)记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问 题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的,如果选用正弦定理求角就不合理, 一是出现 2 个角,二是要讨论舍弃 1 个角,更容易出错;题(2)中,角的范围容易忽略或 放大,导致错误.

变式与引申 1:已知 α,β 为锐角,tanα=

1 7 1 7

,sinβ=

10 10 10 10

,求 2α+β 的值.

变式与引申 1:已知 α,β 为锐角,tanα= 题型二 三角函数化简、求值问题

,sinβ=

,求 2α+β 的值.

例 2 (2007 安徽卷理科第 16 题)已知 0 ? ? ?

?

?? ? , ? 为 f ( x ) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周 ? ?? ?

2 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2cos ? ? sin2( ? ?? ) ? ? 期,a ? ? tan ? ? ? ? ? , 1 ? , b ? (cos ? , ,且 a ? b ? m .求 2) cos ? ? sin ? 4 ? ? ? ?



值.
? ? 点拨 本题解题的关键是如何把 a ? b ? m 的化简结果与结论联系起来,可联想到“齐次式”.

高考题中的三角与向量问题,向量常常只是工具,重点难点还是三角变换,但两者的交汇很 值得注意. 向量在三角函数化简、 求值中的运用主要涉及向量的数量积, 向量的平行、 垂直、 夹角、模等方面.

π? ? 解 因为 ? 为 f ( x ) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8? ?

? ? ? ? 因 a ? b ? m ,又 a ? b ? cos ? ? tan(? ?
π 4
2

1 4

? ) ? 2 .故 cos ? ? tan(? ?
2

?
4

)?m?2.

由于 0 ? ? ?

,所以

2 cos ? ? sin 2(? ? ? ) cos ? ? sin ? 2 cos ? (cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ?

?

2 cos ? ? sin(2? ? 2 π) cos ? ? sin ?

?

2 cos ? ? sin 2?
2

cos ? ? sin ?
1 ? tan ?

?

? 2 cos ? ?

π? ? ? 2 cos ? ? tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m ) . 1 ? tan ? 4? ?
?
4

另一个解题思路是: 由 cos ? ? tan(? ? 可得 cos ? ? 易错点
1 ? tan ? 1 ? tan ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

) ? m ? 2,

? cos ? ? 2 ? m ,再由结论,很容易化简得出结果.

? ? a ? b ? m 化简后,与结论联系不起来;结论化简出错或审题有误,不知道结论可

用 m 表示. 变式与引申 2:已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) ,C(3cosα,3sinα). → → (1)若 α∈(-π,0),且|AC|=|BC|,求角 α 的大小;

2sin2α+sin2α → → (2)若AC⊥BC,求 的值. 1+tanα 题型三 三角函数的取值范围问题 例 3 ( 2010 年 江 西 卷




? ?. ?

17













? ? ? ? ? 2 f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? 4? 4 ? ?

? ? 3? ? (1)当 m ? 0 时,求 f ? x ? 在区间 ? , ? 上的取值范围; ?8 4 ?

(2)当 tan ? ? 2 时, f ? ? ? ?

3 5

,求 m 的值.

点 拨 (1)首先争取把 f ? x ? 变换成 f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ? ? B 的形式,要特别注意在什 么区间上求 f ? x ? 的取值范围; (2)如何把正切值转换为已知的三角函数值,从而求出 m 的 值. 解 (1) 当, f ? x ? ? sin x ? sin x cos x ?
2

1 2

? sin 2 x ? cos 2 x ? ?

1 2

?

? ? sin ? 2 x ? 2 4 ?
2

? 1 ?? . ? 2

? ? ? 5? ? ? ? ? 3? ? ? 2 x ? ? ? 0, 由x? ? , ,得 sin ? 2 x ? ? 4 4 ? 4 ? ? ? ?8 4 ?

2 ? ? ? ,1? , ? ? ?? ? ? 2 ?

? 1? 2 ? ? ? 3? ? 从而 f ? x ? 在区间 ? , ? 上的取值范围是 ? 0, 2 ? . ?8 4 ? ? ?

(2) f ? x ? ? sin x ? sin x cos x ?
2

m 2

cos 2 x =

1 ? cos 2 x 2

?

1 2

sin 2 x ?

m 2

cos 2 x

=

1 2

? sin 2 x ? ?1 ? m ? cos 2 x ? ? ? ? 2 sin ? cos ? sin ? ? cos ?
2 2
2 2

1 2 ? 4 5
?? 3 5

. ,



tan ? ? 2





sin 2? ?

?

2 tan ? 1 ? tan ?
2
2

cos 2? ?

cos ? ? sin ? sin ? ? cos ?
2 2

?

1 ? tan ? 1 ? tan ?
2

.所以, 由

1 ?4 ? 3 ?? 3 求 ? ? ?1 ? m ? ?? ? ? ? ? , 2 ?5 ? 5 ?? 5

得 m ? -2 . 在高考中,本题第(2)小题还出现一些新的解法,同学们不妨一试:
? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 1 2 ? cos ? ? ,从而有四条思路: 解法思路:由 ? 5 ? sin ? ? 2 cos ?

(1) f ? ? ? ? sin ? ? sin ? cos ? ?
2

m 2

cos 2? ? 3 cos ? ,化成关于 cos ? 的等式,求出
2 2

m ? -2;

(2) f ? ? ? ? sin ? ? sin ? cos ? ?
2

m 2

cos 2? ?

? sin 5
3

2

? ? cos 2 ? ? ,同(1) ,求出 m=-2.

m? m 3 ? 2 2 (3) f ? ? ? ? ? 1 ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? ,同(1) ,求出 m ? -2. 2 ? 2 5 ?

(4) s ? 2cs 由n i ? o

? ,f ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 2 cos 2 ? ?
2

m

? 2 cos 2

2

? ? 1? ?

3 5

, 求出 m ? -2.

? ? 3? ? 易错点 记错二倍角公式;不会在区间 ? , ? 上,联系三角函数图像求函数的取值范围; ?8 4 ?

或运用公式不合理,产生错误.例如用 tan ? ? 2 ,去求 sin ? , cos ? ,容易出现符号处理带 来的麻烦等等.
?? ? 变式与引申 3:已知向量 m ? ( a ? c , b ) , n ? ( a ? c , b ? a ) ,且 m ? n ,其中 A、B、C 是
? ABC 的内角, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边.

(1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围. 题型四 三角函数化简、求值的综合应用 例 4 已知角 A , B , C 是三角形的 ? ABC 三内角,向量 m ? ( ? 1, 3 ) , n ? (cos A , sin A ) , m ? n ? 1 , 且
1 ? sin 2 B cos B ? sin B
2 2

??

?

?? ?

? ?3 .

(1)求角 A ; (2)求 tan C ; (3)若 AC 边的长为 15 ,求 ? ABC 的面积 S . 点拨 本题难在第(2)题,若整理成关于角 B 的二次式或齐次式,运算则相对简单;第(3) 题也要注意选择运算简单的思路. 解(1)∵ m ? n ? 1 , ∴ ( ? 1,
2(sin A ?
3 2

?? ?

3 ) ? ? cos A, sin A ? ? 1
?
6

, 即 3 sin A ? cos A ? 1 .

? cos A ? ) ? 1 , sin( A ?
1 2

)?

1 2

. ,∴ A ?
?
6 ?

∵0 ?

A??

,∴ ?

?
6
2

? A?

?
6
2

?

5? 6

?
6

,∴A?

?
3

.

(2)由题知
2

1 ? 2 sin B cos B cos B ? sin B

2 2 ? ? 3 ,整理得 sin B ? sin B cos B ? 2 cos B ? 0 ,∴ cos B ? 0 ,

∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 .∴ ∴ tan B ? 2 .

tan B ? 2



tan B ? ? 1

.而

tan B ? ? 1

使 cos 2 B ? sin 2 B ? 0 , 舍 去 .

∴ tan C ? tan[? ? ( A ? B )] ? ? tan( A ? B ) ? ?

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B

??

2?

3

1? 2 3

?

8?5 3 11

.

(3)由(1)知, 得 sin A ?

3 2

,又 tan B ? 2 ,故 sin B ?

2 5 5

, cos B ?

5 5

(舍去负值,

为什么?), 由正弦定理
AC sin B ? BC sin A

,∴ BC ? AC ?

sin A sin B

?

15 4

.
5 (1 ? 2 3 ) 10

∴ sin C ? sin[? ? ( A ? B )] ? sin( A ? B ) ?
1 2

1 2

?

5 5

?

3 2 5 ? ? 2 5

.

故三角形的面积 S ?

AC ? BC sin C ?

90 ? 15 3 16

.

易错点 求解本题,易错点有二:一是本题有点运算量,很容易由于选择的解法运算繁琐而 算错;二是不会根据条件回避讨论.由角的范围或其它隐含条件去讨论甄别函数值至关重要, 也很容易出错. 其它解法思路:化简
1 ? 2 sin B cos B cos B ? sin B
2 2

? ? 3 时,也有很多的思路,如:

⑴由

(sin B ? cos B )

2

(cos B ? sin B )(sin B ? cos B )
cos B ? sin B ? 2 sin B cos B
2 2

?

sin B ? cos B cos B ? sin B
2

? ? 3 ,得 tan B ? 2 ;

⑵由

cos B ? sin B
2 2

?

