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等差数列前N项和的公式




复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=(an-am)/(n-m) (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
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问题呈现

问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图 案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

下一页

问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10

岁时曾很快求出它的结果。(你知道应如何算吗?)
假设1+2+3+
那么100+99+98+

+100=x,
+1=x.

(1)
(2) +101=2x,

由(1)+(2)得101+101+101+

所以

100个101 2 x ? 101?100, x=5050.

高斯

这个问题,可看成是求等差数列 1,2, 3,…,n,…的前100项的和。 下一页

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
这是求奇数个项和的问题 , 不能简单模仿偶数个项求和的 办法,需要把中间项 11 看成首、 尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识:高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法?
下一页

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
借助几何图形之 直观性,使用熟悉的 几何方法:把“全等 三角形”倒置,与原 图补成平行四边形。
下一页

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
2 1 21 20 19

3

获得算法:

(1 ? 21) ? 21 s21 ? 2
21 1

下一页

问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +

? 2 S ? n( n ? 1), n( n ? 1) ?S ? 2
下一页

下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

由(1)+(2) 得 即

Sn=n(a1+an)/2

2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
下一页

由此得到等差数列的{an}前n项和的公式

Sn

n( a1 ? an ) ? 2

即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。

由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

公式共涉及到5个量:a1 , d , n, an , Sn .已知其中3个可求另2个

正所谓:知三求二

下一页

(1) 1+2+3+…+n= (2) 1+3+5+…+(2n-1)= (3)2+4+6…+2n=

Sn = n(n+1)/2 Sn = n2

Sn= n(n+1)

上面习题的答案在以后会经常用到。

1.将等差数列前n项和公式

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点? d d

Sn ?

d d 则 S =An2+Bn n 令 A ? , B ? a1 ? 2 2

n ? (a1 ? )n 2 2
2

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

㈡【说明】

①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ;

②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ; 2+bn S = an ③{an}为等差数列? n ,这 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” ( 注意 a 还可以是 0)

例1

如图,一个堆放铅笔的 V形 架的最下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层多一支, 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔?

解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅
笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记 为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式,得

120 ? (1 ? 120) S120 ? ? 7 260 2

答:V形架上共放着 7 260支铅笔。

例2:在等差数列{an}中,
(1)a3= -2,a8=12,求S10
(2)a1=14.5,d=0.7,an=32,求Sn

解:(1)?a1+a10 = a3+a8 = 10 (a1 ? a10 ) ?10 10 ?10 S10 ? ? ? 50 2 2 (2)由等差数列的通项公式,得

14.5+(n ? 1) ? 0.7=32 ? n=26

? S 26

(14.5 ? 32) ? 26 ? ? 604 .5 2

例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和? 分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式

解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 × 18=144 答:前16项的和为144。
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当

知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.

已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?

例4 等差数列-10,-6,-2,
2,…前多少项的和是54? 本题实质是反用公式,解一 个关于n 的一元二次函数,注 意得到的项数n 必须是正整数.
下一页

解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列
的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4

n( n - 1) d 根据等差数列前n项和公式: sn = na1 + 2 n(n ? 1) ? 4 ? 54 得 ? 10 n ? 2
整理后, 得n2 - 6n - 27 = 0
解得 n1=9, n2=-3(舍去)

设该数列前n 项和为54

因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和 是54. 下一页

巩固练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20

? a6+a9+a12+a15=192, a6+a15=a9+a12= a1+a20

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 10 ? 96 ? 960 ? a1+a20=96 S 20 ? 2 2、凸 n 边形各内角成等差数列,公差为 10? ,最小 内角为 100? ,则n等于( B )
(A)7 (B)8 (C)9 ( D) 8 或 9

n(n ? 1)10 由题意,得 :100 n ? ? (n ? 2)180 2 解得 n=8 或 n=9(舍)

3.一个项数为36的数列的前四项和是21,后四
项和是67,求这个数列的和。

21 ? 67 解: a1 ? an ? ? 22 4
36 ? 22 Sn ? ? 396 2

4 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}
的元素个数, 并求这些元素的和.
2 解: 由7n<100得 n<100/7, ? n ? 14 . 7

由于满足它的正整数n共有14个, ∴集合M中的元素共有14个. 即
7, 14, 21, … , 91, 98.

