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第四章+三角函数与解三角形+专题15+三角函数的性质与应用


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高考考场高招大全 专题十五 三角函数的性质与应用 考点 32 三角函数的奇偶性、对称性、周期性

考场高招 1 两法(整体求解法、代入验证法)解决三角函数的对称问题 解读高招 方 解 法 (1)求 f(x)=Asin(ω x+φ )图象的对称轴,只需令 ω x+φ = +kπ (k∈Z),求 整 体 求 解 法 求 f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令 ω x+φ = +kπ (k∈Z),求 x. (3)求 f(x)=Atan(ω x+φ )图象的对称中心的横坐标,只需令 ω x+φ = Z)即可 代 典 例 导 引 入 验 证 法 2.典例指引 1(1)(2017 四川资阳一诊)函数 y=sin 2xA.x= B.x=C.x= cos 2x 的图象的一条对称轴方程为( D.x=的图象的一个对称中心坐标的是( D. sin (2x+θ )+cos (2x+θ )(0<θ <π )的图象关于 对称,则函 ) ) 对于函数 y=Asin(ω x+φ ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称 1(1)方法二 中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函 选择题 典 例 导 引 数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断 1(2)方法二 (k∈ 读 型 适合题 典例指引

x.求 f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令 ω x+φ =kπ (k∈Z),求 x.
(2)求 f(x)=Acos(ω x+φ )图象的对称轴,只需令 ω x+φ =kπ (k∈Z),求 x. 填空题

典 例 导 引 1(1) 或 典 例 导 引 解答题 1(2)方法一

(2)下列各点中,能作为函数 y=tan A.(0,0) B.

C.(π ,0)

(3)(2017 河北石家庄一检)若函数 f(x)= 数 f(x)在 A.-1 上的最小值是( B.C.)

D.-

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方法二:因为对称中心的横坐标使原函数无意义或函数值为 0,所以当 x=0 时,y=tan ≠0,(0,0)不是对称中心; 当 x= 时,y=tan ≠0, 无意义, 不是对称中心;当 x=π 时,y=tan ≠0,(π ,0)不是对称中心,当 x= 时,y=tan ,

是对称中心,故选 D. sin(2x+θ )+cos(2x+θ )=2sin ,则由题意知 f

(3)因为 f(x)=

=2sin
的最小值为 f

=0,又 0<θ <π , =-2sin =,

所以 θ = ,则 f(x)=-2sin2x,且在 故选 B. 【答案】 (1)B (2)D 3.亲临考场 1.(2017 课标Ⅲ,理 6)设函数 f(x)=cos A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线 x= C.f(x+π )的一个零点为 x= D.f(x)在 单调递减 对称 (3)B

上是减函数,所以函数 f(x)在

,则下列结论错误的是(

)

【答案】D 由 f(x)=cos 将 x= 代入 f(x)=cos

的解析式知-2π 是它的一个周期,故 A 正确; ,得 f

=-1,故 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,故 B 正确;

f(x+π )=cos

,

当 x= 时,f(x+π )=cos 当 x∈ 时,x+

=0,故 C 正确;
,显然 f(x)先单调递减再单调递增,故 D 错误. 个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )

2.(2016 课标Ⅱ,理 7)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移

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A.x= C.x=

(k∈Z) (k∈Z)

B.x= D.x=

(k∈Z) (k∈Z)

考场高招 2 由三角函数的奇偶性、周期性、对称性求参数的解题规律 1.解读高招 步 骤 解 读

第一步 : 三角化 利 用 三 角 公 式 将 函 数 的 解 析 式 写 成 Asin(ω x+φ )+b 或 Acos(ω x+φ )+b 或 简

Atan(ω x+φ )+b 的形式

第二步 : 借助性 抓住题设需要满足的条件,充分利用三角函数性质,借助公式、区间范围关系等将参数表 质 第三步 : 求解参 得到含有参数的等式或不等式求解 数 2.典例指引 2(1)如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点 A. B. C. D. 中心对称,那么|φ |的最小值为( ) 示出来

(2)将函数 y=sin(2x+φ )(φ >0)的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的最小 值为( A. ) B. C. D. 对称,

【解析】 (1)∵y=3cos(2x+φ )的图象关于点 即 3cos ∴

=0, +kπ ,

+φ = +kπ ,k∈Z,∴φ =-

∴当 k=2 时,|φ |有最小值 . (2) 将 函 数 y=sin(2x+φ )(φ >0) 的 图 象 沿 x 轴 向 左 平 移 个单位长度后,得到一个偶函数

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y=sin
为 ,故选 C.

