9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲


更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

专题 椭圆 双曲线 抛物线
考点精要
1.掌握椭圆、抛物线的定义、图形和性质,会求椭圆、抛物线的方程. 2.了解双曲线的定义、标准方程、几何性质. 3.掌握直线和圆锥曲线的位置关系,会处理由此产生的系列问题. 4.理解曲线与方程的对应关系,会求曲线方程和由曲线方程画出曲线图形.

热点分析
1.圆锥曲线的方程和简单的几何性质是最基础知识点,在试卷中会出一道选择 或填空题, 试题难度为容易题. 侧重点是圆锥曲线的标准方程和简单的几何性质. 2.直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主 要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考 查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.要求考生分 析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔 的功能. 3.注意解答题往往分步设问,由易到难,侧重点是直线和椭圆、抛物线的位置 关系.

知识梳理

一、椭圆

定义 顶点 焦点 长轴 短轴 焦距 通经长 离心率

到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

(±a, 0), 2a 2b

(0, ±b)

(0, ±a), 2a 2b

(±b, 0)

F (?c, 0)

F (0, ? c)

2c
2b 2 a

c ? a 2 ? b2
2b 2 a

e=

c a

0<e<1.且 e 越接近 1 ,对应椭圆越扁; e 越接近于 0,越接近于圆

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

1

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

二、双曲线

定义

到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1 F2 |)

标准方程 顶点 焦点 焦距 离心率 对称性: 渐近线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

(?a, 0), F1(?c, 0),

(a, 0) F2(c, 0), 2c e=
b a c a

(0, ?a), (0, a) F1(0, ?c), F2(0, c).
c ? a 2 ? b2

e>1.
a b

对称轴为 x=0, y=0;对称中心为 O(0,0) 实轴长 2a 虚轴长 2b y= ? x; y= ? x

1.从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 b. 2.共渐进线双曲线系: 与
x2 y 2 x2 y2 共渐进线的双曲线方程是 - =λ(λ≠ 0) ? ? 1 a 2 b2 a2 b2

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

2

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) .

双曲线的渐近线为 ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 3.双曲线方程中化 1 为 0,因式分解可得渐进线方程

x a

y b

4 .等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,
e? 2.

5.直线与双曲线仅有一个交点的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线, 合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行 的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结: 过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点, 可以作出的直线数目可能有 0、 2、3、4 条. 三、抛物线
定义 方程 图形 到定点的距离与到定直线的距离之比等于 1 的点的轨迹
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 通经 焦半径

F(

p ,0) 2 p x?? 2 x ? 0, y ? R

F (?

p ,0) 2 p x? 2 x ? 0, y ? R

F (0,

p ) 2 p y?? 2 x ? R, y ? 0

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1

2p
p PF ? ? x 1 2 p PF ? ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

1.抛物线 y 2 ? 2 px 中 p 的几何意义是焦点到准线的距离,恒正; 焦点坐标、准线方程与
p 相关,是一次项的四分之一 2

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

3

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

2.注意抛物线焦点弦的特点: 如 y 2 ? 2 px 中 y1 y2 ? ? p2 , x1 x2 ?
p2 , AB ? x1 ? x2 ? p 4

3.注意抛物线弧与双曲线弧的区别.

例题精讲 例 1.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,则实数 a ?



例 2. 已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点关于直线 y ? x 对称.直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程 为 .

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 25 9 点。若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= 。

例 3 . 已知 F1、F2 为椭圆

例4

(08 北京 19)

已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率 为 1.
1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0,

(Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 答案 解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 由? 得 4 x2 ? 6nx ? 3n2 ? 4 ? 0 . ? y ? ?x ? n
更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

4

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n2 ? 64 ? 0 ,解得 ?
4 3 4 3 . ?n? 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?
3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4 n . 2

所以 y1 ? y2 ?

