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2015-2016学年高中数学 2.2.1第1课时 用样本的频率分布估计总体的分布(一)课件 新人教B版必修3



第二章 2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布

第1课时
用样本的频率分布估计总体的分布(一)

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

思想方法技巧

3

r />
易错疑难辨析

5

课 时 作 业

课前自主预习

美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901 年就任,当时年仅42岁.就任时年纪最大的是里根,他于1981 年就任,当时69岁.下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009

年的奥巴马,共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄:
57 、 61 、 57 、 57 、 58 、 57 、 61 、 54 、 68 、 51 、 49 、 64 、 50 、 48 、 65 、 52 、 56 、 46 、 54 、 49 、 51 、 47 、 55 、 55 、 54 、 42 、 51 、 56 、 55 、 51 、 54 、 51 、 60 、 62 、 43 、 55 、 56 、 61 、 52、69、64、46、54、48. 这44个数据中最大值与最小值的差 是多少?

1.频率分布表和频率分布直方图 (1)频率分布表编制的方法步骤:

最大值

最小值

样本分组 与组距的比值

频率

各小长方形的面 积表示

(2)

等于1

2.频率分布折线图、总体密度曲线 (1)频率分布折线图的定义 各个长方形上边的中点 用线段连接 把频率分布直方图________________________ 起来,就得到频率分布折线图.

(2)总体密度曲线 不断增大,分组的组距________ 不断缩小,则频率分 如果样本容量________
布直方图实际上越来越接近于__________ 总体的分布,它可以用一条光滑 曲线y=f(x)来描绘,这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.

3.茎叶图

十位 个位

没有原始信息的损失 数据信息 记录与表示

1.下列关于频率分布直方图的说法正确的是( A.直方图的高表示取某数的频率

)

B.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 C.直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数 与组距的比值 D.直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率 与组距的比值

[答案] D
[解析] 要注意频率分布直方图的特点.在直方图中,纵 轴(矩形的高)表示频率与组距的比值,其相应组距上的频率等

于该组距上的矩形的面积.

2.(2015·重庆理,3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数

据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是( A.19

) B.20

C.21.5
[答案] B

D.23

[解析] 根据茎叶图的显示易知中位数为20.

3.(2014·广东理,6)已知某地区中小学生人数和近视情况
分别如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学生的近视形成原 因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和 抽取的高中生近视人数分别为( )

A.200、20 C.200、10

B.100、20 D.100、10

[答案] A
[解析] 该地区中小学生总人数为3 500+2 000+4 500= 10 000,则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生近 视人数为2 000×2%×50%=20,故选A.

4.某校学生在一次数学考试中的成绩分布如下表: 分数段 人数 [0,80) 2 [80,90) 5 [90,100) 6 [100,110) 8

分数段 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 人数 12 6 4 2

那 么 分 数 在 [100,110) 内 的 频 数 为 ________ , 频 率 为 ________.(精确到 0.01)

[答案] 8

0.18

[解析] 由题目可知分数在[100,110)内的频数为 8, 样本容 8 量为 2+5+6+8+12+6+4+2=45,故频率为45≈0.18.

5.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3 000名学
生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成 绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方 图推测这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数 是________.

[答案] 600 [ 解析 ] 本题考查了统计中的频率分布直方图等有关知

识.
成绩小于 60 分的学生频率为: (0.002 + 0.006 + 0.012)×10 =0.2 故3 000名学生中小于60分的学生数为:3 000×0.2=600.

6.(2015·商洛市高一月考)为了解某校高一年级学生的体能
情况,抽取部分学生进行一分钟跳绳测试,将所得数据整理 后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方 形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?

(2)若次数在110以上(含110)为达标,则该校全体高一年级
学生的达标率是多少?

[解析]

(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落

在各小组内的频率大小, 4 因此第二小组的频率为 =0.08. 2+4+17+15+9+3 第二小组的频数 又因为第二小组的频率= ,故样本容量= 样本容量 第二小组的频数 12 = =150. 第二小组的频率 0.08

(2)由频率分布直方图估计, 该校高一年级学生的达标率为 17+15+9+3 ×100%=88%. 2+4+17+15+9+3

课堂典例讲练

频率分布表和频率分布直方图 从高一学生中抽取 50 名参加调研考试,成绩的

分组及各组的频数如下(单位:分):
[40,50) , 2 ; [50,60) , 3 ; [60,70) , 10 ; [70,80) , 15 ; [80,90),12,[90,100),8.

(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图; (3)估计成绩在[70,80)的学生占总体的百分比. [分析] 决定组数与组距,计算频率、列表与绘图.

