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江苏省盐城市阜宁中学2014-2015学年高二上学期第三次段考数学试卷(理科) Word版含解析



江苏省盐城市阜宁中学 2014-2015 学年高二上学期第三次段考数 学试卷(理科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程.请把答案直接填 写在答案卷上. 2 1. (5 分)命题“?x∈R,使 x +x+1<0”的否定是. 2. (5 分)复数 的虚部是.

3. (5 分)已知 =(2,m,5) , =

(4,m+1,10) ,若 ∥ ,则实数 m=.

4. (5 分)“f(0)=0”是“函数 f(x)是 R 上的奇函数”的条件. (填写“充分不必要”、“必要不 充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

5. (5 分) 若双曲线

=1 上一点到左焦点的距离是 7, 则该点到双曲线右准线的距离是.

6. (5 分)下列推理:“无理数是无限小数, (=0.333…)是无限小数, 是无理数”产生错误 的原因是. 7. (5 分)函数 f(x)=lnx+ln(2﹣x)+x 的单调递增区间是. 8. (5 分)若直线 y=kx﹣2 与抛物线 y =8x 交于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2, 则弦 AB 的长为. 9. (5 分)设函数 f(x)=x +lnx,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=ax+b, 则 a+b=. 10. (5 分)用数学归纳法证明 时, 由 n=k 的假设到 证明 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是. 11. (5 分)观察(1)tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1 (2)tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论.
2 2

12. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,则 a 的取值范围是. 13. (5 分)已知定点 Q(0,3) ,抛物线 y =16x 上的动点 P 到 y 轴的距离为 d,则 d+PQ 的最 小值为. 14. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中正确的序号是. ①?x0∈R,使 f(x0)=0; ②若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0; ③若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减; ④函数 y=f(x)的图象是中心对称图形.
3 2 2

x

二、解答题:解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上. 2 2 15. (14 分)已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假.求实数 m 的取值范围. 16. (14 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. (1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)求面 AMC 与面 PMC 所成锐二面角的大小的余弦值.

17. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N 都有 Sn=2an﹣n, (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3, (2)猜想数列{an}的通项公式 an,并用数学归纳法证明. 18. (16 分)已知 A、B 两地相距 200km,一只船从 A 地逆水行驶到 B 地,水速为 6km/h,船 在静水中的速度为 vkm/h (6<v≤20) . 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的立方成正比, 当 v=8km/h 时每小时的燃料费用为 1024 元,为了使全程燃料费最省,船的实际航行速度为多 少?并求全程燃料费用最小值.

*

19. (16 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的两个焦点 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,M 为 .

椭圆上的一点,且满足∠F1MF2= (1)求椭圆离心率的取值范围;

(2)当椭圆的离心率 e 取得最小值时,点 N 求此时椭圆 C 的方程. 20. (16 分)已知函数 f(x)=e ﹣kx ,x∈R (1)若 k= ,求证:当 x∈(0,+∞)时,f(x)>1;
x 2

到椭圆上的点的最远距离为 4



(2)若 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求 k 的取值范围; (3)求证: ( +1) ( +1) ( +1)…( +1)<e (n∈N ) .
4 *

江苏省盐城市阜宁中学 2014-2015 学年高二上学期第三次 段考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程.请把答案直接填 写在答案卷上. 2 2 1. (5 分)命题“?x∈R,使 x +x+1<0”的否定是?x∈R,x +x+1≥0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题, 2 2 所以命题“?x∈R,使 x +x+1<0”的否定是:?x∈R,x +x+1≥0. 2 故答案为:?x∈R,x +x+1≥0 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的关系,基本知识的考查.

2. (5 分)复数

的虚部是



考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 分析: 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简复数为 a+bi 的形式即可求出复数的虚 部. 解答: 解:复数 = = = i.

复数的虚部为 故答案为:

. .

点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数的基本概念,常考题型.

3. (5 分)已知 =(2,m,5) , =(4,m+1,10) ,若 ∥ ,则实数 m=1.

