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2014年北京市高三二模分类汇编04函数与导数(理科)



2014 年北京市各区高三二模试题汇编—解析几何(理科)
1.(2014 东城二模) (13)若直线 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A , B 两点, 且 A , B 两点在抛物线的准线上的射影分别是 M , N ,若 BN ? 2 AM ,则 k 的值 是.

2 2 3

x

2 y 2 2.(2014 西城二模)3.直线 y ? 2 x 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则 a b
双曲线 C 的离心率是( (A) 5 )

(B)

5 2
2

(C) 3

(D)

3 2

y ? 4 x 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点, 3. (2014 西城二模)13. 设抛物线 C:
N (2, 2) ,则 | MF | ? | MN | 的取值范围是. [3, +?)

y2 4. (2014 朝阳二模) (6) 若双曲线 x ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1至 b
2

多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是 (A) (1, 2] (B) [2, ??) (C) (1, 3] (D) [ 3, ??)

5. (2014 海淀二模). 10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线为 y ? 2 x ,则双曲线的离心 a 2 b2

率为________. 5 6.(2014 丰台二模) (7)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物线 C 在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则

| AF | 的值等于 | BF |

(A)2(B)3(C)4(D)5

7.(2014 昌平二模) (12)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F (2, 0) ,则 p ? ________,
2

过点 A(3, 2) 向其准线作垂线,记与抛物线的交点为 E ,则 EF ? _____. 4 ;

5 2

8.(2014 顺义二模)7.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1( a ? 0 ),与抛物线 y 2 ? 4x 的准线交 2 a

于 A, B 两点, O 为坐标原点,若 AOB 的面积等于 1 ,则 a ?
2 2
1 2

A. 2

B. 1 C.

D.

9.(2014 东城二模) (19) (本小题共 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 . ? 2 ? 1 的一个焦点为 F (2, 0) ,且离心率为 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 l 过点 F ,且与椭圆交于 A, B 两点, P 为直线 x ? 3 上的一点,若 △ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程.

10.(2014 西城二模)19. (本小题满分 14 分)
2 2 设 A, B 是椭圆 W : x ? y ? 1 上不关于坐标轴对称的两个点,直线 AB 交 x 轴于点 M 4 3

(与点 A, B 不重合) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)设 N 为 x 轴上一点,且 OM ? ON ? 4 ,直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C,证 明:点 B 与点 C 关于 x 轴对称.

11.(2014 朝阳二模) (19) (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 为1 . (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程;

1 ,右焦点到右顶点的距离 2

(Ⅱ ) 是 否 存 在 与 椭 圆 C 交 于 A, B 两 点 的 直 线 l : y ? kx ? m(k ? R) , 使 得

OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,
请说明理由.

12.(2014 海淀二模)19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的离心率为

2 ,其短轴两端点为 A(0,1), B(0, ?1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 AC , BD 与 x 轴分别交于点 M , N .判断以 MN 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由.

13(2014 丰台二模) (19) (本小题满分 13 分)

已知椭圆 E: 点.

x2 y2 ? ? 1 与直线 l : y ? kx ? m 交于 A,B 两点,O 为坐标原 8 4

(Ⅰ)若直线 l 椭圆的左焦点,且 k=1,求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 OA ? OB ,且直线 l 与圆 O: x 2 ? y 2 ? r 2 相切,求圆 O 的半径 r 的值. 14(2014 昌平二模)(19)(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 点 B( 0 , 3) 为短轴的一个端 a 2 b2

点, ?OF2 B ? 60? . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 如图, 过右焦点 F2 , 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 椭圆 C 相交于 E , F 两点, A 为椭圆的右顶点,直线

AE, AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点
为 P ,记直线 PF2 的斜率为 k ' . 求证: k ? k ' 为定值.

15.(2014 顺义二模)19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m ( m ? 0 )与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直 平分线交 x 轴于点 T ,当 m 变化时,求 TAB 面积的最大值.
2 . 2

2014 年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科)答案
1~8 略

9.解(Ⅰ)依题意有 c ? 2 ,

c 6 . ? a 3

可得 a 2 ? 6 , b2 ? 2 .

