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高2014级零诊文科数学练习题(二)



N

高 2014 级零诊文科数学练习题(二)
( )

一、选择题(60 分) 1.设集合 M ? {x | x ? 2} ,集合 N ? {x | 0 ? x ? 1} ,则下列关系中正确的是
A. M ? N ? R B. M ? N ? {x | 0 ? x ? 1} C. N ? M

D.

M ? N ? ? ( )

2.命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是 A.若 a>b,则 a-1≤b-1 B.若 a≥b,则 a-1<b-1 C.若 a≤b,则 a-1≤b-1 D.若 a<b,则 a-1<b-1 3.同时掷两枚骰子,所得点数之和为 5 的概率为 A.1/4 4.函数 f ( x) ? A. (? ,?? ) B.1/9 C.1/6 D.1/12 ) D. ( ?? ,? )

(

).

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是 (
B. ( ? ,1)

1 3

1 3

C. ( ? , )

1 1 3 3

1 3

5. 已知函数 y ? sin ? x(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, 要得到函数 y ? sin( x ? 的图象,则需将函数 y ? sin ? x 的图象 y 1 O D.向左平移
x

1 2

?
12

)





? 12 ? B.向左平移 12 ? C.向右平移 6
A.向右平移

-?

2?

3? x

?

? 6
1 2

6.已知条件甲:函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数,条件乙: loga ? 0 , 则条件甲是条件乙的 A.充分而不必要的条件 C.充要条件
2 2

( B.必要而不充分的条件 D.非充分非必要的条件 ( C. 1 D. ? 2



7.已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 ,设圆中过点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、

CD ,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为 A. ? 1 B. 0



8.已知两条不同的直线 m 、 n ,两个不同的平面 ? 、 ? ,则下列命题中的真命题是( A.若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n B.若 m ? ? , n ∥ ? , ? ? ? ,则 m ? n



C.若 m ∥ ? , n ∥ ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ n D.若 m ∥ ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ∥ n

9.圆 x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 20 关于直线 y ? kx ? b 对称,则 k 与 b 的值分 别等于 ( ) B. k ? ? 2 , b ? ? 5 C. k ? 2 , b ? ? 5 D. k ? 2 , b ? 5

A. k ? ? 2 , b ? 5 10.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,过点 F2 的直线交双曲 a 2 b2


线右支于不同的两点 M 、 N .若△ MNF 1 为正三角形,则该双曲线的离心率为(

2 30 A. 6 B. 3 C. 2 D. 3 0 8 2 2 11.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? 在(1,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 0 ( ) x 9 63 1 63 A. a ? 3 6 B. a ? 3 6 C. a ? ? D. a ? ? 7 2 2 12.△ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上), 定义 f (M ) ? ( x, y, z ) ,其中 x, y , z 分别表示△ MBC , △ MCA , △ MAB 的面积,若

??? ? ??? ?

1 1 4 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 ? 的最小值为( 2 x y
(A)8 (B)9 (C)16 (D)18



二、填空题(20 分)
π )为圆心, 2 以 a 为半径的圆的极坐标方程为
13.在极坐标系中,以(a, 14.若向量 a ? (1, k ) , b ? (?2,6) ,

?

?

? ? ? ? k ? R ,且 a ∥ b ,则 a ? b =
15.如图所示,程序框图(算法流 程图) 的输出值 x=



16.给定下列命题:①半径为 2,圆心角的弧度数为

1 1 的扇形的面积为 ;②若 ? 、 ? 为锐 2 2

1 3? ,则 ? ? 2 ? ? ;③若 A 、 B 是△ ABC 的两个内角, 2 4 且 sin A ? sin B ,则 BC ? AC ;④若 a 、 b 、 c 分别是△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所
角, tan(? ? ? ) ? ?3 , tan ? ? 对边的长, a ? b ? c ? 0 ,则△ ABC 一定是钝角三角形.其中正确的序号是
2 2 2



三、解答题(70 分)
17. (12 分)等差数列 ?an ? 中, a7 ? 8, a19 ? 2a9 , (2)设 bn ? (1)求 ?an ? 的通项公式;

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

18. (12 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数,乙组记录中有一个数据 模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数; (2) 记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,如果 X=9,分别从 甲、乙两组中随机选取一名同学,列举这两名同学的植树总棵数为 19 的所有情形并求该事 件的概率.

19. ( 12 分)如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=60 ,PA=AC=a,PB=PD= 2a ,
0

点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (Ⅰ)证明 PA⊥平面 ABCD; P

E A B C D

(Ⅱ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论.

20. ( 12 分)已知椭圆的两个焦点 F1 (0,1) 、 F2 (0, ?1) ,直线 y ? 4 是它的一条准线, A 1、

A2 分别是椭圆的上、下两个顶点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设以原点为顶点, A 1 为焦点的抛物线为 C ,若过点 F 1 的直线与 C 相交于不同的两点

M 、 N ,求线段 MN 的中点 Q 的轨迹方程.

