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非课改区2010届高三上学期第四次检测(数学理)



高三上学期数学理科单元测试(4)
[原人教版 命题范围 三角函数与解三角形 原人教版] 原人教版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分;答题时间150分钟. 共60分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的 代号填在题后的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分).

第Ⅰ卷(选择题

1 1.已知sin( α + β )=1,tan β = 3 ,则tan α 的值为 1 1 C. 3 A.-3 B.- 3 2.在 ? ABC中,若0 < tanAtanB < 1,那么 ? ABC一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形

( ) D.3 ( ) D.形状不确定 ( )

π

C.钝角三角形

3.函数f(x)=cos2x+ sin(x+ 2 )是 A.非偶非奇函数 C.仅有最大值的偶函数

B.仅有最小值的奇函数 D.既有最小值又有最大值的偶函数

x 2 ? x cos A cos B ? cos 2
4.关于x的方程 A.等腰三角形 B.锐角三角形

C 2 =0有一个根为1,则 ? ABC一定是
C.直角三角形
2

( )

D.钝角三角形 ( )

5.设A、B、C是 ? ABC的三个内角,且tanA、tanB是方程 3 x ? 5 x + 1 =0的两个实数根,则

? ABC是

6.“等式sin( α + γ )=sin2 β ”是“ α 、 β 、 γ 成等差数列”的 ) A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.等边三角形 C.锐角三角形

B.等腰直角三角形 D.钝角三角形 (

π

7.函数y=sin(2x+ 3 )+2的图象按向量 a 平移得到函数y=sin2x的图象,则向量 a 可以是 ( )

π
A.( 3 ,-2)

π

π

π

B.(- 3 ,-2) C.(- 6 ,-2) D.( 6 ,-2)

8.将函数y=sinx- 3 cosx的图象沿x轴向右平移a个单位长度(a > 0),所得图象关于y轴 对称,则a的最小值为 ( )

7π A. 6

π π
B. 2

π
[0, 3π ] 4 ,则y的最小值是
1? 3 C. 4
C. 6

π
D. 3 ( )

9.函数y=sin(x- 6 )cosx,x ∈
源:Z§xx§k.Com]

[来

3 A.- 4

1 B. 4

10.设函数f(x)=A sin( ω x+ ? )(A ≠ 0, ω > 0,- 2 < ? < 2 )的图象关于直线x=

π

π

1+ 3 D.- 4

2π 3 对称,它的最小正周期为 π , 则 ( ) 1 5π 2π [ , ] B.f(x)在 12 3 上是减函数 A.f(x)的图象过定点(0, 2 ) 5π C.f(x)的一个对称中心是( 12 ,0) D.f(x)的最大值是A 11.已知 ? ABC的三边长a、b、c均为有理数, ∠ A=3 θ , ∠ B=2 θ ,则下列结论正确的是
A.cos5 θ 与cos θ 均为无理数 C.cos5 θ 为无理数,而cos θ 为有理数 B.cos5 θ 为有理数,而cos θ 为无理数 D.cos5 θ 与cos θ 均为有理数 ( )

12.在斜△ABC中,sinA=-cosBcosC且tanBtanC=1- 3 ,则∠A的值为 2π 5π π π 6 3 3 B. C. D. 6 A.

( )

第Ⅱ卷(非选择题

共90分)

[来源:Zxxk.Com]

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分). 13.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 .
[来源:学科网ZXXK]

14.已知 ? ABC三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 .

π
15.已知函数f(x)=1-cos 2 x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2007)= . 16.若|logcosαsinα|>|logsinαcosα|(α为锐角),则α的取值范围为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分).

4 17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B= 3 ,cosA= 5 ,b= 3 ,
求△ABC的面积.

π

[来源:Zxxk.Com]

18.(12分)已知向量 a =(cos 3 x,sin 3 x), b =(cos ? ,sin ? )(0 < ? < π ). (1)求 ? 的值; (2)求f(x)的单调增区间.