1 ? tan B ? 2 tan B 1 ? tan B
2

? ? 3, 得 tan B ? 2 等.
5 2

变式与引申 4:在题(3)中,若内角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,且 a ?

b?

5, 求

边 c 的长. 本节主要考查 ⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用;⑵ 恒等变换的能力 和运算能力;⑶三角形中的边、角、面积等关系(正余弦定理)(4)等价转化的数学思想 ; 方法等等. 点评 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出.因此,在 复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、 对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突 出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识.本节涉及的知识与技能 主要有: (1)三角函数式的化简问题,在最后所得到的结果中,要求所含函数和角的名称或种类最 少,三角函数名称尽可能统一,各项的次数尽可能地低,出现的项数最少,一般应使分母和 根号不含三角函数式,对能求出具体数值的,要求出值. (2)三角函数的求值问题,是训练三角恒等变换的基本题型,求值的关键是熟练掌握公式 及应用, 掌握公式的逆用和变形.在化简和求值中, 重视角的范围对三角函数值的影响, 对角 的范围尤其要注意讨论. (3)证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,在进行三 角函数的化简和三角恒等式的证明时,需要仔细观察题目的特征,灵活、恰当地选择公式. 证明时常用的方法有:①从一边开始,证明它等于另一边;②证明左右两边同等于同一个式 子;③证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立;④分析法等. (4)近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查,且常结合三角形内的三角恒等变换 进行考查. 解三角形这类题目的解答程序是: 一是看方向 (是从角化边入手还是边化角入手) ; 二是用定理(合 理且灵活运用正弦定理和余弦定理) ;三是定答案(根据取值范围讨论并确定答案).还要特

别注意三角形中三个角 A、B、C,三条边 a、b、c,中线 ma,角平分线 AD,外接圆半径 R, 内切圆半径 r,三角形面积 S 之间的关系和三角形的形状. (5)三角函数的综合问题常常与向量,二次函数等有关,但着力点还是三角知识,尤其是 利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形,是高 考考查的重中之重. 解答这类综合问题的原则是三点: 降次——化次数较高的三角式为次数较低的三角式; 减元——化多种三角函数为单一的三角函数; 变角——化多角的三角函数为单角的三角函数. 还要特别注意: ①1 的变化: 1 ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? cos 2 x ? 2 sin x ? 2 cos x ? cos 2 x
2 2 2 2

? sin

?
2

? cos 0 ? tan

?
4

?

②角的变化: ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ③化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理运用; ④在理解的基础上熟记和灵活运用各种公式,包括正用公式、反用公式和变用公式. 习题 2-1 1. 已知 cos ? +sinβ= 3 ,sin ? +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,则函数 y= log 1
2

2x ? 3 4 x ? 10

的最

小值为( A.
2 8

). B.
5 2

C. ?

1 2

D. 2

2.(2010 年江苏卷理科第 13 题)在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,则 ? =________. y a b tan A tan B
sin 2 x ? 2 sin x 7? ?? ? 3 17 ? ?x? 3.已知 cos ? ? x ? ? , ,求 的值. 1 ? tan x 4 ?4 ? 5 12
2

3

P

O

A

x

4.(2007 年江西卷理科第 18 题)如图 2 ? 1 ? 1 ,函数 π y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤ ? ≤ ) 的图象与 0 2
y 轴交于点 (0, 3 ) ,且在该点处切线的斜率为 ? 2 .

图2 ?1?1

(1)求 ? 和 ? 的值;
3 ?π ? 0 点 (2) 已知点 A ? , ? , P 是该函数图象上一点, Q ( x 0, y 0 ) 是 PA 的中点, y 0 ? 点 当 , 2 ?2 ? ?π ? x 0 ? ? , π ? 时,求 x 0 的值. ?2 ?

5.已知向量 m=( 3 sin (1)若 m?n=1,求 cos(
2?

x 4

,1) ,n=( cos

x 4

, cos

2

x 4

).

? x ) 的值; 3 (2) f(x)= m?n, 记 在△ABC 中, A, C 的对边分别是 a,b,c, 角 B, 且满足 (2a-c) cosB=bcosC,

求函数 f(A)的取值范围.

第二节

三角函数的图像、性质及其变换

近几年高考对“三角函数”一章三角的考查要求略有降低,而对三角函数的图像、性质的 考查有逐步加强的趋势. “考试大纲”将三角函数的图象和性质,由“了解”改为“理解”,提高 了一个层次.因此,考生在复习中要作出相应的调整.它们的难度值一般控制在 0.5-0.8 之间, 且在解答题中大多需要利用三角函数的变换和性质求解. 考试要求 ⑴理解正弦函数、余弦函数的定义、性质,理解正切函数的单调性;⑵了解函数 的物理意义,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ) 的简图,了解参数 对函数图像变化的影响.

题型一 由“参”定“形”,由“形”定“参” 【例 1】(1)

图2 ? 2 ?1

⑵已 知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? ) 的 图象 如图所 示 , 则它的 解析式 为
_______ .

点拨: (1)在函数 y=Asin(ωx+?)的有关问题中,只要确定了这三个参数 A,ω,φ, 则该函数的图像、性质等就出来了;同理, (2)中,已知图像求解析式问题,关键也是确定 三个参数 A,ω,φ,最困难的就是求 φ.

于是,本题的答案为②、③.

以下求 ? 的值有多种方法可供选择:

易错点 题(1)中,选项



”的含义容易

被误解;题(2)中,已知图像求解析式中的 φ 时,常常由于方法不当或范围不清晰而不能 求出准确值. 点评:三角函数的图像由若干个参数确定(即由“参”定“形”),同时,已知三角函数的图像也 能够确定这若干个参数(即由“形”定“参”).本例所用的方法带有普遍性,用来求解有关函数 y=Asin(ωx+?)的图象问题十分奏效.

? ? ? ? 变式与引申 1: 2009 全国卷Ⅱ理) ( 若将函数 y ? tan ? ? x ? ? ? ? ? 0 ? 的图像向右平移 个 6 4? ? ? ? ? 单位长度后,与函数 y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为( ) 6? ? 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2

题型二 利用图像的性质解题 【例 2】设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a, ? 2 b]上的面积,已知函数 y=sinnx 在[0, ]上的面积为 (n∈N* ) , n n 2? ? 4? (1)y=sin3x 在[0, ]上的面积为 ; (2)y=sin(3x-π )+1 在[ , ]上的面 3 3 3 积为 . 点拨:本题解题的关键是审题,可以画个草图帮助理解题意,如图 2 ? 2 ? 2 .第(1)问简单, 第(2)问的函数图像有了变化:向右移动 就是图中直线 x ?
x? 4?
?
3

?
3

个单位,再向上移动 1 个单位;其所求的面积

,

,x 轴以及 y=sin(3x-π)+1 的图像 3 所围成图形的面积. 可以把直线 y=1 上方的两 个“波峰”拿一个填入“波谷” ,得到一个矩形 和一个“波峰” ,其面积容易求出. 2? 4 图2 ? 2 ? 2 【解析】 (1)T= , n=3,一个周期的面积为 . 3 3 4? ? 2 2 (2)S=1×( - )+ = ? ? . 3 3 3 3 易错点: 第(2)问审题容易出问题,结合图像能够帮助理解题意. 点评:本题主要考查了正弦函数的图象的平移变换、对称变换及其应用,解题时要注意观察 题目函数图像的特点随机应变,如本题可利用图像的对称性解题. 变式与引申 2: 已知函数 y ? 2 cos x , x∈[0, 2? ]的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图 形,求该图形的面积. 题型三 三角函数性质的应用

? ? ? ? ? ? 【例3】 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? a cos x ? b( a , b ? R , 且均为常数) , 6? 6? ? ?
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期;
? ? ? (2)若 f ? x ? 在区间 ? ? , 0 ? 上单调递增,且恰好能够取到 f ? x ? 的最小值 2,试求 a, b 的 ? 3 ?

值. 点拨 研究三角函数的性质(如周期、最值、单调性、奇偶性等)时,首先应该对所给的函 数关系式进行化简,最好化为一个角(形如 wx ? ? ) 、一种三角函数的形式. 三角函数的性质是本章的重点之一.三角函数在确定区间上的最值(或值域)问题则是 个难点,一般要利用到其有界性和单调性,且经常与三角函数的恒等变形,二次函数,不等 式,解方程等结合起来,综合考查能力.

? ? ? ? ? ? 【解析】 (1) f ? x ? ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? a cos x ? b 6? 6? ? ?
? 2 sin x cos

?
6

? a cos x ? b

?

