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上海市闸北区2016年高三数学一模


闸北区 2015 学年度第一学期高三数学(文科)期末练习卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚, 并在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 16 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(54 分)本大题共有 9 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分.

1 a? ? 1.若二项式 ? 2 x ? ? 的展开式中 3 的系数是 84,则实数 a 的值为 x x? ?
2.函数 f ?x ? ? ?

7



? x?1 ? x ?, x ? 0, 的单调性为_________;奇偶性为 ? ? x 1 ? x , x ? 0 ?




3.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆 上,则该正三棱锥的体积是

? 4.在菱形 ABCD 中, AB ? 1 , ?DAB ? 60 , E 为 CD 的中点,则 AB ? AE 的值是

??? ? ??? ?



5.已知 log2 a ? log2 b ? 1 ,则 3 ? 9 的最小值为________.
a b

6.将序号分别为 1, 2,3, 4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 7.过点 M 是 .

?

3, y0 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的切线,切点为 N ,如果 y0 ? 0 ,那么切线的斜率


?

8.等差数列 {an } 的公差为 d ,关于 x 的不等式 dx2 ? 2a1 x ? 0 的解集为 ?0,9? ,则使数列

{an } 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是



9.如图,正方形 ABCD 的边长为 2, O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺时 针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x ( x ? [0, ? ] ) , OP 所经过的在正方 形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x ) 有以下三个结论:

3 ?? ? ; ?? ?3? 2 ? ?? ?? ? ?? ? ②对任意 x ? ?0, ? ,都有 f ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 4 ; ? 2? ?2 ? ?2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? ? ③对任意 x1 , x2 ? ? , ? ? ,且 x1 ? x2 ,都有 ? 0. x1 ? x2 ?2 ?
①f? 其中所有正确的结论的序号是 .

二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 6 分,否则一律得零分. 10. “a ?

1 y2 ? x 2 ? 1 焦点重合”的 ”是“抛物线 y ? ax2 的焦点与双曲线 8 3
B.必要不充分条件; D.既不充分也不必要条件.





A.充分不必要条件; C.充要条件;

11.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是【 A.若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行; B.若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行; C.若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线; D.若 m, n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面.



12. 已知 i 和 j 是互相垂直的单位向量, 向量 an 满足:i ? a n ? n , j ? a n ? 2n ? 1 ,n ? N , 设 ?n 为 i 和 an 的夹角,则 A. ?n 随着 n 的增大而增大; C.随着 n 的增大, ?n 先增大后减小; B. ?n 随着 n 的增大而减小; D.随着 n 的增大, ?n 先减小后增大.

?

?

?? ?

?

?

?? ?





三、解答题(本题满分 78 分)本大题共有 4 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 13. (本题满分 18 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边交单位圆于点 A ,且 ? ? ?

? ?? ? ? , ? ,将角 ? 的终边绕原点逆时针方向旋转 ,交单位 3 ?4 2 ?

圆与点 B ,过 B 作 BC ? y 轴于点 C . (1)若点 A 的纵坐标为

3 ,求点 B 的横坐标; 2
B

y A C

(2)求 ?AOC 的面积 S 的最大值.

α -1 O 1 x

14. (本题满分 20 分,第 1 小题 10 分,第 2 小题 10 分)

有一块铁皮零件,其形状是由边长为 30cm 的正方形 截去一个三角形 ABF 所得的五边形,其中 AF ? 8 cm ,
BF ? 6 cm ,如图所示,现在需要用这块材料截取矩形铁

E

M

D

皮 DMPN ,使得矩形的相邻两边分别落在 CD , DE 上,另 一个顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上,设 DM ? x cm ,矩形
DMPN 的面积为 y cm 2 .

A P F B N C

(1)试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; (2)试问如何截取(即 x 取何值时),可使得到的矩形 DMPN 的面积最大?

15. (本题满分 20 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 9 分) 如图,已知动直线 y ? kx 交圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 于 坐标原点 O 和点 A ,交直线 x ? 6 于点 B . (1)试用 k 表示点 A 、点 B 的坐标;
y A B

???? ? ??? ? (2)设动点 M 满足 OM ? AB ,其轨迹为曲线 C ,
求曲线 C 的方程 F ( x, y) ? 0 ; (3)请指出曲线 C 的顶点、对称性和图形范围,并 说明理由.
O

3

6

x

16. (本题满分 20 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分,第 3 小题 8 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且点 ? n, Sn ?( n ? N )在函数 y ? 2
?

x ?1

? 2 的图象上.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足: b1 ? 0 , bn?1 ? bn ? an ,求 b6 的值,并求其通项 bn ; (3)在第(2)问的条件下,若对于任意的 n ? N 不等式 bn ? ?bn?1 恒成立,求实数 ? 的
?

