9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

第八章第5讲直线、平面垂直的判定与性质


第 5 讲 直线、平面垂直的判定与性质

1.直线与平面垂直 图形

条件 a⊥b,b?α(b 为 α 内的任意直线) a⊥m,a⊥n,m、n?α,m∩n=O

结论 a⊥α a⊥α

判定

a∥b,a⊥α

b⊥α

a⊥α,b?α 性质 a⊥α,b⊥α 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相 垂直 图形语言

a⊥b a∥b

符号语言 l?β? ? ??α⊥β ? l⊥α?

判 定 定 理

3.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面垂直,那 么在一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于 另一个平面 图形语言 符号语言 α⊥β 性质 定理 l?β l⊥a ?l⊥α 4.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面 所成的角. π? (2)线面角 θ 的范围:θ∈? ?0,2?. 5.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:过二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线, α∩β=a

? ? ? ? ?

则两射线所成的角叫做二面角的平面角.

1.三种垂直关系的转化

2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的 直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交 线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.

1.(必修 2 P65 例 1、P72 例 4 改编)设 m、n 表示直线,α、β 表示平面,下列命题为真命 题的是( ) A.若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β B.m∥α,m⊥β,则 α⊥β C.若 m⊥n,m⊥α,则 n∥α D.m∥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n 解析:选 B.对于 A,m 可以在 β 内,故 A 错;对于 C,n 可以在 α 内,故 C 错;对于 D, m 与 n 可以平行,故 D 错. 2. (必修 2 P66 内文改编)线段 AB 的长等于它在平面 α 内的射影长的 2 倍, 则 AB 所在直 线与平面 α 所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 1 解析:选 C.如图,AC⊥α,AB∩α=B,则 BC 是 AB 在平面 α 内的射影,则 BC= AB, 2 所以∠ABC=60° ,它是 AB 与平面 α 所成的角.

3.(必修 2 P67 练习 T2 改编)已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA,PB,PC 两两垂 直,有下列结论:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 解析:选 A.如图,∵PA⊥PB,PA⊥PC,

PB∩PC=P,且 PB?平面 PBC, PC?平面 PBC, ∴PA⊥平面 PBC, 又 BC?平面 PBC,∴PA⊥BC. 同理可得 PB⊥AC,PC⊥AB. 故①②③正确. 4. (必修 2 P79B 组 T1 改编)将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使得平面 ADC ⊥平面 ABC,在折起后形成的三棱锥 DABC 中,给出下列三个命题:①△DBC 是等边三角

形;②AC⊥BD;③V 三棱锥 DABC=

其中正确命题的个数为( A.0 B .1 C.2 D.3 解析:选 D.如图,取 AC 的中点 E,连接 DE,EB,则 DE⊥AC,BE⊥AC.

2 . 12 )

∵平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC, ∴DE⊥平面 ABC,∴DE⊥EB, 则 DB= 2DE=1. ∴BC=CD=BD=1, ∴△DBC 是等边三角形,故①正确; 由 AC⊥平面 DBE,易知 AC⊥BD,故②正确. ∵DE 为三棱锥 DABC 的高, 1 ∴V 三棱锥 DDE ABC= S△ABC· 3 1 1 2 2 = × ×1×1× = ,故③正确. 3 2 2 12 5.(必修 2 P65 思考改编)如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90° ,AB=AC=1, 将△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD⊥平面 ACD,则折叠后 BC=________.

解析:因为 AD⊥BC, 所以 AD⊥BD,AD⊥CD, 所以∠BDC 是二面角 BADC 的平面角. 因为平面 ABD⊥平面 ACD,所以∠BDC=90° . 2 在△BCD 中,∠BDC=90° ,BD=CD= , 2 所以 BC= 答案:1

? 2?2+? 2?2=1. ?2? ?2?

线面垂直的判定与性质

如图所示,在四棱锥 PABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 1 的中点,F 是 DC 上的点,且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2

(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)证明:EF⊥平面 PAB. [证明] (1)因为 AB⊥平面 PAD,PH?平面 PAD,所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥AD. 因为 AB∩AD=A,AB,AD?平面 ABCD,所以 PH⊥平面 ABCD. (2)如图,取 PA 中点 M,连接 MD,ME.

因为 E 是 PB 的中点,所以 ME 又因为 DF

1 AB. 2

1 AB,所以 ME DF,所以四边形 MEFD 是平行四边形,所以 EF∥MD. 2 因为 PD=AD,所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD,所以 MD⊥AB. 因为 PA∩AB=A,所以 MD⊥平面 PAB, 所以 EF⊥平面 PAB. (1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α ?b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β);④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质,因 此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. 1.(2015· 高考湖北卷)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 PABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中 点,连接 DE,BD,BE.