3 sin x ? a cos x ? b ?

a ? 3 sin ? x ? ? ? ? b (其中 tan ? ?
2

a 3

) ,

所以,函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . (2) 由(1)可知: f ? x ? 的最小值为 ?
a ? 3 ? b ,所以, ?
2

a ? 3 ? b ? 2.
2

? ? ? ? ? ? 另外,由 f ? x ? 在区间 ? ? , 0 ? 上单调递增,可知 f ? x ? 在区间 ? ? , 0 ? 上的最小值为 ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? f ?? ?, ? 3? ? ? ? 所以, f ? ? ? ? 2, 得 a ? 2 b ? 7 ,联立 ? ? 3?

a ? 3 ? b ? 2 解得: a ? ? 1, b ? 4 .
2

易错点: 在题(2)中,能否正确列出方程组,还有计算 a ? ? 1, b ? 4 时也容易出错. 变式与引申 3:求函数 y ? 的值域. 2 ? sin x 题型四 三角函数的图象和性质的综合应用 【例 4】已知函数 y ? a sin x ? b cos x ? c 的图象上有一个最低点 ( 坐标不变,横坐标缩小到原来的
3 11? 6 ,1) ,将图象上的各点纵

3 cos x

?

倍,然后再向左平移 1 个单位得到 y ? f ( x ) 的图象,且

方程 f ( x ) ? 3 的所有正根构成一个以 3 为公差的等差数列,求 y ? f ( x ) 的解析式及其最小正 周期、单调递减区间. 点拨 本题比较难,首先难在审题上,要理清各层题目意思;其次,原题中的函数不但有 a,b,c 三个 参数,而且图像也不在标准位置上;第三难在通过图像变换后,会得到什么样的函数图像, 还有方程的根正好构成等差数列又怎么理解.解题思路分析如下:第一步,要化成同名函数; 其次是利用转化的思想,把“三元”化为“一元” ,这可以通过图象上有一个最低点 (
11? 6 ,1)

来转化得到;然后处理图像变换,得出 y=f(x)的含参解析式;最后利用等差数列求出参数 c. 此题是三角函数图象的综合应用题, 要正确解答必须对三角函数图象变换的基本特性有 较深刻的认识,考查综合应用知识的能力,和数形结合、转化的数学思想.解决三角函数的 图象变换问题,要注意以下两方面:首先要化为同名函数;其次是周期变换发生在相位变换 之前时,应明确平移的量是什么.还要充分运用数形结合、转化等数学思想解题.

【解析】将函数化为 y ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ? c , 其中 tan ? ?

b a

,由条件得

? 7? ? 11? ? ? ? ? 2k? ? 7? ? ?? ? 2 k ? ? 2 ? ? 3 ? y ? ( c ? 1) sin( x ? 2 k ? ? )?c ? 6 3 ?? a 2 ? b2 ? c ? 1 ? a2 ? b2 ? c ?1 ? ?
? y ? ( c ? 1) sin( x ? )?c, 3 3 所有点的横坐标缩小到原来的 倍

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? y ? ( c ? 1) sin( ?

?
3

x?
p

?
3

)?c
y ( c - 1) sin px 3 + c,

3 3 2? ? 6 ,其半周期的长度恰好为 3. 下一步是关键是求出参数 c,显然 y ? f ( x ) 的周期 T ? ?
3 而 f ( x ) ? 3 可看成 y ? f ( x ) 的图象与直线 y ? 3 的交点的横坐标,且由半

? ? ? ? ? ? ? ??

所 有 点 向 左 平 移 1个 单 位 长 度

y = ( c - 1) sin[

p

( x + 1) -

]+ c ?

周期的长度为 3 可知,相邻交点间的距离也为 3,从而由 三角函数图象的特征知道, c ? 3 ,否则无法满足半周期为 3. y ? f ( x ) 的图象与与直线 y ? 3 的交点只可能是在 y ? f ( x ) 的各 对称中心 ( 3 k , c ) ,对称轴向上平移了 3 个单位,即 c ? 3 ,如图
2 ? 2 ? 3 .从而 y ? f ( x ) ? 2 sin

?x
3

2 2 易错点 本题易出错的地方是平移、伸缩时,解析式的变化,再就是用等差数列的条件时讨 论不全. 变式与引申 4:函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选

? 3 ,单调递减区间为 [6 k ?

3

, 6k ?

9

图2? 2 ?3 ]( k ? Z ) .

择适当的探究顺序,研究函数 f(x)=
[ ?? , ? ] 的草图.

1-sinx+ 1+sinx的性质,并在此基础上,作出其在

本节主要考查 ⑴三角函数的图象,包括:①y=sinx、y=cosx、y=tanx 的图象;②“五点法” 画出 y=Asin(ωx+φ)的简图;③利用平移和伸缩变换画出 y=Asin(ωx+φ)的图象;⑵三角 函数性质,包括奇偶性,单调性,周期性,最值;⑶三角函数的图象和性质的综合应用; (4) 等价转化,数形结合等数学思想方法. 点评 高考对三角函数的图象和性质一向是考查的重点, 在复习过程中要注意与三角函数的 化简、求值等基础知识,以及三角函数的恒等变形等结合起来,还要注意与代数、几何、向 量的综合联系.复习的重点是正、余弦函数的图象变换及其应用,掌握它们的性质,其中单调 性又是本节的一个难点. 1.对三角函数图象要从对称轴和有界性这两个角度去把握, 对称性包括对称轴和对称中心两 个关键要素,要熟记 y=sinx、y=cosx、y=tanx 的对称轴和对称中心. 2.对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上.而求三角函数的定义域往往要 解三角不等式,解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法. 对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合. 一般解题规律是先对三角函数关系式进行三 角变换, 使之转化为一个角的三角函数的形式, 再利用换元法转化为对基本三角函数性质的 研究. 3. 求三角函数的最值问题属于常见题型,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角

变换和换元化为一次函数或二次函数在闭区间 t ? [ ? 1,1] 上的最值问题,或引入辅助角 ? ,或 采用“不等式”法,或“数形结合”等基本类型处理. 4.对函数 y=Asin(ωx+?)+k (A>0, ω>0, ?≠0, k≠0),其图象的基本变换是个难点,各种变换 的实质要熟练掌握,不能单从形式上简单判断. 5. “五点法”是三角函数作简图的有力武器,要熟练掌握.最基本的三角函数图象的形状和位置 特征,要准确掌握,它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键. 6.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比 较大小,图象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式. 7.常用方法: (1)求三角函数的值域、最值:利用正弦、余弦函数的有界性,通过变换转化为代数最值问题; (2)求周期:将函数式化为一个三角函数的一次方的形式,再利用公式,利用图象判断. 习题 2-2 1.(2009 浙江文、理)已知 a 是实数,则函数 f ( x ) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是 ( ) ...

图2 ? 2 ? 4 2. 若函数 f(x)= a+bcosx+csinx 的图象过点 A(0,1)和 B( ( ,1) ,且 x ? (0, ) 时, f(x)≤2
2 2

?

?

恒成立,则实数 a 的取值范围是 3.函数 f(x)=a+bsin2x+ccos2x 的图象经过点 A(0,1) ,B(

?
?

,1),且当 x∈[0,

?
?

]时,

f(x)取得最大值 2 2 -1. (1)求 f(x)的解析式; (2)(选作题)是否存在向量 m,使得将 f(x) 的图象按向量 m 平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在,求出满足条件的一个 m;若不 存在,说明理由.

π 2 φ 4.已知函数 f(x)=A sin ( w x + j ) (A>0,ω >0,0< < 函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相 2 邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 f(x); (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 011).
5.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3 sin2x),x∈R. (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[- ],求 x; 3 3 (2)试作出函数 f(x)在一个周期内的简图;

?



?

(3) 设函数 f(x)的最大值为 M ,若有 10 个互不相等的正数 x i 满足 f ( x i ) ? M , 且
x i ? 10 ? ( i ? 1, 2 , ? ,10 ) ,求 x1 ? x 2 ? ? ? x10 的值.