取值范围.

文科答案
一.填空题: 1、 1 ; 2、增函数;奇函数 3、

3 ; 4

4、 1 ;

5、18; 二.选择题:

6、 96 ;

7、 ?

2 ; 2

8、 5 ;

9、① ②

10. A 11.D 12.B
三.解答题: 13. (本题满分 18 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 10 分)

? ?? ? ? ,sin ? ? ? ? ? ,……………………………… 3 分 3? 3 ?? ? ? ? 3 ?? ? ? 依题意知 sin ? ? , ? ? ? , ? ,所以 ? ? ,……………………………………… 3 分 3 2 ?4 2? ?? 2? 1 ? 所以点 B 的横坐标为 cos ? ? ? ? ? cos ? ? ,……………………………………… 2 分 3? 3 2 ? ?? ? ? (2)? | OA |? 1,| OC |? sin ? ? ? ? , ?AOC ? ? ? , …………………………………………… 2 分 3? 2 ? 1 ? S ? | OA || OC | sin ?AOC ………………………………………………………………… 1 分 2 1 ? ? ? ?? ?? 3 ? 1 ? …………………………………… 3 分 ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2 ? 3? ?2 3? 8 ? 4 ? ? ? ? 5? 4? ? ?? ? ? ? ∵ ? ? ? , ? ,∴ ? 2? ? ? ? ? , ? ,…………………………………………………… 1 分 3? ? 6 3 ? ?4 2? ? ? 1 ? 5? ?? ? ∴当 2? ? ? ,即 ? ? 时, sin ? 2? ? ? 取最大值 ……………………………… 2 分 4 2, 3 6 3? ?
(1)由定义得, A(cos ? ,sin ? ) , B ? cos ? ? ?

?

? ?

??

∴ S 的最大值为

1? 3 ………………………………………………………………………… 1 分 8 .

14. (本题满分 20 分,第(1)小题 10 分,第(2)小题 10 分) 解(1)依据题意并结合图形,可知: 10 当点 P 在线段 CB 上,即 0 ? x ? 24 时, y ? 30 x ;…………………………………………… 2 分

20 当点 P 在线段 BA 上,即 24 ? x ? 30 时,由
于是, y ? DM ? PM ? DM ? EQ ? 62 x ? 所以, y ? ?

4 PQ BF ? ,得 QA ? 40 ? x .……………… 2 分 3 QA FA

4 2 x .………………………………………………………3 分 3

?30 x, 0<x ? 24 ? 定义域 D ? (0,30] .…………………………………… 3 分 4 2 62 x ? x . 24 ? x ? 30 ? 3 ? (2)由(1)知,当 0 ? x ? 24 时, 0 ? y ? 720 ;……………………………………………………… 3 分
当 30 ? x ? 40 时, y ? 62 x ?

4 2 4 93 2883 2883 ,…………………… 4 分 x ? ? ( x ? )2 ? ? 3 3 4 4 4

当且仅当 x ?

93 时,等号成立.………………………………… 2 分 4

因此, y 的最大值为

2883 . 4

93 cm ,然后过点 M 作 DE 的垂线交 BA 于点 P ,再过点 P 作 DE 的平 4 2883 cm2 .…… 1 分 行线交 DC 于点 N ,最后沿 MP 与 PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为 4
答:先在 DE 上截取线段 DM ? 15. (本题满分 20 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 9 分) 解: (1) A ?

? 24 12 ? , ? (3 分) , B ? 6,3? (2 分). ? 5 5?

? 6k 2 x ? ? ???? ? ??? ? 6k 2 6k 3 ? 1? k 2 k M , ) (2) OM ? AB ? ( ,则点 的参数方程为 ( 为参数), ? 3 1? k 2 1? k 2 ? y ? 6k ? 1? k 2 ? 消去参数 k ,得 x3 ? xy 2 ? 6 y 2 ? 0 . ……………………………………………………………6 分 (3)① 关于 x 轴对称; ……………………………………………………………………………1 分
将方程中的 ( x, y) 换成 ( x, ? y) ,方程的形式不变,则曲线 C 关于 x 轴对称. …………2 分 ② 曲线 C 的顶点为(0,0) ; ……………………………………………………………………1 分 在方程 x3 ? xy 2 ? 6 y 2 ? 0 中,令 y ? 0 ,得 x ? 0 .则曲线 C 的顶点坐标为(0,0). …2 分 ③ 图像范围: 0 ? x ? 6, y ? R ; ……………………………………………………………1 分

y2 ?

x ? 0 ,得 0 ? x ? 6, y ? R . ………………………………………………………2 分 6? x

3

16. (本题满分 20 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分,第(3)小题 6 分) 解:(1)由题意可知, S n ? 2 n?1 ? 2 . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2
n

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n?1 ? 2 ? 2n ? 2 ? 2n ,
1?1

?