(1)证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角 (只需写出结论);若不是,请说明理由; V1 (2)记阳马 PABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值. V2 解:(1)因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由底面 ABCD 为长方形,有 BC⊥CD,而 PD∩CD=D,所以 BC⊥平面 PCD. 因为 DE?平面 PCD,所以 BC⊥DE. 又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC.

而 PC∩BC=C, 所以 DE⊥平面 PBC. 由 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即 四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB. 1 1 (2)由已知,PD 是阳马 PABCD 的高,所以 V1= S 长方形 ABCD· PD= BC· CD· PD. 3 3 由(1)知,DE 是鳖臑 DBCE 的高,BC⊥CE, 1 1 所以 V2= S△BCE· DE= BC· CE· DE. 3 6 2 在 Rt△PDC 中,因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE=CE= CD, 2 1 BC· CD· PD V1 3 于是 = V2 1 BC· CE· DE 6 2CD· PD = =4. CE· DE 2.如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° , PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.

证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 证明:(1)在四棱锥 PABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD, CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD, ∵AC⊥CD,且 PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC,而 AE?平面 PAC, ∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE.

平面与平面垂直的判定与性质 (2015· 高考全国卷Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥ 平面 ABCD.

(1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; 6 ,求该三棱锥的侧面积. 3 [解] (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE. 故 AC⊥平面 BED. 又 AC?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. 3 x (2)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° ,可得 AG=GC= x,GB=GD= . 2 2 3 因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= x. 2 2 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE= x. 2 1 1 6 6 由已知得,三棱锥 EACD 的体积 V 三棱锥 EAC· GD· BE= x3= ,故 x=2. ACD= × · 3 2 24 3 从而可得 AE=EC=ED= 6. 所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 EACD 的侧面积为 3+2 5. (2)若∠ABC=120° ,AE⊥EC,三棱锥 EACD 的体积为 (1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理(a⊥β,a ?α?α⊥β). (2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转 化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 1.如图,在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD, CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.

求证:(1)PA⊥底面 ABCD; (2)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥ 底面 ABCD. (2)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形,所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 又 PA∩AD=A.所以 CD⊥平面 PAD. 从而 CD⊥PD. 又 E,F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.故 CD⊥EF. 由 EF,BE?平面 BEF, 又因为 CD⊥BE,EF∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 又 CD?平面 PCD,

所以平面 BEF⊥平面 PCD. 2. 如图,在三棱锥 VABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点.

(1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 VABC 的体积. 解:(1)证明:因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OM∥VB. 又因为 VB?平面 MOC,所以 VB∥平面 MOC. (2)证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 OC⊥AB. 又因为平面 VAB⊥平面 ABC,且 OC?平面 ABC,所以 OC⊥平面 VAB. 所以平面 MOC⊥平面 VAB. (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= 2,所以 AB=2,OC=1. 所以等边三角形 VAB 的面积 S△VAB= 3. 1 3 又因为 OC⊥平面 VAB,所以三棱锥 CVAB 的体积等于 OC· S△VAB= . 3 3 又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等, 所以三棱锥 VABC 的体积为 3 . 3

平面图形翻折成空间图形 π 1 如图(1),在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= AD=a,E 是 2 2 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到图(2)中△A1BE 的位置,得到四 棱锥 A1BCDE. (1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2,求 a 的值.

[解] (1)证明:在题图(1)中, 1 因为 AB=BC= AD=a, 2 π E 是 AD 的中点,∠BAD= ,所以 BE⊥AC. 2 即在题图(2)中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE,所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 且平面 A1BE∩平面 BCDE=BE,又由(1)可得 A1O⊥BE,所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高.

2 2 AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BC· AB=a2, 2 2 从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 1 1 2 2 V= S· A1O= ×a2× a= a3. 3 3 2 6 2 3 由 a =36 2,得 a=6. 6 由题图(1)知,A1O= 对于翻折问题,应明确:在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质 可能会发生变化. 解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量 的度量值,这是解决翻折问题的主要方法. 1.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,AC 与 BD 交于点 O,将正方形 ABCD 沿对角 线 BD 折起,得到三棱锥 ABCD.