第三节 平面向量与代数的综合应用
平面向量与代数的综合应用为每年高考必考内容,以选择题(填空题)形式出现,或作 为题设条件与三角函数(解三角形) 、数列、函数不等式形成综合解答题的形式出现,分值 在 4~12 分左右;向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”,这使它成为中学数学知识的 一个交汇点,也成为多项内容的媒介,在高考中主要考查有关的基础知识,突出向量的工具 作用,难度系数在 0.4~0.8 之间. 考试要求 ⑴理解平面向量的概念,理解两个向量相等及向量共线的含义;⑵掌握向量 的加法、减法及数乘运算;⑶了解平面向量基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及 其坐标表示, 理解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算, 理解用坐标表示的平面向 量共线的条件; ⑷理解平面向量的数量积的含义及其物理意义, 掌握数量积的坐标表达式并 会进行数量积的运算,能用数量积表示两向量的夹角,会用数量积判断两向量的垂直关系. 题型一 平面向量的有关概念及应用 ? 例 1(2010 年山东卷理)定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下,对任意的 a = (m ,n) ,

? ? ? b ? (p,q ) ,令 a ? b =mq ? np ,下面说法错误的是( ? ? ? ? (A)若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0
? ? ? ? (C)对任意的 ? ? R ,有 ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b )



? ? ? ? (B) a ? b ? b ? a
? ? ? ? ? ? (D) (a ? b ) 2 ? ( a ? b ) 2 ?| a |2 | b |2

点拨:仿照平面向量的线性运算规则及数量积的性质进行“ ? ”运算. ? ? ? ? ? ? 解:若 a 与 b 共线,则有 a ? b =mq ? np=0 ,故 A 正确;因为 b ? a =pn ? qm ,

? ? ? ? ? ? 而 a ? b =mq ? np ,所以有 a ? b ? b ? a ,故选项 B 错误,选 B. ? ? ? ? 易错点: 把定义的运算“ a ? b =mq ? np ”混同与“ a ? b ? mq ? np=0 ”, 认同选项 B 正确. ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? m 变式与引申 1: 已知两个非零向量 m , n , 定义运算“#”: # n ?| m | ? | n | sin ? , 其中 ? 为 m , n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的夹角.有两两不共线的三个向量 a , b , c ,下列结论:①若 a # b ? a # c ,则 b ? c ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②a #b ? b #a ; ③若 a # b ? 0 ; a ? b ; ( a ? b ) # c ? a # c ? b # c ; a # b ? ( ? a ) # b . 则 ④ ⑤ 其 中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 题型二 平面向量与三角函数的综合应用 ? ? ? ? 3 2 例 2:已知向量 a ? (sin x , ? 1) , b ? (cos x , ) . (1)当 a ? b 时,求 cos x ? 3 sin 2 x 2 ? ? ? 的值;(2)求 f ( x ) ? ( a ? b ) ? b 的最小正周期和单调递增区间. 点拨:(1)由向量平行列方程解出 tan x 的值,所求式子转化成正切单角名称的三角代数式, 代 入 可 求 解 ; (2) 进 行 向 量 坐 标 形 式 的 数 量 积 运 算 得 到 f ( x ) 的 解 析 式 , 转 化 为
y ? A sin(? x ? ? ) ? b 函数结构.

? ? 3 2 解:(1)由 a ? b 得 sin x ? cos x ? 0 ,即 tan x = ? , 2 3
2 所以 cos x ? 3 sin 2 x ?

. sin x ? cos x 1 ? tan x 13 ? ? ? ? ? ? ? 3 1 (2) 因为 a ? (sin x , ? 1) ,b ? (cos x , ) ; 所以 a ? b ? (sin x ? cos x , ) ; f ( x ) ? ( a ? b ) ? b 2 2
2 2

cos x ? 6 sin x cos x
2

?

1 ? 6 tan x
2

?

45

? (sin x ? cos x )cos x ?

3 4

?

1 2

(sin2 x ? cos2 x ) ?

5 4

?

2 2

sin (2 x ?

?
4

)?

5 4

;所以最小正周期

为 ? ;由 ? ? ? 3? ? 2k? ? < 2x ? < 2k? ? 得 k? ? < x < k ? ? ,故单调递增区间为 2 4 2 8 8 3? ? (k? ? , k ? ? ) ( k ? Z ). 8 8 易错点:计算 tan x 的值出错; f ( x ) 转化为 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 形式出错;下结论时遗漏
? ? ? ? 变式与引申 2: 已知向量 a ? (sin ? ,1) , b ? (1, cos ? ) 0 ? ? ? ? . (1)若 a ? b ,求 ? ;(2)求 ? ? a ? b 的最大值.
k?Z .

题型三 平面向量与数列的综合应用
C 例 3(2008 年株洲一模)在平面直角坐标系中已知 An ( n , a n )、B n ( n , bn )、 n ( n ? 1, 0) ( n ? N ? ) ,

??????? ????? ? 满足向量 An An ?1 与向量 Bn Cn 共线, 且点 B n ( n , bn ) ( n ? N ? ) 都在斜率为 6 的同一条直线上.
若 a1 ? 6, b1 ? 12 .考资 (1) 求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (2) 求数列{
1 an

}的前 n 项和 Tn ..

??????? ????? ? 点拨:利用点 B n ( n , bn ) ( n ? N ? ) 都在斜率为 6 的同一条直线上和 An An ?1 与 Bn Cn 共线分别
得出数列递推公式 bn ?1 ? bn ? 6 和 a n ?1 ? a n ? bn ,求出 bn 后再求 a n 的通项公式. DB 点拨 解:(1)因为点 B n ( n , bn ) ( n ? N ? ) 都在斜率为 6 的同一条直线上,所以
bn ? 1 ? bn ( n ? 1) ? n =6 ,即

bn ?1 ? bn ? 6 于 是 数 列 {bn } 是 等 差 数 列 , 故 bn ? 12 ? 6( n ? 1) ? 6 n ? 6 ; 因 为

??????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? An An ?1 ? (1, a n ? 1 ? a n ) , B n C n ? ( ? 1, ? bn ) ; 又 因 为 A n A ? 与 B n C共 线 , 所 以 n 1 n
1 ? ( ? n ) ? ( ? 1 ?) ( b a n1 an ?
1

?n a
1

? )

0 ,即

a n ? 1 ? a n ? bn a? ? ( n ? a
1


)? a 1 ?a


? b1

n≥2




? b ?1

a( ?

2

a ? )

a ( ? … a ?) 3

2n

? b2 … ? n ?3 b

? a1 ? b1 ( n ? 1) ? 3( n ? 1)( n ? 2) ? 3 n n ? (

,1当 ) n=1 时 , 上 式 也 成 立 ,

所以

a n ? 3 n ( n ? 1) .
1 an ?



(2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? 1 ? n . ) ? ?1 ? ( ? ) , Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 2 2 3 n n ?1 3? n ? 1 ? 3n ? 3 3 n n ?1

易错点: 错误理解点 B n ( n , bn ) ( n ? N ? ) 都在斜率为 6 的同一条直线上的含义,无法求得 bn 的

??????? ????? ? 通 项 公 式 ; 由 An An ?1 与 Bn Cn 共 线 错 列 方 程 1 ? ( ? bn ) ? ( ? 1)( a n ?1 ? a n ) ? 0, 得 到 结 果
a n ? 1 ? a n ? ? bn .

变式与引申 3: 数列 { a n } 中 a1 =1 ,a 5 =13 ,a n ? 2 ? a n =2 a n ?1 , 数列 { b n } 中,b2 ? 6 ,b3 ? 3 ,
bn ?1 =b n b n ? 2
2












,3 n P
1



P1 ( ,a1 , ) b1 , ( , P2

a 2 ) , b2 (n , ?,

, 已 知 点 列 ???? ???? ? ? ????????? ? ?,n ) a 3 则向量 3P1 P2 + P3 P4 P ) P2009 P2010 b b ( +…+ a C. (3015, 8[( ) 2010 ? 1])
2 1



的坐标为(
1 2

). B. (3012, 8[( )1005 ? 1])
2

A. (3015, 8[( )1005 ? 1]) D. (3018, 8[( ) 2010 ? 1])
2 1

题型四 平面向量与函数的综合应用

? ? 1 例 4(2010 年洛阳十校)已知平面向量 a ? ( 3 ,-1), b ? ( , 2

3 2

).高考资源网

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 (1) 若存在实数 k 和 t ,使得 x ? a + ( t ? 3) b , y ? k a ? tb ,且 x ? y ,试求函数的关系
式 k ? f ( t ) ;高(2) 根据(1)的结论,确定 k ? f ( t ) 的单调区间.

? ? ? ? ? ? ? ? ? 点拨:第(1)问先分别求得 x 与 y 的坐标,再用 x ? y 的充要条件或是直接利用 x ? y 的充要
条件,进行向量的代数运算,其过程将用到向量的数量积公式及求模公式,得到函数的关系 式 k ? f ( t ) ;第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法.资源
2 ? t ?2 3?3 解: 方法一: (1) 由题意知 x ? ( , 2

3t ? 2 3 ? 2
2

2
2

? ? 1 ), y ? ( t ? 2

3k ,

3 2

t ? k) ,

2 ? ? ? ? ? ? t ?2 3?3 1 又 x ? y 高故 x ? y = ×( t ? 2 2

3 k )+

3t ? 2 3 ? 2 2

× (

3 2

t ? k )=0,整

3 理得: t ? 3t ? 4 k ? 0 ,即 k ?

1 4

t ?
3

3 4

t . 高考资源网

? ? 1 方法二: 因为 a ? ( 3 , -1),b ? ( , 2
=0.

3 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ),所以 a =2,b =1 且 a ? b , x ? y 故 x ? y 又

?2 2 1 3 3 2 即 - k a + t ( t -3) b ? 0 ,化简得 t 3 ? 3t ? 4 k ? 0 , 所以 k ? t ? t . 4 4 1 3 3 3 2 3 (2) 由(1)知: k ? f ( t ) ? t ? t ,求导 k ? ? f ?( t ) ? t ? ,令 k ? <0 得-1< t <1;令 4 4 4 4 k ? >0 得
t <-1 或 t >1. 故 k ? f ( t ) 的单调递减区间是(-1, 1 ), 单调递增区间是 (-∞, -1) (1, 和

+∞).

