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北京市海淀区2013-2014高二数学文期末练习



海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(文科)
2014.01

学校

班级

姓名

成绩

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) 抛物线 y 2 ? 2 x

的准线方程是 (A) y = ( (C) x = )

1 2

(B) y = - 1

1 2

(D) x = - 1 ( (D) 2 ( (D) 3 ) )

(2)若直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则实数 a ? (A) ?

1 2

(B) ?2
2 2

(C)

1 2

(3) 直线 3x ? y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交所得的弦的长为 (A) 2 15
2

(B) 2 3
2

(C) 15

(4)已知双曲线 x ? ay ? 1 的两条渐近线方程为 y =

2 x ,那么此双曲线的虚轴长为
( )

(A) 2 2

(B) 2

(C) 2

(D) 1

(5)已知函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ,那么“ f '( x0 ) = 0 ”是“ x0 是函数 f ( x) 的一个极 值点” 的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件
3

( (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



1 那么( ) R , 的导数大于 0, x (A) p ? q 是真命题 (B) p ? q 是假命题 (C) ?p 是真命题 (D) ?q 是真命题
(6) 已知命题 p : 函数 f ( x) = x 是增函数, 命题 q : $x (7) 函数 y ? e x ? 1 的部分图象为
x 2





y

y

-2

O

x

-1

O

x

(A)

y

(B)

y

O

x

-2

O

x

(C)

(D)

2 (8)在平面直角坐标系 xOy 中,已知集合 (x, y ) 0 ? y ? x , 且0 ? x ? 1 所表示的图形的

?

?

面积为

1 2 ,若集合 M ? {( x, y ) y ? x ? 1}, N ? {( x, y ) y ? x ? 1} ,则 M ? N 所表示 3
( )

的图形面积为

(A)

1 3

(B)

2 3

(C) 1

(D)

4 3

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. (9)已知 f ( x) = x cos x ,则 f '( x) =
2 2

. .

(10)过点 (1,1) 且与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切的直线的方程是
2

(11)曲线 y ? ax ? b 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 4 x ? 1 ,则 a ? ______, b ? ______. (12) 已知抛物线 C :y ? 4 x ,O 为坐标原点,F 为 C 的焦点,P 是 C 上一点. 若 ?OPF
2

是等腰三角形,则 PO =

.

(13) 已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点, 过点 F2 的直线交双曲线 C 的一支于 A, B 两点, 若 ?ABF1 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为 (14)如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是 棱 CC1 上的一个动点,平面 BED1 交棱 AA1 于点 F .给出下 列四个结论: ①存在点 E ,使得 A1C1 //平面 BED1 F ; ②存在点 E ,使得 B1 D ? 平面 BED1 F ; ③对于任意的点 E ,平面 A1C1 D ? 平面 BED1 F ;
F A A1

.
D1 B1 D B C1 E

C

④对于任意的点 E ,四棱锥 B1 ? BED1 F 的体积均不变. 其中,所有正确结论的序号是___________.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题共 11 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 4 ,且 x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极小值点. 3

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [?1,3] 上的最大值和最小值.

(16)(本小题共 11 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 P , Q . (Ⅰ)若 PF ? 3 (点 P 在第一象限) ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)求证: OP ? OQ 为定值(点 O 为坐标原点).

??? ? ????

(17)(本小题共 11 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 ( ?1, ? ) , (0,1) . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设椭圆 M 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线交椭圆 M 于 A, B 两点,求

?ABF1 面积的最大值.

(18)(本小题共 11 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x (a ? 0) .
2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)记函数 f ( x) 的最小值为 M ,求证: M ? 1.

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(文科)
参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) C (2) D (3) B (4) A (5) B (6) D (7) A ( 8) B

2014.01

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9) cos x - x sin x (12) (10) y ? 1 ? 0 (13) 3 (11) 2 , 1 (14)①③④

3 或1 2

注: (11)题每空2分; (12)题少一个答案扣2分. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? x ? 2ax .
2

?????????2 分

? x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极小值点,

? f '(2) ? 0 .
即 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 . 经检验,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极小值点. ?????????4 分

? 实数 a 的值为 1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ?

?????????5 分

1 3 x ? x2 ? 4 . 3

f '( x) ? x 2 ? 2 x ? x( x ? 2) .
令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 . 当 x 在 [?1,3] 上变化时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下: ?????????6 分

x
f '( x)

?1

(?1,0)

0

(0, 2)
?