(1)求证:平面 AOC⊥平面 BCD; 6 (2)若三棱锥 ABCD 的体积为 ,且∠AOC 是钝角,求 AC 的长. 3 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴BD⊥AO,BD⊥CO. 折起后仍有 BD⊥AO,BD⊥CO,AO∩CO=O, ∴BD⊥平面 AOC. ∵BD?平面 BCD,∴平面 AOC⊥平面 BCD. 1 (2)由(1)知 BD⊥平面 AOC,∴VABD. BCD= S△AOC· 3 6 1 1 6 1 1 又 VA, ∴ × OA· OC· sin∠AOC· BD= , 即 × × 2× 2×sin∠AOC× 2 2 BCD= 3 3 2 3 3 2 6 3 = ,∴sin∠AOC= . 3 2 ∵∠AOC 是钝角,∴∠AOC=120° . 在△AOC 中,由余弦定理,得 AC2=OA2+OC2-2· OA· OC· cos∠AOC 2 2 =( 2) +( 2) -2× 2× 2×cos 120° =6,∴AC= 6. 2.如图(1),在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,D 为 AC 的中点,AE⊥BD 于点 E(不同于点 D),延长 AE 交 BC 于 F,将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 A1BCD,如图(2)所示.

(1)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM∥平面 A1EF; (2)求证:BD⊥A1F; (3)若平面 A1BD⊥平面 BCD,试判断直线 A1B 与直线 CD 能否垂直?并说明理由. 解:(1)证明:因为 D,M 分别为 AC,FC 的中点,所以 DM∥EF,又 EF?平面 A1EF, DM?平面 A1EF,所以 DM∥平面 A1EF. (2)证明:因为 A1E⊥BD,EF⊥BD 且 A1E∩EF=E,所以 BD⊥平面 A1EF.

又 A1F?平面 A1EF,所以 BD⊥A1F. (3)直线 A1B 与直线 CD 不能垂直. 理由如下: 因为平面 A1BD⊥平面 BCD,平面 A1BD∩平面 BCD=BD,EF⊥BD,EF?平面 BCD, 所以 EF⊥平面 A1BD. 因为 A1B?平面 A1BD,所以 A1B⊥EF,又因为 EF∥DM,所以 A1B⊥DM. 假设 A1B⊥CD, 因为 CD∩DM=D,所以 A1B⊥平面 BCD,所以 A1B⊥BD, 这与∠A1BD 为锐角矛盾,所以直线 A1B 与直线 CD 不能垂直. 线面角与二面角 (1)[直线与平面所成的角] (2015· 高考全国卷Ⅱ)如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8, 点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形.

①在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); ②求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. (2)[平面与平面所成的角]如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂 直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上, 且 AF=2FB,CG=2GB.

①证明:PE⊥FG; ②求二面角 PADC 的正切值; ③求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. [解] (1)①交线围成的正方形 EHGF 如图所示.

②过 E 作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH= EH2-EM2=6,所以 AH=10. 过 A 作 AI⊥EH,垂足为 I,连接 FI. ∵A1E=D1F.∴EF∥A1D1. 由长方体性质知,D1A1⊥平面 A1ABB1, ∴FE⊥平面 A1ABB1,又 FE?平面 FEHG, ∴平面 A1ABB1⊥平面 FEHG. ∴∠AFI 即为直线 AF 与平面 α 所成的角.

由 AH=EH=10 可知 AI=EM=8. 2 2 2 而 AF2=AM2+AD2+AA2 1=4 +10 +8 =180. 即 AF=6 5. AI 8 4 5 ∴sin∠AFI= = = . AF 6 5 15 4 5 所以 AF 与平面 α 所成角的正弦值为 . 15 (2)①证明:在△PCD 中,因为 E 为 CD 的中点, 且 PC=PD,所以 PE⊥CD. 又因为 平面 PCD⊥平面 ABCD,且平面 PCD∩平面 ABCD=CD,PE?平面 PCD,所 以 PE⊥平面 ABCD. 又因为 FG?平面 ABCD,所以 PE⊥FG. ②由①知 PE⊥平面 ABCD,且 AD?平面 ABCD, 所以 PE⊥AD. 又因为 四边形 ABCD 是长方形,所以 AD⊥CD. 又因为 PE∩CD=E, 所以 AD⊥平面 PCD,所以 AD⊥PD,所以∠PDE 为二面角 PADC 的平面角. 因为 AB=CD=6,所以 DE=3. PE 7 在 Rt△PED 中,PE= PD2-DE2= 42-32= 7,所以 tan∠PDE= = ,所以所 DE 3 7 求二面角 PADC 的正切值为 . 3 ③如图,连接 AC,在△ABC 中,因为 AF=2FB,CG=2GB,