? ? ? ? ? 易错点: 字母运算出错不能正确得到 x , y 的坐标形式; 没能通过简单的心算判断出 a ? b ? 0 , ? ? ? ? ? 使得 x ? y 的展开式中无法消去含有 a ? b 的项.

? ? 3 1 变式与引申 4:1.已知平面向量 a =( 3 ,-1), b =( , ),若存在不为零的实数 k 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c = a +( sin ? ? 3 ) b , d = ? k a + sin ? ? b ,且 c ⊥ d ,试求实数 k 的 和角 α,使向量
取值范围; 2.(2010 山东德州模拟)已知两个向量 a ? (1 ? log (1)若 t ? 1 且 a ? b ,求实数 x 的值;
2

x , log

2

x ) , ? (log b

2

x , t ) ( x ? 0) .

(2)对 t ? R 写出函数 f ( x ) ? a ? b 具备的性质.

本节主要考查(1)知识点有平面向量的有关概念、加减法的几何意义、向量共线定理、平 面向量的基本定理、坐标表示、垂直关系、向量的数量积; (2)演绎推理能力、运算能力、 创新意识; (3)函数与方程的思想、数形结合思想和待定系数法. 点评(1)掌握平面向量的基础知识,正确地进行向量的各种运算来处理向量与代数的综合 应用问题(如例 1) ,要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征; (2)向量共线的充要条件中 应注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量, 向量共线的坐标表示不能与向量垂直的 坐标表示相混淆; (3)理解向量的数量积的定义、运算律、性质并能灵活应用,向量的数量 积的结果是实数而不是向量,注意数量积与实数乘法运算律的差异; (4)向量的坐标运算使 得向量运算完全代数化,向量与函数、数列、解三角形、不等式等相结合形成了代数的综合 问题(如例 2、例 3、例 4) ,在知识的交汇点处命题来考查了向量的工具性及学生分析问题、 解决问题的能力. 习题 2—3 ? ? ? ? ? ? 1.(2010 年广东文数)若向量 a ? (1,1) , b ? (2, 5) , c ? (3, x ) 满足条件 (8 a ? b ) ? c ? 30 , 则x= A. 6

B.5

C.4

D.3

? ? m 2 2 2.(2010 年西南师大附中月考) 设两个向量 a ? ( ? ? 2, ? ? cos ? ) 和 b ? ( m , ? sin ? ), 其 2 ? ? ? 中 ? , m , ? 为实数.若 a ? 2 b , 则 的取值范围是 ( ) m A. [ ? 6,1] B. [4, 8] C. ( ?? ,1] D. [ ? 1, 6]

? ? 2 3.(2009 年晋城二模)已知向量 a ? ( mx , ? 1), b ? (

1 mx ? 1

, x ) (m 是常数),

1 (1)若 f ( x ) ? ? ? 是奇函数,求 m 的值; 高考资源网 a ?b
? ? ? ? ? (2)若向量 a , b 的夹角 ? a , b ? 为 [0, ) 中的值,求实数 x 的取值范围. 2 ? ? ? 4.(2009 年湖北卷理)已知向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , c ? ( ? 1, 0) .

? ? (1)求向量 b ? c 的长度的最大值;
(2)设 ? ?

?
4

? ? ? 且 a ? ( b ? c ) ,求 cos ? 的值.

?? ? ?? ? 5.(2010 郑州四中模拟)已知点集 L ? {( x , y ) y ? m ?n} ,其中 m ? (2 x ? 1,1), n ? (1, 2) ,

点列 Pn ( a n , b n ) 在 L 中, P1 为 L 与 y 轴的公共点,等差数列 { a n } 的公差为 1; (1)求数列 { a n } ,{b n } 的通项公式;(2)若 c n ?
5 n P1 Pn ( n ? 2 ), c 1 ? 1 ,数列 {c n } 的前 n 项和 S n

满足 M ? n 2 S n ? 6 n 对任意的 n ? N * 都成立,试求 M 的取值范围.

第四节 平面向量与几何的综合应用
平面向量与几何的综合应用内容为每年高考必考内容,多以选择题(填空题)形式考查 平面向量相关概念的几何意义及与平面几何知识的综合应用, 或作为题设条件与解析几何知 识综合以解答题形式出现,分值在 4-12 分左右;难度系数在 0.3~0.6 之间. 考试要求 ⑴理解平面向量的概念、两个向量平行或共线及相等的几何意义;⑵掌握向量的 加减法运算及数乘运算几何意义, 了解向量线性运算的性质及其几何意义; ⑶了解平面向量 基本定理及其意义; ⑷理解平面向量的数量积的含义, 了解平面向量的数量积与向量投影的 关系,能用数量积表示两向量的夹角,会用数量积判断两向量的垂直关系;⑸会用向量方法 解决简单的平面几何问题和简单力学问题及其他一些实际问题. 题型一 平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用 ???? ??? ? ? ??? ? 例 1 ⑴已知 O , A, M , B 为平面上四点,且 OM ? OB ? (1 ? ? )OA , ? ? (1, 2) ,则( ) A.点 M 在线段 AB 上 B.点 B 在线段 AM 上 C.点 A 在线段 BM 上 D.O、A、M、B 四点共线 ??? ? ? ??? ? ? ? ? ⑵在 ? ABC 中,点 D 在 AB 上,CD 平分 ? ACB .若 CB ? a ,C A ? b , a ? 1 , b ? 2 ,
???? 则 CD ? (

)

A.

1? 2? a? b 3 3

B.

2? 1? a? b 3 3

C.

3? 4? a? b 5 5

D.

4? 3? a? b 5 5

点拨:⑴考查了平面向量的加减法运算,利用数乘运算几何意义根据 ? ? (1, 2) 来判断点 M

的位置: ⑵考查向量的基本运算和三角形的角平分线定理, 关键在于确定点 D 在 AB 上的位 置,由角平分线定理得出 D 为 AB 的三等分点,结合向量的基本运算求解; ???? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 解 : ⑴ 选 B. 根 据 题 意 知 OM ? ? OB ? OA ? ? OA ? ? (OB ? OA ) ? OA , 则 ???? ? ??? ? ???? ??? ? ? ??? ??? ? ? OM ? OA ? ? (OB ? OA ) ,即 AM ? ?AB .由 ? ? (1, 2) 判断出点M在线段 AB 的延长线上, 即点 B 在线段 AM 上; ⑵选 B.因为 CD 平分 ? ACB ,由角平分线定理得
AD DB ? CA CB ? 2 1

,所以D为 AB 的三等

???? 2 ??? ? 2 ??? ??? ? ? ???? ??? ???? 2 ??? 1 ??? 2 ? 1 ? ? ? ? 分点,且 AD ? AB ? ( CB ? CA ) ,故 CD ? CA ? AD ? CB ? CA ? a ? b ; 3 3 3 3 3 3

易错点:⑴没有根据 ? ? (1, 2) 来判断点 M 的位置;⑵同学对角平分线定理不熟悉,导致求 解出错.
???? ???? ???? ? ? 变式与引申 1:⑴(2010 湖北卷)已知 ? ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若存在实
??? ???? ? ???? ? 数 m 使得 AB ? AC ? m AM 成立,则 m =(

) D.5

A.2 ⑵ 设
D, E, F

B.3

C.4

分 别 是 ? ABC

C 的 三 边 B 、

、 A C B

A 上 的 点 , 且

???? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ? DC ? 2 BD , CE ? 2 EA , AF ? 2 FB , 则 AD ? BE ? CF 与 BC (

)

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 题型二 平面向量基本定理及数量积的几何意义应用 例 2:⑴(2010 江苏泰兴质检)在正六边形 ABCDEF 中,点 P 是 ? CDE 内(包括边界) ??? ? ??? ? ???? 的动点,若 AP ? ? AB ? ? AF (? , ? ? R ) ,则 ? ? ? 的取值范围是 ; ??? ? ? ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵已知 OA ? a , OB ? b ,OC ? c ,OD ? d ,OE ? e , t ? R , 设 如果 3a ? c ,2b ? d , ? ? ? e ? t ( a ? b ) ,那么 t 为何值时, C , D , E 三点在一条直线上? ⑶(2010 江苏南通质检)如图 2-8,在等腰 Rt ? ABC 中, AC ? BC ? 1 ,点 M , N 分别是 ???? ???? AB , BC 的 中 点 , 点 P 是 ? ABC ( 包 括 边 界 ) 内 任 意 一 点 , 则 AN ? MP 的 取 值 范 围 是 ; 点拨:⑴利用平面向量基本定理和向量加法的平行四边形法则,通过画图数形结合解出,或 者用平面向量基本定理及线性规划的知识来解出;⑵向量个数较多,应选准一对作为基底, 利 用 平 面 向 量 共 线 充 要 条 件 列 出 方 程 求 解 ; ⑶ 因 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???? A N ? M ?P A cN o sM ?P ? ? 又 N o ? P ? , AMP? c s M AN MP ? 是向量 MP 在 AN 的方
???? ???? ???? ???? ???? 向上的投影,那么 AN ? MP 相当于 AN 与向量 MP 在 AN 的方向上的投影的乘积.