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………5分 6 2

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6
消去并整理得 (3k 2 ? 1) x2 ?12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

12k 2 12k 2 ? 6 故 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

?

2 6(k 2 ? 1) . 3k 2 ? 1

设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) .

6k 2 2k 可得 x0 ? 2 , y0 ? ? 2 . 3k ? 1 3k ? 1
直线 MP 的斜率为 ? 所以 MP ? 1 ?

1 ,又 xP ? 3 , k

1 k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) . ? x ? x ? ? 0 P k2 k 2 (3k 2 ? 1)

当△ ABP 为正三角形时, MP ?

3 AB , 2

可得

k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) 3 2 6(k 2 ? 1) , ? ? ? k 2 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

解得 k ? ?1 . 即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 .………………………………13 分

10. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:椭圆 W 的右焦点为 M (1, 0) ,……………… 1 分 因为线段 MB 的中点在 y 轴上, 所以点 B 的横坐标为 ?1 , 因为点 B 在椭圆 W 上, 将 x ? ?1 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为 ( ?1, ? ) .……………… 3 分 所以直线 AB (即 MB )的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .…………… 5 分 (Ⅱ)证明:设点 B 关于 x 轴的对称点为 B1 (在椭圆 W 上) , 要证点 B 与点 C 关于 x 轴对称, 只要证点 B1 与点 C 重合,. 又因为直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C(与点 A 不重合) , 所以只要证明点 A , N , B1 三点共线.……………… 7 分 以下给出证明: 由 题 意 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? m(k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 . B1 ( x2 ,? y2 ) 由 ?

3 2

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? y ? kx ? m,
2 2 2

得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 , 分 所以 ? ? (8km) ? 4(3 ? 4k )(4m ?12) ? 0 ,
2 2 2

……………… 9

x1 ? x2 ? ?

4m 2 ? 12 8km x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
m , 0) , k

……………… 10 分

在 y ? kx ? m 中,令 y ? 0 ,得点 M 的坐标为 ( ? 由 OM ? ON ? 4 ,得点 N 的坐标为 ( ? 分

4k , 0) , m

……………… 11

设直线 NA , NB1 的斜率分别为 k NA , k NB1 ,

4k 4k x2 y1 ? y1 ? ? x1 y2 ? y2 ? y1 ? y2 m m , 则 k NA ? k NB1 ? ………12 分 ? ? 4k 4k 4k 4k x1 ? x2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) m m m m 4k 4k ? x y1 ?2 y ? 2 因为 x2 y 1? y ? 1 m m 4k 4k ? x2 (kx1 ? m) ? (kx1 ? m) ? ? x1 (kx2 ? m) ? (kx2 ? m) ? m m
? 2kx1 x2 ? (m ? 4k 2 )( x1 ? x2 ) ? 8k m

? 2k ? (

4m2 ? 12 4k 2 8km ) ? ( m ? )(? ) ? 8k 2 3 ? 4k m 3 ? 4k 2 8m2 k ? 24k ? 8m2 k ? 32k 3 ? 24k ? 32k 3 3 ? 4k 2
……………… 13 分

?

? 0,
所以 kNA ? kNB1 ? 0 , 所以点 A , N , B1 三点共线, 即点 B 与点 C 关于 x 轴对称.……………… 14 分

11. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 依题意 e ?

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . a 2 b2

c 1 ? ,由右焦点到右顶点的距离为1 ,得 a ? c ? 1 . a 2 解得 c ? 1 , a ? 2 .

2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 .

所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……………4 分

(Ⅱ)解:存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?4

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

4m 2 ? 12 8km x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
若 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立, 即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB ,等价于 OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
2 2

x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
(1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,
4m2 ? 12 8km (1 ? k ) ? ? km ? ? m2 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

化简得, 7m2 ? 12 ? 12k 2 .

7 7 2 m ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 , 12 12 3 2 解得, m ? . 4 12 2 2 2 又由 7m ? 12 ? 12k ? 12 , m ? , 7 2 12 2 2 21 或 m ? ? 21 . 从而 m ? ,m ? 7 7 7 2 2 21] [ 21, ??) . 所以实数 m 的取值范围是 (??, ? ……………14 分 7 7
2 将k ?