所以 FG∥AC. 由异面直线所成角的定义,知直线 PA 与直线 FG 所成角的大小等于∠PAC 的大小. 在 Rt△PDA 中,PA= PD2+AD2=5, AC= AB2+BC2=3 5,PC=4, PA2+AC2-PC2 25+45-16 9 5 所以 cos∠PAC= = = , 2PA· AC 25 2×5×3 5 9 5 所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 . 25 求线面角、二面角的常用方法: ①线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化 到一个三角形中求解. ②二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有 a. 定义法;b.垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. ③求角的程序为:作图→论证→计算→结论. 1. 如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中点.

(1)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45° ,求三棱锥 FAEC 的体积. 解:(1)证明:如图,因为三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以 AE⊥BB1. 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 因此 AE⊥平面 B1BCC1. 而 AE?平面 AEF,所以平面 AEF⊥平面 B1BCC1. (2)设 AB 的中点为 D,连接 A1D,CD.

因为△ABC 是正三角形,所以 CD⊥AB. 又三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以 CD⊥AA1. 因此 CD⊥平面 A1ABB1,于是∠CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角. 由题设,∠CA1D=45° , 3 所以 A1D=CD= AB= 3. 2 1 2 在 Rt△AA1D 中,AA1= A1D2-AD2= 3-1= 2,所以 FC= AA1= . 2 2 故三棱锥 FAEC 的体积 1 1 3 2 6 V= S△AEC· FC= × × = . 3 3 2 2 12 2.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA 1 =PB=AB= AD,∠BAD=60° ,点 E,F 分别为 AD,PC 的中点. 2

(1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求二面角 DPAB 的余弦值. 解:(1)证明:如图,取 PB 的中点 G,连接 AG,FG.

∵点 F 为 PC 的中点, 1 ∴FG∥BC,且 FG= BC. 2 又底面 ABCD 是平行四边形,点 E 为 AD 的中点, 1 ∴AE∥BC,且 AE= BC,∴FG 綊 AE,∴四边形 AEFG 是平行四边形,EF∥AG, 2 又 AG?平面 PAB,EF?平面 PAB,

∴EF∥平面 PAB. (2)如图,取 PA 的中点 N,连接 BN,DN.

∵△PAB 是等边三角形, ∴BN⊥PA, 1 ∵∠BAD=60° ,AB= AD, 2 ∴△ABD 为直角三角形,且∠ABD=90° , 又平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,BD?平面 ABCD,BD⊥AB, ∴BD⊥平面 PAB, 又 PB?平面 PAB, ∴BD⊥PB. 又 PB=AB, ∴Rt△PBD≌Rt△ABD, ∴PD=AD, ∴DN⊥AP. ∴∠DNB 即为二面角 DPAB 的平面角. 由 BD⊥平面 PAB 可知 BD⊥BN, 在 Rt△DBN 中,BD= 3AB=2BN,DN= 5BN, BN 5 ∴cos∠DNB= = , DN 5 5 ∴二面角 DPAB 的余弦值为 . 5

一、选择题

1.(必修 2 P73 练习 T1,2 改编)已知 m,n 表示不同的直线,α,β 表示不同的平面,下列 命题为真的是( ) A.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α B.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β C.若 m∥n,n∥α,则 m∥α D.若 α∥β,m∥n,m⊥α,则 n⊥β 解析:选 D.当 m∥α,m⊥n 时,n 与 α 的位置关系有 n?α,或 n∥α 或 n 与 α 相交,故 A 不正确. 当 m∥α,α⊥β 时,m 与 β 的位置关系有 m?β 或 m∥β 或 m 与 β 相交,故 B 不正确. 当 m∥n,n∥α 时,有 m?α 或 m∥α,故 C 不正确. 当 α∥β,m∥n,m⊥α 时,必有 n⊥β,故 D 正确. 2.(必修 2 P78A 组 T7 改编)正四棱锥的三视图如图,则它的外接球的面积为( )

25 B. π 2 25 25 C. π D. π 3 4 解析:选 C.由三视图画出直观图与其外接球示意图,且设 O1 是底面中心. A.25π

由三视图知,O1A= 2,O1P= 3,∴正四棱锥 PABCD 的外接球的球心 O 在线段 O1P 上. 设球 O 的半径为 R. 由 O1O2+O1A2=OA2 得( 3-R)2+( 2)2=R2. 5 ∴R= . 2 3 5 ?2 25 则外接球的面积为 S=4πR2=4π·? = π. ? 2 3? 3 3.(必修 2 P79B 组 T1 改编)如图,E、F 分别是边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 与 BC 的中点,将△AED,△CFD,△BEF 分别沿 DE、DF、EF 折起,使得 A、B、C 三点重合于 点 P,则下列结论错误的是( )

