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山东省高二数学期末模拟测试题1【会员独享】



陵县一中高二数学期末模拟测试题 1 一、选择题(60 分,每小题 5 分)
1.已知命题

9.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O
2

为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 A. y ? ? 4 x
2

>(
2

) D. y ? 8x
2

p : ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ,则命题 ? p 是
2

B. y ? ? 8x
2

C. y ? 4 x



) 10.已知等比数列{ an }中 a2 =1,则前 3 项的和 s 3 的取值范围是 A. (??,?1] B. (??,0) ? (1,??) C. [3,??) D.D (??,?1] ? [3,??) ( )

A. ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 C. ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0
2

文 11、如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
(A) ?0,??? (B) ?0,2 ?

1 1 ? 2.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6 3.下列双曲线中离心率为 2 的是





1 (C) ? ,???

(D) ?0,1?

文 12、过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 ? 的弦 AB,则|AB|的值为
3
) (A)



x2 y 2 ? ?1 4 A. 2

x2 y 2 ? ?1 2 B. 4

x2 y 2 ? ?1 C. 4 6

x2 y 2 ? ?1 D. 4 10

8 7 3

(B)

16 3

(C)

8 3

(D)

16 7 3
2 2

2 4.已知抛物线 C : y ? x 与直线 l : y ? kx ? 1 ,“ k ? 0 ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交

11.设 x1 , x 2 ? R ,常数 a ? 0 ,定义运算“*” x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ,若 x ? 0 , : 则动点 P( x, x ? a )的轨迹是 ( )

点”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件; C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , A=30°,则 B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° 6、等差数列{an}中,a1+a2+?+a50=200,a51+a52+?+a100=2700,则 a1 等于 A.-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 7、 f ( x) ? ax 2 ? ax ? 1在 R 上满足 f ( x ) ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? ?4 C. ?4 ? a ? 0 D. ?4 ? a ? 0

A.圆 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 12.若椭圆或双曲线上存在点 P,使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2:1,则称此椭圆或双 曲线存在“F 点” ,下列曲线中存在“F 点”的是 ( )

x2 y2 ? ?1 A. 16 15

x2 y2 y2 2 x ? ?1 ? ?1 15 B. 25 24 C.

D. x ? y ? 1
2 2

二、填空题(20 分,每小题 5 分)
? x ? y ? 3 ≥ 0, ? 13、设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则目标函数 2x ? y 的最小值为 ??2 ≤ x ≤ 3, ?


x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 8.若点 P(2, 0) 到双曲线 a 的一条淅近线的距离为 2 ,则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3
用心 爱心

专心

1

x2 y 2 ?2 ? 2 ? ?1 ? 2 ?1 2 b 14.已知双曲线 a 的离心率为 2,焦点与椭圆 25 9 的焦点相同,那么双曲
线渐近线方程为

文 15、以(1,-1)为中点的抛物线 y =8x 的弦所在直线方程为
2

20.已知动点 P 到定点 。

F

?

2, 0

? 的距离与点 P 到定直线 l : x ? 2
MN
的最小值.

2 2 的距离之比为 2 .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 M 、 N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于



2 2 16、抛物线的焦点为椭圆 x ? y ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程 9 4

原点 O 对称,若 EM ? FN ? 0 ,求

?

?

x2 y 2 ? ?1 15. 双曲线 16 9 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项, 则
P 点到左焦点的距离为 .

21.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ,且 a2 ? 3...a5 ? 9 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 sn ,且

sn

? 1?

1 bn n ? N ? (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; 2

?

?

x2 y 2 ? ?1 F F F 16.椭圆 16 9 的左、右焦点分别为 1 、 2 , 过焦点 1 的直线交椭圆于 A, B 两点 ,

(2)记 cn =

2a n bn

求证:数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ? 3 。

y A

?ABF2 的内切圆的面积为 ? , A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? y1 的 若
值为

文 22、 分)如图,已知直线 l 与抛物线 y2 = x 相交 (10
p :( x ? 2)(x ? 10) ? 0 , q :[ x ? (1 ? m)][x ? (1 ? m)] ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ? q
于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,与 x 轴相交于 点 M,若 y1y2 = -1, (1)求证:M 点的坐标为(1,0) ; (2)求证:OA⊥OB; (3)求△AOB 的面积的最小值。

O B

M

x

三、解答题(70 分)
17.已知

的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。 18.已知双曲线 C 的中心在坐标原点 O ,对称轴为坐标轴,点 (?2, 0) 是它的一个焦点,并

y O P x

2 3 P( x0 , y0 ) 是双曲线 C 且离心率为 3 . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知点 M (0,1) ,设
上的点, Q 是点 P 关于原点的对称点,求 MP ? MQ 的取值范围.

