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2-2-2-3指数函数与对数函数的关系



2.2.2.3 指对函数之间的关系
一、选择题 1.已知 a>0 且 a≠1, 则在同一坐标系中, 函数 y=a x 和 y=loga(-x)的图象可能是(


)

[答案] D [解析] 若 0<a<1,则 y=a x 单调增,只能是 A、C,此时,loga(-x)单调增,排除 C,


x=1 时,loga(-x)无意义,排除 A;∴a>1,此时 y=loga(-x)单调减,排除 B,故选 D. 2.若 0<a<1,函数 y=loga(x+5)的图象不通过( A.第一象限 C.第三象限 [答案] A [解析] 将 y=logax 的图象向左平移 5 个单位,得到 y=loga(x+5)的图象,故不过第一 象限,选 A. 3.设 0<x<y<1,则下列结论中错误 的是( .. 2?x ?2?y ①2x<2y ②? ?3? <?3? 1 1 ③logx2<logy2 ④log x>log y 2 2 A.①② C.①③ [答案] B [解析] ∵y=2u 为增函数,x<y,∴2x<2y,∴①正确; 2?u ?2?x>?2?y,∴②错误; ∵y=? 为减函数, x < y , ∴ ?3? ?3? ?3? ∵y=log2x 为增函数,0<x<y<1,∴log2x<log2y<0,∴logx2>logy2,∴③错误; 1 1 1 ∵y=log u 为减函数 0<x<y,∴log x>log y,∴④正确. 2 2 2 B.②③ D.②④ ) )

B.第二象限 D.第四象限

4 3 1 4.如下图所示的曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 的取值分别为 3、 、 、 , 3 5 10 则相应于 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次是( )

4 3 1 A. 3, , , 3 5 10 4 3 1 C. , 3, , 3 5 10 [答案] A

4 1 3 B. 3, , , 3 10 5 4 1 3 D. , 3, , 3 10 5

[解析] 根据对数函数图象的变化规律即可求得. 5.函数 y=log1|x+2|的增区间为(
2

)

A.(-∞,+∞) C.(-2,+∞) [答案] B [解析] 由 y=log1|x+2|
2

B.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(-2,+∞)

∵t=-(x+2)在 x∈(-∞,-2)上是减函数,y=log1t 为减函数,∴此函数在(-∞,
2

-2)上是增函数. 1 6.设 a>0 且 a≠1,函数 y=logax 的反函数与 y=loga 的反函数的图象关于( x A.x 轴对称 C.y=x 对称 [答案] B 7.(08· 陕西)设函数 f(x)=2x
1
+3

)

B.y 轴对称 D.原点对称

的反函数为 f 1(x),若 mn=16(m、n∈R ),则 f 1(m)+f
- + -



(n)的值为( A.-2 C.4 [答案] A

) B.1 D.10

[解析] 解法一:由 y=2x

+3

得 x=-3+log2y,

∴反函数 f 1(x)=-3+log2x,


∵mn=16,∴f 1(m)+f 1(n)=-6+log2m+log2n
- -

=-6+log2(mn)=-6+log216=-2. 解法二:设 f 1(m)=a,f 1(n)=b,
- -

则 f(a)=m,f(b)=n, ∴mn=f(a)· f(b)=2a 3· 2b 3=2a
+ + +b+6

=16,

∴a+b+6=4,∴a+b=-2. 8.若函数 f(x)=loga|x+1|在(-1,0)上有 f(x)>0,则 f(x)( A.在(-∞,0)上是增函数 B.在(-∞,0)上是减函数 C.在(-∞,-1)上是增函数 D.在(-∞,-1)上是减函数 [答案] C [解析] 当-1<x<0 时,0<x+1<1, 又 loga|x+1|>0,∴0<a<1 因此函数 f(x)=loga|x+1|在(-∞,-1)上递增;在(-1,+∞)上递减. 9.已知函数 f(x)=loga(x-k)的图象过点(4,0),而且其反函数 y=f 1(x)的图象过点(1,7),


)

则 f(x)是(

) B.减函数 D.先减后增

A.增函数 C.先增后减 [答案] A

[解析] 由于 y=f -1(x)过点(1,7),因此 y=f(x)过点(7,1),
?loga(4-k)=0 ?k=3 ? ? ∴? ,解得? , ?loga(7-k)=1 ?a=4 ? ?

