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1.1.1集合的含义与表示



《新课程·三阶式导学案·数学 1》

创意与策划:张平福

1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示
【自主学习】
【目标导读】 一、知识与技能 1.从具体实例了解集合的含义, 理解元素与 集合的“属于”关系. 2.理解集合的元素的三个特征:确定性、无 序性、互异性。 3.了解两个集合相等的定义。 4.理解并会用列举法

表示集合。 5.理解并会用描述法表示集合。 6. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记 法,能选择自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法)描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作用. 二、过程与方法 1.你可以从教材 P2 的集合实例中抽象概括 出集合共同特征,感知集合的含义. 2.归纳整理本节所学知识, 尝试在老师的引 导下画出本课时的知识结构框图. 三、情感、态度与价值观 本课时是数学语言及语言规则学习, 为 以后周密的数学思维及严谨的数学表述打 基础,虽然简单,但需高度重视规则意识! 【教材导读】 一、情景导入 德育处通知: 8月31日下午5点高一年级 学生在体育馆集合进行入学教育. 试问: 这个通知的对象是全体的高一学生还 是全体高一男生?或全体高一女生?或高 一个别学生? 若通知“高一个子较高的学生”或“体重 较重的学生”参会,对象确定吗? 导入:我们感兴趣的是问题中某些特定(是 高一而不是高二、高三)对象的总体,而不 是局部或个别的对象,为此,我们将学习一 个新的概念--—集合, 即一些研究对象的总 体. 集合是近代数学最基本的内容之一, 许

多重要的数学分支都建立在集合理论的基 础上,它还渗透到自然科学的许多领域,其 术语的科技文章和科普读物中比比皆是, 学 习它可为参阅一般科技读物和以后学习数 学知识准备必要的条件. 二、教材导读 1.集合的含义 阅读教材 P2 的 8 个实例,尝试提炼出 这 8 个实例的共同特征是什么, 以体会集合 的含义. (1)都有特定的研究对象; 你感悟 (2)这些对象构成一个整体. 出它们 的两个 共同特征特征了吗? 2.集合与元素的关系 阅读教材 P3 的内容,联系 P2 的 8 个实 例,尝试提炼出以下知识要点. (1)集合的含义 一般地, 指定的某些对象的全体称为集合 (简称为集).集合中的每个对象叫作这个集 合的元素. (2)集合元素的三个基本特征 ①确定性 给定一个集合, 任何一个元素在不在这 个集合中就确定了. ②互异性 集合的元素互不相同, 即集合中的元素 不重复出现. 除了教材指出的两个特征外, 集合元素 元素还有第三个特征:无序性 ③无序性:集合中的元素没有顺序.也就是 说,一旦集合的元素确定,则集合相应就确 定了,与其元素之间的顺序无关. (3)数学真奇妙,处处看符号:集合常用 大写字母 A,B,C,D,…表示,元素常用 小写字母 a, b, c, d …表示. (4)集合与元素之间的关系:从属关系. 注意理解教材的界定: 如果 a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集 合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素, 就说 a 不属 于集合 A,记作 a ? A . (5)记住 5 个常见数集的表示符号

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在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. ——康扥尔

《新课程·三阶式导学案·数学 1》

创意与策划:张平福

掩卷思考:N、N*(或 N+) 、Z、Q、R 分别表示什么数集? 记住了吗? 3.集合的表示 阅读教材 P4——P5, 尝试提炼出以下知 识要点. (1)表示集合共有几种方法? 三种:自然语言、列举法、描述法. (2)结合教材实例归纳:怎样用列举法表 示集合? 把集合元素一一列举出来, 并用花括号 “{}”括起来. (3)结合教材实例归纳:怎样用描述法表 示集合? 利用集合所含元素的共同特征表示集 合: 在花括号内先写上表示这个集合元素的 一般符号及取值(或变化)范围,再画一条 竖线, 在竖线后写出这个集合中的元素所具 有的共同特征. (4)P5 最后一个自然段告诉我们什么信 息?