? 解: ⑴方法一, ? ? 的取值范围是 ? 3, 4 ? .从特例试一试, 当点 P 与 C 重合时(如图 2 ? 4 ? 1 ), ???? E AC 确定, 过点 C 作 AB 和 AF (即 ED 和 CD ) 的平行线得 ? AGCF , 易知 ? ? 2 ,? ? 1 ,
所以 ? ? ? ? 3 ;同理点 P 与 E 重合时,也可以得 ? ? ? ? 3 ;点 P 与 D 重合 时, ? ? ? ? 2 ,所以 ? ? ? ? 4 . 方法二,如图 2 ? 4 ? 2 建立直角坐标系,设六边形的边长为 2,各个顶点的坐标分 F A

D C

图2 ? 4 ?1

B

G

别是 A ( ? 1, ? 3 ) 、 B (1, ? 3 ) 、 C (2, 0) 、 D (1, 3 ) 、 E ( ? 1, 3 ) 、 F ( ? 2, 0) , ??? ? ??? ? ???? 令 P ( x , y ) ,那么 AP ? ( x ? 1, y ? 3 ) , AB ? (2, 0) , AF ? ( ? 1, 3 ) . ??? ? ??? ? ???? 由 AP ? ? AB ? ? AF 得 x ? 1 ? 2? ? ? ①, y ? 3 ? 3 ? ②,二者联立 有 x ? 2? ? ? ? 1 , y ?
3? ? 3 .因为点 P 在 ? CDE 内(包括边界) ,所以点 P

y E F o B P D C x

必在直线 DE 和 CD 的下方,同时在直线 C E 的上方,求出直线 CD 和 C E 的方程,

? A ?y ? 3 ? ? 图 根据线性规划知识得到点 P 满足的约束条件是: ? y ? ? 3 ( x ? 2 ) ;把 x, y 分别换成 2 ? 4 ? 2 ? ? y ? ? 3 (x ? 2) ? 3 ?
( 2? ? ? ? 1, 3? ?
?? ? 2 ? 3 )得 ? ? ? 2 ; 作图验证可知, 当点 P 与 C 重合时,? ? 2 ,? ? 1 ?? ? ? ? 3 ?

? 即 ? ? ? ? 3 ; P 与 D 重合时, ? ? ? 2 , ? ? ? ? 4 .所以 ? ? ? 的取值范围是 ? 3, 4 ? ; 点 即 ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ⑵由题设知,CD ? d ? c ? 2 b ? 3 a , CE ? e ? c ? (t ? 3) a ? tb ,C , D , E 三点在一条直线上 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 k , 使 得 C E ? k C D, 即 (t ? 3 )a ? t b ? ? 3 k a ? 2 k b 整 理 得 , ? ? ? ? ? ? ( t ? 3 ? 3 k ) a ? (2 k ? t ) b ,①若 a , b 共线,则 t 可为任意实数;②若 a , b 不共线,则有 ? ? ? ? ?t ? 3 ? 3k ? 0 6 ,解之得,t ? .所以综上所述,当 a , b 共线时,则 t 可为任意实数;当 a , b ? C 5 ? t ? 2k ? 0
不共线时, t ? ; 5 ⑶因为点 M 是定点,点 P 在 ? ABC (包括边界)内任意移动,所以向 ???? ???? 量 MP 在 AN 方向上的投影最长时 P 位于 B 处的,最短时 P 位于 A 处, ???? ???? ???? ???? ???? ???? 且为负数,所以 AN ? MA ? AN ? MP ? AN ? MB ,再以 C 为原点, C A
6
P A M 图 2 ? 4? 3 N B

1 1 所在直线为 x 轴, C B 所在直线为 y 轴建立坐标系,得 A (1, 0) , B (0,1) , M ( , ) , 2 2 ???? ???? ???? ???? 1 1 1 1 3 1 1 1 3 N (0, ) , AN ? MA ? ( ? 1, ) ? ( , ? ) ? ? , AN ? M B ? ( ? 1, ) ? ( ? , ) ? ,即 2 2 2 2 4 2 2 2 4 ???? ???? ? 3 3 ? AN ? M P ? ? ? , ? . 易错点: ⑴对平面向量基本定理概念不清晰, 利用向量加法进行平行 ? 4 4? 四边形法则作图不到位,判断 ? , ? 的取值出错;⑵不能正确选准一对向量来作为基底去表 ??? ? ???? ???? ???? ? ? 示 CE ? k CD ,没有对 a , b 是否共线进行分类讨论;⑶没有认识到 AN ? MP 的取值范围即 ???? ???? 为向量 MP 在 AN 方向上的投影.

变 式 与 引 申 2 : ⑴ 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , A ( ? 2, 0) , B (1, 3) , O 为 原 点 , 且
OM ? ? OA ? ? OB , (其中 ? ? ? ? 1, ? , ? 均为实数) ,若 N(1,0) ,则 | MN | 的最小值



. ??? ? ??? ? ⑵ 已 知 O A =1 , O B =

??? ??? ? ? 3 , OA ? OB =0 , 点 C 在 ? AOB 内 , 且 ? AOC =30°, 设

???? ??? ? ??? ? m OC = mOA ? nOB ( m , n ? R ) ,则 等于( n



A.

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

题型三 平面向量与平面几何综合的问题 例3:⑴已知 ? ABC 中,过重心 G 的直线交 AB 于 P ,交边 AC 于 Q ,设 ? APQ 的面积为
??? ? ??? ???? ? ???? pq ? ? ABC 的面积为 S 2 , AP ? p PB , AQ ? qQC ,则① , p?q
S ② 1 的 , S2

S1

取值范围是



⑵(2010 全国卷)已知圆 O 的半径为1, PA , PB 为该圆的两条切线, A 、 B 为两切点,
??? ??? ? ? 那么 PA ? PB 的最小值为( )

A. ? 4 ?

2

B. ? 3 ?

2

C. ? 4 ? 2 2

D. ? 3 ? 2 2

??? ? ???? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ???? 点拨:⑴令 AB ? a , AC ? b , AP ? ?1 a , AQ ? ? 2 b , PQ ? ? PG , 通过引入中间变量根据三角

形的重心和平面向量的基本定理演算出 p 和 q 之间的关系式;⑵用 ? APB 的三角函数形式
??? ??? ? ? 表示出 PA ? PB ,再使用均值不等式得到答案;或者建立适当的坐标系,使用向量数量积的

坐标运算形式求解. 解: ⑴
pq p?q ?1

??? ? ???? ? ??? ? ? ? ???? ? 4 1 ? [ , ). 设 AB ? a , AC ? b , AP ? ?1 a , AQ ? ? 2 b , 因为 G 是△ ABC 9 2 ;S 2
S1



???? 1 ? ? ???? ???? ??? ? ? 1? 1 AG ? ( a ? b ) , 又 PG ? AG ? AP ? ( ? ?1 ) a ? b , 3 3 3 ???? ???? ??? ? ? ? ???? ???? ???? ???? PQ ? AQ ? AP ? ? 2 b ? ?1 a , 因 为 PG 与 PQ 共 线 , 所 以 PQ ? ? PG , 即









? ? ? ? ? 1 1 [ ? ( ? ?1 ) ? ? ]a ? ( ? ? ? ) b ? 0 ,又 a 与 b 不共线, 1 2 3 3 1 1 所以 ? ( ? ?1 ) ? ? ?1 及 ? ? ? 2 ,消去 ? ,得 ?1 ? ? 2 ? 3?1? 2 ; 3 3

1 p ? 1 q ?( 1

A P G

Q C

?1

? 1) ? (

1

?2

? 1) ? 3 ? 2 ? 1 ,故

pq p?q

? 1;

B

图2 ? 4 ? 4



?2 ?

?1
3 ?1 ? 1

( ?1 ?

1 3

)







S1 S2

?

| AP | ? | AQ | ? sin ? BAC | AB | ? | AC | ? sin ? BAC

? ?1 ? 2 ?

?12
3 ?1 ? 1

? ?(

1

?1

?

1 3 2

) ?
2

9 4

,当 P 与 B 重合时,

?1 ? 1 ,当 P 位于 AB 中点时, ?1 ?

1

S 1 4 1 ,故 ?1 ? [ ,1] ,故 1 ? [ , ]. 但因为 P 与 B 不 2 9 2 , 2 S2

能重合,故

4 1 ? [ , ). 9 2 S2

S1

⑵选 D.方法一:如图 2 ? 4 ? 5 ,令 ? APB ? ? , 0 ? ? ? ?
?(
1 tan ? 2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PA ? PB ? PA PB cos ?

A

) cos ? ?
2

cos

2

2 sin ? 2

(1 ? 2 sin

2

?
2

)?

