9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

第一章 复变函数


第一章 复变函数(39)

一、内容摘要
1.复数的定义: z ? x ? yi, i ? ?1,(i 2 ? 1), x ? Rz( z), y ? Im( z) . 2.复数的运算:①加 z ? z1 ? z2 ,( x1 ? y1i) ? ( x2 ? y2i) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )i . ②减 z ? z1 ? z2 ,( x1 ? y1i) ? ( x2 ? y2i) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )i . ③乘 z ? z1z2 ? ( x1 ? iy1 )( x2 ? iy2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? i( x1 y2 ? x2 y1 ) . ④除 z ?

z1 z1 z2* ( x1 ? iy1 )( x2 ? iy2 ) x1 x2 ? y1 y2 ? i ( x2 y1 ? x1 y2 ) ,x ? y ?0 ? ? ? 2 2 z2 z2 z2* ( x2 ? iy2 )( x2 ? iy2 ) x22 ? y22

⑤ x1 ? x2 , y1 ? y2 且 y1 ? y2 . 3.复数的表示:①有序实数对( x , y );②复平面内直角坐标表示 z ? x ? yi ; ③复平面内极坐标表示 z ? rei? . 4.复数的乘幂与方根运算①乘幂 z n ? r nein? ? r n (cos n? ? i sin n? ) ;②方根
w ? z , wk ? ( z ) ? re
n n n i

? ? 2 k?
n

, k ? 0,1, 2...n ? 1 .

5.复平面中的曲线及区域:①连续曲线;②简单曲线;③单连通域;④复连通 域。 6.复变函数: w ? f ( z ) ①单值函数;②多值函数。 7.复变函数的极限与连续性。

二、习题
1.填空题 (1)若 sin z =2 ,则 z = _____________. (2)满足 Re(1/ z ) ? 2 的点的轨迹是______________.

(3)复数 z ? 1 ? cos ? ? i sin ? 的指数形式为______________. (4) lim
z2 =__________. z ? 0 sin z

2.把下列复数化成最简形式: (1) ( 2 ? i) ? i(1 ? i 2) . (2)
1 ? 2i 2 ? i ? . 3 ? 4i 5i

(3) (1 ? i)4 . (4) a ? bi . 3.求下列复数的实部 u 与虚部 v ,模 r 与幅角 ? . (1)
1 ? 2i 2 ? i ? . 3 ? 4i 5i
n

? 1? i 3 ? (2) ? ? 2 ? ? . ? ?

(3)

2i . ?1+i

(4)

1? i 3 . 2

4.设 z1 =

1? i z , z2 ? 3 ? i ,试用三角形式表示 z1 z2 及 1 . z2 2

5.求下列复数 z 的幅角主值 arg z : (1) z ? (2) z ?

?2 . 1? i 3

?

3 ?i .

?

6

6.用指数形式证明: (1) i 1 ? 3i

?

??

3 ? i ? 2 ? 2 3i .

?

(2)

5i ? 1 ? 2i . 2?i
7

(3) ? ?1 ? i ? ? ?8 ?1 ? i ? . (4) 1 ? 3i 7.试解方程: (1) z 4 ? a4 ? 0 ? a>0? . (2) z 3 ? 1 ? 0 . 8.证明: (1) Re ? z1 ? z2 ? ? Re ? z1 ? ? Re ? z2 ? ;一般 Re ? z1z2 ? ? Re ? z1 ? Re ? z2 ? . (2) z1 ? z2 + z1-z2 =2 z1 + z2 9.证明: (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 . (2) z1 z2 ? z1 z2 . (3)
2 2

?

?

?10

? 2?11 ?1 ? 3i .

?

?

?

2

2

?.

z1

z2

? z1 z2 .

10.下列关系表示的 z 点的轨迹的图形是什么?它是不是区域? (1) z ? z1 ? z ? z2 , z1 ? z2 . (2) z ? z-4 . (3)
z ?1 ? 1. z ?1

(4) z ? 1 且 Im z ? 0 . (5) y1 ? Im z ? y2 . (6) Re z <1 .

(7) 1< z +2i <2 . (8)

?
4

? arg z ?
1

3? . 4

11.证明 f ( z ) ? e z 在原点不连续。 12.设 z1 , z 2 , z3 三点适合条件: z1 ? z2 ? z3 ? 0, z1 ? z2 ? z3 ? 1.证明: z1 , z2 , z3 是内接于单位圆 z ? 1的一个正三角形的顶点。 13. 已知 x 2 ? x ? 1 ? 0 . 求 x11 ? x 7 ? x 6 的值。

三、参考答案
1.填空题 (1)

?
2

+2n? +i ln 2 ? 3 .