A = {–3,–1,1}. 当 2a – 1 = –3 即 a = –1 时, A = {– 4,–3,2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的, –3∈A, 则必有一个式子的值为 –3, 以此展 开讨论,便可求得 a. 【变式1】已知由l,x,x2,三个实数构成一 个集合,求x应满足的条件.

(5)结合教材实例,比较自然语言.列举法 和描述法在表示集合时,各自有什么特点? 适用的对象是什么?

三、学了就练 请完成自主评价 1

【课堂点金】
一、重难点突破 1.理解集合元素的三个特征 例 1.已知集合 A = {a –3,2a – 1,a2 + 1}, 若–3∈A,求 a 的值及对应的集合 A. 【分析】 –3∈A, 可知–3 是集合的一个元素, 则可能 a –3 = –3,或 2a – 1 = –3,求出 a, 再代入 A,求出集合 A. 【解】由–3∈A,可知,a –3 = –3 或 2a –1 = –3,当 a –3 = –3 即 a = 0 时,

2. 能选择恰当的方法用集合语言表达数学 对象或数学内容. 例 2. (1)利用列举法表示下列集合: ①{15 的正约数}; ②不大于 10 的非负偶数集. (2)用描述法表示下列集合: ①正偶数集; ②{1,–3,5,–7,?,–39,41}. 【分析】 考查集合的两种表示方法的概念及 其应用. 【解析】 (1)①{1,3,5,15} ②{0,2,4,6,8,10} (2)①{x | x = 2n,n∈N*} ②{x | x = (–1) n–1· –1),n∈N*且 n≤21}. (2n 【评析】 (1)第(1)题需把集合中的元素 一一列举出来,写在大括号内表示集合.列 举法多用于集合中的元素有有限个的情况. (2)第(2)题是将元素的公共属性描述出 来.描述法多用于集合中的元素有无限多个 的无限集, 或元素个数较多且元素的共有属 性明确的有限集. 描述法一般形式为{x ? A| P(x)} ,其中 x 代表元素的一般形式和属 性,P(x) 是确定条件或元素的共同属性.特 别地,当竖线左右元素属性一致时,可将元 素的一般形式“x ? A”直接简化为“x”. (3)有时一个集合可以用多种方式表达, 各种表达方式可以相互转化, 应用时需选择 恰当的方式表示集合.比如: 方程 x2-1= 0 ① 的解集;② {-1 ,1} ;③ {x ? R | x2-1 = 0} . 观察这 3 种表达方式, 易知①是用自然语言 2 表示方程 x -1= 0 的解的集合,②是用列举 法表示方程 x2-1= 0 的解的集合;③是用描

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我思故我在。

——笛卡儿

《新课程·三阶式导学案·数学 1》

创意与策划:张平福

述法表示方程 x2-1= 0 的解的集合.也可大 写字母表示,如设方程 x2-1= 0 的解的集合 为 A,则:A={-1 ,1}={x ? R | x2-1 = 0}. 【变式2】试分别用列举法和描述法表示下 列集合: (1)方程x2 –2 = 0的所有实数根组 成的集合;(2)由大于10小于20的所有整 数组成的集合.

【解析】 (1)集合 A ? {x | y ? x } 的元素一
2

般形式 x 是函数 y ? x 的自变量,故集 A
2

是函数 y ? x 的自变量的集合, 易知 A ? R ;
2

集合 B ? { y | y ? x } 的元素一般形式 y 是
2

函数 y ? x 的函数值, 故集 B 是函数 y ? x
2

2

二、教材挖掘 从某种意义上将集合就是具有一定属 性的某种对象的整体, 因此我们可以用集合 表示生产和生活中的诸多内容. 通过对教材实例的再认识, 我们会发现 在用集合表示数学对象或数学内容时, 可以 按照元素的数量或元素的属性将集合分类 如下: 有限集 元素 数量 无限集 集 合 常见数集 范围等 函数图像 方程与不等式 平面图形 代数式