?

??????????????2 分

所以 an ? 2 ?n ? N *? . (2)解法一:

? 2 ? 2 也满足上式,

?????????????????1 分

????????????????????????????1 分 ????????????????????????????2 分
n

由(1)可知 bn?1 ? bn ? 2 ?n ? N *? ,即 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? .
1 当 k ? 1 时, b2 ? b1 ? 2 ,???①

b6 ? 22

当 k ? 2 时, b3 ? b2 ? 2 2 ,所以 ? b3 ? b2 ? ?2 2 ,???② 当 k ? 3 时, b4 ? b3 ? 23 ,???③ 当 k ? 4 时, b5 ? b4 ? 2 4 ,所以 ? b5 ? b4 ? ?2 4 ,???④ ?? 当 k ? n ? 1 时( n 为偶数), bn ? bn?1 ? 2 n?1 ,所以 ? bn ? bn?1 ? ?2 n?1 ??? n ? 1 以上 n ? 1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 ? 又 b1 ? 0 , 所以,当 n 为偶数时, bn ?

2 1 ? ?? 2? 1 ? ?? 2?

?

n ?1

?? 2

n

3

?

2 . 3

2n 2 ? . ??????????????????????3 分 3 3

同理,当 n 为奇数时, ? bn ? b1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 ? 所以,当 n 为奇数时, bn ? 解法二:

2 1 ? ?? 2? 1 ? ?? 2?

?

n ?1

? ? 2?2
3

n

,

2n 2 ? .??????????????????????????3 分 3 3
????????????????????????????2 分

b6 ? 22

猜测:当 n 为奇数时, bn ? 2

n ?1

? 2 n?2

猜测:当 n 为偶数时, bn ? 2n?1 ? 2n?2 以下用数学归纳法证明: n ? 1 ,命题成立; 假设当 n ? k 时,命题成立:

1 ? ? 2 n ?1 ?1 ? (? ) n ?1 ? n 2 ? ? ? 2 ? 2. ? ? ? ? ? 22 ? 2 ? ???2 分 1 3 3 1 ? (? ) 2 1 ? ? 2 n ?1 ?1 ? (? ) n ?1 ? n 2 ? ? ? 2 ? 2. ???2 分 ? ? ? ? ? 22 ? 2 ? 1 3 3 1 ? (? ) 2

当 n 为奇数时, bk ? 2k ?1 ? 2k ?2 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ,

当 n ? k ? 1 时, n 为偶数,由 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? 得

bk ?1 ? 2k ? bk ? 2k ? 2k ?1 ? 2k ?2 ? ? ? ? ? 22 ? 2 , 故, n ? k ? 1 时,命题也成立. 同理,当 n 为偶数时,命题仍成立. ???????????????????????2 分 n ?2 2 ?n为偶数? ? ? ? 3 3 (3)由(2)可知 bn ? ? n ? 2 ? 2 ?n为奇数? ? 3 ? 3 2n 2 ? bn 2n ? 2 1 3 3 ? n ?1 3 ? n ?1 ? ? n ?1 ①当 n 为偶数时, , bn ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3 bn b b 所以 随 n 的增大而减小,从而,当 n 为偶数时, n 的最大值是 2 ? 1 .???????3 分 bn ?1 bn ?1 b3
2n 2 ? bn 2n ? 2 1 3 3 ? n ?1 3 ? n ?1 ? ? n ?1 ②当 n 为奇数时, , bn ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3 b b 1 3 1 ? ? 1. 所以 n 随 n 的增大而增大,且 n ? ? n ?1 bn ?1 bn?1 2 2 ? 2 2 b 综上, n 的最大值是 1. ????????????????????????????3 分 bn ?1 因此,若对于任意的 n ? N * ,不等式 bn ? ?bn?1 恒成立,只需 ? ? 1 ,

故实数 ? 的取值范围是 ?1,??? .??????????????????????????2 分


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