22. (本题满分 12 分)如

图,抛物线的顶点 O M A

B

???? ???? ?

在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上,过点 M(0,-2)作直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,且满足 OA ? OB ? (?4, ?12) . (Ⅰ)

??? ??? ? ?

19、在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, 且 2coc( A ? B) ? 1 。 求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。

求直线 l 和抛物线的方程; (Ⅱ)当抛物线上一动点 P 从点 A 到 B 运动时,求△ABP 面积的最大值.

用心

爱心

专心

2

a 1 a a (0, ? ) | | ? | |? 4 2 ,所以△OAF 的面积为 2 4 2 轴的交点为 A ,解得 a ? ?8 . 所以抛物线方程为

陵县一中高二数学期末模拟测试题 3

参考答案
一、 1.B(全称命题的否定是特称命题,故选 B. 、

y 2 ? ? 8x ,故选 B.、 )
10.D

文 11.D 12B
(因为 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ,所以
2 2

1 1 a?2 1 1 ?0 ? ? 2.A (由 a 2 可得 2 a , 即得 a ? 2或a ? 0 , ∴“ a ? 2 ”是“ a 2 ”的充分不必
要条件, 故应选 A) 、3.B
2 4.B(当 k ? 0 时,直线 y ? 1 与抛物线 C : y ? x 只有一个交
2

理 11.D

x ? a ? ( x ? a) 2 ? ( x ? a) 2 ? 2 ax
2

,则 P( x,2 ax) ,设 P( x1 , y1 ) ,即

? x1 ? x ? ? y1 ? 2 ax

? y ? x, ? C 有两个不同交点必须 k ? 0 ;当 k ? 0 时,由 ? y ? kx ? 1. 得 点;所以直线 l 与抛物线

消去 x 得 y1 ? 4ax1 ( x1 ? 0, y1 ? 0) 故点 P 的轨迹为抛物线的一部分) 、

k 2 x2 ? ? 2k ?1? x ?1 ? 0



? ? ? 2k ? 1? ? 4k 2 ? ?4k ? 1
2

x2 y 2 ? ?1 12.D (设椭圆或双曲线上点 P 到两焦点 F 的距离分别为 m , n ,则由方程 16 15 可得
16 ? ?m ? 3 , ? ? ?m ? n ? 8, x2 y 2 ?n ? 8 , ? ? ?1 3 而由 m, n ? [3, 7]可得其不符合条件;由方程 25 24 ? ?m ? 2n 解之得 ? 可得 10 ? ?m ? 3 , ? ? ?m ? n ? 10, y2 ?n ? 20 , ? x2 ? ?1 ? 3 , 而由 m, n ? [4, 6] 可得其不符合条件;由方程 15 ? m ? 2n 解之得 ? 可

,则 ? 不一定大于零,此时直线 l

与抛物线 C 可能没有交点可能有一个交点,也可能有两个交点.所以“ k ? 0 ”是“直线 l 与抛 物线 C 有两个不同交点” 必要不充分条件.故选B.、5.B ) 6.C

7.D(设 P(x,y) ,则 Q(-x,y) ,又设 A(a,0) ,B(0,b) ,则 a?0,b?0,于是

3 ??? ? ??? ? ??? ?? ? ? ? BP =(x,y-b PA ), =( a x - ,- y ,由 BP=2PA 可得 a= 2 x,b=3y,所以 x?0,y?0 ) 3 3 2 ???? ??? ? ??? ? x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) OQ ? AB =1 可得 2 又 AB =(-a,b)=(- 2 x,3y) ,由

?m ? n ? 2, ?m ? 4, ? ? m ? 2n 解之得 ?n ? 2, ,而由 m, n ? [3,?? ) 可得其不符合条件;由方程 x2 ? y 2 ? 1 可 得? ?m ? n ? 2, ?m ? 4, ? ? ?m ? 2n 解之得 ?n ? 2, ,而由 m, n?[ 2 ?1, ??) 可得其符合条件; 故应选 得
二、 (20 分) 13.-2/3 14.

故选 D) 、8.A (设过一象限的渐近线倾斜角为 ?