的函数值的集合, 易知 B ? { y | y ? 0};集合

C ? {( x, y) | y ? x 2 } 的元素一般形式(x,y)
是坐标平面内的点,故集合 C 是点集,表 示函数 y ? x 图像上所有点的集合.
2

(2)集合 A 是数集,集合 B 是点集,易知

A ? {0,1} ,故 B ? {(0,1),(1, 2)} .
【评析】用描述法表示的集合,要特别注意 这个集合中的元素是什么, 它应该符合什么 条件,从而准确理解集合的意义. 【变式 3】 1.指出下列集合哪些是相等集合: ① A ? {x ? R | y ? x ? 1} ;
2

数集 点集 元素 属性 解集 图集 式集

② B ? {s ? R | t ? s ? 1}
2

③ C ? {x ? Z | y ? x ? 1}
2

④ D ? {t ? N | s ? t }
2

你能将教材实例与之对应吗? 例 3.(1)已知集合 A ? {x | y ? x } ,集合
2

⑤ E ? {( x, y) | y ? x ? 1}
2

⑥ F ? {( s, t ) | t ? s ? 1}
2

B ? { y | y ? x 2 } ,集合 C ? {( x, y) | y ? x 2 } ,
这 3 个集合是相等的集合吗? ( 2 ) 设 集 合 A= {x ? Z | ?1 ? x ? 2} , 集 B= {( x, y ) | y ? x ? 1} ,使用列举法分别表 示集合 A 和 B.

2.试选择适当的方法表示下列集合: (教材 P6 练习题 2, P13 A 组题 4) (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2x ? 6 的图象 的交点组成的集合; (2)函数 y ? x 2 ? 4 的函数值组成的集合; (3)函数 y ?

2 的自变量的值组成的集合. x

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数学是符号加逻辑. ——罗素

《新课程·三阶式导学案·数学 1》

创意与策划:张平福

(A)0 (B)6 (C)12 (D)18 解析:A⊙B={z︳z= xy(x+y),x∈A,y∈B} 中, “x∈A,y∈B”是指 x 和 y 分别各自独 立地遍取集合集合 A 与 B 中所有元素,再 代入 z= xy(x+y)就得到集合 A⊙B 的所有元 素,共有 4 种情况: ?

三、总结提升 1.本课知识结构框图
元素与集合的从属关系 集合相等 确定性

?x ? 0 ?x ? 0 ,? , ?y ? 2 ?y ? 3

?x ? 1 ?x ? 1 ,? , 代入 z= xy(x+y)得: ? ?y ? 2 ?y ? 3
A⊙B= {0, 6,12} ,故选 D.

集合含义

集 合 元 素

【自主评价】
互异性 无序性 【自主评价 1】 1.判断下列元素的全体能否构成集合 (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. (3)某单位的年轻人 (4)大街上的好人 2.如果用 A 表示 “所有的安理会常任理事国” 组成的集合,则中国(用 c 表示) 、日本(用 j 表示)与集合 A 的关系分别是什么?请用 数学符号分别表示. 3.判断下列表达或结论是否正确 (1) 0?N* (2) 2 ? Q. (3)集合 A= {0,0,1, 2} ;

集合的表示

自然 语言

大写 字母

列举 法

描述 法

新的数学语言规则

2.拓展性知识 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的. 1874 年康托尔提出“集合” 的概念:把若干确定的有区别的(不论是具 体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整 体,就称为一个集合,其中各事物称为该集 合的元素. 人们把康托尔于 1873 年12 月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想 的那一天定为集合论诞生日. 3.问鼎高考 (06 山东理)定义集合运算:A⊙B={z︳ z= xy(x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0, 1} ,B={2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素 之和为