?

?

1 1 (2)以 z = 为圆心,以 为半径的圆。 4 4

(3) 2 sin (4) 0 .

?
2

e

i

? ??
2

.

2. 把下列复数化成最简形式。 解: (1)原式= 2 ? i ? (i ? i ? i 2) ? 2 ? i ? (i ? 2) ? 2 ? i ? i ? 2 ? ?2i . (2)原式=

1 ? 2i 3 ? 4i 2 ? i i ?1 ? 2i ?? 3 ? 4i ? 2i ? i ? i ?5 ? 10i 1 ? 2i ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 ? 4i 3 ? 4i 5i i 9 ? 16 5i ? i 25 ?5 5
4

?i ? ? 1? (3)原式= ? 2e 4 ? ? 4* e-? i ? ?4i . 4? ?

(4) ? w ? yi ? = a + b i ,于是 w2 y 2 = a , 2wy = b .(1.1)
2

由此可得 ? w2 +y 2 ? = ? w2 ? y 2 ? + 4w2 y 2 = a 2 +b2 ,因而必有 w2 +y 2 = a2 +b2 ,联合
2 2

1 1 a + a 2 +b 2 ; y 2 = ?a + a 2 +b 2 ,虽然可解得两 2 2 个 w 值,两个 y 值,但不能随意组合这些值,必须使其满足(1.1)中第二式,

(1.1)中第一式可解得 w2 =

?

?

?

?

? a ? a 2 ? b2 b ?i 最终得当 b ? 0 时 , a ? bi ? ? ? ? 2 b ?

a ? a 2 ? b2 ? ? ,对于 b=0 的 ? 2 ?

情形,当 a ? 0 时,其值为 ? a ,当 a <0 时,其值为 ?i -a . 3. 求下列复数的实部 u 与虚部 v ,模 r 与幅角 ? . 解: (1)
1 ? 2i 2 ? i 16 ? 8i 16 8 8 25 - = ,实部 u = ,虚部 v = ,模 r = ,幅角 ? = 3 ? 4i 25 5i 25 25 25 1 arctan + 2k? , k =0,±1, ±2...... . 2
n n

? ? ? 1 ? i 3 ? ? i n3 ? ? ? i n3 n? n? e ? i sin( ) , n =2,3,4 可知,三种情况 (2) ? = ? e ? ? ? = cos ? ? ? 2 ? 3 3 ? ? ? ? ? ?

下模 r=1,进一步有:

? 1 3 i,n=2 ?? + n 2 2 ? 1? i 3 ? ? ?1 3 ? 所以 n =2 时实部 u = ,虚部 v = ,幅角 ? ? 2 ? ? = ??1,n=3 2 2 ? ? ? ?? 1 ? 3 i,n=4 ? ? 2 2 2? ?= +2k? ,k =0, ? 1, ? 2,... ;n=3 时实部 u =-1 ,虚部 v =0 ,幅角 3

? ? ? 2k +1? ? , k ? 0, ?1, ?2,... ;n=4 时,实部 u =
4? ? 2k? , k ? 0, ?1, ?2..... . 3

?1 ? 3 ,虚部 v = ,幅角 ? = 2 2

(3) z =

2i ? ?1 ? i ? 2i 2 ? 2i 2 2 = = =1 ? i ,所以 Re z =1, Im z = ? 1 z = 1 +1 = 2, ?1+i ? ?1+i ?? ?1 ? i ? 2
?1 ? =? . 1 4

arg z = arctan

? 1 ?? 1? i 3 ? 3 ? 2 k? , k = e 3 实部 u = ,虚部 v = ,模 r=1 ,幅角 ? = 2 3 2 2 =0,±1,±2, ? .

?i

(4)

4. 解 : 因 z1 ? e 4 , z2 ? 2e
1 5? 5? (cos ? i sin ) . 2 12 12

i

?

?i

?
6

, 故 z1 z2 ? 2e 12 = 2(cos

i

?

?
12

? i sin

?
12

) ,

z1 = z2

5. 解:

?2 e -i? ?1 (1)由 = = ?i 3 1 ? 3i 1 ? i e3 2 2
(2) 3 ?i = 2e 6. 证明: (1)原式= e 2 ? 2e
5i (2) = 2?i
i

= e ,我们可知

2? i 3

arg z ?

2? . 3

?i

? 6

,故 z ? ( 3 ? i)6 ? 26 e?i? ? 26 ei? ,所以 arg z ? ? .

?

