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圆锥曲线经典例题



圆锥曲线经典例题
椭 圆 知 识 关 系 网

1.椭圆的定义: 第一定义:平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆, 定点

叫做椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的准线,常数 e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2

图形

椭 圆

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线方程
点 P(x0,y0) 的焦半径公式

(? a, 0) , (0, ?b)

(0, ? a) , (?b, 0)

x 轴, y 轴,长轴长为 2a ,短轴长为 2b
F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)
焦距为 F1F2 ? 2c(c ? 0),
c 2 ? a 2 ? b2

F1 (0, ?c) 、 F2 (0, c)

e ? c (0<e<1)
a
x?? a2 c

y??

a2 c

|PF 右|=a-ex0 , |PF 左|=a+ex0 (“左加右减”)

|PF 上|=a-ey0 , |PF 下|=a+ey0

注:1.焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义. 椭 圆 2.椭圆参数方程 ?

? x ? a cos ? : ? y ? b sin ?
1

如图点 N (a cos ? , b sin ? ) 的轨迹为椭圆.

例 1.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例 2. 已知 ?ABC 的周长是 16, A(?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( ) (A)

)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1( y ? 0) (C) ? ? 1 (D) ? ? 1( y ? 0) 25 16 25 16 16 25 16 25

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为 M,最小值为 m,则 a 2 b2 M ?m 椭圆上与 F 点的距离等于 的点的坐标是( ) 2 b2 b2 ( B)(?c, ? ) (A)(c, ? ) (C)(0,±b) (D)不存在 a a x2 y 2 例 4. 如果椭圆 ? ? 1 上有一点 P,它到左准线的距离为 2.5,那么 P 点到右焦点的距离与到左 椭 25 9
例 3. 若 F(c,0)是椭圆



焦点的距离之比是( )。 (A)3 : 1 (B)4 : 1

(C)15 : 2

(D)5 : 1
2

例 5. 设 F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆

x y + a2 b2
(C)

2

=1(a>b>0)的两个焦点,P 是以 F1F2 为直径的圆与椭圆的 ) (D)

一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( (A)

3 2

(B)

6 3
2 2

2 2

2 3

3 ),椭圆 3x +4y =48 的右焦点是 F,点 P 在椭圆上移动,当|AP|+2|PF|取最小值时 例 6. 设 A(-2, P 点的坐标是( )。
(A)(0, 2

3)

(B)(0, -2

3)

(C)(2

3,

3)

(D)(-2

3,

3)
.

例 7. P 点在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,F1、F2 是两个焦点,若 PF1 ? PF2 ,则 P 点的坐标是 45 20
. .

例 8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6; (2)焦点坐标为 (?

3,0) , ( 3,0) ,并且经过点(2,1);

椭 圆

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 (4)离心率为

1 ; 3

____.

3 ,经过点(2,0); 2

.

例 9. 是

F1、F2 是椭圆


x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 | PF1 | ? | PF2 | 的最大值 4

2

例 10. 椭圆中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,e= |PQ|=

3 ,过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 P、Q 两点, 2

20 9

,且 OP⊥OQ,求此椭圆的方程.

双 曲 线 知 识 关 系 网 双 曲 线 1.双曲线的定义: 第一定义:平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)的点的轨迹是双曲线, 定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线,常数 e 叫做双曲线的离心率.

标准方程 图形

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率

(? a, 0)

(0, ? a)

x 轴, y 轴,实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
F1 (?c,0), F2 (c,0)
F1 (0, ?c), F2 (0, c)

焦距为 F F2 ? 2c(c ? 0), 1

c 2 ? a 2 ? b2

e?

c (e>1) a
3

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

如需要用到焦半径就自己推导一下:如设 P( x0 , y0 ) 是双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点, a 2 b2

F右 (c,o)为右焦点,点 P 到相应准线

点 P(x0,y0) 的焦半径 公式

l:x?

a 2 的距离为 d , 则 c
a2 0 ? c
2

PF右 ? ed .
, PF右 ? e( x0 ?
2

当 P 在右支上时 d ? x

a2 ) ? ex0 ? a ; c

当 P 在左支上时 d ? a ? x0 , PF右 ? e( a ? x0 ) ? a ? ex0
c
c

即 | MF |? x0 (ex ? a) , 0 右 | x0 |

类似可推导 | MF |? x0 (ex ? a) 0 左
| x0 |

2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
例 11.命题甲: 动点 P 到两定点 A、 的距离之差的绝对值等于 2a(a>0); B 命题乙: 点 P 的轨迹是双曲线。 则命题甲是命题乙的( ) (A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