? sin ? ?

2 ? ? ? 45? ? k ? 1 2

b c y ? ? x ? ?x c ? 2a, e ? ? 2 ? a ? b ,因此 a a 所以 ,选 A) 、 a a y ? 2( x ? ) ( , 0) y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 4 4 ,它与 y 9.(抛物线 B ,则直线 l 的方程为
用心 爱心

D.、 )

? ?4,0? ,

3x ? y ? 0

(据椭圆方程可得 c ? 25 ? 9 ? 4 ,又椭圆与双曲线焦点相同,故其

专心

3

?c ? ?2 ?a ? ?4,0? ,又据已知得: ?c ? 4 ,故 a ? 2, b ? c2 ? a2 ? 2 3 ,故其渐近线方程为 ? 焦点坐标为
y?? b x ? ? 3x a .、 )

x2 ? y2 ? 1 a ? 3, b2 ? c2 ? a2 ? 1 ,? 所求双曲线 C 的方程为 3 解得 ???? ???? ? Q(? x0 , ? y0 ) ,?MP ? ( x0 , y0 ?1), MQ ? (?x0 , ? y0 ?1) (Ⅱ)依题意有:
2 2 ???? ???? ? x0 x0 4 2 2 2 ???? ???? ? ? y0 ? 1 ? MP ? MQ ? ? x0 ? 2 ? y0 ? 1 2 2 ?MP ? MQ ? ?x0 ? y0 ?1 ,又 3 3 , ,由 3 可得,

文 15、 4x ? y ? 3 ? 0
, 15 . 13 ( 由 a ? 4 b ?

文 16

、 (1,0)(-1,4) ,

3得 c ? 5 设 左 焦 点 为 F1 , 右 焦 点 为 F2 , 则 ,

???? ???? ? 4 2 ? ? MP ? MQ ? ? x0 ? 2 ? ?2 ???? ???? x ? 3, MP ? MQ 的取值范围是 (??, ?2] 3 故
2 0

1 | PF2 |? (a ? c ? c ? a ) ? c ? 5 | PF1 |? 2a? | PF2 |? 8 ? 5 ? 13 ) 2 ,由双曲线的定义得: 、 8 7 ?ABF2 的内切圆的 16. 7 (如右图所示.由
面积为 ? ,可得内切圆 M 的半径为 1, y A M

19.解: (1)cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?

1 2

? C=120°

(2)由题设:

?a ? b ? 2 3 ? ? ? ab ? 2 ?

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
2

? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
O

? ?

2

? 2 ? 10
2

? AB ? 10

则 又

S?ABF2 ?

1 1 ( AB ?1 ? BF2 ?1 ? AF2 ?1) ? ? 4a ? 2a ? 8 2 2 ,

F1
B

F2

x

?x ? 2?
20 设点

? y2

P ? x, y ?

,依题意,有

x?2 2

?

2 2

x2 y 2 ? ?1 2 .整理,得 4 .

S?ABF2 ?

1 1 8 ? F1 F2 ?? y2 ? y1 ? ? 2 16 ? 9 ? y2 ? y1 ? 7 y2 ? y1 y2 ? y1 ? 7 2 2 7 ,∴ .、 )
?p 是 ? q 的 必 要 不 充 分 条 件 , 则 p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 , 由 p :

x2 y 2 ? ?1 2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 4 .

三. (70 分) 17 . 解 : 因 为

( x ? 2)(x ? 10) ? 0 可 得 ? 2 ? x ? 10 , 由 q : [ x ? (1 ? m)][x ? (1 ? m)] ? 0(m ? 0) 可 得

? ? 2, 0 ? . M ? 2 2, y ? N ? 2 2, y ? y ?y ) ∵ M 、 N 是直线 l 上的两个点,∴可设 , (不妨设 .
(2)∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称,∴点 E 的坐标为
1 2

1

2

?1 ? m ? ?2 ? 1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) ,因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 ?1 ? m ? 10 ,得 m ? 9

6 y2 ? ? ???? ??? ? ? 3 2, y1 ? 2, y2 ? 0 6 ? y1 y2 ? 0 .即 y1 . ∵ EM ?FN ? 0 ,∴ .即

?

??

?

x y ? 2 ?1 2 b 18. (Ⅰ) 解: 设双曲线方程为 a ( a ? 0, b ? 0 )半焦距为 c ,依题意得 ,

2

2

?c 2 3 ? ? ?a 3 ?c ? 2 ?