?i

?
3

? 2e 6 = 4e 3 = 2+2 3i ,证毕。
? 1 i ( ? arctan ) 2 2

i

?

i

?

5e 5e

i

?
2 1 2

= 5e

=

i arctan

? 1 ? 1 ? 1 1 ? ? ? 5 ?cos ( -arctan )+isin( -arctan ) ? = 5 ?sin (arctan )+icos(arctan ) ? = 2 2 2 2 ? 2 2 ? ? ?
2 ? ? 1 5? +i ? =1+2i ,证毕。 5? ? 5
(3)原式 ? 2 e
7 i 7* 3? 4

? 2 e

7 i

5? 4

7? 2 2? ? 2 ? ?- 2 ?i 2 ? ? = ?8(1 ? i) ,证毕。 ? ?

(4)原式 ? 2-10 e 7.解:

?i

10? 3

? 2-10 e

i

2? 3

? 2-11 -1 ? 3i ,证毕 。

?

?

(1) z ? ?a ? a e 得 4 个根为: zn ? ae
4 4

4 i?

i

? 2 n?1??
4

, n ? 0,1, 2, 3; z0 ?

2 2

a(1 ? i ),

z1 ?

2 2

a(?1 ? i ), z2 ?

2 2

a(?1 ? i), z3 ?

2 2

a(1 ? i ) .

(2) z 3 ? 1= ei 2 k? , zk = e
1 3 ? ? i. 2 2

i

2 k? 3

, k ? 0,1, 2; z0 ? 1; z1 = e

i

2? 3

i 1 3 =- ? i ; z2 = e 3 = 2 2

4?

8. 证明: ( 1 )设 z1 ? w1 ? iy1 , z2 ? w2 ? iy2 , 则 Re( z1 ? z2 ) = w ? w = Re( z1 ) ? Re( z2 ) 取 z1 ? i, 1 2 z2 ? 1 ? i ,则 Re(z1 z2 ) ? ?1 ? 0 ? Re(z1 ) Re(z2 ) ,所以 Re( z1 z2 ) ? Re(z1 ) Re(z2 ) 一般不 成立,证毕。 (2)原式左边= ? x1 +x2 ? + ? y1 +y2 ? + ? x1 -x2 ? + ? y1 -y2 ? ? 2x12 +2x22 +2 y12 +2 y22
2 2 2 2

=2 z1 +2 z2 =右边。

2

2

9. 证明: ( 1 ) 设 z1 ? w1 ? iy1 , z2 ? w2 ? iy2 ; z1 ? z2 ? (w1 ? w2 ) ? i ? y1 ? y2 ? , z1 ? w1 ? iy1 .

z2 ? w2 ? iy2 , z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,所以有 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,证毕。
(2)设 z1 ? w1 ? iy1 , z2 ? w2 ? iy2 , z1 z2 ? ? w1w2 ? w1 y2i ? y1w2i ? y1 y2 ? = (w1w2 ? y1 y2 )
? ? w1 y2 ? y1w2 ? , z1 z2 ? ? w1 ? iy1 ?? w2 ? iy2 ? = (w1w2 ? y1 y2 ) ? ? w1 y2 ? y1w2 ? , z1 z2 ? z1 z2 ,

证毕。
? z ? ? w ? iy1 ? x1 x2 ? y1 y2 x x2 ? x1 y2 (3)设 z1 ? w1 ? iy1 , z2 ? w2 ? iy2 , ? 1 ? = ? 1 = ?i 1 2 ?= 2 2 2 x2 ? y2 x2 ? y2 ? z 2 ? ? w2 ? iy2 ?

x1 x2 ? y1 y2 x x2 ? x1 y2 z1 w1 ? iy1 x1 x2 ? y1 y2 ?i 1 2 = ? 2 2 2 2 2 z 2 w2 ? iy2 x2 ? y2 x2 ? y2 x2 ? y2

2 ? x1 y2 ? ?i x1 x2 ,所以有 2

x2 ? y2

z1 z1 ? z2 z2

,

证毕。 (4)设 z1 ? w1 ? iy1 , z2 ? w2 ? iy2 , z1 z2 ? z1z2 ? (w1 ? iy1 )(w2 ? iy2 ) +

? w1 ? iy1 ?? w2 ? iy2 ? = w1w2 ? w1 y2i ? y1w2i ? y1 y2 ? w1w2 ? w1 y2i ? y1w2i ? y1 y2 =2 ? w1w2 ? y1 y2 ? = 2Re( z1 z2 ) ? 2Re( z1z2 ) ,即证。
10.答: (1)连接点 z1 和 z2 的直线段的垂直平分线,是闭集,因而不是 区域。 (2)以过点 z ? 2 平行于虚轴的直线为界的 左半闭平面,不是区域。

