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必修3,4综合试题



三角函数、向量和统计试题
公式: b ?

6.过点 A (1,0) 的直线 l 与函数 y ? sin ?x, x ? [0,2] 相交于除点 A 外的 B, C 两点,则

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

/>
OA ? (OB ? OC) ?
, a ? y ? b x 说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算 A. 1. B. -1 C. 2 D. -2
?

?x
i ?1

2

i

7.已知点 A( x A , y A ) 是单位圆上(圆心在坐标原点 O )任意一点,且射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30 到 OB 交单位圆于 B( xB , yB ), 则 x A ? yB 的最大值为

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是 A. 2 2.已知 sin ? ? A. B.0 C.1 D.-2

A.

2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

5 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? 5
B. ?

8.先将函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0) 的图像关于 x 轴对称,再向右平移 C.

? 个单位长度后,所得的图像 4

?

1 5

3 5

1 5

D.

3 5

与 y ? f ( x) 图像重合,则 ? 的最小值为 A. 2. B. 3 C. 4 D. 8

3. 将参加夏令营的编号为 1,2,3,……,52 的 52 名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量 为 4 的样本,已知 6 号,32 号,45 号学生在样本中,则样本中还有一名学生的编号是 A. 19 B. 16 C. 12 D. 3 4.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长 度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和 [30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为

9.已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | c | max ? A.1 B.2 C. 2 D.

2 2

10.已知函数 f ( x) ? a sin x ?

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? (a ? R, a ? 0) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 0, 2 a 2

x
y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

则 a 的取值范围是 A. [?

t

3 ,0) 2

B. [?1,0) ? (0,1]

C. (0,1]

D.[1,3]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. A. 0.09 B. 0.45 C. 0.20 D. 0.25 5 上表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨) 与相应生产能耗 y(吨) 的几组对应数据,根据下表提供的数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ,则下列 结论错误的是 A. 产品的生产能耗与产量呈正相关 C. 回归直线一定过点 (4.5,3.5) 11.在右图所示的茎叶图中,这组数据的中位数为

0 1 2 3

2 0 1 2

3 4 2 5 4 4 6

B. A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 D. t 的取值必定是 3.15
1

1 12. 某单位有技工 18 人,技术员 12 人,工程师 6 人,需要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本.如 2 果采用系统抽样和分层抽样的方法,都不用剔除个体;如果样本容量增加一个,则在采用系统抽样 3 时,需要在总体中剔除一个个体,则样本容量 n = 13.若 3sin ? ? sin(2? ? ? ) ,则

tan(? ? ? ) ? tan ?

14.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? 15.设 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 ,若 f (x) ? f ( ) 对一切 x ? R 恒成立,则

19.(13 分)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ). g( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

?

6

(1)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值;(2)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合. 5

① f(

11? ) ?0; 12

② f(

? 7? ) < f( ) ; 5 10

③ f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数 ④ f ( x ) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? z ) 3 ? ?

20.(2011 安徽文)(13 分)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需求量 (万吨) 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286

⑤存在经过点 ( a, b) 的直线与函数 f ( x ) 的图象不相交. 以上结论正确的是 三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y ? bx ? a ; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.

16.设 a ? ( x,1), b ? (2,?1).(1)若 a ? b, 求 x 的值;(2)若 a 与 b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围.

温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.

17.(12 分)设向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1, | 3a ? b |? 5 . (1)求 | a ? 3b | 的值; (2)求 3a ? b 与 a ? 3b 夹角的余弦值. 21. (13 分)设函数 f ( x) ? 2 sin ? cos x ? cos? sin 2 x ? sin ? (0 ? ? ? ? ) 在 x ?
2

?
6

时取得最大值.

(1) 求函数 f ( x ) 的解析式和最小正周期; ( 2 )若函数 g ( x) 的图像与函数 f ( x ) 的图像关于直线 18. (12 分)已知向量 a ? (cos

3x 3x x x ? , sin ), b ? (cos ,? sin ), 且 x ? [ , ? ] . 2 2 2 2 2

x?

?
12

对称,函数 g ( x) 的单调递增区间.

(1)求 a ? b 和 | a ? b | ;(2)求函数 f ( x) ? a ? b? | a ? b | 的最大值.
2



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