? 3n n ? 所以 AC 的中点坐标为 ? , ? . ? 4 4?
? 3n n ? 由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?
3 2 AC . 2
?3n2 ? 16 , 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 .
A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点, 例 5 (08 全国 2 21) 设椭圆中心在坐标原点,

直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值;

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

5

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

(Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. 答案 (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为
x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ? y B O E D A F x

2 1 ? 4k 2

.①

1 5 10 由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? ; 7 7 7 1 ? 4k 2

由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以
2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

化简得 24k 2 ? 25k ? 6 ? 0 ,
2 3 或 k ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3 8 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别

解得 k ?

为 h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

又 AB ? 22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为
S? 1 AB (h1 ? h2 ) 2

?

1 2

5

4(1 ? 2k ) 5(1 ? 4k 2 )

?

2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2
更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

6

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

?2

1 ? 4k 2 ? 4 k 1 ? 4k 2

≤2 2 ,
当 2k ? 1 ,即当 k ?
1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△BEF ? S△AEF
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? x2 ? 2 y2 ·
? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 12 分 例 6 (本小题满分 14 分) 椭圆 C : 离为 5 . (I)求椭圆 C 的方程; (II)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点, O 为坐标原点,若
?OEF 为直角三角形,求直线 l 的斜率.

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长 轴端点与短轴端点间的距 2 a b 2

解: (I)由已知

c 3 2 ? , a ? b 2 ? 5, a 2

………………3 分

又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1,

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

7

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4

………………………………5 分

(II)根据题意,过点 D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4.

? x2 ? ? y2 ? 1 联立, ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 60 ? 0 ,…………6 分 ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k ) 2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240,
令 ? ? 0 ,解得 k 2 ?
15 . 4

………………………………………………7 分

设 E、F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , (i)当∠EOF 为直角时, 32 k 60 , x1 x 2 ? 则 x1 ? x 2 ? ? ,…………………………8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 因为∠ EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,……………… 9 分 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 , 所以
15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19. ………………11 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(ii)当∠OEF 或∠OFE 为直角时,不妨设∠OEF 为直角, 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 分 又
x12 ? y12 ? 1 …………② 4

y1 y1 ? 4 ? ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ……①…………12 x1 x1

将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0, 解得 y1 ? 将 y1 ? 分
2 或 y1 ? ?2 (舍去) ,……………………13 分 3

2 2 5, 代入①,得 x1 ? ? 3 3

所以 k ?

y1 ? 4 ? ? 5 ,………………14 x1

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

8

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

经检验,所求 k 值均符合题意,综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5. 例 7 已知椭圆 C :
1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短 2 2 a b

半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 P (4 , 0) ,A ,
B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,

证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;
【解析】 ⑴由题意知 e ?

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? ,所以 e2 ? 2 ? ? .即 a2 ? b2 . a 2 3 a a2 4

又因为 b ?

6 1?1

? 3 ,所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 3 .故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

⑵由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) . 由 ? x2
? y ? k ( x ? 4), ? 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 . y2 ? 1. ? ? 3 ?4


y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1

设点 B( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) .直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 , 得 x ? x2 ?
x?

y2 ( x 2 ? x ) 1 . 将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代 入 整 理 , 得 y2 ? y1

2 x1 x 2 ? 4( x 1 ? x )2 .② x1 ? x2 ? 8

由①得 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , 代入②整理,得 x ? 1 .所以直线 AE 与 x 轴 x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

相交于定点 Q(1, 0) . 例 8 (12 年东城期末) 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F1 , a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 F2 , 点 M ? 0, 2? 是椭圆的一个顶点,△ F1 MF2 是等腰直角三角形. 的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的
1 斜率分别为 k 1 , k 2 ,且 k1 ? k2 ? 8 ,证明:直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) . 2

解: (Ⅰ)由已知可得 b ? 2, a ?
2

? 2b?

2

x2 y 2 ? 1 .…… ? 8 ,所求椭圆方程为 ? 8 4

5分 (Ⅱ)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 .设

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

9

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
? x2 y2 ? 由 ? 8 ? 4 ? 1, 得 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 . ………7 分 ? ? y ? kx ? m,

则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由已知

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ?8, x1 x2

所以 10 分

kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 x ?x ? ? 8 ,即 2k ? ? m ? 2 ? 1 2 ? 8 . ……… x1 x2 x1 x2

mk 1 ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 . m?2 2 1 1 故直线 AB 的方程为 y ? kx ? k ? 2 ,即 y ? k ( x ? ) ? 2 . 2 2 1 所以直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) .………12 分 2

所以 k ?