双 曲 线

例 12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( (A)圆

) (B)椭圆 (C)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线的方程是( 例 13. 过点(2,-2)且与双曲线 ) 2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 (D) ? ?1 (A) (B) (C) 4 2 4 2 2 4 2 4
例 14. 如果双曲线的焦距为 6,两条准线间的距离为 4,那么双曲线的离心率为( ) (A)

3 2

例 15. ( )

3 6 (C) (D)2 2 2 x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到它的左焦点的距离是 8, 如果双曲线 那么点 P 到它的右准线的距离是 64 36
(B) (B)

32 (A) 5
双 曲 线
例 16. 双曲线

64 5

(C)

96 5

(D)

128 5

x2 ? y 2 ? 1(n ? 1) 的两焦点为 F1 , F2 , P 在双曲线上,且满足 n ) PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 ,则 PF1F2 的面积为( 1 (B) (C )2 ( A)1 ( D )4 2

?

例 17. 设 ?ABC 的顶点 A(?4,0) , B( 4,0) ,且 sin A ? sin B ? 程是________. 例 18.

1 sin C ,则第三个顶点 C 的轨迹方 2

x2 y2 y2 x2 连结双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的四个顶点的四边形面积为 S1 ,连结 a b b a

4

四个焦点的四边形的面积为 S 2 ,则 例 19.根据下列条件,求双曲线方程:

S1 S2

的最大值是________.

x2 y 2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ); 9 16 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2). ⑵与双曲线 16 4 y2 2 ? 1上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 例 20. 设双曲线 x ? 2
⑴与双曲线 ⑴求直线 AB 方程; ⑵如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为什么?

抛 物 线 知 识 关 系 网

5

1.抛物线的定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 l 上).定点 F 叫做抛物线的 焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)

标准方程 图形 抛 物 线 对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 点 P(x0,y0) 的焦半径 公式

y2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

x轴
p F ( , 0) 2
原点 (0, 0)

x轴
F (? p , 0) 2

y轴
p F (0, ) 2

y轴
p F (0, ? ) 2

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

e ?1
用到焦半径自己推导一下即可 如:开口向右的抛物线上的点 P(x0,y0)的焦半径等于 x0+

p . 2

注: 1.通径为 2p,这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦. 2.

? x ? 2 pt 2 ? x ? 2 pt (或 ? )( t 为参数). y ? 2 px (或 x ? 2 py )的参数方程为 ? 2 ? y ? 2 pt ? y ? 2 pt
2 2

例 21. 顶点在原点,焦点是 (0, ?2) 的抛物线方程是( (A)x =8y
2

) (D)y =??8x )
2

(B)x = ?8y
2

2

(C)y =8x

2

例 22. 抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是(

17 (A) 16

15 (B) 16
2

7 (C) 8
)

(D)0 (D)1 条

例 23.过点 P(0,1)与抛物线 y =x 有且只有一个交点的直线有( (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 例 24. 过抛物线 q,则

y ? ax
)

2

(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、

1 1 ? 等于( p q

(A)2a

(B)

1 2a

(C) 4a
2

(D)

4 a

抛 物 线

例 25. 若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y =2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小 值,P 点的坐标为( ) (A)(3,3) (B)(2,2) (C)(

1 2

,1)

(D)(0,0) .

例 26. 动圆 M 过点 F(0,2)且与直线 y=-2 相切,则圆心 M 的轨迹方程是
2

例 27. 过抛物线 y =2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵坐标为 y1、y2,则 y1y2= _________. 6

例 28. 以抛物线 x

2

? ?3y 的焦点为圆心,通径长为半径的圆的方程是_____________.
2

例 29. 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y =6x 有公共点,则直线 l 的倾斜角的范围是 例 30 设

.

p ? 0 是一常数,过点 Q(2 p,0) 的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相异两点 A、B,以线段 AB

为直经作圆 H(H 为圆心) 。 (Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上; (Ⅱ)求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.

轨 迹 问 题

上一章已经复习过解析几何的基本问题之一: 如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系 数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等 求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。 因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算, 一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 求轨迹方程的一般步骤:建、设、现(限) 、代、化. 例 31. 已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 PM

???? ???? ? ? PN =12,则点 P 的轨迹方程为(



( A)

x ? y2 ? 1 16

2

( B) x2 ? y 2 ? 16

(C) y 2 ? x2 ? 8

( D) x2 ? y 2 ?