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量平行的性质求解. 解答: 解:∵ =(2,m,5) , =(4,m+1,10) , ∥ , ∴ ,

解得 m=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量平行的性质的合 理运用. 4. (5 分)“f(0)=0”是“函数 f(x)是 R 上的奇函数”的必要不充分条件. (填写“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数值等于 0,不能判定函数的奇偶性,函数 f(x)是 R 上的奇函数,一定使得在 x=0 处的函数值等于 0,得到答案. 2 解答: 解:函数值等于 0,不能判定函数的奇偶性,如 y=x ; 反之,当 f(x) 是定义在 R 上的奇函数时, ∴f(x)+f(﹣x)=0, ∴f(0)+f(0)=0, ∴f(0)=0. , 故前者不能推出后者,后者能推出前者, 所以“f(0)=0”是“函数 f(x)是 R 上的奇函数”的 必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. 点评: 本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断, 属于基础题.

5. (5 分)若双曲线 .

=1 上一点到左焦点的距离是 7,则该点到双曲线右准线的距离是

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,e,判断双曲线上 P 在左支上,由双曲线的第一定义可得 P 到右焦点的距离,再由双曲线的第二定义,即可求得到右准线的距离. 解答: 解:双曲线 =1 的 a=3,b=4,c=5,

设左右焦点为 M,N. 由于双曲线上一点 P 到左焦点 M 的距离是 7, c﹣a=1,c+a=8,1<7<8,则 P 在左支上, 则由双曲线的定义可得 PN﹣PM=2a=6, 则 PN=13, 由于 e= = , 则 e= 即有 d= (d 为该点到双曲线右准线的距离) , = = .

故答案为:



点评: 本题考查双曲线的定义和方程,考查双曲线的离心率的运用,考查运算能力,判断 双曲线的点位于左支上是解题的关键.

6. (5 分)下列推理:“无理数是无限小数, (=0.333…)是无限小数, 是无理数”产生错误 的原因是推理形式错误. 考点: 专题: 分析: 解答: 演绎推理的基本方法. 推理和证明. 由演绎推理的基本形式结合题意可作出判断. 解:∵大前提是“无理数是无限小数”,

小前提不应为“ (=0.333…)是无限小数” 故推理形式错误 故答案为:推理形式错误 点评: 本题考查演绎推理,属基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=lnx+ln(2﹣x)+x 的单调递增区间是(0, 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. ].

分析: 由函数的解析式求得函数的定义域,令导数大于或等于零,求得 x 的范围,再结合 定义域求得函数的增区间. 解答: 解:∵函数 f(x)=lnx+ln(2﹣x)+x,∴ 求得 0<x<2,故函数的定义域为(0,2) , 由 f′(x)= ﹣ 用穿根法求得 0<x≤ +1= ,或 x<﹣ ≥0, ,或 x>2, , ,

结合函数的定义域可得函数的增区间为 故答案为: .

点评: 本题主要考查求函数的定义域,利用导数研究函数的单调性,用穿根法解分式不等 式,属于中档题. 8. (5 分)若直线 y=kx﹣2 与抛物线 y =8x 交于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2, 则弦 AB 的长为 2 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .直线方程与抛物线方程联立可得 k x ﹣(4k+8)x+4=0, 利用△ >0,可得 k>﹣1.利用中点坐标公式、根与系数的关系可得 k 及其弦长 |AB|= 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立
2 2



,化为 k x ﹣(4k+8)x+4=0,
2

2 2

△ =(4k+8) ﹣16k >0,化为 k>﹣1. ∴x1+x2= =2×2,化为 k ﹣k﹣2=0,
2

解得 k=﹣1 或 k=2. 取 k=2. ∴x1+x2=4,x1x2=1. ∴|AB|= = =2 .

故答案为:2 . 点评: 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、 中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

9. (5 分)设函数 f(x)=x +lnx,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=ax+b, 则 a+b=1. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先求出切点坐标,然后利用导数研究函数的切线的斜率,求出切线方程,从而得到 a 与 b 的值. 解答: 解:∵f(x)=x +lnx 2 ∴f(1)=1 +ln1=1 即切点为(1,1) 而 f′(x)=2x+ 则 f′(1)=2+1=3 即切线的斜率为 3 ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=3(x﹣1)即 y=3x﹣2 即 a=3,b=﹣2 ∴a+b=3﹣2=1 故答案为:1 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,解题的关键是求切线的斜率, 属于基础题. 10. (5 分)用数学归纳法证明 时, 由 n=k 的假设到 证明 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是(k+1) +k . 考点: 数学归纳法. 专题: 阅读型. 分析: 根据等式左边的特点,各数是先递增再递减,分别写出 n=k 与 n=k+1 时的结论,即 可得到答案. 解答: 解:根据等式左边的特点,各数是先递增再递减 2 2 2 2 2 2 2 由于 n=k,左边=1 +2 +…+(k﹣1) +k +(k﹣1) +…+2 +1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n=k+1 时,左边=1 +2 +…+(k﹣1) +k +(k+1) +k +(k﹣1) +…+2 +1 2 2 比较两式,从而等式左边应添加的式子是(k+1) +k 2 2 故答案为(k+1) +k 点评: 本题的考点是数学归纳法,主要考查由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时,等式左边应添 加的式子,关键是理清等式左边的特点. 11. (5 分)观察(1)tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1 (2)tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论若 α,β,γ 都不是 90°,且 α+β+γ=90°, tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1. 考点: 类比推理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意得,式子中共有三个角都不是 90°,且它们的和为 90°,从而可得结论.
2 2 2