′ 设函数f(x)= a · b ,且f(x)+ f (x ) 为偶函数.

[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]

4 2 19.(12分)已知函数 f (x ) = sin x + cos x ,若 f (x ) = a 有解,求实数 a 的取值范围.

20.(12分)如图,函数y=2sin( π x+ ? )(其中x ∈ R,0 ≤ ? ≤ 2 )的图象与y轴交于点 (0,1). (1)求 ? 的值; (2)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角.
y P 2

π

1

N M O x

21.(12分)已知函数f(x)= 3 sin ω xcos ω x-cos2 ω x,其中 ω 为使函数f(x)能在x=

(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角 θ 的取值集合为A,当x ∈ A时, 求函数f(x)的值域.

(1)求 ω 的值;

2π 3 时取得最大值时的最小正整数.

[来源:Z|xx|k.Com]

5 3 22.(14分)是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx+ 8 a- 2 在闭区间上的最大值是1 ?

若存在,求出对应的a的值;若不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题 1.D;提示:由sin( α + β )=1可得 α + β = 2kπ + 2 ,则 α = 2kπ + 2 - β ,进而利用诱 导公式,tan α = tan( 2kπ + 2 - β )= cot β =3.

π

π

π

sin A sin B 2.C;提示:由题意可得A、B ∈ (0, 2 ),则cosAcosB > 0,故0 < cos A cos B < 1,则 有cosAcosB > sinAsinB > 0,即cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B) > 0,所以A+B ∈ (0,

π

π

2 ),则C为钝角.

π
3.D;提示:f(x)=cos2x+ sin(x+ 2 )=2 cos2x-1+co sx,则可知其为偶函数,

1 9 2(cos x + ) 2 4 - 8 ,而-1 ≤ cosx ≤ 1,则f(x)既有最小值又有最大值. 又f(x)= C 1 + cos C 1 ? cos A cos B ? cos 2 1 ? cos A cos B ? 2 =0,则 2 4.A;提示:把x=1代入得 =0,
即2cosAcosB+cosC=1,则2cosAcosB-cos(A+B)=1,即cos(A-B)=1,故A=B.

5 1 5 5.D;提示:由于tanA+tanB= 3 ,tanAtanB= 3 ,可得tan(A+B)= 2 > 0,

π

6.A;提示: α 、 β 、 γ 成等差数列 ?

可知A+B ∈ (0, 2 ),则C为钝角.

α + γ =2 β ,由 α + γ =2 β ? sin( α + γ )=sin2 β ;反过来不成立,如 α = γ =0, β = π ,使sin( α + γ )=sin2 β ,但 α + γ ≠ 2 β .

π
7.D;提示:结合题设可知向量 a 的方向应是指向右下方,向右平移的单位数为 6 ,对应

π

的向量为 a =( 6 ,-2).

π π

8.C;提示:将y=sinx- 3 cosx=2sin(x- 3 )的图象沿x轴向右平移a个单位长度(a > 0),所得函数y=2sin(x-a- 3 )的图象关于y轴对称,取x=0,把选项中的数值代入

π

验证,使函数取得最值且使a最小,可得a的最小值为 6 .

3 1 9.D;提示:y=sin(x- 6 )cosx=(sinxcos 6 -cosxsin 6 )cosx= 2 sinxcosx- 2 cos2x= 3 1 1 1 π 1 3π [0, ] 4 sin2x- 4 cos2x- 4 = 2 sin(2x- 6 )- 4 ,由于x ∈ 4 ,

π

π

π

π
则2x- 6 ∈

[?