例 32.⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 1 和 2,|O1O2|=4,动圆与⊙O1 内切而与⊙O2 外切,则动圆圆心轨迹是 ( ) (A)椭圆 例 33. 动点 P 在抛物线 y =-6x 上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方程是( 2 2 2 2 (A)(2y+1) =-12x(B)(2y+1) =12x (C)(2y-1) =-12x(D)(2y-1) =12x 例 34. 过点 (A)椭圆
2

(B)抛物线

)

轨 迹 方 程

A (2,0)与圆 x 2 ? y 2 ? 16 相内切的圆的圆心 P 的轨迹是(
(B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆 )
2



例 35. 已知 ?ABC 的周长是 16, A(?3,0) ,B (3,0) 则动点的轨迹方程是( (A)

y y x x ? ? 1 (B) ? ? 1( y ? 0) 25 16 25 16

2

2

2

2

(C)

y x ? ?1 16 25

2

2

(D)

y x ? ? 1( y ? 0) 16 25
.

2

例 36. 椭圆

x2 y2 4 ? ? 1 中斜率为 的平行弦中点的轨迹方程为 4 3 3
2 2

例 37. 已知动圆 P 与定圆 C: (x+2) +y =1相外切,又与定直线 l:x=1相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是______________. 例 38. 在直角坐标系中, A(?3,2), AB ? (3 ? 5cos? , ?2 ? 3sin ? )(? ? R) ,则 B 点的轨迹方程是 ______. 直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元

uur u

圆 锥 曲 线 综

二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 ? ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长

? 0、? ? 0、? ? 0.

直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它的弦长

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? 1 ? ? ?
7

1 y1 ? y2 k2

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为

合 问 题

y1 ? y2 ? k( x1 ? x2 ) ,运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则

AB ? y1 ? y2

.

注: 1.圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌 握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数,用求值域的方法求范围;二 是建立不等式,通过解不等式求范围。 例 39. AB 为过椭圆 (A)b
2

x2 y2 ? a2 b2

=1 中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB 的面积最大值是(

) (B)ab

圆 锥 曲 线 综 合 问 题

例 40. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x

2

? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是(
15 ) 3
(C ) (?



15 15 , 0) , ? 1) ( D) (? 3 3 2 2 例 41.若双曲线 x -y =1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是( ). 1 1 1 1 ( A) ? (B) (C ) ? 或 (D)2 或-2 2 2 2 2
( A) (? ( B ) (0 ,
例 42.抛物线 y=x 上的点到直线 2x- y =4 的距离最近的点的坐标是(
2

15 15 , ) 3 3

)

1 1 ( A)( , ) ) 2 4
2

(B)(1,1)

3 9 (C) ( , ) 2 4
(C)4

(D) (2,4) )

例 43. 抛物线 y =4x 截直线 (A)2 例 44. 把曲线 C1 (B)-2

y ? 2 x ? k 所得弦长为 3 5 ,则 k 的值是(
(D)-4

:

圆 锥 曲 线 综 合 问 题

x ? 5 ,则 k 的值为( ) ( A) ? 3 ( B) ? 2
例 45.如果直线

? x2 y2 ? ? 1 按向量 a ? (1, 2) 平移后得曲线 C2 ,曲线 C2 有一条准线方程为 4 k
(C )3
.

( D) ? 3

y ? k ( x ? 1) 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 没有交点,则 k 的取值范围是

例 46. 已知抛物线

y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,且
.

x1 x 2 ? ?

1 ,那么 m 的值为 2

例 47.

x2 以双曲线 3

-y =1 左焦点 F,左准线 l 为相应焦点、准线的椭圆截直线 y=kx+3 所得弦恰被 x 轴

2

平分,则 k 的取值范围是___________.

例 48. 双曲线 3x -y =1 上是否存在关于直线 y=2x 对称的两点 A、B?若存在,试求出 A、B 两点的坐标; 若不存在,说明理由.

2

2

8

答案 例 1. D

例 2. B 例 3. C 先考虑 M+m=2a,然后用验证法.

例 4. B 提示:e=

4 ,P 点到左准线的距离为 2.5,它到左焦点的距离是 2, 2a=10, P 点到右焦点的距离 5

是 8,∴P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 4 : 1;

1 6. 2a 例 5. B∵ | PF1 | ? | PF2 | ? 2c ? | PF1 | ? | PF2 | ? ,∴ 2c ? e ? ? sin15? sin 75? 1 sin15? ? sin 75? sin15? ? cos15? 2a 2 sin 60? 3
例 6. C 提示: 椭圆 3x2+4y2=48 中, a=4, c=2, e=

| PF | 1 1 , 设椭圆上的 P 点到右准线的距离为 d, 则 = , 2 2 d

∴|AP|+2|PF|=|AP|+d, ∴当 AP 平行于 x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间时,|AP|+d 为一直线段, 距离最小,此时 P 点纵坐标等于 3 ,∴P 点坐标是(2 3 , 例 7. (3, ? 4) 或(-3, ? 4) 例 8. (1)