2

解答: 解:由题意得,式子中共有三个角都不是 90°,且它们的和为 90°,故有若 α,β,γ 都不是 90°,且 α+β+γ=90°,tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1. 故答案为:若 α,β,γ 都不是 90°,且 α+β+γ=90°,tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1. 点评: 本题考查类比推理,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,则 a 的取值范围是(﹣∞,2ln2﹣2]. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先讨论函数的单调性,得出函数的最值,由函数的最大值大于或等于零(或函数的 最小值小于或等于零)得出 a 的取值范围. 解答: 解:f′(x)=e ﹣2,可得 f′(x)=0 的根为 x0=ln2 当 x<ln2 时,f′(x)<0,可得函数在区间(﹣∞,ln2)上为减函数; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,可得函数在区间(ln2,+∞)上为增函数, ∴函数 y=f(x)在 x=ln2 处取得极小值 f(ln2)=2﹣2ln2+a, 并且这个极小值也是函数的最小值, 由题设知函数 y=f(x)的最小值要小于或等于零,即 2﹣2ln2+a≤0,可得 a≤2ln2﹣2, 故答案为: (﹣∞,2ln2﹣2]. 点评: 利用导数工具讨论函数的单调性,是求函数的值域和最值的常用方法,本题可以根 据单调性,结合函数的图象与 x 轴交点,来帮助对题意的理解. 13. (5 分)已知定点 Q(0,3) ,抛物线 y =16x 上的动点 P 到 y 轴的距离为 d,则 d+PQ 的最 小值为 1. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的定义可知 PF=d+4,则 d+PQ=PF+PQ﹣4,根据 PF+PQ≥QF 可知当 P、F、 Q 三点共线时,PF+PQ 取最小值为 QF,从而可求答案. 解答: 解:由抛物线的定义可知 PF=d+4, 所以 d+PQ=PF+PQ﹣4, 因为 PF+PQ≥QF 所以当 P、F、Q 三点共线时,PF+PQ 取最小值为 QF 因为 QF= =5,
2 x x

所以 d+PQ 的最小值为:5﹣4=1, 故答案为:1

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是根据抛物线的定义把所求的 d+PQ=PF+PQ﹣4,然后根据 PF+PQ≥QF 进行求解 14. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中正确的序号是①②④. ①?x0∈R,使 f(x0)=0; ②若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0; ③若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减; ④函数 y=f(x)的图象是中心对称图形. 考点: 利用导数研究函数的极值;复合函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: ①判断函数的值域为 R,即可. ②根据极值点的定义进行判断. ③根据三次函数的性质进行判断. ④根据三角函数的图象特点以及函数图象之间的关系进行判断. 解答: 解:①∵函数 f(x)的值域为 R,∴?x0∈R,使 f(x0)=0,故①正确; ②若 x0 是 f(x)的极值点,根据极值的定义和性质知 f′(x0)=0 成立,故②正确; ③若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)必有极大值 x=m,且 m<x0,则函数 f(x)在区间(m, x0)上单调递减,故③错误; 3 ④f(x)=(x﹣x0) +b(x﹣x0)+y0 的对称中心是(x0,y0) , 3 2 3 f(x)=x +ax +bx+c 如果能写成 f(x)=(x﹣x0) +b(x﹣x0)+y0 的形式,那么三次函数的 对称中心就是(x0,f(x0) , 3 ∴设 f(x)=(x﹣x0) +p(x+m)+n, 3 2 2 3 得 f(x)=ax +3amx +(3am +p)x+am +pm+n, 2 3 ∴3am=b; 3am +p=c; am +pm+n=d; ∴m= ,p= ,n=d+ ,
3 2

∴f(x)=a(x+

) +(c﹣

3

) (x+

)+d+



故函数 y=f(x)的图象一定是中心对称图形,故④正确.