=sin

的图象,则由 +φ =kπ + (k∈Z),得 φ =kπ + (k∈Z),所以 φ 的最小值

【答案】 (1)A (2)C 3.亲临考场

? π? 1.已知函数 y=sin ω x(ω >0)在区间?0, ?上为增函数,且图象关于点(3π ,0)对称,则 ω 的取值集合 2? ?
为( )
?1 1? B.? , ? ?6 3? ?1 2? D.? , ? ?6 3? ?1 2 ? A.? , ,1? 3 3 ? ? ?1 2? C.? , ? ?3 3?

π? π 3? ? ? ?π ? 2.已知函数 f(x)=cos?3x+ ?,其中 x∈? ,m?m∈R 且 m> ,若 f(x)的值域是?-1,- ?,则 m 的最 3? 6 ? ?6 ? 2? ? 大值是________. 5π 5π π π 5π 3 ?π ? ?π ? ?2π ? 【答案】 由 x∈? ,m?,可知 ≤3x+ ≤3m+ ,∵f? ?=cos =- ,且 f? ?=cos π = 6 6 18 6 3 3 6 2 ? ? ? ? ? 9 ? -1,∴要使 f(x)的值域是?-1,-

? ?

π 7π 2π 5π 5π 3? ?,需要 π ≤3m+ 3 ≤ 6 ,解得 9 ≤m≤ 18 ,即 m 的最大值是 18 . 2? 考点 33 三角函数的单调性与最值

考场高招 3 求解三角函数单调性的方法 1.解读高招 方法 整体 代入 法 同增 异减 法 解 读 适合题型 典例指引 典例导引 角函数的单调区间解 x 的取值范围,即为 y=cos(ω x+φ )(ω >0) 3(1) 所求 对于复合函数单调区间的确定,应明确:

将 ω x+φ (ω >0) 看作一个整体 , 代入三 y=sin(ω x+φ )(ω >0)

y=tan(ω x+φ )(ω >0) y=f(-ω x+φ )
典例导引 3(2)

对复合过程中的每一个函数而言 , 同增 (ω >0) 或同减则为增,一增一减则为减 ,即同增

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异减

若函数的图象能够容易画出来 , 可利用 图象 图象的直观性迅速求解 . 同时注意函数 带有绝对值的三角函数 法 的周期性 2.典例指引 3(1)(2017 四川自贡一诊)将函数 y=2sin 则函数 f(x)的单调递增区间为( A. B. C. D. (2)函数 y=sin (3)函数 y=|tan x|在 (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 的单调递减区间为 内的单调递减区间为 ; ) 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为 f(x), 3(3) 典例导引

单调递增区间为 (2)(同增异减法)y=-sin

(k∈Z),故选 A. ,它的减区间是 y=sin ≤x≤kπ + 的增区间. ,k∈Z.故其单调减区间为 ,k∈Z.

令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ -

(3)(图象法)如图,观察图象可知,y=|tanx|在

内的单调递减区间为

.

【答案】(1)A (2)

(k∈Z)(3)

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3.亲临考场 1.(2017 广东惠州二调)已知函数 f(x)=sin (ω x+φ )(ω >0,-π <φ <0)的最小正周期是 π ,将函数 f(x)的图

象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点 P(0,1),则函数 f(x)=sin (ω x+φ )(

)

A.在区间

上单调递减 B.在区间

上单调递增

C.在区间

上单调递减 D.在区间

上单调递增

2.(2017 湖北荆州一检)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)图象的对称中心; (2)求 f(x)在[0,π ]上的单调区间.

sin xcos x-cos x- .

2

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考场高招 4 灵活应用三法(图象法、换元法、几何法)搞定三角函数最值 1.解读高招 方法 图 解 读 适合题型 求 函 数 典例指引

首先利用三角公式将原函数化简整理为

y=asin

x+b,y=asin
典例导引 4(3)

y=Asin(ω x+φ )+b 的形式, 然后借助题目中
象 给定的 x 的范围,确定 ω x+φ 的范围,最后利 法 用 y=sin x 的图象确定函数的值域 首先借助三角公式 ,把函数化成 y=f(sin x) 换 型,然后采用换元法,即令 t=sin x∈[-1,1], 元 构造关于 t 的函数,然后根据具体的结构,采 法 取相应的方法求解 几 何 法 需分析函数解析式的结构特征 , 看能否转化 求 函 数

x+bcos

x+c,y=asin2x+bsin

x·cos x+ccos2x 的最值问题

y=asin2x+bsin
典例导引 4(1)

x+c,y=a·sin xcos x+b·(sin x±cos x)+c 最值的问题

典例导引 为有几何含义的式子结构 , 有时也可以把函 数图象画出来,直接观察确定函数的值域 将 y= 转化为斜率问题 4(2)

2.典例指引

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4(1)已知函数 f(x)=cos xsin 2x,则函数 f(x)的最大值为 (2)函数 y= 的最大值为
2

.

