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柱坐标系与球坐标系


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空间直角坐标系下一点的坐标表示:
z
Px , y , z) P(

o x Q (x,y)

y

1.柱坐标系

思考:在鸟巢体育场内,如何确 定看台上某个座位的位置?

柱坐标系

建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z) 是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为 Q,Q点的极坐标为(ρ,θ ),则P的位置可用 有序数组(ρ,θ, z)表示, (ρ,θ, z)叫做点P的 z 柱坐标. P(ρ,θ, x , yz ,)z)
o x θ

y Q (ρ,θ)

柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标

? x=ρcosθ ? ? y=ρsinθ ? z=z ?

柱坐标与空间直角坐标的互化
(2)直角坐标转化为柱坐标

?? ? x ? y ? y ? ? tan ? ? ??( x ? 0) x ? z ? z ? ?
2 2 2

练习

1.设P点的柱坐标为 (2, , 7) , 6 求它的直角坐标.

?

( 3,1, 7)
4? (2, , 3) 3

2.设M点的直角坐标为 (?1, ? 3,3) 求它的柱坐标.

思考:

点P的柱坐标为(ρ,θ, z),
圆柱面 (1)当ρ为常数时,点P的轨迹是____ 半平面 (2)当θ为常数时,点P的轨迹是___

(3)当z为常数时,
平面 点P的轨迹是_____

z

P(ρ,θ, z)

o x θ
Q

y (ρ,θ)

小结
1.柱坐标系学习目标:

(1)理解柱坐标三个分量的几何意义;
(2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.

2.柱坐标与空间直角坐标的互化

(1)柱坐标转化为直角坐标

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? ?z ? z ?
?? ? x ? y ? y ? ? tan ? ? x ? z ? z ? ?
2 2 2

(2)直角坐标转化为柱坐标

2.球坐标系

思考:

新乡市的经纬度: 北纬35.31°,东经113.85°.

地球的纬度

地球的纬度与经度:

球坐标系

建立空间直角坐标系Oxyz.设 P(x,y,z)是空间任意一点,记 |OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为j. 点P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按 逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小 正角为θ.则P的位置可用有序数组(r, j?,?)表示, (r, j ,?)叫做点P的球坐标.

球坐标系

z

P(r, j ,?)

j
P(r, j ,?)

r
o θ x Q

y

r?0
0 ?j ??
0 ? ? ? 2?

将球坐标转化为直角坐标:

z
P(r, j ,?)

? x ? r sin j cos ? ? ? y ? r sin j sin ? ? z ? r cos j ?
r?0 0 ?j ??
0 ? ? ? 2?
x

j r
o θ Q

y

练习

3? 3? , ), 1.设Q点的球坐标为 (2, 4 4

求它的直角坐标.

(?1,1, ? 2)

练习

2.设M点的直角坐标为 (?1, ?1, 2), 那么它的球坐标是

A.(2,

? ?
4 4 ,

)

B.(2,

? 5?
4 , 4

)

5? ? C.(2, , ) 4 4

3? ? D.(2, , ) 4 4

思考:

点P的球坐标为(r, j ,?) ,
(1)当r为常数时,点P的轨迹是____ (2)当
圆锥面或平面 j为常数时,点P的轨迹是____ 球面

(3)当?为常数时,
半平面 点P的轨迹是___

z

P(r, j ,?)

j r
o θ
x Q

y

小结
1.球坐标系学习目标:

(1)理解球坐标三个分量的几何意义;
(2)能够将球坐标转化为直角坐标. 2.将球坐标转化为直角坐标:

? x ? r sin j cos ? ? ? y ? r sin j sin ? ? z ? r cos j ?


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