故正确的是①②④, 故答案为:①②④. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查导函数与极值的应用,要求熟练掌握三 次函数的图象和性质,属于中档题 二、解答题:解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上. 15. (14 分)已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假.求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 分类讨论. 分析: 根据题意,首先求得 p、q 为真时 m 的取值范围,再由题意 p,q 中有且仅有一为真, 一为假,分 p 假 q 真与 p 真 q 假两种情况分别讨论,最后综合可得答案. 解答: 解:由题意 p,q 中有且仅有一为真,一为假, 若 p 为真,则其等价于 ,解可得,m>2;
2 2

若 q 为真,则其等价于△ <0,即可得 1<m<3, 若 p 假 q 真,则 ,解可得 1<m≤2;

若 p 真 q 假,则

,解可得 m≥3;

综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞) . 点评: 本题考查命题复合真假的判断与运用,难点在于正确分析题意,转化为集合间的包 含关系,综合可得答案. 16. (14 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. (1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)求面 AMC 与面 PMC 所成锐二面角的大小的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 计算题.

分析: (1)分别求出两条直线所在的向量,利用向量的有关运算求出两个向量的夹角,进 而转化为两条直线的夹角. (2)根据题意分别求出两个平面的法向量,利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦 值,然后再转化为二面角的平面角的余弦值. 解答: 解:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 为 x 轴,AB 为 y 轴, AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 不妨设 AD=1,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,D(1,0,0) ,P (0,0,1) ,M(0,1, (1)因 , ,

所以



(2)由题得:平面 PMC 的法向量为



所以

解得: 同理设平面 AMC 的法向量为 ,

所以

解得:





即所求锐二面角的余弦值为 . 点评: 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,有利于建立空间直角坐标系,利用 向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题.

17. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N 都有 Sn=2an﹣n, (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3, (2)猜想数列{an}的通项公式 an,并用数学归纳法证明. 考点: 数学归纳法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用数列递推式进行赋值,确定相邻项的关系,即可求出结论; (2)利用(1)的结论猜想,再利用数学归纳法进行证明. 解答: 解: (1)令 n=1,S1=2a1﹣1.∴a1=1 又 Sn+1=2an+1﹣(n+1) ,Sn=2an﹣n, 两式相减得,an+1=2an+1﹣2an﹣1,∴an+1=2an+1 ∴a2=3,a3=7 n (2)猜想 an=2 ﹣1 证明如下:①由(1)知,n=1 时,结论成立; ②设 n=k 时,结论成立,即 则 n=k+1 时, =2
k+1

*

﹣1

即 n=k+1 时,结论成立 由①②可知,猜想成立. 点评: 本题考查数列递推式,考查数列通项的探求,考查数学归纳法的运用,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题. 18. (16 分)已知 A、B 两地相距 200km,一只船从 A 地逆水行驶到 B 地,水速为 6km/h,船 在静水中的速度为 vkm/h (6<v≤20) . 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的立方成正比, 当 v=8km/h 时每小时的燃料费用为 1024 元,为了使全程燃料费最省,船的实际航行速度为多 少?并求全程燃料费用最小值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 由题意,首先设每小时的燃料费用为 y1,比例常数为 k(k>0) ,则 ,从而

求得 k=2;再设全程燃料费为 y,从而可得 最小值即可. 解答: 解:设每小时的燃料费用为 y1,比例常数为 k(k>0) , 则 ,

;求导确定

当 v=8 时,y1=1024, 3 ∴1024=k?8 ∴k=2; 设全程燃料费为 y,由题意得,







令 y'=0,得 v=9; 当 6<v<9 时,y'<0;当 9<v<20 时,y'>0; ∴当 v=9 时,ymin=97200; 故当 v=9km/h 时,全程燃料费用最小,且为 97200 元. 点评: 本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用,属于中档题.

19. (16 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的两个焦点 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,M 为 .

椭圆上的一点,且满足∠F1MF2= (1)求椭圆离心率的取值范围;

(2)当椭圆的离心率 e 取得最小值时,点 N 求此时椭圆 C 的方程.