这是一个等差数列, 各项的和是
14 ? (7 ? 98) S14 ? 2

=735

返回

答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.

小 结
等差数列的前n项和公式:
n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2

n(n ? 1) n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d ? nan ? d 2 2

熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵 活运用解决相关问题.

返回

2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d 性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 a n 此时有:S偶-S奇= nd , ?

S偶

an ? 1

性质2:(2)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

Sn 性质3: { } 为等差数列. n

S n 奇 此时有:S奇-S偶= an , ? S偶 n ? 1

两等差数列前n项和与通项的关系

性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n?1

3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)

A.63

B.45

C.36

D.27

例2:已知等差数列{an }中,共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。

解: ? 该等差数列的项数为10项, 1 ? S偶 ? S奇 =n ? d即15-12.5=5 ? d,解得d ? 2 又 ? S偶 ? S奇 1 10 ? 9 ? 2 ? S10即15 ? 12.5 ? 10a1 ? 2

1 解得a1 ? 2 1 1 ? a1 ? , d ? 2 2

例3:已知等差数列{an }中,共有2n-1项,S奇 =290, S偶 =261. 求项数与中间项。

解: ? 该等差数列的项数为2n ? 1项, ? S奇 ? S偶 ? a中即 290 ? 261 ? a中 ,? a中 ? 29 S奇 n 290 n 又? ? 即 ? , 解得n ? 10 S偶 n ? 1 261 n ? 1 ? 项数为2 ?10 ? 1 ? 19

课堂练习:已知等差数列{an }中,共有2n+1项,S奇 =51, S偶 =42.5, a1 ? 1, 求项数及通项公式。

2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=(A ) A.85 B.145 C.110 D.90

3.一个等差数列的前12项的和为354,其 中项数为偶数的项的和与项数为奇数的 5 项的和之比为32:27,则公差为 .

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分

Sn 7 n ? 1 别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27
a5 an 求 和 . a5 64 ? b5 bn b5 63 an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例5.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= 10 . 例6.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= .

153

练习:已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负?
(2)求S10

(3)求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

等差数列前n项和的性质5

已知等差数列的前n项和Sn,如何求a n ? 利用Sn与a n的关系: ? S1 , n ? 1 an = ? ? Sn ? S n ?1 , n ? 2

例 题 讲 解 1 2 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn ? n ? n, 求这个数列 2 的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是,它的 首项与公差分别是什么?

解:Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an
2

1 1 1 2 a n ? s n ? s n?1 ? n ? n ? [( n ? 1) ? (n ? 1)] ? 2n ? 当n >1时: 2 2 2 1 3 ① 2 当n=1时:a1 ? s1 ? 1 ? ? 1 ? 也满足①式. 2 2 1 ? 数列{an }的通项公式为an ? 2n ? . 3 2 由此可知:数列{an}是以 为首项,公差为2的等差数列. 2

Sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 (n ? 1)

变 式 训 练
1 2 ? n ? n ?1, 求这个数列 2

已知数列{an}的前n项和为Sn
当n >1时:

的通项公式.
1 1 1 2 an ? sn ? sn?1 ? n ? n ? 1 ? [( n ? 1) ? (n ? 1) ? 1] ? 2n ? 2 2 2 ① 1 5 2 当n=1时:a1 ? s1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 不满足①式. 2 ?5 2
2

? 2 ?数列{an}的通项公式为:an ? ? ? ?2n ? 1 ? 2 ? 点评:

(n ? 1)

(n ? 1)

(n ? 1) ?S1 已知前n项和Sn , 可求出通项公式:an ? ? ?Sn ? Sn?1 (n ? 1)

分 类 讨 论 思 想

例: 若数列{an}的前n项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。 巩固练习
1.已知数列{an }的前项和Sn =2n -23n, (1)求其通项公式a n; (2)求Sn的最值。
2

sn

sn ? na1 ? n 2

?n ?1?