(4)集合 {1, 2,3} 与 {3, 2,1} 不相等. 4.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1} 的元素分别是什么?说明这四个集合有何 关系. 5.在教材上完成第6页练习第1题. 【自主评价 2】 一、选择题
1.以下元素的全体不能够构成集合的是( ). A. 中国古代四大发明 B. 西南地区的小河流 C. 方程 x2 ? 1 ? 0 的实数解 D. 周长为 12cm 的三角形

2.某天在批改数学作业时,数学老师发现

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一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步. ——马克思

《新课程·三阶式导学案·数学 1》

创意与策划:张平福

同学们表达方程组

3 ?2xx??2 yy ? 11 的解集汇总 ?

起来有以下结果: 1? 5 ① ?5, ;② ?1, ;③ ?? 5,? ;④ ??1,?? ; 1? 5? ⑤?

?? x ? 5? ?x ? 5 ? ? x ? 5? . ; ?? ⑥ ⑦ ? ; ? ( x, y ) | ? ? ?y ?1 ? y ? 1? ?? y ? 1 ? ?
③⑥⑦ D. ③⑦

10.用列举法把下列集合表示出来: (1)A = {x∈N | (2)B = {
9 ∈N}; 9? x

其中正确命题的序号是( ) A . ①③⑤⑥⑦ B. ①③⑤⑦
C.

9 ∈N | x∈N }; 9? x

1 3.给出下列关系:① ? R ; ② 3 ? Q ; 4 ③ 3 ? N * ;④ 0 ? Z . 其中正确的个数是 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.有下列说法: (1)0 与{0}及{{0}}表示同一 个集合; (2)由 1,2,3 组成的集合只能表示为 2, ( 方程 ( x ? 1)2 ( x ? 2) ? 0 {1, 2,3} 或{3, 1}; 3) 的所有解的集合可表示为{1,1,2}; (4)集 合 {x | 0 ? x ? 2} 是有限集. 其中正确的说法 是( ). A. 只有(1)和(4) B. 只有(2)和(3) C. 只有(2) D. 以上四种说法都不对 5. 下列各组中的两个集合 M 和 N 表示同一集 合的是( ). A. M ? {? } , N ? {3.14} B. M ? {2,3} , N ? {(2,3)} C. M ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? N} , N ? {1} D. M

(3)C = { y︱y = – x2 + 6,x∈N ,y∈N }; (4)D = {(x,y) | y = –x2 +6,x∈N }; (5)E = {x | N*}.
p = x,p + q = 5,p∈N ,q∈ q

【自主评价 3】
1. 已 知 集 合 A ? {x | ax ? x ? 1 ? 0} 只 有 一
2

个元素,求实数 a 的取值集合. 2.已知集合 A ? {a |

? {0, 2, e, ? } , N ? {? , e, 2, 0}

x?a ? 1有唯一实数解} , x2 ? 2

二、填空题 6. 已知实数 a ? 2 , 集合 B ? {x | ?1 ? x ? 3} , 则 a 与 B 的关系是 . 7.已知 x ? R ,则集合 {3, x, x 2 ? 2 x} 中元素 x 所应满足的条件为 . 8. 已 知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z} 空:则有: 17 17 B. A; -5 A; ,

试用列举法表示集合 A.

B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z} ,用适当的符号填

三、解答题 9.试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组成的 集合; (2)由小于8的所有素数组成的集合; (3) 一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象 的交点组成的集合; (4)不等式 4x – 5<3 的解集.