∴f(x)=log4(x-3)是增函数. 10.已知函数 f(x)=log1(3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是
2

(

) A.-8≤a≤-6 C.-8<a≤-6 [答案] C 3-a×(-1)+5>0 ? ? [解析] ?a ? ?6≤-1 ?-8<a≤-6,故选 C. B.-8<a<-6 D.a≤-6

[点评] 不要只考虑对称轴,而忽视了定义域的限制作用. 二、填空题 11. y=logax 的图象与 y=logbx 的图象关于 x 轴对称, 则 a 与 b 满足的关系式为________. [答案] ab=1 12.方程 2x+x=2,log2x+x=2,2x=log2(-x)的根分别为 a、b、c,则 a、b、c 的大小 关系为________. [答案] b>a>c [解析] 在同一坐标系内画出 y=2x,y=log2x,y=2-x,y=log2(-x)的图象.∴b>a>c.

13.方程 a x=logax(a>0 且 a≠1)的解的个数为____.


[答案] 1 [解析] 当 a>1 时,在同一坐标系中作出 y=logax 和 y=a x 的图象如图,则两个图象只


有一个交点.同理,当 0<a<1 时,可观察出两个图象也只有一个交点.

14.已知 c1:y=logax,c2:y=logbx,c3:y=logcx 的图象如图(1)所示.则在图(2)中函 数 y=ax、y=bx、y=cx 的图象依次为图中的曲线__________.

[答案] m1,m2,m3 [解析] 由图(1)知 c>1>a>b>0 故在图(2)中 m3:y=cx,m2:y=bx,m1:y=ax. 15.函数 y=ax 1(0<a≠1)的反函数图象恒过点______.


[答案] (1,-1) [解析] 由于 y=ax
+1

的图象过(-1,1)点,因此反函数图象必过点(1,-1).

三、解答题 16.已知函数 f(x)=log1(2-x)在其定义域内单调递增,求函数 g(x)=loga(1-x2)的单调
a

递减区间. 1 [解析] 由于 f(x)=log1(2-x)在定义域内递增,所以 0< <1,即 a>1,因此 g(x)=loga(1 a a -x2)的递减区间为[0,1). 17.我们知道,y=ax(a>0 且 a≠1)与 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数.只要把其中一 个进行指对互化.就可以得到它的反函数的解析式.任意一个函数 y=f(x),将 x 用 y 表示出 来能否得到它的反函数?据函数的定义: 对于自变量 x 的每一个值 y 都有唯一确定的值与之 对应.如果存在反函数,应是对于 y 的每一个值,x 都有唯一确定的值与之对应,据此探究 下列函数是否存在反函数?若是,反函数是什么?若否,为什么? (1)y=2x+1; (3)y=x2; (2)y= x; 2x-1 (4)y= . x+1

1 [解析] (1)∵y=2x+1 是单调增函数,由 y=2x+1 解得 x= (y-1)这时对任意 y∈R, 2 都有唯一确定的 x 与之对应,也就是 x 是 y 的函数,按习惯用 x 表示自变量,y 表示函数, 则 y=2x+1 的反函数为 1 y= (x-1). 2 (2)同(1)的道理,∵y= x单调增,也存在反函数,由 y= x解出 x=y2,∴y= x的反函 数为 y=x2,因为这里的 x 就是 y= x中的 y 且 y≥0,∴x≥0,即反函数为 y=x2(x≥0). (3)∵x=± 1 时,都有 y=1,反过来对于 y=1,x 有两个值与之对应,故 y=x2 不存在反 函数. 2x-1 y+1 (4)由 y= 解得 x= ,对 y 的每一个值,x 都有唯一值与之对应,故存在反函 x+1 2-y

x+1 数,反函数为 y= (x≠2). 2-x



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