π 4π
,

10.C;提示:由于T= ω = π ,可得 ω =2,故f(x)=A sin(2x+ ? ),而函数f(x)的图

1+ 3 1 6 3 ,故y ∈ [- 4 , 4 ]. 2π ]

2π 2π 4π 象关于直线x= 3 对称,则有f( 3 )= ± A(最值) ? sin( 3 + ? )= ± 1,又- π π 5π 4π 11π 4π 3π π ? < 2 ,即 6 < 3 + ? < 6 ,故 3 + ? = 2 ,即 ? = 6 ,故f(x)=A sin 2 < π 1 (2x+ 6 )(A ≠ 0),验证f(0)= 2 A与A的取值有关,可以排除选项A;同理,由于 5π 5π π 5π A值符号不定,故排除选项B、D;又由于f( 12 )= A sin( 6 + 6 )=0,故( 12 ,
0)是f(x)的一个对称中心.

a 2 + b2 ? c2 2ab 为有理数,同理可得cos3 θ 11.D;提示:由于a、b、c均为有理数,则cosC=
a b a b 数;由正弦定理 sin A = sin B ,则 sin 3θ = sin 2θ , a sin 3θ sin 3θ sin 2θ sin 3θ sin 2θ a 2 2 2 即 b = sin 2θ = sin 2θ = 1 ? cos 2θ ,故 sin 3θ sin 2θ = b (1- cos 2θ )为 有理数,所以cos θ = cos(3 θ -2 θ )= cos3 θ cos2 θ + sin 3θ sin 2θ 为有理数.
12.A;提示:由A=π-(B+C),sinA=-cosBcosC得sin(B+C)=-cosBcosC, 即sinBcosC+cosBsinC=-cosBcosC,∴tanB+tanC=-1, tan B + tan C tan B + tan C ?1 3 又tan(B+C)= 1 ? tan B tan C =
3 3 3 ,tanA= 3 , ∴-tanA=-

与cos2 θ 均为有理数,又C= π -A-B= π -5 θ ,故cos5 θ = cos( π -C)=cosC为有理

3

= 3 =- 3 ,

π 又∵0<A<π,∴A= 6 . 二、填空题

π
13.1- 2 ;提示:因为y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ 2 sin(2x+ 4 ),
[来源:Z#xx#k.Com]

π

则当sin(2x+ 4 )=-1时,ymin=1- 2 .

14. 3 ;提示:A、B、C成等差数列 ? 2B=A+C,而A+B+C= π ,解得B= 3 , 则AD2=AB2+BD2- 2AB·BDcosB=1+4-2=3,故AD= 3 .

π

π

15.2008;提示:由f(x)=1-cos 2 x知这个函数的周期是4, 而f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0+1+2+1=4,由周期性,这样连续四项的和均为4, 共有2008项,是4的502倍,故可得结果为4×502=2008. π 16.(0, 4 );提示:∵α为锐角,0<cosα<1,0<sinα<1,∴logcosαsinα>0,
log cos α sin α logsinαcosα>0,∴原式就是logcosαsinα>logsinαcosα log sin α cos α >1 ? π 2>1 ? log ? sinα<cosα ? 0<α< 4 . (logcosαsinα) cosαsinα>1 ?

三、解答题

[来源:Zxxk.Com]

4 2π 3 17.解:∵A、B、C为△ABC的内角,且B= 3 ,cosA= 5 ,∴C= 3 -A,sinA= 5 , 2π 3 1 3+ 4 3 ∴sinC=sin( 3 -A)= 2 cosA+ 2 sinA= 10 , π b 6 又∵B= 3 ,b= 3 ,∴由正弦定理得a= sin B ·sinA = 5 ,
1 1 6 3 + 4 3 36 + 9 3 50 ∴△ABC的面积S= 2 absinC= 2 × 5 × 3 × 10 = . 18.解:(1)因为f(x)= a · b = cos 3 x c os ? +sin 3 x sin ? = cos( 3 x- ? ), ′ 所以f(x)+ f (x ) = cos( 3 x- ? )- 3 sin( 3 x- ? )=2 cos( 3 x- ? +

π

π

3 ), ′ 而f(x)+ f (x ) 为偶函数,则有- ? + 3 = k π ,k ∈ Z,
又0 < ? < π ,则k=0,即 ? = 3 ;

