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2014年上海市TI杯高二年级数学竞赛



2 0 1 4 年第8 期 

数 学教学 

8 — 3 9  

2 0 1 4   年上海 市 TI 杯 高二年级数学竞赛 

试  题 

二 、解 答题 f 以下 4 题 必须 写 出解 题 的必  要 步骤 , 每题 l 5 分, 共6 0 分1   9 .如 图 1

, 在直 角三 角形 A BC中, Z C=   9 0 。 ,   C=4 , BC:3 . 直线Z 垂直于 J E 7 , 与线  段 C、A B分 别相 交 于 点  、Ⅳ.将直 角 三 
角形 A BC沿着 MN折 叠, 求 折叠 后 图形重 叠 

填 空题 ( 共8 小题, 前4 小题每题 7 分,   后4 小题每题 8 分, 满分 6 0 分)  




1 .人体表 面积 S ( m2 ) 的Ha y c o c k 近似公 
式 为 S=O . 0 2 4 2 6 5 . h o ? 3 9 6 4 W 0 ? 5 3 7 8 , 其中 h和 W  

分别表示人的身高 ( c m) 和体重 ( k g ) .如果某 
人 的身 高为 1 8 0 c m, 体重 为 7 0 k g , 那 么他 的人  体表面积是— ( m   ) ( 精确到 1 0 — 5 ) .   2 . 地球绕太 阳的运行轨道为椭 圆, 它的方 


部分面积的最大值 f 精确 到 0 . 0 1 ) .  
c 

2  

口 , 2  

程设 为  +   =l ( a>b >0 ) .而太 阳的位置 

在右焦点毋 处, 轨道的长轴两端为A、B( A在 
F 1 的左面) . 已知 当地球在点 A时, 人看太阳的  视 角  =3 1   2 8   ; 当地球在 点 B时, 人看太阳的  视 角  :3 2   3 2   .若 c 表示 椭 圆轨 道 的半焦距,   则 二: ( 精确到 0 . O O 1 ) .  
— —

/ 
Ⅳ 

图1  

3 . 若矩形内接在由函数Y:C O S   X f \   一  ≤  
矩形的面积的最大值 是 ( 精确到 1 0 _ 4 ) .  

1 0 . 在 平 面 直角 坐 标 系 x Oy 中,正三 角 

顶点按逆 时针顺序) 的顶 点  的坐标  X ≤  ) 的图像与X 轴所围成的区域内, 则这个  形 ABC(
— —

4 .曲线  : Y= l o g 2 ( 3 x ) 一X+ 1 的最 高点 
为 A, 它与X 轴 的交 点分别为 B、E两 点, 则三  角形 AB E的面积为 ( 精确到0 . O O 1 ) .   5 .与 3 6 互 素的正整数 从小到大排 列成数 
— —

为( 一 2 , 2 ) , 顶 点  在 轴上, 且C B / / x 轴;点  D、E的坐标分别是 ( 2 , 6 ) 、( 2 , 2 ) , 圆 r的圆心 
为《 二 ) , 半径为 2 . 求与 圆 r外切 , 且与线段 AB、  

D E都相切的圆的半径 f 精确到 1 0 - 4 ) .   1 1 . 设 实数 X l , X 2 , …, X 2 0 1 4 满足 : I X l I =   9 9 , l X n l =J   竹 一 1 +1 I , n=2 , 3 , … , 2 0 1 4 .习 之 X l  
+X 2 +… +X 2 0 1 4 的最 小值 .  

列{ 0 n ) , 则0 2 0 1 4 = — — .  
6 . 一 个 三 位 数 的立 方 是 七 位 数 ,形 如  木 术 9 9 9 木 木 , 则这样 的三位数为 7 . 已知 点  是 长 为 1 的 线段 J E } 上 的~  个动 点, 点 D 使得 J E } 上  J E } , 且J E 7 D:   , 连  结A D, 作C E上A  垂足为 E. 设 C=X , B E 
.  
— —

1 2 . 设实数 、Y 、Z 满足 x y  ̄O , x + y≠0 .  

求 ( 字+ 2 ) 2 + (  ) 2 + ( 南一 1 ) 2 的  
最小值.  