A.PD⊥EF 3 B.P 到平面 DEF 的距离为 2 C.四面体 PDFE 的四个面中有三个面是直角三角形 D.四面体 PDFE 外接球的表面积为 6π 解析:选 B.A 项,∵折叠前 DA⊥AE,DC⊥CF, ∴折叠后 DP⊥PE,DP⊥PF,又 PE∩PF=P, ∴DP⊥平面 PEF,从而 DP⊥EF,故 A 正确. B 项,设折叠前连接 DB∩EF=G(图略)时,DB⊥EF. 则折叠后仍有 DG⊥EF,PG⊥EF, 又 DG∩PG=G, ∴EF⊥平面 DPG, 从而平面 DPG⊥平面 DEF 且交线为 DG, 作 PH⊥DG 于点 H(图略),

则 PH⊥平面 DEF, ∴PH 为点 P 到平面 DEF 的距离. 2 3 在 Rt△DPG 中,DP=2,PG= ,DG= 2, 2 2 2 ×2 PG· DP 2 2 ∴PH= = = ,故 B 不正确. DG 3 3 2 2 C 项,由 A、B 知四面体 PDFE 中有 PD⊥PE,PD⊥PF,PE⊥PF,∴四个面中有三个 面是直角三角形,故 C 正确. D 项, ∵PE、 PF、 PD 两两垂直, ∴四面体 PDFE 的外接球直径为 2R= PE2+PF2+PD2 6 = 6,即 R= ,∴S 球=6π,故 D 正确. 2 二、填空题 4.(必修 2 P65“探究”改编)如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,沿 CD 折成直二面 角 BCDA,则折后∠ACB 的最小值为________.

b2 a2 , BD = , a2+b2 a2+b2 折图后,由题意知∠ADB 即为二面角 BCDA 的平面角. ∴∠ADB=90° . 4 4 2 2 2 a +b ∴AB =AD +BD = 2 , a +b2 4 4 1 2 2 2 2 a +b b +a - 2 2 ?a +b ? a +b 2 AC2+BC2-AB2 ab 1 由余弦定理得 cos∠ACB= = = 2 2≤ 2 = . 2AC· BC 2ab 2 a +b a +b2 ∴∠ACB 的范围为[60° ,90° ). ∴60° ≤∠ACB<90° . 答案:60° 5.(必修 2 P74A 组 T7 改编)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是________. 解析:设 AC=b,BC=a,则 AD=

解析:如图,连接 BC1 交 B1C 于点 O,连接 A1O.设正方体的棱长为 a,由正方体的性质 知,A1B1⊥BC1.又 BC1⊥B1C,所以 BC1⊥平面 A1B1CD.

所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影, ∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角. 2 在 Rt△A1BO 中,A1B= 2a,BO= a, 2 1 所以 BO= A1B,所以∠BA1O=30° . 2 因此,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30° . 答案:30° 三、解答题 6.(必修 2 P69 例 3 改编)如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆 周上不同于 A、B 的任意一点,

(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; 1 (2)若 PA= AB,且∠ABC=30° .求二面角 PBCA 的大小. 2 解:(1)证明:设⊙O 所在的平面为 α, 由已知条件 PA⊥α,BC 在 α 内,所以 PA⊥BC. 因为点 C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点, AB 是⊙O 的直径,所以∠BCA 是直角,即 BC⊥AC. 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线,所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC 在平面 PBC 内,所以平面 PAC⊥平面 PBC. (2)由(1)知,∠PCA 为二面角 PBCA 的平面角. ∵∠ABC=30° ,∠ACB=90° . 1 ∴AC= AB=PA. 2 由(1)知 PA⊥AC. ∴∠PCA=45° ,即二面角 PBCA 的大小为 45° .