3)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1; 25 16 16 25
x2 x2 y2 ? y2 ? 1或 ? ? 1; 9 9 81

(2)

x2 y2 ? ? 1; 6 3
x2 x2 y2 ? y2 ? 1或 ? ? 1. 4 4 16

(3)

(4)

例 9. | PF1 | ? | PF2 | ≤ (

| PF1 | ? | PF2 | 2 ) ? a2 ? 4 2

例 10. 解:设椭圆方程为

x2 y2 + =1,(a>b>0) a2 b2 b2 b2 , 又|FQ|=|FP|且 OP⊥OQ, ∴|OF|=|FP|,即 c= ∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0, a a

⑴PQ⊥x 轴时, F(-c,0), |FP|=

∴e=

5 ?1 3 与题设 e= 不符,所以 PQ 不垂直 x 轴. 2 2
4 1 3 ,∴a2= c2,b2= c2, 3 3 2

⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=

所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将 PQ 方程代入, 得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=

? 24k 2 c 12k 2 c 2 ? 4c 2 ,x1x2= 3 ? 12k 2 3 ? 12k 2

由|PQ|=

20 24k 2 c 2 4(12k 2 c 2 ? 4c 2 ) 20 2 得 1? k · ( = ① ) ? 9 9 3 ? 12k 2 3 ? 12k 2

∵OP⊥OQ,∴

y y1 · 2 = -1 即 x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0② x2 x1

9

把 x1 ? x2 , x1 x2 代入,解②得 k =
2

4 4 2 2 ,把 k ? 代入①解得 c =3 11 11

∴a2=4,b2=1,则所求椭圆方程为 例 11. B 例 12. C

x2 2 +y =1. 4
例 14. C 例 15. C

例 13. D

例 16. A 假设 PF ? PF2 ,由双曲线定义 PF1 ? PF2 ? 2 n 且 PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 , 1 解得 PF1 ? n ? 2 ? n , PF2 ? n ? 2 ? n 而 F1F2 ? 2 n ? 1 由勾股定理得 S? PF F ? 1 PF1 ? PF2 ? 1 2
1 2

[点评]考查双曲线定义和方程思想.

x2 y2 ? ? 1( x ? ?2) 例 17. 4 12
例 19.⑴设双曲线方程为

例 18.

1 2

1 x2 y2 (?3)2 (2 3) 2 ? ? ? (λ ≠0),∴ ? ??∴ ? ? , 4 9 16 9 16

∴ 双曲线方程为

?16 ? k ? 0 ? x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ;⑵设双曲线方程为 ? ?1 ? ?∴ 9 4 16 ? k 4 ? k ?4? k ? 0 ? 4

x2 y 2 (3 2)2 22 ?1 ? ? 1 ,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为 ? 12 8 16 ? k 4 ? k
评注:与双曲线

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (λ ≠0),当λ >0 时,焦点在 x a2 b a b x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a2+k>0, ? 2 ? 1 共焦点的双曲线为 2 a ?k b ?k a2 b

轴上; <0 时, 当λ 焦点在 y 轴上。 与双曲线

b2-k>0)。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题质量,特别是充分利用含参数方程 的几何意义,可以更准确地理解解析几何的基本思想. 例 20. 解题思路分析:

? y ? kx ? 2 ? k ? 法一:显然 AB 斜率存在设 AB:y-2=k(x-1) 由 ? 得:(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 y2 2 ?1 ?x ? ? 2
当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 ? ?

x1 ? x2 k (2 ? k ) ? ∴ k=1,满足△>0∴ 直线 AB:y=x+1 2 2 ? k2

? 2 y12 ? x1 ? 2 ? 1 ? 1 法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 ? 两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2) 2 2 ? x 2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 2

10

∵ x1≠x2∴

y2 2 ?1 y1 ? y2 2( x1 ? x2 ) ? 1 ∴ AB:y=x+1 代入 x 2 ? ? 1得:△>0 ∴ k AB ? ? 2 2 x1 ? x2 y1 ? y2

评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。在利用 点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所有条件. 本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦,故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

? y ? x ?1 ? 由? 得:A(-1,0) ,B(3,4)又 CD 方程:y=-x+3 y2 x2 ? ?1 ? ? 2 ? y ? ?x ? 3 ? 由? 得:x2+6x-11=0 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) y2 2 ?1 ?x ? ? 2
则 x0 ?

x3 ? x4 ? ?3, y0 ? ? x0 ? 3 ? 6 ∴ M(-3,6) 2
1 |CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2

∴ |MC|=|MD|=

∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 评注:充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰,在复习中必须引起足够重视. p 例 21. B( ? ?2, p ? ?4即x 2 ? 2 py ? ?8 y ) 例 22. B 2 例 23. B(过 P 可作抛物线的切线两条,还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求。) 例 24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于 称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为 p,q, 则 p=q=|FK| 而 | FK |?