若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 , 设 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) ,由已知
y0 ? 2 ? y0 ? 2 ? ?8, x0 x0

1 1 1 得 x0 ? ? .此时 AB 方程为 x ? ? ,显然过点( ? , ? 2 ) . 2 2 2 1 综上,直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) .………13 分 2

例9 直线

已知椭圆 C 的左、 右焦点坐标分别是 (? 2,0) , 离心率是 ( 2,0) ,

6 , 3

椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 解: (Ⅰ)因为 变化时,求 y 的最大值。

c 6 ? ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 a 3

x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 3

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

10

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 x ? ? 3(1 ? t 2 )

所以圆 P 的半径为 3(1 ? t 2 ) 解得 t ? ?
3 2

所以点 P 的坐标是(0, ?

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t )2 ? 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q( x, y ) 在圆 P 上。 所以 y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )

? 设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t 2 ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) 6 1 ? 当 ? ? ,即 t ? ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2 3
例 10 已知椭圆 C :
x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半 2 2 a b

轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切.⑴求椭圆 C 的方程;⑵设 P (4 , 0) , A ,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证 明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ; ⑶在⑵的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范 围.
【解析】 ⑴由题意知 e ?

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? ,所以 e2 ? 2 ? ? .即 a2 ? b2 . 2 a 2 3 a a 4

又因为 b ?

6 1?1

? 3 ,所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 3 .故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

⑵由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .
? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 . ? ? 1. ? 3 ?4


y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1

设点 B( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) .直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 , 得 x ? x2 ?

y2 ( x 2 ? x ) 1 . 将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代 入 整 理 , 得 y2 ? y1

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

11

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

x?

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) .② x1 ? x2 ? 8

由①得 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , 代入②整理,得 x ? 1 .所以直线 AE 与 x 轴 x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

相交于定点 Q(1, 0) . ⑶当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时, 设直线 MN 方程为 y ? m( x ? 1) , 且 M ( xM , y )M ,
N ( xN , yN ) 在椭圆 C 上.
? y ? m( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 得 (4m2 ? 3) x2 ? 8m2 x ? 4m2 ? 12 ? 0 .易知 ? ? 0 . ? ? 1 ? 3 ?4

所以 xM ? xN ?

8m2 4m2 ? 12 9m2 , xM xN ? , yM yN ? ? 2 . 2 2 4m ? 3 4m ? 3 4m ? 3
5m 2 ? 12 5 33 ?? ? . 因 为 m2 ≥ 0 , 所 以 4m 2 ? 3 4 4(4m 2 ? 3)

则 OM ? ON ? xM xN ? yM yN ? ?
? 1 1 3 3 ≤ ? 4 4m ( 24? 0 ?. 3 )

5? ? 所以 OM ? ON ? ? ?4 , ? ? .当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 . ? 4?

解得 M (1,

5? 3 3 5 ?4, ? ? . 此时 OM ? ON ? ? . 所以 OM ? ON 的取值范围是 ? ), N (1, ? ) . ? 4? 2 2 4 ?

例 11 已知椭圆 C 的左,右焦点坐标分别为 F1 ? 3,0 , F2

?

? ? 3,0? ,离心率是

3 。椭 2

圆 C 的左, 右顶点分别记为 A,B。 点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 直线 AS,BS 10 与直线 l : x ? ? 分别交于 M,N 两点。 3 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 求线段 MN 长度的最小值; 1 (3) 当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上的 T 满足: ?TSA 的面积为 。试 5 确定点 T 的个数。 19.解(1)因为 所
x2 ? y2 ? 1 4

c 3 ? ,且 c ? 3 ,所以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 1 a 2







C









…………………………………………….3 分

(2 ) 易知椭圆 C 的左, 右顶点坐标为 A(?2,0), B(2,0) ,直线 AS 的斜率 k 显然
更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

12

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

存在,且 k ? 0 故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而 M (?
10 4 ,? k ) 3 3

? 由? ?

y ? k ( x ? 2) 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 x2 2 ? y ?1 4
16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 x ? ,得 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

设 S ( x1 , y1 ) ,则 (?2) x1 ?