2 2 (1 ? sin ? )(1 ? 2 sin ? ) 2 2 2 sin ? 2



O

P B 图2 ? 4 ?5

令 x ? sin

2

?

??? ??? (1 ? x )(1 ? 2 x ) ? ? 1 ? 2x ? ? 3 ? 2 2 ? 3 ; , 0 ? x ? 1 , PA ? PB ? x x 2
2 2

方法二:以圆心 O 的坐标原点,以 OP 为 x 轴,建立坐标系:圆的方程为 x ? y ? 1 , 设
A ( x1 , y1 )



B ( x1 , ? y1 )



P ( x0 , 0)



??? ??? ? ? 2 2 2 PA ? PB ? ( x1 ? x 0 , y1 ) ? ( x1 ? x 0 , ? y1 ) ? x1 ? 2 x1 x 0 ? x 0 ? y1 ,由

???? ??? ? 2 2 AO ? PA ? ( x1 , y1 ) ? ( x1 ? x 0 , y1 ) ? 0 ? x1 ? x1 x 0 ? y1 ? 0 ? x1 x 0 ? 1 ,
??? ??? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 所以有 PA ? PB ? x1 ? 2 x1 x 0 ? x 0 ? y1 ? x1 ? 2 ? x 0 ? (1 ? x1 ) ? 2 x1 ? x 0 ? 3 ? 2 2 ? 3 .
??? ??? ? ? 易错点:⑴没有正确引入中间变量使得 p 和 q 之间的关系式运算出错:⑵对 PA ? PB 的三角

???? ??? ? 形式化简方向偏离正确结构或建立坐标系没有利用 AO ? PA 得出 x1 x 0 ? 1 , 难以继续演算.

变式与引申 3:⑴(2009 合肥一中)O 是平面上一定点, A , B , C 是平面上不共线的三个点, ??? ? ???? ??? ??? ? ? ? ? AB AC ??? ? ? ???? ? , ? ? [0, ?? ) 则 P 的轨迹一定通过 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? C ? sin B | AB | sin C | AC | ? P ? ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ⑵如图 2-11,半圆的直径 AB ? 4 , O 为圆心, C 是圆弧上不同于 A , B 的任意 A O ??? ??? ??? ? ? ? 图2 ? 4 ? 6 一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 ( PA ? PB ) ? PC 的最小值是 ; 题型四 平面向量与圆锥曲线综合的问题 例 4(2010 北京宣武区二模)已知直线 y ? mx ? 1 与曲线: ax ? y ? 2 ( m, a ? R ) 交于
2 2

B

两点 A、B; ??? ??? ??? ? ? ? ⑴设 OP ? OA ? OB ,当 a ? ?2 时,求点 P 的轨迹方程;

??? ??? ? ? ⑵是否存在常数 a ,对任意 m ? R ,都有 OA ? OB ? ? 2 ?如果存在,求出 a 的值;如果不

存在,说明理由.
??? ??? ? ? ⑶对 a 为任意正实数,是否存在常数 m ,都有 OA ? OB 为常数?如果存在,求出 m 的值;

如果不存在,说明理由. ??? ??? ??? ? ? ? 点拨:⑴从 OP ? OA ? OB 分析点 P 的坐标与点 A , B 的坐标相关联,直线方程与曲线方程 联立消 y ,演算出点 P 关于 m 的参数方程,消参数 m 可求点 P 的轨迹方程;⑵由
??? ??? ? ? OA ? OB ? ? 2 和根与系数关系式建立方程组,去探究是否存在常数 a ;⑶应该是上一问的

引申,遵循了由特殊到一般的探究过程.
??? ??? ??? ? ? ? ? y ? mx ? 1 ? 解: ⑴设 A ( x1, y1 ), B ( x 2, y 2 ) , OP ? OA ? OB ? ( x1 ? x , y 2 y ) , ? 则 由 2 1 2 2 ??2 x ? y ? 0

消去 y ,得:
?m 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 2 2 ( m ? 2) x ? 2 mx ? 1 ? 0 ; 依题意有 ? 解得:m ? 1 且 m ? 2 ; 2 2 ? ? ? (2 m ) ? 4( m ? 2) ? 0 ?

x1 ? x 2 ?

2m 2?m
2

, x1 x 2 ?

1 2?m
2

, y1 ? y 2 ? mx1 ? 1 ? mx 2 ? 1 ? m ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?

4 2?m
2



2m ? ?x ? 2 ? m2 ? 2 2 2 2 所以点 P 的坐标为 ? 消去 m ,得: 2 x ? y ? 2 y ? 0 ,即 ( y ? 1) ? 2 x ? 1 , 4 ?y ? 2 ? 2?m ?

由y ?

4 2?m
2

得m ?
2

2y ? 4 y
2

,由

2y ? 4 y

? 1且

2y ? 4 y

? 2 ,解得 y ? 0 或 y ? 4 ,点 P 的

轨迹方程为 ( y ? 1) ? 2 x ? 1 ( y ? 0 或 y ? 4 ) ;
2

? y ? mx ? 1 2 2 ⑵假设存在这样的常数 a .由 ? 2 消 y 得: ( m ? a ) x ? 2 mx ? 1 ? 0 2 ax ? y ? 2 ?
x1 ? x 2 ? ? 2m m ?a
2

①,


? O ? x1 2 ? B 1 ( ? x2 ?
?1 ?

x1 x 2 ? ?

1
2

? O ?

? A 1
2

?
?1

?

m ?a ? ? 2 x m 1 1 2 ? ( m ? ) x 1x


?1 x (


? y ? y ) x ?1 m
1 3


x 1
m( ) ? x

22

2

? ( m ? 1)?

m ?a
2

?m?

?2m m ?a
2

? 3m ? 1
2

m ?a
2

? 1 ? ?2 ; 解 得 : a ?

1 3

.当 a ?

时,

m ?
2

1

? 2 1? 2 ? 0 ,且方程①判别式 ? ? 4 m ? 4 ? m ? ? ? 0 ,所以对任意 m ? R ,A、B 两点 ? 3? 3

总存在,故当 a ?

1 3

??? ??? ? ? 时,对任意 m ? R ,都有 OA ? OB ? ? 2 ;

? ? ?? ? ? ?? ⑶ 假 设 这 样 的 常 数 m 存 在 , 对 a 为 任 意 正 实 数 , 使 O A? O B为 一 常 数 M. 即

??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? M ,
? 3m ? 1
2



m ?a
2

? 1 ? M , 化 简 得 : (1 ? M ) a ? ( M ? 2) m ? 1 , 对 a 为 任 意 正 实 数 , 有
2

?1 ? M ? 0 2 ,成立,即 3m ? 1 ? 0 ,出现了矛盾.所以这样的常数 m 不存在. ? 2 ? ( M ? 2) m ? 1 ? 0

易错点:求出点 P 的轨迹方程后,没有注意到 y 的取值范围,代数式化简运算出错. 变式与引申 4:⑴已知定点 A (-1,0)和 B (1,0), P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上的一动点,
2 2

???? 2 ???? 2 ? 则 PA ? PB 的最大值是

;最小值是
2 2

.

x y ⑵(2010 辽宁名校)已知 A 、B、C 是椭圆 M: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 上的三点,其中点 a b ???? ??? ? ??? ? ???? A 的坐标为 ( 2 3 ,0 ) ,BC 过椭圆 M 的中心,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | ; ① 求椭圆 M 的方程; ②过点 ( 0 , t ) 的直线 l (斜率存在时)与椭圆 M 交于两点 P、Q,设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半

轴的交点,且 | DP |?| DQ |, 求实数 t 的取值范围. 本节主要考查 ⑴知识点有平面向量的加减法、向量共线定理、平面向量的基本定理、向量 的数量积的几何意义及运算,平面向量平行和垂直位置关系;⑵演绎推理能力、运算能力、 创新意识;⑶数形结合思想、函数、不等式思想、分类讨论思想、化归转化思想和应用向量 法分析解决问题. 点评 ⑴认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究,掌握平面向量相关 概念的几何意义,正确地运用向量的各种运算来处理向量与几何的综合应用问题(如例 1、 例 2) ,要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征;⑵理解向量数量积的定义、运算律、性质 几何意义,并能灵活应用处理与向量的夹角、模长和垂直的相关问题;⑶平面向量能与中学 数学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,注意向量在知识的交汇点处命题,要关注 平面向量与三角形等平面几何知识相结合的综合问题 (如例3) 及平面向量作为解析几何问 题的已知条件与之交织在一起的综合问题(例4) ;⑷平面向量重视考查综合能力,体现了 向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力,学生要善于运用向量方法解题,树立运用 向量知识解题的意识;⑸知晓三角形五“心”向量形式的充要条件,设 O 为 ? ABC 所在平面 上一点,角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ,则
??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ① O 为 ? ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC ;

??? ??? ???? ? ? ? ② O 为 ? ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 ; ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? ? ? ? ③ O 为 ? ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ;

??? ? ??? ? ???? ? ④ O 为 ? ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 ; ??? ? ??? ? ???? ⑤ O 为 ? ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC ;

习题2-4 ??? ? ??? ? ???? 1.在△ABC 中,若对任意 k ? R ,有 BA ? k BC ? AC ,则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形

) D.等腰直

??? ? 2 ??? 1 ???? ? ???? 2 ??? 1 ???? ? 2.设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 AP ? AB ? AC , AQ ? AB ? AC ,则△ABP 5 5 3 4 的面积与△ABQ 的面积之比为________. ??? ??? ? ? 3. (2010 荆州模拟)已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,O 是直线 l 外一点,向量 O A ,OB ,

???? ??? ? ??? ? ???? OC 满足 OA ? [ f ( x ) ? 2 f ?(1)]OB ? ln( x ? 1) OC ,求函数 y ? f ( x ) )的表达式;
??? ??? ??? ? ? ? 4.已知△ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列.⑴求 ? ABC 的面积 S 的最大值;

??? ??? ? ? ⑵求 BA ? BC 的取值范围.

