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椭圆2014年高考题



椭圆专题练习
1.椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 3 的焦距为 A.1 B. 2
x2 y2 ? ?1 2 2.若椭圆 m 3m 的焦距为 4,则 m=

C. 3

D. 6

A.1 3.椭圆 为 A.5
x2 y2
2

B.2
x ? y 2 ? 1 上一点 25

C.3

D.4

P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 到另一个焦点的距离
C.7 D.8

B.6

4. 椭圆 a 2 + b 2 =1(a>b>0) 的左、右顶点分别是 A,B, 左、右焦点分别是 F1,F2. 若 |AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( (A)4
1

)

(B) 5

5

( C)2

1

( D) 5-2

5.过椭圆 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与 椭圆的另一焦点 F2 构成 ?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是( ) A. 2 2
2

B. 2

C.

2

D. 1

6. 若点 P 在椭圆

x ? y 2 ? 1 上,F1 、F2 分别是椭圆的两焦点, 且 ?F1 PF2 ? 90? , 2 则 ?F1 PF2 的面积是( )

A. 2

B. 1

C.

3 2

D.

1 2

x2 y2 ? ? 1 ,长轴在 y 轴上. 若焦距为 4 ,则 m 等于() 7.已知椭圆 10 ? m m ? 2 A、 4 B、 5 C、 7 D、 8 8.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ,过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若

?F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()

2 ?1 C、2 ? 2 D、 2 ? 1 2 x2 ABC B , C ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且 9.已知△ 的顶点 在椭圆 3 BC 椭圆的另外一个焦点在 边上,则△ ABC 的周长是() A、2 3 B、6 C、4 3 D、12 2 2 2 2 x y x y ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的() 10.曲线 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n A、焦距相等 B、离心率相等 C、焦点相同 D、准线相同 2 2 x y 11. 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 a b
A、

2 2

B、

1/7

A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 45 36 36 27 27 18 18 9 x2 y 2 3a 12. 设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 a b ? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为 () 1 2 ? ? A. B. C. D. 2 3 ? ? 13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F (-2 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是

A.

x2 y2 ? ?1 14 过椭圆 16 4 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 平分,求此弦所在直 线方程。

x2 y2 15.如图 1?5,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭 a b |F1F2| 2 圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2

(1)求该椭圆的标准方程. 21.解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. |F1F2| |F1F2| 2 由 =2 2得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2 1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= ,故 c=1. 2 2 2 从而 |DF1| = 2 9 . 由 DF1 ⊥ F1F2 得 |DF2|2 = |DF1|2 + |F1F2|2 = ,因此 |DF2| = 2 2

2/7

3 2

2

, 2,故 a= 2,b2=a2-c2=1.

所以 2a=|DF1|+|DF2|=2

因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 2 2 16. 已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求 线段 AB 长度的最小值. 19.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =

x2

x2 y2

c a

2 . 2

(2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0), 其中 x0≠0. 因为 OA⊥OB,所以→ OA·→ OB=0, 即 tx0+2y0=0,解得 t=-
2 又 x2 0+2y0=4,所以 |AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2

2y0

x0

.

2y0?2 4y2 ? 0 2 2 2 =?x0+ ? +(y0-2) =x0+y0+ 2 +4 x x 0 ? 0 ? 4-x2 2(4-x2 x2 8 0 0) 0 =x + + +4= + 2+4 2 2 x0 2 x0
2 0

(0<x2 0≤4).

8 2 2 因为 + 2≥4(0<x2 0≤4),当 x0=4 时等号成立,所以|AB| ≥8. 2 x0 故线段 AB 长度的最小值为 2 2.

x2 0

x2 y2 20. 、如图 1?5 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 2+ 2= a b
1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A, 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.
3/7

?4 1? (1)若点 C 的坐标为? , ?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; ?3 3?

图 1?5 17.解: 设椭圆的焦距为 2c, 则 F1(-c, 0), F2(c, 0). (1)因为 B(0, b), 所以 BF2= b2+c2=a.又 BF2= 2, 故 a= 2. 16 9 1 9

?4 1? 因为点 C? , ?在椭圆上,所以 2 + 2=1,解得 b2=1. a b ?3 3? 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 2

x2

x2 y2 3 18. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点为 F1, F2, 离心率为 , a b 3
过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 A. + =1 3 2 C. 3,则 C 的方程为( )

x2 y2

B. +y2=1 3 D.

x2

x2
12

+ =1 8

y2

x2
12

+ =1 4

y2

9. A

[解析] 根据题意, 因为△AF1B 的周长为 4 3, 所以|AF1|+|AB|+|BF1|

=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 3,所以 a= 3.又因为椭圆的离心率 e

c 3 x2 y2 2 2 2 = = ,所以 c=1,b =a -c =3-1=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. a 3 3 2 x2 y2 19. 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上 a b
一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
4/7

3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4

b? ? 20.解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M?c, ?,2b2=3ac. a? ?
2

将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,

c 1 c 1 解得 = , =-2(舍去).故 C 的离心率为 . a 2 a 2 x2 y2 3 20.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直线 y a b 2
=x 被椭圆 C 截得的线段长为 (1)求椭圆 C 的方程. 4 10 . 5

a2-b2 3 (1)由题意知, = ,可得 a2=4b2. a 2
椭圆 C 的方程可简化为 x2+4y2=a2. 将 y=x 代入可得 x=± 5a . 5

因此 2×

2 5a 4 10 = ,即 a=2,所以 b=1, 5 5

所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4

x2

x2 y2 1 21. 、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左、右焦 a b 2
点分别为 F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 2

C,D 两点,且满足

|AB| 5 3 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4

5/7

图 1?5 = 3, a=2, ?b ? c 1 20.解: (1)由题设知? = , 解得?b= 3, a 2 ?b =a -c , ?c=1,
2 2 2

∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, ∴圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= 5 ,(*) 2 4 2 1- m2= 5-4m2. 5 5 2|m| . 5

x2 y2

由 d<1,得|m|<

∴|CD|=2 1-d2=2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 ? y =- x+m, ? 2 由? 得 x -mx+m -3=0, x y ? ? 4 + 3 =1
2 2 2 2

由根与系数的关系得 x1+x2=m,x1x2=m2-3, ∴|AB|= ? 15 ? 1?2? 2 2 ?1+?- ? ?[m -4(m -3)]= 4-m2. 2 ? 2? ? ? 4-m2 =1, 5-4m2



|AB| 5 3 = ,得 |CD| 4

解得 m=±

3 ,满足(*). 3

1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 2 3
6/7

y=- x-

1 2

3 . 3

7/7



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