[解析] (1)频率分布表如下: 成绩分组 频数 频率 [40,50) [50,60) 2 3 0.04 0.06

[60,70)
[70,80)

10
15

0.2
0.3

[80,90)
[90,100) 合计

12
8

0.24
0.16

50

1.00

(2)绘制频率分布直方图如图, 由题意知组距为 10, 取小矩 频率 形的高为 ,计算得到如下的数据表: 组距 成绩分组 频率 小矩形的高 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 0.16 1.00 0.004 0.006 0.02 0.03 0.024 0.016

根据表格画出如下的频率分布直方图:

(3)由频率分布直方图可知成绩在[70,80)分的学生所占总体 的百分比是0.03×10=0.3=30%.

[点评] 绘制频率分布直方图的方法: (1)先制作频率分布表,然后作直角坐标系. (2)把横轴分成若干段,每一段对应一个组. (3)在上面标出的各点中,分别以相邻两点为端点的线段为 频率 底作长方形,它的高等于该组的 .每个长方形的面积恰好是 组距 该组的频率,这些长方形构成了频率分布直方图.

考察某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,

实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 165 171 164 169 163 163 163 166 169 167 180 176 167 161 166 169 157 168 151 162 168 168 161 160 170 158 168 168 164

160 174 165 168 174 159 167 156 157

(1)作出频率分布表; (2)画出频率分布直方图.

[ 解析 ]

确定组距与组数是

解决“样本中的个体取不同值较 多”这类问题的出发点. (1) 最低身高 151 ,最高身高 180 , 它 们 的 差 是 180 - 151 =

29 , 即 极 差 为 29 ; 确 定 组 距 为
3,组数为10,列表如下:

分组 频数 频率 [150.5,153.5) 1 0.025 [153.5,156.5) 1 0.025 [156.5,159.5) 4 0.1 [159.5,162.5) 5 0.125 [162.5,165.5) 8 0.20 [165.5,168.5) 11 0.275 [168.5,171.5) 6 0.150 [171.5,174.5) 2 0.050 [174.5,177.5) 1 0.025 [177.5,180.5) 1 0.025 40 1.0 合计

(2)频率分布直方图如图所示.

茎叶图的绘制 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A , 将其与原有一个优良品种 B进行对照试验,两种小麦各种植了

25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下:
品种 A : 357 、 359 、 367 、 368 、 375 、 388 、 392 、 399 、 400 、 405 、 412 、 414 、 415 、 421 、 423 、 423 、 427 、 430 、 430、434、443、445、445、451、454

品种 B : 363 、 371 、 374 、 383 、 385 、 386 、 391 、 392 、 394 、 394 、 395 、 397 、 397 、 400 、 401 、 401 、 403 、 406 、 407、410、412、415、416、422、430

(1)作茎叶图;
(2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?

[解析] (1)茎叶图如图所示: A B 9 7 35 8 7 36 3 5 37 1 4 8 38 3 5 6 9 2 39 1 2 4 4 5 7 7 5 0 40 0 1 1 3 6 7 5 4 2 41 0 2 5 6 7 3 3 1 42 2 4 0 0 43 0 5 5 3 44 4 1 45

(2) 用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状 况,而且可以看出每组中的具体数据.

甲、乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩如下: (单位:分) 甲组:76 90 84 86 81 87 86 82 85 83

乙组:82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
用茎叶图表示这两个小组的成绩,并判断哪个小组的成绩 更整齐一些.

[解析] 用茎叶图表示如下(中间的茎为十位上的数字):

8 由茎叶图容易看出甲组的成绩是对称的,叶的分布有10集 6 中在茎 8 上, 乙组的成绩也大致对称, 叶的分布有10集中在茎 8 上,从叶在茎上的分布情况看,甲组的成绩更整齐一些.

直方图、茎叶图的综合应用

心理教育专家对某班 50 人进行智力测验,其得
分如下: 48 、 65 、 52 、 86 、 71 、 48 、 64 、 41 、 86 、 79 、 71 、 68 、 82 、 84 、 68 、 64 、 62 、 68 、 81 、 57 、 90 、 52 、 74 、 73 、 56 、 78 、 47 、 66 、 55 、 64 、 56 、 88 、 69 、 40 、 73 、 97 、 68 、 56、67、59、70、52、79、44、55、69、62、58、32、58. (1)这次测验成绩的最大值和最小值是多少? (2)将[30,100]平均分成7个小区间,试画出该班学生智力测 验成绩的频数分布直方图;

(3)分析这个频数分布直方图,你能得出什么结论? (4)画出并分析这50人成绩的茎叶图,你能得出什么结论? [解析] (1)这次测验成绩中最小值为32,最大值为97;

(2) 七个区间分别为 [30,40) 、 [40,50) 、 [50,60) 、 [60,70) 、
[70,80)、[80,90),[90,100),每个小区间内的长度是10,统计出 各小区间内的数据频数,列表如下: 分组 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数 1 6 12 14 9 6 2

频数分布直方图如下:

(3) 可以看出,该班智力测验成绩大体上呈两头小、中间 大、左右基本对称的钟形状态,说明该班学生智力特别好或特 别差的是极少数,而智力一般的是多数,这是一种最常见的分

布.