从而 y1 ?

4k 2 ? 8k 2 4k S ( , ) ,即 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ( x ? 2) 4k

又 B(2,0) ,故直线 BS 的方程为 y ? ?

1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? ? 3 10 4 4k 4 由? 得? ,所以 N ( ? , ) ,故 MN ? ? 10 4 3 3k 3 3k ? ? y ?? x?? 3 3k ? ?
又 k ? 0 ,所以 MN ?
4k 4 4k 4 4k 4 8 ? 当且仅当 时, ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3 3k 3

即 k ? 1 时等号成立 所 以 k ? 1 时 , 线 段 MN 的 长 度 取 最 小 值 8 ………………………………..9 分 3 (3)由(2)知,当线段 MN 的长度取最小值时, k ? 1 6 4 此时 AS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , S (? , ) , 5 5 所以 AS ?
1 4 2 ,要使 ?TSA 的面积为 , 5 5
N _ D _ S _ B _ A _ O _ x _ y _

2 只需点 T 到直线 AS 的距离等于 , 4 2 所以点 T 在平行于 AS 且与 AS 距离等于 的直线 l ' 4

M _



设 l ' : x ? y ? t ? 0 ,则由

t ?2 2

?

3 5 2 ,解得 t ? 或t ? 2 2 4

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

13

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ① 当 t ? 时,由 ? 4 得 5x 2 ? 12x ? 5 ? 0 3 2 ?x ? y ? ? 0 2 ?
由于 ? ? 44 ? 0 ,故直线 l ' 与椭圆 C 有两个不同交点

? x2 ? y2 ? 1 ? 5 ② t ? 时,由 ? 4 得 5x 2 ? 20x ? 21 ? 0 由于 ? ? ?20 ? 0 ,故直线 l ' 5 2 ?x ? y ? ? 0 2 ? 与椭圆 C 没有交点 综上所求点 T 的个数是 2.

针对训练
1、 若方程

x2 y2 则 m 的取值范围是 ( ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m ?1 2 ? m
B.1 ? m ? 2 D.m ? ?1 或 1 ? m ?



A.m ? 2 C.m ? ?1 或 1 ? m ? 2

3 2

x2 y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1, F2 , 点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 2、椭圆 ? 12 3

在 y 轴上,那么 PF 1 是 PF 2 的(
A.3 倍 B .4 倍


C .5 倍 D.7 倍

3、椭圆 积是( A.96

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 M , 其两焦点为 F1, F2 , 若 MF1 ? MF2 , 则 ?MF1F2 的面 49 24


B.48 C .24 D.12

4、 若双曲线和椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点, 它的一条渐近线方程是 y ? 2 x 则 这个双曲线的方程是( )

A.2 x2 ? 4 y 2 ? 1

B.2 x2 ? 4 y 2 ? 3

C.2 y 2 ? 4x2 ? 1

D.2 y 2 ? 4 x 2 ? 3

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

14

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

5、双曲线 是( 3 A. 4 6、 椭圆
A.k ? 3

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率 a 2 b2
4 3 3 5


B. C.

D.

5 3

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点, 则 k 的取值范围是 ( 9 k k 3
B.2 ? k ? 3 C.0 ? k ? 2 D.k ? 2



7、 过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l , 交双曲线于 A, B 两点, 若 AB ? 4, 则 2
C .3 条 D.4 条

这样的直线 l 存在( ) A.1 条 B .2 条

8、焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为(



A.x 2 ? 16y 或 y 2 ? 16x C. y 2 ? 16 x 或 x 2 ? ?12y

B. y 2 ? 16x 或 x 2 ? 12 y D.x2 ? 16y 或 y 2 ? ?12x
5 , 则 A 到顶点的距离等于 ( 4 3 D. 2

9、 已知抛物线 x2 ? ? y 上一点 A 到准线的距离为
A.1



B.