1 , 2a

?

1 1 2 2 ? ? ? ? 4a p q p (1) 2a
例 26.

例 25. 解析:运用抛物线的准线性质.答案:B x2=8y 例 27. -p2 例 28. x ? ( y ? ) ? 9
2 2

3 4

例 29. [0,arctan

6 6 ] ? [? ? arctan ,? ) 2 2

例 30. 解:由题意,直线 AB 不能是水平线, 故可设直线方程为: ky ? x ? 2 p . 又设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则其坐标满足 ?

?ky ? x ? 2 p,
2 ? y ? 2 px.

消去 x 得 y ? 2 pky ? 4 p ? 0
2 2

11

2 由此得 ? y A ? y B ? 2 pk, ∴ ? x A ? x B ? 4 p ? k ( y A ? y B ) ? (4 ? 2k ) p, ? ? 2 ? ( y A yB )2 ? y A y B ? ?4 p . ? 4 p2 ?x A xB ? 2

?

(2 p)

因此 OA ? OB ? xA xB ? yA yB ? 0 ,即 OA ? OB . 故 O 必在圆 H 的圆周上. 又由题意圆心 H( xH , y H )是 AB 的中点,

??? ??? ? ?

x A ? xB ? ? ( 2 ? k 2 ) p, ?xH ? ? 2 故? 由前已证 y A ? yB ?y ? ? kp. ? B 2 ?
OH 应是圆 H 的半径, 且 | OH |?
2 2 x H ? y H ? k 4 ? 5k 2 ? 4 p .从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小.

此时,直线 AB 的方程为:x=2p.

注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题,一般方法是联立方程组,消元得一元二次方程,必须讨 论二次项系数和判别式△,利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系.求解有时借助图形 的几何性质更为简洁.此题设直线方程为 x=ky+2p;因为直线过 x 轴上是点 Q(2p,0),通常可以这样 设,可避免对直线的斜率是否存在讨论.2.凡涉及弦的中点及中点弦问题,利用平方差法;涉及垂 直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算.3.在引入点参数(本题中以 AB 弦的两个端点的 坐标作为主参数)时,应尽量减少参数的个数,以便减少运算量.由 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=O 这个关系 对于解决此类问题十分有用.4.列出目标函数,|OH|= k ? 5k ? 4 P,运用函数思想解决解析几
4 2

何中的最值问题是解决此类问题的基本思路,也可利用基本不等式 a2+b2≥2ab 当且仅当 a=b 时“=”成 立求解. 例 31. B 例 32. D 例 33. C 例 34. A 例 35. B 例 36. 9x+16y=0 (椭圆内部分 例 37. y =-8x


x2 y 2 ? ?1 例 38. 25 9

例 39. 解析:∵S△AFB=2S△AOF,∴当点 A 位于短轴顶点处面积最大.答案:D 例 40. D41. B 42. B 数形结合估算出 D 例 43. D 例 40. C∵由已知得曲线 C1 的准线为 x ? 4 ,∴焦点在 x 轴上且
2 ∴ a ? 2, c ? 1 ,∴ k ? b ? 3

a2 ? 4 , a2 ? 4 , c

例 45.k< ?

2 3 2 3 或k ? 3 3

例 46.

3 2

例 47. (0,

3 ) 2

12

例 48. 解:设 AB:y=?

1 x+m,代入双曲线方程得 11x2+4mx?4(m2+1)=0, 2

这里△=(4m)2?4×11[?4(m2+1)]=16(2m2+11)>0 恒成立,

1 2m 12m 4m ,∴x0=? ,y0=? x0+m= , 2 11 11 11 若 A、B 关于直线 y=2x 对称,则 M 必在直线 y=2x 上, 1 12m 4m ∴ =? 得 m=1,由双曲线的对称性知,直线 y=? x 与双曲线的交点的 A、 必关于直线 y=2x B 2 11 11
设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x0,y0),则 x1+x2=? 对称. ∴存在 A、B 且求得 A(

2 11

,?

1 11

),B(?

2 11



1 11

)

13



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