2 d d?2n ?

?a1 ? d2 ?n
n
a1<0, d>0,最小值 sn

观察上面的式子,我们可以看出它是 关于n 的二次函数,从而等差数列的前n 项和可以写成形如:
2

sn ? an ? bn, (其中公差为2a)
a1<0,d>0 最大值 最小值 无 有 a1>0, d<0 有 无

将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:

n

a1>0,d<0,最大值

等差数列的前n项的最值问题

例6:已知数列{an}是等差数列,且 a1= 21,公差d=-2,求这个数列的前 n项和Sn的最大值。

等差数列的前n项的最值问题 例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2
1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.

Sn

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? ? an ? 0 ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n ?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0

∴当n=7时,Sn取最大值49.

例7的变式题一:等差数列{an}中, 首项a1>0,S3 = S11,问:这个数列 的前几项的和最大?
解1: 3a ? 3d ? 11a ? 55d
13 8a ? ?52 d ? a ? ? d ? 0 ? d ? 0 2 2 n ? 14n n?n ? 1? d S n ? na1 ? d? 2 2

例7的变式题二:等差数列{an}的首 项a1> 0, 前n项和为Sn,Sm= Sl ,问: n 为何值时,Sn最大?

变式3设等差数列 ?an ? 的前n项和为 s n 已知 a3 ? 24, s11 ? 0 求: ①数列 ?an ?的通项公式

s n 最大, ②当n为何值时,

例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明 理由. a1+2d=12 24 ? ? d ? ? 3 12 a +6 × 11 d >0 解:(1)由已知得 1 7 13a1+13×6d<0

? a6 ? 0 ?a6 ? a7 ? 0 ?? ?2?S12 ? 0, S13 ? 0 ? ? ?a7 ? a7 ? 0 ? a7 ? 0

? S6最大

1 法2 ∵ Sn ? na1 ? n(n ? 1)d 2 1 ? n(12 ? 2d ) ? n( n ? 1)d 2

2 d 24 ? d ? ?3 ∴Sn有最大值. 由(1)知 ? 7 5 12 13 13 由上得 6 ? ? 即6 ? n ? ? 2 d 2 2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.

d 2 5d ? n ? (12 ? )n 2 2 5 12 ∴Sn图象的对称轴为 n ? ?

例9:已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负?
(2)求S10

(3)求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

1.?an ?等差数列, S3 ? S8 , 则使取得最值的 n ??

Sn

2.?an ?等差数列,S10 ? 0, S11 ? 0, 则使an ? 0 的n的最小值是?

3.?an ?等差数列,a10 ? 0, a11 ? 0, 且a11 ? a10 , 则?

?

? A?S1,S 2,? S10都小于0.5,S11,S 12,?都大于0 ?B ?S1,S 2,? S19都小于0,S 20,S 21, ?都大于0 ?C ?S1,S 2, ? S5都小于0,S 6,S 7, ?都大于0 ?D ?S1,S 2,? S 20都大于0,S 21,S 22,, ?都小于0

4:已知数列{an}的通项为an=262n,要使此数列的前n项和最大, 则n的值为( C ) A.12 D.14 B.13 C.12或13

5. 设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1则通项 an=
n ( n ? 1) ?1 . 2

解析: 由题意得当n≥2时,

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 )
(n ? 1)(2 ? n) ? 2 ? (2 ? 3 ? ? ? n) ? 2 ? 2 n(n ? 1) 1? (1 ? 1) ? ? 1. 又a1 ? 2 ? ? 1, 2 2

符合上式,因此

n(n ? 1) an ? ? 1. 2

求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn ? n ? (a1 ? )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.

小结方法:
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法

2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想

3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个 -------知三求二 下一页



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