π

π

π
[来源:Z,xx,k.Com]

(2)由(1)得f(x)= cos( 3 x- 3 ),

1 1 2π π 由2k π - π ≤ 3 x- 3 ≤ 2k π ,解得 3 (2k π - 3 ) ≤ x ≤ 3 (2k π + 3 ),

π

2 3 2 3 2 3 3 kπ ? π, kπ + π] 9 3 9 即此函数的单调增区间为 3 (k ∈ Z). 4 2 2 2 4 2 4 2 19.解:∵ f (x ) = sin x + cos x = sin x + 1 ? cos x = sin x + (sin x + cos x) cos x [
1 1 ? sin 2 2 x (sin 2 x + cos 2 x) 2 ? sin 2 x cos 2 x = 4 = sin x + sin x cos x + cos x = 1 1 ? cos 4 x 7 1 1? × + cos 4 x 4 2 = =8 8 , 7 1 7 1 3 ? ≤ ≤ + ≤ f ( x) ≤ 1 f (x) 8 8 ,即 4 , 而 ? 1 ≤ cos 4 x ≤ 1 ,则 8 8 3 3 ≤ a ≤1 [ ,1] ∴若 f (x ) = a 有解,则有 4 ,即实数 a 的取值范围为 4 . 1 ? =1,即sin ? = 2 , 20.解:(1)因为函数图象过点(0,1),所以2sin
4 2 2 4

而0 ≤ ? ≤ 2 ,所以 ? = 6 ;

π

π

1 1 5 (2)由函数y=2sin( π x+ 6 )及其图象,得M(- 6 ,0),P( 3 ,2),N( 6 ,
0),

π

1 1 所以 PM =(- 2 ,-2), PN =( 2 ,-2), PM ? PN 15 15 | PM | ? | PN | = 17 ,故 < PM , PN > =arccos 17 . 从而cos < PM , PN > = 3 1 + cos 2ωx 2 21.解:由于f(x)= 3 sin ω xcos ω x-cos2 ω x= 2 sin2 ω x- =sin(2 ω x- π 1 6 )- 2 , 2π π π 3k + 1 (1)由题意可知,2 ω · 3 - 6 = 2kπ + 2 ,即 ω = 2 (k ∈ Z),
[来源:Zxxk.Com]

所以当k=1时, ω =2即为所求;

a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac ac 1 2ac 2ac ≥ 2ac = 2 (当a=c时取“=”), (2)由余弦定理得cos θ = =
所以0 < θ ≤ 3 ,即A={ θ |0 < θ ≤ 3 }

π

π

1 又由(1)知,f(x)= sin(4x- 6 )- 2 , π π π 7π 由x ∈ A得0 < x ≤ 3 ,即- 6 < 4x- 6 ≤ 6 , 1 π 1 [?1, ] 2 . 所以- 2 ≤ sin(4x- 6 ) ≤ 1,故函数f(x)的值域

π

5 3 5 3 22.解:由于y=sin2x+acosx+ 8 a- 2 =1-cos2x+acosx+ 8 a- 2
[来源:学科网]

a a 5 1 (cos x ? ) 2 + a? 2 + 4 8 2, =-

2

π

当0 ≤ x ≤ 2 时,0 ≤ cosx ≤ 1,

a 5 3 a+ a? 8 2 =1, 若 2 > 1,即a > 2,则当cosx=1时,ymax= 20 解之得a= 13 < 2,不舍题意,舍去; a a a2 5 1 + a? 2 =1, 若0 ≤ 2 ≤ 1,即0 ≤ a ≤ 2,则当cosx= 2 时,ymax= 4 8 3 解之得a= 2 或a=-4 < 0(舍去); a 5 1 a? 2 =1, 若 2 < 0,即a < 0,则当cosx=0时,ymax= 8 12 解之得a= 5 > 0,不舍题意,舍去; 3 综上所述,存在a= 2 符合题意.



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