12.解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 G 的方程为: 由e ?

x2 y2 ? ? 1( a ? 1) .-------------------------------1 分 a2 1

a2 ? 1 1 2 ? ,-----------------------------------------------------2 分 ,可得 e 2 ? a2 2 2 解得 a 2 ? 2 , ----------------------------------------------3 分 2 2 x y ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为 ------------------------------------------4 分 2 1 (Ⅱ)法一:

设 C ( x0 , y0 ), 且 x0 ? 0 ,则 D(? x0 , y0 ) . 因为 A(0,1), B(0, ?1) , 所以直线 AC 的方程为 y ?

----------------------------------------5 分

y0 ? 1 x ?1. x0

----------------------------------------6 分

令 y ? 0 ,得 xM ?

? x0 ? x0 ,0) . ------------------------------------7 分 ,所以 M ( y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 ? x0 x ? 1 ,求得 N ( ,0) .-----------------------8 分 y0 ? 1 ? x0
-----------------------------------------9 分

同理直线 BD 的方程为 y ?

x ? x0 AM ? ( 0 , ?1), AN ? ( , ?1), 1 ? y0 1 ? y0
所以 AM ? AN ?

? x0 2 ?1 , 1 ? y0 2

--------------------------------------10 分

由 C ( x0 , y0 ) 在椭圆 G : 所以 AM ? AN ? ?1 ? 0 ,

x2 ? y 2 ? 1 上,所以 x0 2 ? 2(1 ? y0 2 ) ,-------------------11 分 2
-----------------------------13 分

所以 ?MAN ? 90 , 所以,以线段 MN 为直径的圆不过点 A . ------------------------------14 分 法二:因为 C , D 关于 y 轴对称,且 B 在 y 轴上 所以 ?CBA ? ?DBA . ------------------------------------------5 分 N 因为 在 x 轴上,又 A(0,1), B(0, ?1) 关于 x 轴对称 所以 ?NAB ? ?NBA ? ?CBA , 所以 BC / / AN , 所以 ?NAC ? 180 ? ?ACB , 设 C ( x0 , y0 ), 且 x0 ? 0 ,则 x0 2 ? 2(1 ? y0 2 ) . ------------------------------------------6 分 -------------------------------------------7 分 ------------------------------------------8 分 ----------------------------------------9 分

因为 CA ? CB ? ( x0 , y0 ? 1)( x0 , y0 ? 1) ? x02 ? ( y02 ? 1) ? 所以 ?ACB ? 90 , 所以 ?NAC ? 90 , 所以,以线段 MN 为直径的圆不过点 A .

3 2 x0 ? 0 ,----------------11 分 2

-----------------------------------12 分 ----------------------------------13 分 -------------------------------14 分

法三:设直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 ,则 M (? ,0) , ---------------------------------5 分

1 k

? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 化简得到 x2 ? 2(kx ? 1)2 ? 2 ? 0 , ? y ? kx ? 1, ?

所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 所以 y2 ? kx2 ? 1 ? k

?4k , -----------------------------6 分 2k 2 ? 1

?4k ?2k 2 ? 1 ? 1 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ?4 k ?2 k 2 ? 1 , ), 所以 C ( 2 ----------------------------7 分 2k ? 1 2k 2 ? 1 4k ?2 k 2 ? 1 , ) .----------------------------8 分 因为 C , D 关于 y 轴对称,所以 D ( 2 2k ? 1 2k 2 ? 1

?2k 2 ? 1 ?1 2 1 x ? 1 ,即 y ? 所以直线 BD 的方程为 y ? 2k ? 1 x ? 1 .------------------10 分 4k 2k 2k 2 ? 1 令 y ? 0 ,得到 x ? 2k ,所以 N (2k ,0) . --------------------11 分