一、选择题 1.设 α,β 为两个不同的平面,直线 l?α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [导学号 03350637] 解析:选 A.依题意,由 l⊥β,l?α 可以推出 α⊥β;反过来,由 α ⊥β,l?α 不能推出 l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,故选 A. 2.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中错误的是( ) A.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β B.若 α⊥β,m?α,m⊥β,则 m∥α C.若 m⊥β,m?α,则 α⊥β

D.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n [导学号 03350638] 解析:选 D.由 m⊥α,m∥n 可知 n⊥α,又 n∥β,所以 α⊥β,A 正 确; 由 α⊥β,m⊥β 知 m?α 或 m∥α,而 m?α,所以 m∥α,B 正确;由 m⊥β,m?α 知 α ⊥β,C 正确;故选 D. 3.如图,设四面体 ABCD 各棱长均相等,E,F 分别为 AC,AD 的中点,则△BEF 在 该四面体的面 ADC 上的射影是( )

[导学号 03350639] 解析:选 B.因为 ABCD 是正四面体,所以点 B 在面 ADC 上的射影 是△ADC 的重心,而重心应在 EF 的下方. 4.设 O 是空间中的一点,a,b,c 是空间中三条不同的直线,α,β 是空间中两个不同 的平面,则下列命题中,逆命题不正确的是( ) A.当 a∩b=O 且 a?α,b?α 时,若 c⊥a,c⊥b,则 c⊥α B.当 a∩b=O 且 a?α,b?α 时,若 a∥β,b∥β,则 α∥β C.当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β D.当 b?α 且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c [导学号 03350640] 解析:选 C.对于 A,逆命题为当 a∩b=O 且 a?α,b?α 时,若 c ⊥α,则 c⊥a,c⊥b,由直线与平面垂直的性质可知逆命题正确;对于 B,逆命题为当 a∩b =O 且 a?α,b?α 时,若 α∥β,则 a∥β, b∥β, 由平面与平面平行的性质可知逆命题正确; 对于 C,逆命题为当 b?α 时,若 α⊥β,则 b⊥β,显然逆命题不正确;对于 D,逆命题为当 b?α 且 c?α 时,若 b∥c,则 c∥α,由直线与平面平行的判定定理可知逆命题正确,故选 C. 5.设直线 m 与平面 α 相交但不垂直,则下列说法正确的是( ) A.在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 [导学号 03350641] 解析:选 B.由题意知,如图(1),m 与 α 斜交,令其在 α 内的射影 为 m′,则在 α 内可作无数条与 m′垂直的直线,它们彼此平行,故 A 错;在 α 外,可作 与 α 内的直线 l 平行的直线,而 l⊥m,故 C 错.

图(1) 如图(2),m?β,β⊥α,故 B 正确;

图(2) 可作 β 的平行平面 γ,则 m∥γ 且 γ⊥α,故 D 错.

6.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为 H, 则以下命题中,错误的是( )

A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° [导学号 03350642] 解析:选 D.A 中,△A1BD 为等边三角形, ∴其四心合一,∵AB=AA1=AD, ∴H 到△A1BD 各顶点的距离相等, ∴A 正确; ∵CD1∥BA1,CB1∥DA1、CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,∴平面 CB1D1∥平面 A1BD, ∴AH⊥平面 CB1D1, ∴B 正确; 连结 AC1(图略),则 AC1⊥B1D1, ∵B1D1∥BD, ∴AC1⊥BD,同理,AC1⊥BA1, ∴AC1⊥平面 A1BD, ∴A、H、C1 三点共线, ∴C 正确,故选 D. 7.已知 a,b,c 表示三条不同的直线,α,β,γ 表示三个不同的平面,给定下列四个 命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 α∥b,则 α∥γ; ②若 a,b 相交,且都在 α,β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α. 其中为真命题的是( ) A.②③ B.①③ C.②④ D.①④ [导学号 03350643] 解析:选 A.在三棱柱中,三条侧棱互相平行,但三个侧面所在的 平面两两相交,故①错误;因为 a,b 相交,假设其确定的平面为 π,根据 a∥α,b∥α,可 得 π∥α,同理可得 π∥β,因此 α∥β,故②正确;由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线 的直线和另一个平面垂直,易知③正确;当且仅当 a,b 相交时,结论④正确,故④错误, 故选 A. 8.如图, 若 Ω 是长方体 ABCDA1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EB1FHC1G 后得到的 几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1, 则下列结论不正确的是( )

