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高中数学圆的方程


知识梳理
1.圆的定义 ⑴在平面内,到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆. ⑵确定一个圆最基本的要素是 圆心 和 半径 . 2.圆的方程 圆的标准方程 方程 条件 圆心 半径 圆的一般方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
r?0
(a,b)

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D 2 ? E 2 ? 4F ? 0
(? D E ,? ) 2 2

r

1 D2+E2-4F 2

3.点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系 位置关系 点 M ( x0 , y0 ) 在圆外 点 M ( x0 , y0 ) 在圆上 点 M ( x0 , y0 ) 在圆内
2

满足条件

( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) ? r
2

2

( x0 ? a )2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ( x0 ? a )2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2

【例 1】已知圆经过点 A(2,?3) 和 B(?2,?5) . (1)若圆心在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,求圆的方程; (2)若圆的面积最小,求圆的方程.

【解析】(1)∵ k AB

1 ? , AB 中点为 (0,?4) , 2

∴ AB 中垂线方程为 y ? 4 ? ?2 x , 即 2x ? y ? 4 ? 0 ,
? x ? ?1, ?2 x ? y ? 4 ? 0 由? ,解得 ? ? y ? ?2. ?x ? 2 y ? 3 ? 0

∴圆心为 (?1,?2) .由两点间的距离公式, 得半径 r ? 10 ,
2

2 2 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 10 . ∴所求的圆的方程为

(2)要使圆的面积最小,则 AB 为圆的直径, ∴所求圆的方程为: x ? ( y ? 4) ? 5 .
2 2

【变式】若圆 C 经过坐标原点和点 (4, 0) ,且与直线 则圆 C 的方程是 .

y ? 1 相切,

【解析】∵圆 C 经过坐标原点和点 (4, 0) , ∴可设圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ,

5 ? r? 2 2 2 ? ? ? ?(2 ? 2) ? (2 ? b) ? r 2 依题意 ? ,解得 ? ? ?1? b ? r ?b ? ? 3 ? ? 2
3 2 25 ∴圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? . 2 4
2

【例 2】若实数 x , y 满足 x

2

? y ? 4x ? 1 ? 0 , 求:
2

y (1) 的最大值; x
(2) x
2

?y

2

的取值范围.

【解析】圆的方程可化为 ( x ? 2) ? y ? 3 .
2 2

y (1)设 ? k ,即 y ? kx , x
当相切时, k 取得最大值或最小值,

| 2k |


1? k

2

? 3 ,解得 k ? 3 或 k ? ? 3 ,



y x

的最大值是

3.

(2)设 d ?

x ?y ,
2 2

则 d 表示圆上的点到原点的距离, ∵圆心到原点的距离为 (?2 ? 0) ? (0 ? 0) ? 2 .
2 2

∴2?r ∴7?4

? d ? 2 ? r ,∴ 2 ? 3 ? d ? 2 ? 3 ,
3 ? d ?7?4 3,
2

∴所求的范围是 [7 ? 4

3,7 ? 4 3] .


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