2
0

(2,3)

3

?

0

?

f ( x)

8 3



4



8 3



4

?????????9 分 当 x ? ?1 或 x ? 2 时, f ( x) 有最小值

8 ; 3
?????????11 分

当 x ? 0 或 x ? 3 时, f ( x) 有最大值 4 .

(16) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ) ,由题意, x0 ? 0 且 y0 ? 0 .

?点 P 在抛物线 C 上,且 PF ? 3 ,

?点 P 到准线 x ? ?1 的距离为 3 . ? x0 ? 1 ? 3 , x0 ? 2 .
又? y0 2 ? 4 x0 , y0 ? 0 , ?????????2 分

? y0 ? 2 2 . ? P(2, 2 2) . ? F (1,0) ,
2 2 . 即 y ?2 2 x? ?直线 l 的方程为 y ? 2 2( x ? 1) ,
(Ⅱ)由题意可设直线 l 的方程为: x ? my ? 1 . 由? ?????????4 分 ?????????5 分

? x ? my ? 1,
2 ? y ? 4x



y2 ? my ? 1 ,即 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . 4

?????????7 分

显然 ? ? 16m2 ? 16 ? 0 恒成立. 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 ?

? y1 ? y2 ? 4m, ? y1 ? y2 ? ?4.

?????????9 分

??? ? ???? ? OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1
? ?4(m2 ? 1) ? 4m2 ? 1 ? ?3 .
即 OP ? OQ ? ?3 为定值.

??? ? ????

?????????11 分

(17) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)由题意 b ? 1,椭圆 M 的方程为

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) . 2 a

?????????1 分

将点 ( ?1, ?

2 1 1 ) 代入椭圆方程,得 2 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 2 . 2 a 2
?????????3 分

x2 所以 椭圆 M 的方程为 ? y 2 ? 1. 2
(Ⅱ) 由题意可设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1 . 由?

? x ? my ? 1, ?x ? 2 y ? 2
2 2

得 (m ? 2) y ? 2my ? 1 ? 0 .
2 2 2

显然 ? ? 4m ? 4(m ? 2) ? 0 .
2

?2 m ? y1 ? y2 ? 2 , ? ? m ?2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ? y ? y ? ?1 . 1 2 ? m2 ? 2 ?
因为 ?ABF1 的面积 S ? 所以 S ?

?????????7 分

1 | F1F2 | (| y1 | ? | y2 |) ,其中 y1 y2 ? 0 . 2

1 | F1F2 || y1 ? y2 | . 2
2
2 2

8m 2 ? 8 ? ?2m ? ? ?1 ? 又 ( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ? 2 , ? ? 4? 2 ?? 2 2 ?m ?2? ? m ? 2 ? (m ? 2)
F1 (?1,0), F2 (1,0) .
?????????9 分

? S 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 8[

1 1 1 1 ? 2 ] ? ?8( 2 ? )2 ? 2 ? 2 . 2 m ? 2 (m ? 2) m ?2 2
2

当 m ? 0 时,上式中等号成立. 即当 m ? 0 时,?ABF1 的面积取到最大值 2 . ?????????11 分

(18) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)

f ( x) ? x 2 ? 2a 2 ln x (a ? 0) 的定义域为 (0, ??) .

f '( x) ? 2 x ?

2a 2 2 x 2 ? 2a 2 2( x ? a)( x ? a) . ? ? x x x

?????????2 分

令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?a (舍). 当 x 在 (0, ??) 内变化时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下:

x
f '( x)

(0, a)
?


a
0
a 2 ? 2a 2 ln a

(a, ??)

?


f ( x)

由上表知, f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ; f ( x) 的单调递减区间为 (0, a) . ?????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 的最小值 M ? a ? 2a ln a .
2 2
2 2

?????????6 分

令 g ( x) ? x ? 2 x ln x( x ? 0) ,则 g '( x) ? 2 x ? 4 x ln x ? 2 x ? ?4 x ln x . 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 x 在 (0, ??) 内变化时, g '( x), g ? x ? 的变化情况如下: ?????????8 分

x
g '( x) g ( x)

(0,1)

1

(1, ??)
?


?


0
1

所以 函数 g ( x) 的最大值为 1 ,即 g ( x) ? 1. 因为 a ? 0 , 所以 M ? a ? 2a ln a ? 1 .
2 2

?????????11 分

注:对于其它正确解法,相应给分



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