5 4

C. 2

10、 已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 F , 定点 A?? 1,8?, P 为抛物线上一动点, 则 PA ? PF 的最小值是( A.16 ) B.12
C .9 D.6

11 、抛物线 y ? x2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短,则这一点的坐标为 ( )

?1 1? A.? , ? ?2 4?

B.?1,1?

3 9 C .( , ) 2 4

D.?2,4?


12、 以抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦半径 PF 为直径的圆与 y 轴的位置关系为 (

A. 相交 B. 相离 C.相切 D.不确定 0) 的距离小 1, 13. 若点 P 到直线 x ? ?1 的距离比它到点 (2, 则点 P 的轨迹为 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2 14、已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

15

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品 D. (1,-2)

A. (

1 ,-1) 4

B. (

1 ,1) C. (1,2) 4

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点, 到 13 椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 (A) 2 ? 2 ? 1 (B) 2 ? 2 ? 1 (C) 2 ? 2 ? 1 (D) 2 ? 2 ? 1 4 3 13 5 3 4 13 12 x2 y 2 ? 1 上的点. 16. 设 p 是椭圆 ? 若 F1,F2 是椭圆的两个焦点, 则 PF1 ? PF2 等 25 16 于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 2 2 x 16 y 17. 若双曲线 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为 3 p ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)4 2 二、填空题。

15. 设椭圆 C1 的离心率为

18、 椭圆

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上一点 P 的横坐标为 3,P 到两焦点距离分别为 6.5 a 2 b2

和 3.5,则 a 2 ?

, b2 ?

。 。

x2 y2 ? ? ?1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 19、若方程 k ?5 3?k

20、 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,点 P 在椭圆上, ?POF2 是面积为 a2 b2

3 的正三角形,则 b 2 的值是
21 、 与 双 曲 线 为 22、双曲线



x2 y 2 ? ? 1 有 共 同 的 渐 近 线 且 过 点 A 2 3,?3 的 双 曲 线 方 程 16 9

?

?


x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到左焦点距离为 6,则这样的点有 4 12

个。

23、过点 P?4,?2? 的抛物线的标准方程为



24、边长为 1 的等边三角形 AOB, O 为原点, AB 垂直于 x 轴,则以 O 为顶点且 过 A, B 的抛物线方程是 。

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

16

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

25. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率是 3 。则 n = n 12 ? n x2 y 2 3 26.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,若顶点 a b 3 到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为 .

答案: 例题精讲: 例 1. -1. 1. D 14.A 2. D 15.A 3.C 例 2. x2 ? ( y ?1)2 ? 10 4.C 5.D 6.D 7.C 例 3. 8

16.D 17. C

8.C 9.C 10.C 11.B 12.C 13.D 75 18、a 2 ? 25, b 2 ? ; 19、3 ? k ? 5 且 k ? 4 ;20、 4 22、3;
3 x; 6
x2 3 y 2 ? ?1 4 4

2 3 ;21、

4 y 2 x2 ? ? 1; 9 4

23、 y 2 ? x 或 x2 ? ?8 y ;

24、 y 2 ? ?

25. 4

26.

高考链接
x2 y 2 x2 y 2 ? 1 的焦 1(10 北京文)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 ? a b 25 9

点相同,那么双曲线的焦点坐标为 2 (05 北京文) 抛物线 y =4x 的准线方程是 3(07 北京文)椭圆
2

;渐近线方程为 ; 焦点坐标是

。 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交 a 2 b2

点分别为 M ,N ,若 MN ≤ ? F1F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(
? 1? A. ? 0, ? ? 2?
? 2? B. ? ? 0,2 ? ? ?



?1 ? C. ? , 1? ?2 ?

? 2 ? 1? D. ? , ? ? 2 ?