由于

y1 ? y2 ,则 y1 ? 0 , y2 ? 0 .∴

MN ? y1 ? y2 ? y1 ?

6 6 ≥2 y1 ? ?2 6 y1 y1



当且仅当

y1 ? 6 , y2 ? ? 6 时,等号成立.故 MN 的最小值为 2 6 .

用心

爱心

专心

4

21.解: (1)

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 3

2分

故直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,抛物线方程为 x ? ?2 y.
2

? an ? 2n ? 1 n ? N ?
在 sn ? 1 ?

?

?

4分

(Ⅱ)解法一:据题意,当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△APB 面积最大.

2 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 3 2 1 1 s n ?1 ? 1 ? bn ?1 , 当 n ? 2 时, s n ? 1 ? bn 2 2
两式相减得 bn ?

P( x0 , y0 ) ,因为 y? ? ? x ,由 ? x0 ? 2 ? x0 ? ?2 , 设点
n ?1

1 y0 ? ? x0 2 ? ?2 2 ,所以 P(?2, ?2).

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? 2 2 bn ?1 3

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

?

2 n? N? . n 3

?

?

d?
此时,点 P 到直线 l 的距离

2 ? (?2) ? (?2) ? 2 2 ? (?1)
2 2

?

4 4 5 ? 5 5



(2)

cn ?

2an ? (2n ? 1) ? 3n , bn

? y ? 2x ? 2 ? 2 x ? ?2 y ,得 x2 ? 4 x ? 4 ? 0 . 由?
所以

Tn ? 1? 31 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n , 3Tn ? 1? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? (2n ? 3) ? 3 ? (2n ? 1) ? 3
2 3 4 n n?1

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? 22 (?4) 2 ? 4(?4) ? 4 10



,

1 1 4 5 ? | AB | ?d ? ? 4 10 ? ?8 2 2 5 故△ABP 面积的最大值为 2 .

? 2Tn ? 3 ? 2(3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? (2n ? 1) ? 3
2 3 n

n?1

9(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n?1 =3? 2? 1? 3
? n ? N ? ? Tn ? 3

? y ? 2x ? 2 ? 2 x ? ?2 y 得, x2 ? 4 x ? 4 ? 0 . 解法二:由 ?
所以

?Tn ? 3 ? 3n?1 ? (n ? 1)

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? 22 (?4) 2 ? 4(?4) ? 4 10



22.解: (Ⅰ)据题意可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) .
2

? y ? kx ? 2 ? 2 2 x ? ?2 py 由? 得,x ? 2 pkx ? 4 p ? 0 .

1 P(t , ? t 2 ) (?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2) ,点 P 到直线 l 的距离 d . ) 2 设点

2 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2 pk, y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?2 pk ? 4 . 设点

d?


1 2t ? t 2 ? 2 2 2 ? (?1)
2 2

?

(t ? 2)2 ? 8 2 5

(?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2)

4 5 , t ? ?2 时,d max= 5 , 当

所以

??? ??? ? ? OA ? OB ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?2 pk , ?2 pk 2 ? 4 ?



1 1 4 5 ? | AB | ?d ? ? 4 10 ? ?8 2 2 5 此时点 P(?2, ?2) . 故△ABP 面积的最大值为 2 .

??2 pk ? ?4 ?p ?1 ??? ??? ? ? ? ? 2 ?2 pk ? 4 ? ?12 k ? 2. 因为 OA ? OB ? (?4, ?12) ,所以 ? ,解得 ?

文 22、解: (1)

设 M 点的坐标为(x0,0) ,直线 l 方程为 x = my + x0, ① y1、y2 是此方程的两根,

代入 y2 = x 得 y2-my-x0 = 0

∴ x0 =-y1y2 =1,即 M 点的坐标为(1, 0)
用心 爱心 专心 5

(2) ∵ y1y2 =-1 ∴ x1x2 + y1y2 = y12y22 +y1y2 =y1y2 (y1y2 +1) = 0 (3)由方程①,y1+y2 = m , 且 | OM | = x0 =1, 于是 S△AOB = y1y2 =-1, ∴ OA⊥OB

1 1 1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = m 2 ? 4 ≥1, | OM | |y1-y2| = 2 2 2

∴ 当 m = 0 时,△AOB 的面积取最小值 1。

用心

爱心

专心

6



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