21. ( 12 分)已知函数 y ? f ( x ) ? 方程;

(3) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值

(2)求 y ? f ( x) 的最大值;

1 ln x 。 (1)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? 处的切线 e x

22. (10 分)已知直线 l 过点 P(2,0),斜率为

4 ,直线与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A、 3

B 两点,设直线 AB 的中点为 M,求: (1)P、M 两点间的距离 PM 。 (2)线段 AB 的长 AB 。

高 2014 级零诊文科数学练习题(二)参考答案
一、选择题 1.B 2.C 3.B 11.D 【解析】 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.D 10.B

2 0 a 2 2 x3 ? ax ? 2 2 ' 2 0 ,又因为, 试题分析:因为 f ( x) ? x ? a ln x ? ,所以 f ( x) ? 2x ? ? 2 ? x x x x2 8 0 2 x3 ? ax ? 2 2 3 2 ? 0,即2 x9 ? ax ? 2 ? 0 函数 f ( x) ? x ? a ln x ? 在 (1, 4) 上是减函数, 所以 x x2 1 7 2 2 2 2 在( 1 , 4 )恒成立,所以 a ? ? 2 x 恒成立,而 ? 2 x 在( 1,4 )是减函数,所以,

x 2 63 a ? ? 2 ? 22 ? ? ,故选 D。 4 2

x

12.D

二、填空题 13.?=2asin ?. 三、解答题

14. (-1,3)

15.12

16.②③④

17. 【解】 : (1) an ? n ? 1 (2) S n ?

n n ?1

【解析】 试题分析: (1)将已知条件转化为等差数列的首项和公比表示,通过解方程组得到 (2)整理数列 ?bn ? 通项为 bn ? a1 ? 2, d ? 1 ,从而得到数列通项公式; 采用裂项相消的方法求和 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ?1)d 因为 ?

1 1 ? ,结合特点 n n ?1

a1 ? 6d ? 8 ? a7 ? 8 ? ,所以 ? . ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9

解得, a1 ? 2, d ? 1 . 所以 {an } 的通项公式为 an ? n ? 1 . (Ⅱ) bn ?

1 1 1 1 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
1 2

1 1 1 1 n )? . 2 3 n n ?1 n ?1 8 ? 8 ? 9 ? 10 35 4 1 ? 18.【答案】 (1) x ? ; (2) P(C)= = . 4 4 16 4
所以 Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

【解析】 试题分析: (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10. 所以平均数为 x ?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

(4 分)

(2)所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4). (8 分) 用 C 表示: “选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件, 则 C 中的结果有 4 个, 它们是: (A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为 P(C)=

4 1 = . 16 4

(12 分)

19. 【解】 : (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,

所以 AB=AD=AC=a,在△PAB 中, 2 2 2 2 由 PA +AB =2a =PB ,知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)当 F 是棱 PC 的中点时,BF//平面 AEC,证明如下,

取 PE 的中点 M,连结 FM,则 FM//CE.①由 EM ? 连结 BM、BD,设 BD ? AC=O,则 O 为 BD 的中点. 所以 BM//OE.② 由①、②知,平面 BFM//平面 AEC. 又 BF ? 平面 BFM,所以 BF//平面 AEC.

1 PE ? ED , 知 E 是 MD 的中点. 2

y 2 x2 20. 【解】 : (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
由题意 c ? 1,

a2 y 2 x2 ? 4.? a 2 ? 4.从而b2 ? 3. ? 所求椭圆方程 ? ? 1 ;?5 分 c 4 3

(Ⅱ)设抛物线 C 的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) . 由

p ? 2, 得p ? 4 . ? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 8 y.         ???2分 2

设线段M N 的中点 ( Q , x 直线 ) y, 的方程为 l ?
由?

? y

k1x.

? y ? kx ? 1 ?x ? 8 y
2

? x 2 ? 8kx ? 8,即 x2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,设 M ( x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?8 .
?x ? x1 ? x2 8k ? ? 4k .       ??? 2分 2 2
2

代入直线 l的方程,得y ? k ? 4k ? 1 ? 4k ? 1

? x ? 4k x2 由? 消去 k ,得 y ? ?1 即 , x2 ? 4 y? ( 1) . 2 4 ? y ? 4k ? 1 ?点Q的轨迹方程为x 2 ? 4( y ? 1)      ??? 3分
21. 【解】 :解(1)? f ( x) 定义域为 ?0,???

? f / (x) ?

1 - lnx x2

1 ? f ( ) ? ?e e

又 ? k ? f ( ) ? 2e
/

1 e

2

? 函数 y ? f ( x) 的在 x ?

1 处的切线方程为: e

1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
(2)令 f ( x) ? 0 得 x ? e
/

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数

6分

当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数

7分 8分

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

(3)? a ? 0 ,由(2)知: F ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减。

? F ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)}
? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2

9分 10 分 11 分 12 分

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F ( 2a ) ? 22.

1 ln 2a 2

15 5 , 73 (解答略) 16 8



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