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【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 1.4.2.1 第一章立体几何初步



4. 2

空间图形的公理(一)

【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化,理解公理 1、公理 2、公理 3, 并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题.

1.公理 1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这 个平面内(即直线在平面内). 符号:A∈l,B∈l,且 A∈

α,B∈α?l α. 2.公理 2:经过________________________的三点,____________一个平面(即可以确定 一个平面). 3.公理 3:如果两个不重合的平面有________公共点,那么它们有且只有________通过 这个点的公共直线. 符号:P∈α,且 P∈β?α∩β=l,且 P∈l. 4.用符号语言表示下列语句: (1)点 A 在平面 α 内但在平面 β 外: ________________________________________________________________________. (2)直线 l 经过面 α 内一点 A,α 外一点 B:________________. (3)直线 l 在面 α 内也在面 β 内:____________. (4)平面 α 内的两条直线 m、n 相交于 A: ________________________________________________________________________.

一、选择题 1.两平面重合的条件是( ) A.有两个公共点 B.有无数个公共点 C.有不共线的三个公共点 D.有一条公共直线 2.若点 M 在直线 b 上,b 在平面 β 内,则 M、b、β 之间的关系可记作( ) A.M∈b∈β B.M∈b β C .M b β D.M b∈β 3.已知平面 α 与平面 β、γ 都相交,则这三个平面可能的交线有( ) A.1 条或 2 条 B.2 条或 3 条 C.1 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条 4.已知 α、β 为平面,A、B、M、N 为点,a 为直线,下列推理错误的是( ) A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN C.A∈α,A∈β?α∩β=A D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、β 重合 5.空间中可以确定一个平面的条件是( ) A.两条直线 B.一点和一直线 C.一个三角形 D.三个点 6.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有( A.2 个或 3 个 B.4 个或 3 个 C.1 个或 3 个 D.1 个或 4 个 二、填空题 7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.

)

(1)A ? α, . (2)α∩β=a,P ? α 且 P ? β________. (3)a ? α,a∩α=A________. (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________. 8.已知 α∩β=m,a α,b β,a∩b=A,则直线 m 与 A 的位置关系用集合符号表示 为________. 9.下列四个命题: ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点; ②经过空间任意三点有且只有一个平面; ③过两平行直线有且只有一个平面; ④在空间两两相交的三条直线必共面. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题 10.如图,直角梯形 ABDC 中,AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一 点,画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线,并说明理由.

11.如图所示,四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与 平面 α 相交于 E,F,G,H,求证:E,F,G,H 必在同一直线上.

能力提升 12.若空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,求证此三条直线

必相交于一点.

13.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、BD 交于点 M,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点. 求证:(1)C1、O、M 三点共线; (2)E、C、D1、F 四点共面; (3)CE、D1F、DA 三线共点.

1.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共 点.或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上. 2.证明点线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个 平面内;或先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.注意 对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用. 3.证明几线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他”直线往 往归结为平面与平面的交线.

4. 2

空间图形的公理(一)

答案

知识梳理 1.两点 2.不在同一条直线上 有且只有 3.一个 一条 4.(1)A∈α,A?β (2)A∈α,B?α 且 A∈l,B∈l (3)l α且l β (4)m α,n α 且 m∩n=A 作业设计 1.C [根据公理 2,不共线的三点确定一个平面,若两个平面同过不共线的三点,则两 平面必重合.] 2.B 3.D 4.C [∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β. 由公理可知 α∩β 为经过 A 的一条直线而不是 A. 故 α∩β=A 的写法错误.] 5.C 6.D [四点共面时有 1 个平面,四点不共面时有 4 个平面.] 7.(1)C (2)D (3)A (4)B 8.A∈m 解析 因为 α∩β=m,A∈ ,所以 A∈α,同理 A∈β,故 A 在 α 与 β 的交线 m 上. 9.③ 10.解 由题意知,点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点,即点 S 在交线上,由 于 AB>CD,则分别延长 AC 和 BD 交于点 E,如图所示.

∵E∈AC,AC 平面 SAC, ∴E∈平面 SAC. 同理,可证 E∈平面 SBD. ∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上,连接 SE, 直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线. 11.证明 因为 AB∥CD,所以 AB,CD 确定平面 AC,AD∩α=H,因为 H∈平面 AC, H∈α,由公理 3 可知,H 必在平面 AC 与平面 α 的交线上.同理 F、G、E 都在平面 AC 与平 面 α 的交线上,因此 E,F,G,H 必在同一直线上. 12.证明

∵l1

β,l2

β,l1 P l2,

∴l1∩l2 交于一点,记交点为 P. ∵P∈l1 β,P∈l2 γ, ∴P∈β∩γ=l3, ∴l1,l2,l3 交于一点. 13.证明 (1)∵C1、O、M∈平面 BDC1, 又 C1、O、M∈平面 A1ACC1,由公理 3 知,点 C1、O、M 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上, ∴C1、O、M 三点共线. (2)∵E,F 分别是 AB,A1A 的中点,

∴EF∥A1B. ∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F 四点共面. (3)由(2)可知:四点 E、C、D1、F 共面. 1 1 又∵EF= A1B= D1C. 2 2 ∴D1F,CE 为相交直线,记交点为 P. 则 P∈D1F 平面 ADD1A1, P∈CE 平面 ADCB. ∴P∈平面 ADD1A1∩平面 ADCB=AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点.



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