.
上的最大值和最小值.

(3)已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x,求 f(x)在区间

(2)【解析】解析式表示过 A(cosx,sinx),B(3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率 为 最 值 , 所 以 设 切 线 的 斜 率 为

k, 则 直 线 方 程 为

y-4=k(x-3), 即

kx-y-3k+4=0,
【答案】(1) (2)

=1,∴k=

,∴kmax=

.

(3)【解】因为 f(x)=sin x+cos x+2sinxcosx+cos2x

2

2

=1+sin2x+cos2x=
当 x∈ 时,

sin

+1, .
上的图象知,

由正弦函数 y=sinx 在

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当 2x+ 当 2x+

,即 x= 时,f(x)取最大值

+1;

,即 x= 时,f(x)取最小值 0. 上的最大值为

综上,f(x)在 3.亲临考场

+1,最小值为 0.

1.(2015 安 徽 , 理 10) 已 知 函 数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均 为 正 的 常 数 ) 的 最 小 正 周 期 为 π , 当 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 【答案】A 由周期 T= =π ,得 ω =2.当 x= 时,f(x)取得最小值,所以 +φ = +2kπ ,k∈Z,即 φ = +2kπ ,k∈Z,所以 f(x)=Asin )

.所以 Asin4+ cos4<0,f(-2)=Asin =Asin4+ cos4.

f(0)=Asin

>0,f(2)=Asin Asin4<0,

因为 f(2)-f(-2)= 所以 f(2)<f(-2).

又 f(-2)-f(0)=-Asin 因为 π <4- <π + 即 sin

=-A
π ,所以 sin

,

>sin

=- ,

>0,所以 f(-2)<f(0).

综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选 A. 2.(2017 课标Ⅱ,理 14)函数 f(x)=sin x+
2

cos x-

的最大值是

.

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考点 34 与三角函数相关的综合问题 考场高招 5 求解三角函数单调性的方法 1.解读高招 思想 转化 变 换 先 将 三 角 函 数 的 解 析 式 化 简 为 y=Asin(ω x+φ )+b 或 化归 解 读 典例指引

求三角函数的值域(最值)、单调性、周期性等,常常要通过三角恒等

y=Acos(ω x+φ )+b 的形式,再根据函数 y=sin x 或 y=cos x 的性质进
思想 行求解 5(1) 讨 论 三 角 函 数 y=Asin(ω x+φ )+b(ω >0) 的 性 质 时 , 首 先 要 将 整体 “ω x+φ ”视为一个整体,然后结合基本初等函数 y=sin x 的图象与 思想 性质,去研究该函数的性质 数形 研究与三角函数相关零点问题、函数图象的交点问题、方程根问题 典例导引 结合 时,往往需要先画出三角函数的部分图象,再进行探索分析 思想 温馨提醒 2.典例指引 在求解过程中必须注意未知数 x 的取值范围 5(2) 典例导引

5(1)(改编自 2017 山西五校二联)已知函数 f(x)=2sin xcos x-

cos 2x(x∈R),记函数 f(x)在

上的最

大值为 b,且函数 f(x)在[aπ ,bπ ](a<b)上单调递增,求实数 a 的最小值.

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∴[aπ ,2π ]? ∴-

,

+2π ≤aπ <2π ,∴amin= .
2

(2)已知函数 f(x)=2sin 数 m 的取值范围.

cos 2x.若关于 x 的方程 f(x)- m=2 在 x∈

上有两个不同的解,求实

3.亲临考场 1.(2016 课标Ⅰ,理 12)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) 对称轴,且 f(x)在 A.11 B.9 单调,则 ω 的最大值为( C.7 D.5 ) ,x=- 为 f(x)的零点,x= 为 y=f(x)图象的

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【答案】B 由题意得 解得 φ = π + ,ω =2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.

∵|φ |≤ ,∴φ = 或 φ =- . ∵f(x)在 ∴ 上单调, ,T≥ ,即 ,ω ≤12.

∵ω >0,∴0<ω ≤12. 若 φ = ,则 k1+k2=0,ω =4k2+1,ω =1,5,9. 若 ω =9,则 f(x)=sin 上单调递减,符合题意.

若 φ =- ,则 k1+k2=-1,ω =4k2+3,ω =3,7,11. 若 ω =11,则 f(x)=sin 在 上递减,不符合题意. 上递增,

综上,ω 的最大值为 9. 2.(2017 山东,理 16)设函数 f(x)=sin (1)求 ω . (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位, 得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在 上的最小值.

+sin

,其中 0<ω <3.已知 f

=0.

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