到椭圆上的点的最远距离为 4



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用余弦定理,结合基本不等式,可得椭圆离心率的取值范围; (2) 设点 N
2 2

到椭圆上的点的距离平方为 u, 则 u=x + (y﹣3

2

) =﹣ (y+9

2



+4c +108,利用点 N 到椭圆上的点的最远距离为 4 ,分类讨论,即可求此时 椭圆 C 的方程. 2 2 2 解答: 解: (1)在△ MF1F2 中,MF1 +MF2 ﹣2MF1?MF2?cos∠F1MF2=4c , 2 2 ∴(MF1+MF2) ﹣3MF1?MF2=4c , 2 2 ∴4a ﹣3MF1?MF2=4c , 2 2 ∴3MF1?MF2=4a ﹣4c , 2 2 2 ∴4a ﹣4c ≤3a , 2 2 ∴a ≤4c , ∴e ≥ , ∴ ; c,
2

(2)e= ,a=2c,b=

∴椭圆方程为 设点 N

(y∈[﹣

c,

c],

到椭圆上的点的距离平方为 u,则

u=x +(y﹣3 ﹣ ﹣

2

) =﹣ (y+9

2

) +4c +108,
2

2

2

c≤﹣9 时,即 c≥9 时,umax=u(﹣9 )=4c +108=48,则 c 无解; 2 c>﹣9 时,即 0<c<9 时,umax=u( c)=3c +18c+27=48,则 c=1 或﹣7(舍去) .

∴所求的椭圆方程为

点评: 本题考查椭圆离心率的取值范围,考查椭圆的方程,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=e ﹣kx ,x∈R (1)若 k= ,求证:当 x∈(0,+∞)时,f(x)>1; (2)若 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求 k 的取值范围; (3)求证: ( +1) ( +1) ( +1)…( +1)<e (n∈N ) .
4 * x 2

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)k= 时,利用导数可判断 f(x)在(0,+∞)上单调递增,从而可得 f(x)>f (0)=1; (2)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,等价于 f′(x)=e ﹣2kx≥0(x>0)恒成立,分 k≤0, 0<k≤ ,k> 三种情况进行讨论,前两种情况易作出判断,k> 时,利用导数求出最值解不 等式即可; (3)由(1)知,对于 x∈(0,+∞) ,有 f(x)=e > x +1,则 e >2x +1,ln(2x +1)< 2x, 从而有 ln ( < +…+ +1) < < +
x x 2 2x 2 2 x

(n∈N*) , 于是 ln ( + …+
2

+1) +ln (

+1) +ln (

+1) +…+ln (

+1)

,整理可得结论;
x

解答: 解: (1)f(x)=e ﹣ x ,则 h(x)=f′(x)=e ﹣x, ∴h′(x)=e ﹣1>0(x>0) , ∴h(x)=f′(x)在(0,+∞)上递增,∴f′(x)>f′(0)=1>0, ∴f(x)=e ﹣ x 在(0,+∞)上单调递增, 故 f(x)>f(0)=1. x (2)f′(x)=e ﹣2kx,下求使 f′(x)≥0(x>0)恒成立的 k 的取值范围. 若 k≤0,显然 f′(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; x x 记 φ(x)=e ﹣2kx,则 φ′(x)=e ﹣2k, 当 0<k≤ 时,∵e >e =1,2k≤1,∴φ′(x)>0,则 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,
x 0 x 2 x

于是 f′(x)=φ(x)>φ(0)=1>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 k> 时,φ(x)=e ﹣2kx 在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,+∞)上单调递增, 于是 f′(x)=φ(x)≥φ(ln2k)=e 由e
ln2k ln2k x

﹣2kln2k,

﹣2kln2k≥0,得 2k﹣2kln2k≥0,则 ≤k≤ ,

综上,k 的取值范围为(﹣∞, ]. (3)由(1)知,对于 x∈(0,+∞) ,有 f(x)=e > x +1,∴e >2x +1, 则 ln(2x +1)<2x,从而有 ln( 于是:ln( + 故: ( +1)+ln(
2 x 2 2x 2

+1)<

(n∈N*) , +1)< + …+ <

+1)+ln(

+1)+…+ln(

+…+ +1) ( +1) (

=2+2(1﹣ +…+ +1)…( +1)<e .
4

﹣ )=4﹣ <4,

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式证明等知识,考查学生综合运 用知识分析问题解决问题的能力,综合性较强,对能力要求很高.



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