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3.2.1 常见函数的导数


高中数学 选修1-1

姓名:吴卫东

邵艳

郭红梅

潘翠萍

单位:江苏省泰兴中学

回 顾

根据导数的概念,求函数导数的过 程可以用下面的流程图来表示

给定函数y ? f(x)
?y f(x ? ?x) ? f(x) 计算 ? ?x ?x

?x ? 0
?y ? A( x) ?x

f ?( x) ? A( x)

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

y ? y0 ? f ?( x0 ) ? ( x ? x0 )

函数导函数
  由函数f ( x)在x ? x0处的导数的求解过程可以看到, 当x ? x0时,f ?( x)是一个确定的数,那么当x变化时,f ?( x) 便是x的一个函数,我们叫它为f ( x)的导函数,即?x ? 0 ?y 时, ? f ?( x). ?x
在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

f ( x) ? 3x 2
f(x)在x=x0处的导数

关系
'

f(x)的导函数

f ' ( x0 ) ? 6x0

f ( x) ? 6 x

x=x0时的函数值

知识探究

用导数的定义求下列各函数的导数:

(1)f(x)=kx+b(k,b为常数) (2)f(x)=C(C为常数) (3)f(x)=x (4)f(x)=x2 (5)f(x)=x3 1 (6)f(x)= (7)f(x)= x x
?y f ( x+?x)-f ( x) 解析:(1) = ?x ?x k ( x+?x)+b-(kx+b) = =k ?x
?y ? k ,即f ?(x)=k ∴当Δx→0时, ?x

(7)解: ?y ?

x ? ?x ? x , x ? ?x ? x ? ?x 1 x ? ?x ? x

?y ? ?x

?y 1 1 ? ?x ? 0时, ? ,即f ?( x) ? ?x 2 x 2 x
由上面的结果,你能发现什么规律?

建构数学
几个常用函数的导数 (1)(kx+b) ? =k(k,b为常数) (2)C ? =0(C为常数) (3)(x)?=1 (4)(x2)?=x 1 1 3 2 (5)(x )?=x (6)( )?=- 2 x x 1 (7 ) ( x ) ? = 2 x

思考:由(3)~(7),你能发现什么规律?

基本初等函数求导公式:
(1)(xα)?= αxα-1(α为常数) (2)(ax)?=axlna(a>0,且a≠1)
1 1 (3)(logax)?= x logae= x ln a(a>0,且a≠1)

(4)(ex)?=ex (6)(sinx)?=cosx

1 (5)(lnx)?= x

(7)(cosx)?=-sinx

数学运用
例1 利用求导公式求下列函数导数.
?5

(1) y ? x ;
3 (5) y ? log 3 x; (3) y ? sin

(2) y ? x x x ;

?



(4) y ? 4 ;
x

(6) y ? sin(

?
2

? x);

(7) y ? cos(2π ? x).

1 例2 若直线y ? ? x ? b为函数y ? 图象 x 的切线,求b及切点坐标.

点评: 求切线问题的基本步骤: 找切点—求导数—得斜率.

变式1:求曲线y ? x 2在点?1,1?处的切线方程.

变式2:求曲线y ? x 过点?0,-1?处的切线方程.
2

点评:求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的.

变式3:已知直线l : y ? x ? 1,点P为曲线y ? x 2 上任意一点,求P在什么位置时到直线l的距离 最短.

练习
1.见课本P82练习第3,5题. 2.见课本P84习题3.2第4(1)题. 3.见课本P85第12题(2).

回顾小结
(1)求函数导数的方法.

(2)掌握几个常见函数的导数和基本初 等函数的导数公式.

课外作业
1.课本P84习题3.2第2题.

2.补充:
4 (1)在曲线y ? 2 上求一点P,使得曲线 x 在该点处的切线的倾斜角为135?. (2)当常数k 为何值时,直线y ? x才能与 函数y ? x ? k 相切?并求出切点.
2


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