则Y 关于 的函数表 达式为 最小值为  .  
=   ,





,  

的 

参考答案 


8 .在 平 面直 角坐 标系 x Oy 中, 设点 P在  第 一 象 限, 点 A、   分别在 O x 、O y 上, 满 足  P A=PB:2 , 则 凸四边形 PA 0B面积的最大  值 为  .  



填空题 
1   2   3   4  

题号 

答案 1 . 8 6 7 5 1   0 . 0 1 7   1 . 1 2 2 2   3 . 9 0 9  

2 0 1 4 年第 8 期 

数学教学 

8 - 4 1  

几例俄 罗斯数奥赛题解法探究 
0 5 0 0 6 1 河北经 贸大 学数学与统计 学院 王亚辉 
0 5 0 0 3 5 河北省石家庄 学院数 学系   王玉怀  

本文 择译 俄 罗斯 2 0 1 1 -2 0 1 2 学年 度 9 -1 1   年级平 面几何数 学奥林匹克竞 赛题及解答 , 其  中笔者也给 出另外的解答 , 以供交流.   题1  ( 9 年 级) 圆 】 和 2 相 互 外 切 于 点  P.由圆 1 的圆心 作 圆 2 的切 线 1 1 , 类 似 地,   由  2 的圆心作 1 的切线 1 2 , l l 与1 2 不平行 . 证  明: 点J F ) 在直线 1 i 与f 2 夹角之一 的平分线上.   证法 1 1 1 】 : 设 O1 、 r l 和0 2 、 r 2 分别 是圆 1  
和 2 的 圆 心 和 半 径,   是2 l 与1 2 的 交 点( 如 

切 点. 显 然 AK 01 1 ' 1   △  O2 P 2 , 所 以  x x u1 = 
:  


于是在Z h K0 1 0 2 中, 点 P在 D1 o 2  

上, 并将它分成 的比等于两边  < = ) 1 与  0 2 的 
比. 因此 ,   P是 ( = ) 1  ‘ 二 ) 2 的平分线.  

注:从上述证 明不难 看到, 若在 j 】 和f 2 上  分别取点 M1 和 M2 , 使 AO 1 KM1  ̄AO 2 KM2 ,   由它 们 边 的 比等 于 它 们 相 应 高 的 比 ( ( = ) 】   :  

O2 P 2 ) , 也可 证得所要 求 的结论( 图2 ) .原证直 
接连结 《 二 ) 1   P 1 和( = ) 2 P 2 , 简洁. 另外, 还可 以应用 
角平分 线 的性质 , 证 明点 P到 0 1 K和0 2   的 

图1 ) .点 P在 线 段 ( 二 ) l ( 二 ) 2 上, 并 且将 它 分成 比  为r l : r 2 ( 从( = ) 1 算起 ) .  

距 离 相 等, 或 在  尸上 任 取 一 点, 证 明这 点  到( = ) 】   和O 2   的距离相等 . 如下面证法 2 .  

图1  

设P 1 是l 2 与圆 l 的切 点, P 2 是2 1 与 2 的 

图2  

由于 X 1 是奇数 , 由题设的条件知,  2 是偶 

( 警+ 2 ) 。 + (   Z + 2 ) 。 + ( 南一 1 )  


数,  3 是奇数, …, X 2 0 1 4 是偶数, 从而 ( X 2 0 1 4 +  

1 )   ≥1 ,  ̄X l + X 2 + …+ X 2 0 1 4 ≥去 ( 1 — 2 0 1 4 —  
9 9   1= 一5 9 0 7 .  

(   +   )   + (   + 1 ) 。 + (   + 1 )   ∑(  ) 2 + 2 ∑(   ) + 3  



又X l = -9 9 , X 2 = -9 8 , … , X 9 9 =-1 , X 1 0 0  
: 0 ,X l 0 1 = -1 ,X 1 0 2= = : 0 ,X1 0 3= = : -1 ,… ,X 2 0 1 3  


∑(   )   + 2 ( ∑   a?   b十 1 ) + 3  


:一 1 , X 2 0 1 4 =O 时等号成立.  
所 以, X 1 +X 2+ … +X 2 0 1 4 的最 小值 为 


( ∑   )   + 5  
暑 小信  5  

5 9 0 7 .  

当 a= 0 , b =1 , c =2 , 即 X=Y= 一1 ,   =2 时 
笺 - W  寺 

1 2 . 解: 设a =x +y +z , b =y +z , c =   , 则 



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