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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 章末检测


章末检测
一、选择题 1. 由 1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,?,得到 1+3+?+(2n-1)=n2 用的是 ( A.归纳推理 C.类比推理 B.演绎推理 D.特殊推理 ) )

2. 在△ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,则有 EF∥BC,这个问题的大前提为( A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF 为中位线 D.EF∥BC 3. 用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,假设正确的是 A.假设 2是有理数 B.假设 3是有理数 C.假设 2或 3是有理数 D.假设 2+ 3是有理数 ( )

1 1 1 2n 4. 用数学归纳法证明:1+ + +?+ = 时,由 n=k 到 n= 1+2 1+2+3 1+2+3+?+n n+1 k+1 左边需要添加的项是 2 A. k?k+2? 1 C. ?k+1??k+2? 1 B. k?k+1? 2 D. ?k+1??k+2? ( ) ( )

2f?x? 5. 已知 f(x+1)= ,f(1)=1(x∈N*),猜想 f(x)的表达式为 f?x?+2 4 A. x 2 +2 1 C. x+1 2 B. x+1 2 D. 2x+1

6. 已知 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+?+f(n)不能等于 ( )

A.f(1)+2f(1)+?+nf(1) n?n+1? B.f( ) 2 C.n(n+1)

n?n+1? D. f(1) 2 7. 对“a,b,c 是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a=b 与 b=c 及 a=c 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ( )

8. 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状 完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有 ( )

①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱椎. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 ( D.3 )

1 1 9. 数列{an}满足 a1= ,an+1=1- ,则 a2 013 等于 2 an 1 A. 2 B.-1 C.2

10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),且 f(x)在(2,+∞)上为增函数.已知 x1 +x2<4 且(x1-2)· (x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值 A.恒小于 0 C.可能等于 0 二、填空题 11.从 1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52 中,可得到一般规律为___________________. 1 1 1 3 5 7 12.f(n)=1+ + +?+ (n∈N*),经计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,推 2 3 n 2 2 2 测当 n≥2 时,有____________. 13.如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图,设第 n 个图有 an 个“树枝”,则 an+1 与 an(n≥2)之间的关系是______. B.恒大于 0 D.可正也可负 ( )

AE AC 14.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 = ,把这个结论类 EB BC 比到空间:在三棱锥 A—BCD 中(如图所示),面 DEC 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相 交于 E,则得到的类比的结论是________.

三、解答题 15.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立: (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行. 16.1, 3,2 能否为同一等差数列中的三项?说明理由. 17.设 a,b 为实数,求证: a2+b2≥ 2 (a+b). 2

1 18.设 a,b,c 为一个三角形的三边,s= (a+b+c),且 s2=2ab,试证:s<2a. 2 n?n+1? 1 19.数列{an}满足 a1= ,前 n 项和 Sn= an. 6 2 (1)写出 a2,a3,a4; (2)猜出 an 的表达式,并用数学归纳法证明. 1 1 1 20.设 f(n)=1+ + +?+ ,是否存在关于自然数 n 的函数 g(n),使等式 f(1)+f(2)+?+ 2 3 n f(n-1)=g(n)· [f(n)-1]对于 n≥2 的一切自然数都成立?并证明你的结论.

答案
1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.A 11.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 2+n 12.f(2n)> (n≥2) 2 13.an+1=2an+1(n≥1) AE S△ACD 14. = EB S△BCD 15.解 (1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交, 则必和另一个相交. 结论是正确的:证明如下:设 α∥β,且 γ∩α=a, 则必有 γ∩β=b,若 γ 与 β 不相交,则必有 γ∥β, 又 α∥β,∴α∥γ,与 γ∩α=a 矛盾, ∴必有 γ∩β=b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误 的,这两个平面也可能相交. 16.解 假设 1, 3,2 能为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项,设公差为 d, 则 1= 3-md,2= 3+nd, m,n 为两个正整数,消去 d 得 m=( 3+1)n. ∵m 为有理数,( 3+1)n 为无理数, ∴m≠( 3+1)n.∴假设不成立. 即 1, 3,2 不可能为同一等差数列中的三项. 17.证明 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0, ∴ a2+b2≥ 2 (a+b)成立. 2

当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 要证 a2+b2≥ 2 (a+b), 2 2 ?2, ? 2 ?a+b??

只需证( a2+b2)2≥?

1 即证 a2+b2≥ (a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,

∴ a2+b2≥

2 (a+b)成立. 2

综上所述,对任意实数 a,b 不等式都成立. s2 18.证明 要证 s<2a,由于 s2=2ab,所以只需证 s< ,即证 b<s. b 1 因为 s= (a+b+c),所以只需证 2b<a+b+c,即证 b<a+c. 2 由于 a,b,c 为一个三角形的三条边,所以上式成立.于是原命题成立. 1 19.解 (1)令 n=2,∵a1= , 6 2×?2+1? ∴S2= a2, 2 1 即 a1+a2=3a2.∴a2= . 12 3×?3+1? 令 n=3,得 S3= a3, 2 即 a1+a2+a3=6a3,∴a3= 1 . 20

4×?4+1? 令 n=4,得 S4= a4, 2 1 即 a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4= . 30 1 (2)猜想 an= ,下面用数学归纳法给出证明. ?n+1??n+2? 1 1 ①当 n=1 时,a1= = ,结论成立. 6 ?1+1??1+2? ②假设当 n=k 时,结论成立, 即 ak= 1 , ?k+1??k+2?

k?k+1? k?k+1? 1 k 则当 n=k+1 时,Sk= ak= · = , 2 2 ?k+1??k+2? 2?k+2? ?k+1??k+2? Sk+1= ak+1, 2 ?k+1??k+2? 即 Sk+ak+1= ak+1. 2 ∴ ?k+1??k+2? k +a + = ak+1. 2 2?k+2? k 1

k 2?k+2? ∴ak+1= ?k+1??k+2? -1 2

= =

k k?k+3??k+2? 1 . ?k+2??k+3?

当 n=k+1 时结论成立. 1 由①②可知,对一切 n∈N*都有 an= . ?n+1??n+2? 20.解 当 n=2 时,由 f(1)=g(2)· [f(2)-1], f?1? 得 g(2)= = f?2?-1 1 =2, 1 ?1+ ?-1 2

当 n=3 时,由 f(1)+f(2)=g(3)· [f(3)-1], f?1?+f?2? 得 g(3)= f?3?-1 1 1+?1+ ? 2 = =3, 1 1 ?1+ + ?-1 2 3 猜想 g(n)=n(n≥2). 下面用数学归纳法证明: 当 n≥2 时,等式 f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立. ①当 n=2 时,由上面计算可知,等式成立. ②假设 n=k(k∈N*且 k≥2)时,等式成立,即 f(1)+f(2)+?+f(k-1) =k[f(k)-1](k≥2)成立, 那么当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k 1 =(k+1)[f(k+1)- ]-k k+1 =(k+1)[f(k+1)-1], ∴当 n=k+1 时,等式也成立. 由①②知,对一切 n≥2 的自然数 n,等式都成立, 故存在函数 g(n)=n,使等式成立.


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