A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱

D.Ω 是棱台 [导学号 03350644] 解析:选 D.∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,∴EH∥B1C1,∴EH∥平面 BCGF, 又∵FG?平面 BCGF,且 FG 为平面 EFGH 与平面 BCGF 的交线, ∴EH∥FG,故 A 正确; ∵B1C1⊥平面 A1B1BA,EF?平面 A1B1BA, ∴B1C1⊥EF,则 EH⊥EF, 又由上面的分析知,EFGH 为平行四边形,故它是矩形,故 B 正确; 因为 EH∥B1C1∥FG,故 Ω 是棱柱,故 C 正确. 9.已知直二面角 αlβ,A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足.若 AB=2, AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( ) 2 3 A. B. 3 3 6 C. D.1 3 [导学号 03350645] 解析:选 C.如图,作 DE⊥BC 于 E,由 αlβ 为直二面角,AC⊥l 得 AC⊥β,进而有 AC⊥DE,又 BC⊥DE,BC∩AC=C,于是 DE⊥平面 ABC,故 DE 为 D BD· DC 1× 2 6 到平面 ABC 的距离.在 Rt△BCD 中,利用等面积法,得 DE= = = . BC 3 3

10.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点,设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α,则 sin α 的取值范围是( )

3 ? 6 B.? ,1? ,1 3 3 ? ? ? ? 6 2 2 2 2 ? ? C.? , D.? 3 ? ?3 ? 3 ,1? [导学号 03350646] 解析:选 B.连接 A1O,OP 和 PA1(图略),不难知∠POA1 就是直线 OP 与平面 A1BD 所成的角(或其补角). 设正方体棱长为 2,则 A1O= 6. 6+2-12 3 ①当 P 点与 C 点重合时,PO= 2,A1P=2 3,且 cos α= =- , 3 2× 6× 2 此时 α=∠A1OP 为钝角, 6 sin α= 1-cos2α= ; 3 6+6-8 1 ②当 P 点与 C1 点重合时,PO=A1O= 6,A1P=2 2,且 cos α= = , 2× 6× 6 3 此时 α=∠A1OP 为锐角, 2 2 sin α= 1-cos2α= ; 3 ③在 α 从钝角到锐角逐渐变化的过程中, CC1 上一定存在一点 P, 使得 α=∠A1OP=90° .

A.?

又因为

6 2 2 < , 3 3 6 ? . ? 3 ,1?

故 sin α 的取值范围是?

二、填空题 11.如图, 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1, 则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为________.

[导学号 03350647] 解析:连接 A1C1(图略),则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的 角. ∵AB=BC=2,∴A1C1=2 2,又 AA1=1, AA1 1 ∴AC1=3,∴sin∠AC1A1= = . AC1 3 1 答案: 3 12.如图所示,在四面体 ABCD 中,AB,BC,CD 两两垂直,且 BC=CD=1.直线 BD 与 平面 ACD 所成的角为 30° ,则线段 AB 的长度为________.

[导学号 03350648] 解析:如图,过点 B 作 BH⊥AC,垂足为点 H,连接 DH.

∵CD⊥AB,CD⊥BC,∴平面 ACD⊥平面 ABC,∴BH⊥平面 ACD. ∴∠BDH 为直线 BD 与平面 ACD 所成的角. ∴∠BDH=30° , 在 Rt△BDH 中,BD= 2, 2 ∴BH= . 2 又∵在 Rt△BHC 中,BC=1, ∴∠BCH=45° . ∴在 Rt△ABC 中,AB=BC=1. 答案:1 13.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β 且 α⊥γ?β⊥γ”是真命题,若把 α, β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________ 个. [导学号 03350649] 解析:若把 α,β 换为直线 a,b,则命题转化为“a∥b 且 a⊥γ?b ⊥γ”,此命题为真命题;若把 α,γ 换为直线 a,b,则命题转化为“a∥β 且 a⊥b?b⊥β”, 此命题为假命题;若把 β,γ 换为直线 a,b,则命题转化为“a∥α 且 b⊥α?a⊥b”,此命 题为真命题. 答案:2 三、解答题

14.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,且满足 AB∥CD,AD=DC 1 = AB,PA⊥平面 ABCD. 2

(1)求证:平面 PBD⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB,求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值. [导学号 03350650] 解: (1)证明: 取 AB 的中点 E, 连接 CE(图略), 则由题意知, △BCE 为正三角形,所以∠ABC=60° . 由 ABCD 为等腰梯形知∠BCD=120° ,设 AD=DC=BC=2,则 AB=4,BD=2 3, 故 AD2+BD2=AB2,即得∠ADB=90° ,所以 AD⊥BD. 又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 又 AD∩PA=A,所以 BD⊥平面 PAD,又 BD?平面 PBD,所以平面 PBD⊥平面 PAD. (2)在平面 ABCD 中,过点 C 作 CH∥BD 交 AD 的延长线于点 H(图略),由(1)知 BD⊥平 面 PAD,所以 CH⊥平面 PAD, 连接 PH,则∠CPH 即为所求的角. 在 Rt△CHD 中,CD=2,∠CDH=60° , 所以 CH= 3. 连接 AC,在 Rt△PAC 中,PC= PA2+AC2= 42+?2 3?2=2 7. CH 3 21 所以在 Rt△PHC 中,sin∠CPH= = = . PC 2 7 14 21 即 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 . 14 15.如图所示,BC 是半圆 F 的直径,点 A 在半圆 F 上,BC=4 2,AB=BD=4,BD 垂 1 直于半圆 F 所在的平面,CE∥BD,且 CE= BD. 2