1 ----------------------12 分 AM ? AN ? (? , ?1) ? (2k , ?1) ? ?1 ? 0 , k 所以 ?MAN ? 90 , ----------------------------------13 分 MN 所以,以线段 为直径的圆恒过 (0, 2) 和 (0, ?2) 两点. --------------------------14 分
{法 4 :转化为文科题做,考查向量 AC ? AN 的取值}

13 解: (Ⅰ)椭圆 E 的左焦点为(-2,0) ,所以直线 l 为:y=x+2.
? y ? x ? 2, 8 2 ? 2 解得 A(? , ? ), B(0, 2) , ?x y2 3 3 ? 1, ? ? 4 ?8

所以 S ?AOB ? (Ⅱ)

1 8 8 ?2? ? . 2 3 3

-----------------5 分

? y ? kx ? m, ? 2 消去 y 并整理得: (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 . ?x y2 ? 1, ? ? 4 ?8

? ? 16k 2m2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 8)
? 64k 2 ? 8m2 ? 32 ? 0 .

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

?4km ? x1 ? x2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 所以 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 , 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ,

? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
? m 2 ? 8k 2 . 2k 2 ? 1

因为 OA ? OB
128k 2 ? 32 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 3m ? 8k ? 8 ,此时 ? ? ?0. 3
2 2

由题意 r ?

m k ?1
2

?

m 3 2 m 8

?

2 6 . 3

14(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由条件可知 a ? 2, b ? 3 , …………2 分

x2 y2 ? ? 1. 故所求椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)设过点 F2 (1,0) 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) .

…………4 分

…………5 分

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 …………6 分 ?1 ? ? 3 ?4
因为点 F2 (1,0) 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即 ? ? 0 恒成立. 设点 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x 2 ?

4k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

…………8 分

因为直线 AE 的方程为: y ?

y1 ( x ? 2) , x1 ? 2 y2 ( x ? 2) , x2 ? 2
………9 分

直线 AF 的方程为: y ?

令 x ? 3 ,可得 M (3,

y1 y ) , N (3, 2 ) , x1 ? 2 x2 ? 2

所以点 P 的坐标 (3, (

y 1 y1 ? 2 )) . 2 x1 ? 2 x2 ? 2

………10 分

y 1 y1 ( ? 2 )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 3 ?1
y 1 y ? ( 1 ? 2 ) 4 x1 ? 2 x2 ? 2
? 1 x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
…………12 分

1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

1 ? ? 4
??
9 所以 k ? k ? 为定值 ?

2k ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 12 8k 2 ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 3 4k ? 3

3 4k
…………13 分

3 . 4

15. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知椭圆的焦点在 x 轴上, c ? 1 , ?
? a ? 2 , b ? 1 ,———2 分 ? 椭圆 E 的方程为
x2 ? y 2 ? 1———4 分 2
c a 2 , 2

?y ? x ? m (Ⅱ) ? ,消去 y 得 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 ? x2 2 ? ? y ?1 ?2

直线 l 与椭圆有两个交点,? ? 0 ,可得 m2 ? 3 (*)———6 分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
? x1 ? x2 ? ?
2m 2 ? 2 4m 2 2 , x1 x2 ? ,弦长 | AB |? 6 ? 2m2 ,———8 分 3 3 3

2m m AB 中点 M (? , ) , 设 T ( x, 0) ,? k AB ? kMT ? ?1 ,? 3 3 m m ? T (? , 0) , 3 3

m 3 ?1 ? ?1 , 2m ? ?x 3

?x??

| TM |?

2 | m| ———11 分 3

?S ?

1 2 2 3 9 | AB || MT |? (6 ? 2m2 )m2 ? ?2(m2 ? )2 ? 2 9 9 2 2
3 2 时, Smax ? ,——14 分 2 3

m2 ? 3 ,? m2 ?

(或: S ? | AB || MT |?
(

1 2

2 2 (6 ? 2m2 ) ? 2m2 (6 ? 2m2 )m2 ? 9 9 2

?

2 9

6 ? 2m 2 ? 2m 2 2 ) 2 3 2 2 . ? ? ? 2 9 2 3
3 2 时成立, Smax ? .(用其它解法相应给分) 2 3

" ? " 当且仅当 m2 ?



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