9 x2 y2 ? ? 1 ”是“双曲线的准线方程为 x= ? ” 4(08 北京文) “双黄线的方程为 5 9 16

的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

17

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

y2 5(11 北京文)已知双曲线 x ? 2 ? 1 ( b >0)的一条渐近线的方程为 y ? 2 x , b
2

则b = . 6(10 北京文) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2,0) ,离心率是 线

6 ,直 3

椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 7(11 北京文) (本小题共 14 分) 已知椭圆 G :
x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜 2 a b 3

变化时,求 y 的最大值。

率为 I 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P (-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积. 8(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率 为 ,且点 ?1 , ? 0 在该椭圆上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的左焦点 2
?

1 2

? ?

3?

F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,若 ?AOB 的面积为

6 2 ,求圆心在原点 O 7

且与直线 l 相 切的圆的方程. 答案 1 ( ?4, 0 ) 6

3x ? y ? 0

2

x=-1;(1, 0)

3D

4A

5

2

解(共 14 分)

解: (Ⅰ)因为

c 6 ? ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 a 3
x2 ? y2 ? 1 3

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

18

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

?y ? t ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 x ? ? 3(1 ? t 2 )

所以圆 P 的半径为 3(1 ? t 2 ) 解得 t ? ?
3 2

所以点 P 的坐标是(0, ?

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t )2 ? 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q( x, y ) 在圆 P 上。 所以 y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )

? 设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t 2 ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) 6 1 ? 当 ? ? ,即 t ? ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2 3
7 解: (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2, 解得 a ? 2 3. 又 b2 ? a2 ? c2 ? 4.
x2 y 2 ? 1. 所以椭圆 G 的方程为 ? 12 4

c 6 ? . a 3

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m.

?y ? x ? m ? 由 ? x2 y2 得 ?1 ? ? ? 12 4

4x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0.
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x0 , y0 ) ,
x1 ? x 2 3m ?? , 2 4 m y 0 ? x0 ? m ? 4 因为 AB 是等腰△ PAB 的底边,

则 x0 ?

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

19

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

所以 PE⊥AB.

m 4 ? ?1. 所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 解得 m=2。 2?
此时方程①为 4x 2 ? 12x ? 0. 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以|AB|= 3 2 . 此时,点 P(—3,2)到直线 AB:x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?
1 9 所以△ PAB 的面积 S= | AB | ?d ? . 2 2

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

8

解 (I)设椭圆 C 的方程为
3 4

x2 y 2 c 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,由题意可得 e ? ? , 2 a 2 a b

又 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 b2 ? a2
9 1 ? 3? 因为椭圆 C 经过 ?1 , ? ,代入椭圆方程有 2 ? 4 ? 1 ,解得 a ? 2 3 2 a ? 2? a 4 x2 y 2 所以 c ? 1 , b2 ? 4 ? 1 ? 3 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . 4 3 3? 3? ? (Ⅱ)解法一:当直线 l ? x 轴时,计算得到: A ? ? ?1 , ? , B ? ?1 , ? , 2? 2? ? ? 1 1 3 S?AOB ? ? | AB | ? | OF1 |? ?1? 3 ? ,不符合题意. 2 2 2 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) , k ? 0

由 ? x2

? y ? k ( x ? 1) ? , 消 去 y , 得 ( 3? 4 k2 ) x2 ? 8 k 2 x ? 4k2 ? 1 2 ? 0 显然 ? ? 0 成立,设 y2 ? ? 1 ? 3 ?4

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

则 x1 ? x2 ? ? 又

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 ? x2

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

20

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

? 1? k2

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2

即 | AB |? 1 ? k 2 ?
1 2

12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又圆 O 的半径 r ?

|k ?0?0? k | 1? k
2

?

|k| 1? k2

所以 S?AOB ? ? | AB | ?r ? ?

6 | k | 1? k2 6 2 1 12(k 2 ? 1) |k| ? ? ? 3 ? 4k 2 7 2 3 ? 4k 2 1? k2

化简,得 17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ,即 (k 2 ? 1)(17k 2 ? 18) ? 0 ,解得 k12 ? 1 , k22 ? ? 所以 r ?
|k| 1? k
2

18 (舍) 17

?