(1)求证:DF⊥平面 AEF; (2)求二面角 BAFE 的余弦值. [导学号 03350651] 解:(1)证明:因为 BC 是半圆 F 的直径,点 A 在半圆 F 上,所以 BA⊥AC. 又 BC=4 2,AB=4,所以 AC=4,所以△ABC 是等腰直角三角形,所以 AF⊥BC. 因为 BD⊥平面 ABC,AF?平面 ABC,所以 BD⊥AF. 因为 BD∩BC=B,所以 AF⊥平面 BDF. 因为 DF?平面 BDF,所以 AF⊥DF. 因为 BD⊥平面 ABC,CE∥BD,所以 CE⊥平面 ABC,所以 CE⊥BC. 1 又 CF=2 2,CE= BD=2,所以 EF=2 3, 2 同理,DF= DB2+BF2=2 6. 如图,连接 DE,过点 E 作 EG⊥BD 于点 G,则 DE= DG2+GE2=6,所以 DF2+EF2 =DE2,所以 DF⊥EF.

因为 AF∩EF=F,所以 DF⊥平面 AEF. (2)由(1)知 AF⊥平面 BDF,EF?平面 BDF,所以 AF⊥EF. 又 AF⊥BF,所以∠BFE 即为二面角 BAFE 的平面角,由图可知二面角 BAFE 为钝 角.如图,连接 BE,由(1)知 BE=DE=6,EF=2 3,BF=2 2. BF2+EF2-BE2 8+12-36 6 在△BFE 中,由余弦定理得 cos∠BFE= = =- ,所以 3 2BF×EF 2×2 2×2 3 6 二面角 BAFE 的余弦值为- . 3


赞助商链接

更多相关文章:
...与空间向量第5讲直线平面垂直的判定及其性质学案!...
2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第5讲直线平面垂直的判定及其性质学案! - 第5讲 最新考纲 直线、平面垂直的判定及其性质 1.以立体几何的定义、...
第七章第5讲直线平面垂直的判定与性质
第七章第5讲直线平面垂直的判定与性质 - 辨明三个易误点 (1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交. (2)注意使用线面垂直的...
...总复习:第8章第5讲 直线平面垂直的判定及其性质(...
【高考复习】2018年高考数学总复习:第8章第5讲 直线平面垂直的判定及其性质(含解析)_高考_高中教育_教育专区。第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 ...
第八章立体几何与空间向量第5讲直线平面垂直的判定及其...
2018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第 5 讲 直线平面垂直的判定及其性质试题 理 新人教版 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择...
第7章 第5讲 直线平面垂直的判定与性质
第7章 第5讲 直线平面垂直的判定与性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第七章一、选择题 第五讲 A 组 基础巩固 1. (2015· 海淀模拟)若平面 α⊥...
第5讲 直线平面垂直的判定及其性质
第5讲 直线平面垂直的判定及其性质 【2013 年高考会这样考】 1.以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定,经常与命题或充要条件相结 合. 2.以锥体、柱体...
第七章第5讲直线平面垂直的判定与性质
第七章第5讲直线平面垂直的判定与性质 - 第 5 讲 直线、平面垂直的判定与性质 , [学生用书 P135]) 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 一条...
第5讲 直线平面垂直的判定及其性质
第5讲 直线平面垂直的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。第5讲一、选择题 直线、平面垂直的判定及其性质 ). 1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个...
第5讲 直线平面垂直的判定及其性质
第5讲 直线平面垂直的判定及其性质 【2013 年高考会这样考】 1.以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定,经常与命题或充要条件相结 合. 2.以锥体、柱体...
...:第八第5讲 直线平面垂直的判定及其性质
高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第八第5讲 直线平面垂直的判定及其性质 - 第5讲 直线平面垂直的判定及其性质 A级 基础演练 (时间:30...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图