(4)这 50 人成绩的茎叶图为: 十位 3 4 5 6 7 8 9 个位 2 014788 222556667889 22444567888899 011334899 124668 07

从茎叶图上可以直观地看出, 学生的智力成绩分布较对称, 集中程度高,符合学生正常的智力水平.

某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人

数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为 5 将数据分组成
[0,5)、[5,10)、?、[30,35)、[35,40)时,所作的频率分布直方图 是( )

[答案] A

[解析]

借助已知茎叶图得出各小组的频数,再由频率=

频数 频率 求出各小组的频率,进一步求出 并得出答案. 样本容量 组距 解法一:由题意知样本容量为 20,组距为 5.
列表如下: 分组 [0,5) [5,10) 频率 频数 频率 组距 1 1 1 20 1 20 0.01 0.01

频率 分组 频数 频率 组距 1 [10,15) 4 0.04 5 1 [15,20) 2 0.02 10 1 [20,25) 4 0.04 5 3 [25,30) 3 0.03 20 3 [30,35) 3 0.03 20 1 [35,40) 2 0.02 10 20 1 合计

观察各选择项的频率分布直方图知选 A. 解法二:由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等, 频率 故频率、 也分别相等.比较四个选项知 A 正确,故选 A. 组距

易错疑难辨析

中小学生的视力状况受到社会的广泛关注, 某市 有关部门从全市 6 万名高一新生中随机抽取了 400 名,对他们 的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频 率分布直方图, 如图所示. 从左至右五个小组的频率之比是 5∶ 7∶12∶10∶6, 则全市高一新生视力在[3.95,4.25]范围内的学生 约有多少人?

[错解] 因为第五小组的频率是 0.5, 5 5 所以第一小组的频率为 0.5×6=12, 所以全市 6 万名高一学生中, 视力在[3.95,4.25]范围内的学 生约有 5 60 000×12=25 000(人).

[辨析]

错误原因在于对频率分布直方图理解不正确,图

中标注的0.5并不是第五组的频率,0.5×0.3=0.15才是频率.
[正解] 因为第五小组的频率是 0.5×0.3=0.15, 5 所以第一小组的频率为 0.15×6=0.125, 所以全市 6 万名高一新生中, 视力在[3.95,4.25]范围内的学 生约有 60 000×0.125=7 500(人).

思想方法技巧

频率分布直方图的画法 为了了解一大片经济林的生长情况, 随机测量其 中的 100 株的底部周长,得到如下数据表(长度单位:cm): 135 125 98 97 102 110 87 97 131 99 97 121 110 92 92 96 100 103

117 113 110

102 109 104 112 114 108 104 102

109 124 129 126

102 123 104 104 128

105 123 111 103 105

100 115 111 106 117 104 109

111 129 99

89 99

110 121 90 99 97 99

80

120 121 104 108 118 91 100 95 97 107 101 126 108

121 123 107 111 102 108 101 118 106 119

101 116 98

102 108 117 123 119

121 101 113 102 103 104 108

(1)列出频率分布表; (2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图; (3)估计该片经济林中底部周长小于 100 cm 的树木约占多 少?周长不小于 120cm 的树木约占多少?

[解析] (1)从表中可以看出, 这组数据的最大值为 135, 最 小值为 80,故极差为 55,可将其分为 11 组,组距为 5. 频率 从第一组[80,85)开始,将各组的频数、频率和 填入表 组距 中. 分组 [80,85) [85,90) [90,95) 频率 频数 频率 组距 1 2 4 0.01 0.002 0.02 0.004 0.04 0.008

分组 [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125) [125,130) [130,135) 合计

频率 频数 频率 组距 14 24 15 12 9 11 6 2 100 0.14 0.028 0.24 0.048 0.15 0.030 0.12 0.024 0.09 0.018 0.11 0.022 0.06 0.012 0.02 0.004 1.00

(2)画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示.

(3)从频率分布表可以看出,该样本中小于 100 的频率为 0.01+0.02+0.04+0.14=0.21, 不小于 120 的频率为 0.11+0.06+0.02=0.19, 故可估计该片经济林中底部周长小于 100 cm 的树木约占 21%,周长不小于 120 cm 的树木约占 19%.



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