【参考答案】 【变式1】解:根据集合元素的互异性,
?x ? 1 ? 得 ? x 2 ? 1 所以x∈R且x≠±1,x≠0. ? 2 ?x ? x

【变式2】 (1) 描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.列举法表示为A = { 2 , ? 2 }. (2)描述法表示为:

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错误是真理的邻居,因此它欺骗了我们。 ——泰戈尔《流萤集》

《新课程·三阶式导学案·数学 1》

创意与策划:张平福

B = {x∈Z | 10<x<20}. 用列举法表示为: B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 【变式 3】1. A ? B; C ? D; E ? F .
?y ? x ? 3 2.(1) {( x, y ) | ? } ? {(1, 4)} . ? y ? ?2 x ? 6
(2) { y | y ? x ? 4} ? { y | y ? ?4} .
2

? p ? 2, ? ?q ? 3, P x 要满足条件 x = , q

则?

? p ? 0, ?q ? 5,

? p ? 1, ? ?q ? 4,

? p ? 3, ? ?q ? 2,

? p ? 4, ? ?q ? 1.

1 3 2 ∴E = {0, , , ,4}. 4 2 3

【自我评价 3】
1.解析: 集合 A 表示方程 ax ? x ? 1 ? 0 的解
2

2 (3) {x | y ? } ? {x | x ? 0} . x 【自我评价 1】 1.(1)能; 、 (2)(3)(4) 、 :不能.

得集合,注意这是一个形式上的二次方程. (1)当 a ? 0 时 A ? {x | x ? 1 ? 0} ? {?1} , 符合条件. (2)当 a ? 0 时,由题意关于 x 的二次方程

2.属于;不属于; c ? A ; j ? A . 3.不正确;不正确;不正确;不正确. 4. 集合{1,2}和{2,1}是相等集合,其元素是 实数 1 和 2.集合{(1,2)}的元素是有序实数对 (即坐标平面内的点)(1,2);集合{(2,1)}的 元素是有序实数对(即坐标平面内的点) (2,1),这两个集合不相等 【自主评价 2】 一、选择题 1.B;2.D;3.C;4.D;5.D. 二、填空题 6. a ? B ; 7. x ? R 且 x ? 3 且 x ? 0 且 x ? ?1 .8. 17 ? A ; ?5 ? A ; 17 ? B . 三、解答题 9.解:(1){3,–3};(2){2,3,5,7}; (3){(1,4)};(4){x| x<2}. 10.【解析】 (1)当 x = 0,6,8 这三个自然 数时,
9 =1,3,9 也是自然数. 9? x

ax 2 ? x ? 1 ? 0 有两个等根,故:

? ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?
综上: a ?{0,

1 . 4

1 }. 4

2. 解 析 : 化 方 程

x?a ?1 为 : x2 ? 2

x 2 ? x ? (a ? 2) ? 0 .应分以下三种情况:
⑴ 方 程 有 等 根 且 不 是 ? 2 : 由 △=0 , 得

9 1 a ? ? ,此时的解为 x ? ,符合条件. 4 2 ⑵方程有一解为 2 ,而另一解不是 ? 2 :将
x? 2 代 入 得 a?? 2 , 此 时 另 一 解 x ? 1 ? 2 ,符合条件.

⑶方程有一解为 ? 2 ,而另一解不是 2 : 将 x ? ? 2 代入得 a ? 2 ,此时另一解为
x ? 2 ? 1 ,符合条件. 9 综上知, A ? {? , ? 2, 2} . 4 点评:运用分类讨论思想方法,研究根的情 况,从而列举法表示. 注意分式方程易造成 增根的现象.

∴ A = {0,6,9} (2)由(1)知,B = {1,3,9}. (3)由 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N 知 y≤6. ∴ x = 0,1,2 时,y = 6,5,2 符合题意. ∴ C = {2,5,6}. (4) {x,y}满足条件 y = – x2 + 6, 点 x∈N, y∈N,则有:
? x ? 0, ? ? y ? 6, ? x ? 1, ? ? y ? 5, ? x ? 2, ? ? y ? 2.

∴ D = {(0,6) ,(1,5) ,(2,2) } (5)依题意知 p + q = 5,p∈N,q∈N*,

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数学是上帝描述自然的符号. ——黑格尔



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