2 1 ,故圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? . 2 2
? x ? ty ? 1 ? ,消去 x ,得 y2 ?1 ? ? 3 ?4

( Ⅱ ) 解 法 二 : 设 直 线 l 的 方 程 为 x ? t y? 1 , 由 ? x 2
(4 ? 3t 2 ) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0

因为 ? ? 0 恒成立,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 所以 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 ? y2 ? 所 以 S?A O ? B

6t 9 , y1 ? y2 ? ? 4 ? 3t 2 4 ? 3t 2

12 t 2 ? 1 36t 2 36 ? ? 4 ? 3t 2 (4 ? 3t 2 )2 4 ? 3t 2

1 6 t2 ? 1 6 2 |? 1 F O | ?| 1 y ? 2 y| ? 2 ? 化 简 得 到 18t 4 ? t 2 ? 17 ? 0 , 即 2 4 ? t3 7 2 2 (18t ? 17)(t ? 1) ? 0 , | 0 ? t ? 0 ? 1| 1 17 ? 解得 t12 ? 1, t22 ? ? (舍) 又圆 O 的半径为 r ? 2 18 1? t 1 ? t2

所以 r ?

1 1? t
2

?

2 1 ,故圆 O 的方程为: x2 ? y 2 ? 2 2

更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere

21


赞助商链接

更多相关文章:
高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲
高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲 - 专题 椭圆 双曲线 抛物线 一、椭圆 定义 顶点 焦点 长轴 短轴 焦距 通经长 离心率 到两个定点的距离之和等于定值的点...
高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解
高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解_数学_高中教育_教育专区。高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解,非常完整!【考点 8】椭圆、双曲线抛物线 2009...
椭圆双曲线抛物线相关知识点的总结-教师版
椭圆双曲线抛物线相关知识点的总结-教师版_数学_高中教育_教育专区。椭圆双曲线抛物线相关知识点总结一、 椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义:我们把平面...
高中数学双曲线抛物线的总结及例题精讲学生版
高中数学双曲线抛物线的总结及例题精讲学生版_数学_高中教育_教育专区。双曲线...? x 为渐近线,求双曲线方程. 13.已知双曲线椭圆 ? 3 49 24 x2 ? y ...
高中数学__椭圆_双曲线_抛物线_基础过关~
高中数学__椭圆_双曲线_抛物线_基础过关~_数学_高中教育_教育专区。高中数学__椭圆_双曲线_抛物线_基础过关题型一 椭圆的定义 例题精讲 1. 已知动圆 P 过定点...
高中数学 椭圆 双曲线 抛物线 基础过关
椭圆、抛物线、双曲线(高中... 5页 免费 椭圆,双曲线,抛物线知识点 5页 1财富...高考数学必考题母题题源—高三数学 函数部分 椭题型一 椭圆的定义 例题精讲 ...
椭圆 双曲线 抛物线 知识点
百度文库 教育专区 高中教育 数学上传文档支持以下设备:扫二维码下载 AndroidiPhone...椭圆 双曲线 抛物线 知识点 隐藏>> 椭圆(焦点在 x 轴) 标准 方程 x2 y ...
高中数学__椭圆_双曲线_抛物线_基础过关
高中数学__椭圆_双曲线_抛物线_基础过关题型一 椭圆的定义 例题精讲 1. 已知动圆 P 过定点 A ( ? 3 , 0 ) ,并且在定圆 B ( x ? 3 ) 2 ? y 2...
高中数学圆锥曲线(椭圆双曲线抛物线)经典习题_图文
高中数学圆锥曲线(椭圆双曲线抛物线)经典习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。本块知识点是高考的必考内容,圆锥曲线在高考中的出现频繁,这些个个都是经典题...
高中数学高考二轮复习椭圆双曲线抛物线文教案含答...
高中数学高考二轮复习椭圆双曲线抛物线文教案含答案(全国通用)_高考_高中教育_教育专区。高中数学高考二轮复习教案含答案(全国通用) ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图