5. (2010 泉州模拟)过抛物线 x ? 4 y 上不同两点 A 、 B 分别作抛物线的切线相交于 P 点,
2

PA ? PB ? 0 .

⑴求点 P 的轨迹方程; ⑵已知点 F (0,1) ,是否存在实数 ? 使得 FA ? FB ? ? ( FP ) ? 0 ?若存在,求出 ? 的值,若
2

不存在,请说明理由.

第二讲

测试卷

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 将 时 钟 的 分 针 拨 慢 10 分 钟 , 那 么 此 过 程 中 分 针 经 过 的 弧 度 数 为 ( ) ? ? ? ? A. B. - C. D. - 3 3 6 6
OA OB ? b , 2. 已知平行四边形 ABCD, 是平行四边形 ABCD 所在平面外任意一点, ? a , O OC ? c ,则向量 OD 等于

( C. a - b + c 已 D. a - b - c 知



A. a + b + c 3.

B. a + b - c



sin(? ?

?
3

) ? sin ? ? ?

3 2

,? ? (?

?
2

, 0). 则 cos ? =





A. -

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

4 . 若 将 函 数 y ? tan(? x ?
y ? tan(? x ?

?
4

)(? ? 0) 的 图 像 向 右 平 移

?
6

个单位长度后,与函数 的 最 小 值 为

?
6

)















?

( A.
1 6

) B.
1 4 y=|sinx|

C. -

1 3 2sinx

D. 的

1 2 值

5. 函 数 ( ) A.[-3,-1]





B.[-1,3]

C.[0,3]

D.[-3,0] 3? ),则一定有 2

6 . 已 知 → = (sinθ , 1+cosθ ) , → = (1 , 1-cosθ ) , 其 中 θ∈(π , a b ( ) A.→∥→ a b B.→⊥→ a b C.→与→夹角为 45° a b

D.|→|=|→| a b π 7.已知向量→=(6,-4),→=(0,2),→=→+?→,若 C 点在函数 y=sin x 的图象上,实 a b c a b 12 数?=( 5 A. 2 ) 3 B. 2
? sin x , 当 sin x ? cos x 时 , ? cos x , 当 cos x ? sin x 时 ,

5 C.- 2 给出下列四个命题:
π 2

3 D.- 2

8.对于函数 f(x)= ?

①该函数的值域为[-1,1] ;②当且仅当 x=2kπ+

(k∈Z)时,该函数取得最大值 1;
3π 2

③该函数是以 π 为最小正周期的周期函数;④当且仅当 2kπ+π<x<2kπ+ <0. 上 ( A.1

(k∈Z)时,f(x)

述 )













个 D.4





B.2 C.3 ??? ? ???? ???? ? 9. 已知 k ? Z , AB ? ( k ,1), AC ? (2, 4) ,若 A B ? 率为( 1 A. 7 10. ( ) ) B.
2 7

10 ,则△ABC 是直角三角形的概

C.
设 sin ? ? sin ? ?

3 7 1
3

D.
2

4 7

,则 sin ? ? cos ? 的最大值为

A.

4

3 9 12 3 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.

B. ?

11

C.

4

D. ?

2

11 . 设 函 数 f ? x ? ? cos

?

3x ? ?

??0 ? ? ? ? ?

. 若 f ? x? ? f

/

? x?

是奇函数,则

? ? __________.
1 12.已知向量→=(sin?,2cos?),→=( 3,- ).若→∥→,则 sin2?的值为____________. m n m n 2 13.设 a , b 是两个不共线的向量,AB ? 2 a ? k b , CB ? a ? 3b , CD ? 2 a ? b , A, B , D 三点共线, 若 则 k 的值为 ____________________. ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? 14.已知 a =4, b =3, (2 a ? 3b ) ? (2 a ? b ) =61.在 ? ABC 中, AB = a , C A = b , 则 ? ABC 的 内角 A 的度数是 .
? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ?

15.设→=(1+cosα,sinα) → =(1-cosβ,sinβ) → =(1,0) a ,b ,c ,α∈(0,π) ,β∈(π, π α-β 2π) →与→的夹角为 θ1,→与→的夹角为 θ2,且 θ1-θ2= ,则 sin 的值 ,a c b c 6 4 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字的说明,证明过程或演算步骤. ? ? 1 1 16.(本题满分 12 分).已知向量 m ? ( a ? sin ? , ? ) , n ? ( , cos ? ) . 2 2 (1)当 a ?
2 2

,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值;
? ?

?

?

(2)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan ? 的值.

17.(本题满分 12 分)在△ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→=(1, m 2sinA),→=(sinA,1+cosA),满足→∥→,b+c= 3a. n m n (1)求 A 的大小; ? (2)求 sin(B+ )的值. 6

18. (本题满分 12 分)已知→=(cosx+sinx,sinx),→=(cosx-sinx,2cosx). a b (1)求证:向量→与向量→不可能平行; a b

?? (2)若 f(x)=→· ,且 x∈[- , ]时,求函数 f(x)的最大值及最小值. a → b 44

19. (本题满分 12 分) 已知 ΔABC 中,A、B、C 分别是三个内角,a、b、c 分别是角 A、B、 C 的对边,已知 2 2 (sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,ΔABC 的外接圆的半径为 2 . (1)求角 C; (2)求 ΔABC 面积 S 的最大值.

? ? ? ? b 20. (本小题满分 13 分) 已知 a 、 是两个不共线的向量, a = 且 (cos ? , ? ) b = sin , (cos ? ,

sin ? ).
? ? ? ? (1)求证: a + b 与 a - b 垂直;
? ?
4 4 ,

(2)若 ? ∈( ?

) ?= ,

?
4

? ? ,且| a + b | =

16 5

,求 sin ? .

( 21.(本题满分 14 分)已知向量 ? ? ( 3 sin ? x , cos ? x) ? ? cos ? x , cos ? x ) ,记函 ,

f ( x ) ? ? ? ? , 已知 f ( x ) 的周期为 π.

??

??

(1)求正数 ? 之值, 并求函数 f(x)的的单调递增区间. ( 2 )试 用 “五 点法 ”画 出函 数 f ( x ) 在 一个 周期 内的 简图 ,并 指出 该函 数的 图象 可由
y ? sin x ( x ? R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

(3) x 表示△ABC 的内角 B 的度数, 当 且△ABC 三内角 A、 C 满足 sin B ? sin A ? sin C , B、
2

试求 f(x)的值域.

一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表 示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书 中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量) ,规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。

定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ? ? 0,使得 a= ? b . f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向 量的数 量积, 若非零向量 a, b 的夹 角为 ? ,则 a, b 的数量 积记作 a·b=|a|·|b|cos ? =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos ? 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影 可能为负值) 。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=
x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1 ?
2 2

x2 ? y2
2

(a, b ? 0),

2

4. a//b ? x1y2=x2y1, a ? b ? x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1, 2 的一点, p 则存在唯一实数 λ, P1 P ? ? PP 2 , 使 λ 叫 P 分 P1 P2 所成的比,若 O 为平面内任意一点,则 OP ?
OP1 ? ? OP 2 1? ?

。由此可得若

? x1 ? ? x 2 ?x ? x ? x1 y ? y1 ? 1? ? P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 ? .? ? ? . x2 ? x y2 ? y ? y ? y1 ? ? y 2 ? 1? ? ? 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平

移|a|= h ? k 个单位得到图形 F ' ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移
2 2

? x' ? x ? h 到 F ' 上对应的点为 p ' ( x ' , y ' ) ,则 ? 称为平移公式。 ? y'? y ? k 定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】 因为|a|2· 2-|a· 2= ( x1 ? y 1 )( x 2 ? y 2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0, |b| b| 又|a· b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn),
2 2 2 2

同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )( y 1 ? y 2 ? ? ? y n ) ?
2 2 2 2 2 2

(x1y1+x2y2+?+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn), 同 样 有 |a · b|≤|a| · |b| , 化 简 即 为 柯 西 不 等 式 : 2 2 2 2 2 2 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )( y 1 ? y 2 ? ? ? y n ) ? (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。 2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|≤| a1|+|a2|+?+|an|。



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