(3)右半复平面,是区域。 (4)上半开平面去掉开单位圆盘剩下的部分,不是区域,因为上半单位圆上的点 是边界点。 (5)位于直线 Im z ? y1 和 Im z ? y2 之间的点集加上上边界,不是区域。 (6)这是以直线 Re z =x=1 为边界的左半平面,它是单连通区域。 (7)这是以 -2i 为中心 1 为半径的圆的外部和 2 为半径的圆的内部的公共部分, 它是复连通区域。 (8 )这是以从原点引出的两条射线 arg z ? 它不是区域。 11. 证明:因 lim e z ? 0 (沿负实轴), lim e z ? ? (沿正实轴),故 f ( z ) 在原点无
z ?0 z?0 1 1

?
4

和 arg z ?

3? 为边界的无界闭区域, 4

确定的极限,从而在原点不连续,证毕。 12.证明:因为 z1 ? z2 ? z3 ? 0 ,所以 z1 ? z2 ? ? z3 ,又因为
z1 ? z2 ? z1 ? z 2 ? 2( z1 ? z 2 ) , z1 ? z2 ? z3 ? 1
2 2 2 2

所以 z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2 ? 2(1 ? 1) ? ? z3 ? 4 ? 1 ? 3 ,即 z1 ? z2 ? 3 , 同理可得
z1 ? z2 ? z2 ? z3 ? z3 ? z1 ? 3

2

2

2

2

2

而由 z1 ? z2 ? z3 ? 1可知, z1 , z 2 , z3 在以原点为圆心的单位圆上 故 z1 , z 2 , z3 是内接于单位圆上的一个等边三角形的顶点,证毕。 13.解:由 x3 ? 1 ? ( x ? 1)( x2 ? x ? 1) 知, x 是方程 x3 ? 1 ? 0 除 ? 1 外的两个虚数根, 即 x3 ? ?1 ,因此, x11 ? x 9 ? x 2 ? ? x 2 , x 7 ? x 6 ? x ? x , x 6 ? 1 故 原式 ? ? x2 ? x ? 1 ? ?( x2 ? x ? 1) ? 2 ? 2 .


赞助商链接

更多相关文章:
复变函数第一章答案
复变函数第一章答案_工学_高等教育_教育专区。第一章 复数与复变函数 1.1 计算下列各式: (1) (1 + i ) ? (3 ? 2i ); 解: (1 + i ) ? (3...
复变函数教案第一章
复变函数教案第一章 - 《复变函数与积分变换》教案 《复变函数第一章 复变函数教案 课程性质 《复变函数》 是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业...
第一章复变函数
第一章 复变函数 数学物理方法课程介绍: 《数学物理方法》包括:复变函数、积分变换、数学物理方程三大块内 容。它是电子信息科学与技术特别是通讯与信息类专业的必...
复变函数第一章课堂讨论题
​变​函​数​第​一​章​课​堂​讨​论​题...? ? ? ? (3) 设函数 f ( z ) 在 z0 连续且 f ( z0 ) ? 0 那么...
复变函数与积分变换 第一章课后答案
复变函数与积分变换 第一章课后答案_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档复变函数与积分变换 第一章课后答案_理学_高等教育_教育专区。 ...
复变函数第一章第一节教案
复变函数第一章第一节教案_理学_高等教育_教育专区。教 案 复变函数 教案周...教 案 复变函数 教案周次 2 课题课时 2 课新型授教教具材 1.1 复数及其...
第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数 1.教学目的 复变函数的自变量和因变量都是复数,因此,复数和平面点集是研究复变函 数的基础。 复变函数及其极限理论与微积分学的相应...
第一章 复数与复变函数
复变函数》教案 第一章 复数与复变函数 河北民族师范学院数计系 第一章 复数与复变函数第一节 复数 教学课题:第一节 复数 教学目的:1、复习、了解中学所...
复变函数第一章学习指导
复变函数第一章学习指导 - 复变函数第一章学习指导 一.知识结构 复数的定义 ? ? ?有序实数对 ? ? ? 代数式 ? ? ? ?复数的五种表示 ? 三角式 ? ? ...
复变函数第一章习题全解钟玉泉版
第一章 复变与复变函数 (一) 1 3 2 1.解: z = ( ) 2 + ( ) =1 2 2 Argz=argz+ 2kπ = arctan( 3 ) + 2kπ = 2.解:因为 z1 = 1+...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图